Die Übersetzung des Artikels wurde speziell für Studierende der Grund- und Aufbaukurse „Mathematik für Data Science“ erstellt .
Im vergangenen Jahr haben Mathematiker und Informatiker große Fortschritte in der Zahlentheorie, der Graphentheorie, dem maschinellen Lernen und dem Quantencomputer erzielt und sogar unsere grundlegenden Konzepte der Mathematik und der neuronalen Netze überarbeitet.
Für Mathematiker und Informatiker war 2019 ein Jahr der Wiederholung und des intensiven Studiums. Einige überarbeiteten die Grundprinzipien, während andere auffallend einfache Beweise, neue Methoden zur Lösung von Problemen oder unerwartete Lösungen für langjährige Probleme fanden. Einige dieser Errungenschaften haben bereits breite Anwendung in der Physik und anderen wissenschaftlichen Disziplinen gefunden. Andere existieren nur als Theorie (oder nur zum Spaß) und haben aus praktischer Sicht heute keinen Nutzen mehr.
Quanta beschloss, einen jahrzehntelangen Versuch, die Mathematik vom harten Gleichheitszeichen zu befreien, hervorzuheben und durch ein flexibleres Konzept der "Äquivalenz" zu ersetzen. Wir sprachen auch über neue Ideen in der allgemeinen Theorie neuronaler Netze, die Informatikern die begehrte theoretische Grundlage für den Erfolg von Deep-Learning-Algorithmen geben könnten.
In der Zwischenzeit enthüllten gewöhnliche mathematische Objekte wie Matrizen und Netzwerke unerwartete neue Ideen in kurzen, eleganten Beweisen, und zehnjährige Probleme der Zahlentheorie wurden endlich gelöst. Mathematiker lernten mehr darüber, wie Regelmäßigkeit und Ordnung in chaotischen Systemen, Zufallszahlen und anderen scheinbar zufälligen Bereichen entstehen. Auf die eine oder andere Weise wurde maschinelles Lernen immer leistungsfähiger und veränderte Ansätze und Bereiche der wissenschaftlichen Forschung, während Quantencomputer wahrscheinlich einen kritischen Punkt erreichen würden.
Den Grundstein zum Verständnis legen
Was wäre, wenn das Gleichheitszeichen - die Grundlage aller Mathematik - nur ein Fehler wäre? Immer mehr Mathematiker, unter der Leitung von Jacob Lurie vom Institute for Advanced Study, wollen die Wissenschaft neu schreiben und "Gleichheit" durch eine freiere Sprache der
"Gleichwertigkeit" ersetzen. „Heute basieren die Grundlagen der Mathematik auf Mengen von Objekten, die Mengen genannt werden. Vor zehn Jahren begannen mehrere Mathematiker mit universelleren Gruppen, den Kategorien, die mehr Informationen vermitteln als Mengen und mehr mögliche Beziehungen widerspiegeln als„ Gleichheit “. Seit 2006 hat Lurie mehr als tausend Seiten mathematischer Theorie veröffentlicht, wie moderne Mathematik in die Sprache der Kategorietheorie übersetzt werden kann.
Vor nicht allzu langer Zeit begannen andere Mathematiker, die Grundprinzipien eines Feldes zu etablieren, in dem es kein vorherrschendes Dogma gibt, das verworfen werden kann: das Feld des maschinellen Lernens. Die Technologie, die den erfolgreichsten Algorithmen des maschinellen Lernens von heute zugrunde liegt, wird in Wissenschaft und Gesellschaft immer notwendiger, aber nur wenige Menschen verstehen wirklich, wie sie funktioniert. Im Januar schrieben wir über Versuche, eine
Theorie neuronaler Netze zu erstellen, die den Effekt der Struktur auf die Netzwerkfähigkeiten erklärt.
Ein neuer Blick auf alte Probleme
Nur weil der Weg vertraut erscheint, kann man nicht sagen, dass darin keine Geheimnisse mehr stecken. Mathematiker, Physiker und Ingenieure arbeiten seit Jahrhunderten mit mathematischen Begriffen wie „Eigenwerten“ und „Eigenvektoren“ und verwenden sie für Matrizen, die Transformationen von Objekten auf unterschiedliche Weise widerspiegeln. Im August haben drei Physiker und ein Mathematiker eine neue einfache
Formel entwickelt , die die beiden Mengenmengen auf neue Weise in Beziehung setzt, die Arbeit der Physiker bei der Untersuchung von Neutrinos erheblich vereinfacht und neue mathematische Entdeckungen ermöglicht. Nach der Veröffentlichung ihrer Studie erfuhren die Wissenschaftler, dass diese Beziehung vor langer Zeit entdeckt wurde, aber die ganze Zeit ignoriert wurde.
Die Routine der Informatik wurde eines Tages durch die Entdeckung eines Mathematikers beleuchtet, der plötzlich eines der größten offenen Probleme in diesem Bereich löste und die Hypothese der „Sensitivität“ untermauerte (https://www.quantamagazine.org/mathematiker-solves-computer-science-conjecture) -in-two-pages-20190725 /), in dem beschrieben wird, wie wahrscheinlich es ist, dass Sie die Ausgabe des Chips beeinflussen können, indem Sie die Daten an einem Eingang ändern. Der Beweis erwies sich als entwaffnend einfach und kompakt genug, um in einem Tweet verallgemeinert zu werden. Gleichzeitig widerlegte in der Welt der Graphentheorie ein anderer spartanischer Artikel (diesmal nur drei Seiten) die
Hypothese von vor zehn Jahren, wie man Farben für Netzwerkknoten auswählt, eine Hypothese, die sich auf Karten, Sitzanordnung und Sudoku auswirkt.
Signal im Rauschen
In der Mathematik geht es oft darum, eine Ordnung innerhalb des Chaos zu finden und verborgene Muster aus der scheinbaren Zufälligkeit zu extrahieren. Im Mai hat ein Team mit Hilfe der sogenannten
magischen Funktionen gezeigt, dass die beste Art und Weise, Punkte in acht- und 24-dimensionalen Räumen anzuordnen, auch universell optimal ist. Das heißt, sie lösen eine unendliche Anzahl von Aufgaben, die über die enge Packung gleicher Kugeln hinausgehen. Es ist immer noch unklar, warum magische Funktionen so universell sind. "In der Mathematik gibt es einige Probleme, die mit Hilfe von Beharrlichkeit und roher Gewalt gelöst werden", sagte der Mathematiker Henry Cohn. "Es gibt auch Zeiten, in denen die Mathematik etwas zu wollen scheint."
Andere Wissenschaftler fanden jedoch Muster im Unvorhersehbaren. Sarah Paluse hat bewiesen, dass numerische Sequenzen, die als
„Polynomfolgen“ bezeichnet werden, in ausreichend großen Zahlenmengen unvermeidlich sind, selbst wenn die Zahlen in ihnen zufällig ausgewählt werden. Sogar Mathematiker haben bewiesen, dass unter bestimmten
Bedingungen Muster in einem zweifach zufälligen Prozess der zufälligen Analyse von Formen entstehen, wenn die Formen selbst ebenfalls zufällig sind. Im März untermauerte Tim Austin die Verbindung zwischen Chaos und Ordnung und bewies, dass alle mathematischen Beschreibungen von Veränderungen letztendlich eine Mischung aus
geordneten und zufälligen Systemen sind - und selbst geordnete
Systeme brauchen ein Element der Zufälligkeit. Schließlich arbeiten Physiker in der realen Welt daran, zu verstehen, wann und wie chaotische Systeme, von flackernden Glühwürmchen bis zum Abfeuern von Neuronen, sich als
Ganzes synchronisieren und bewegen können.
Spiel mit Zahlen
In der Grundschule haben wir alle gelernt, uns auf die gute alte Weise zu vermehren, aber im März 2019 haben zwei Mathematiker
eine schnellere Methode der Multiplikation beschrieben . Anstatt jede Ziffer der ersten Zahl mit jeder Ziffer der zweiten zu multiplizieren, was für große Zahlen eher unbrauchbar ist, kann der Rechner eine Reihe von Methoden kombinieren, einschließlich Addition, Multiplikation und Permutation der Zahlen, um das Ergebnis schließlich in einer viel kleineren Anzahl von Schritten zu erhalten. Dies ist der effektivste Weg, um Zahlen mit Abstand zu multiplizieren.
Andere interessante Entdeckungen in der Welt der Zahlen in diesem Jahr befassen sich mit der Frage, wie man die Zahl 33 als
Summe von drei Würfeln ausdrückt, und beweisen damit eine langjährige Hypothese, wie man
irrationale Zahlen wie Pi
approximiert und die Beziehung zwischen den Summen und
Produkten der Menge vertieft
zahlen .
Die wachsenden Herausforderungen des maschinellen Lernens
Wissenschaftler wenden sich zunehmend an Maschinen, um Hilfe zu erhalten, nicht nur, um Daten zu erhalten, sondern auch, um sie zu verstehen. Im März sprachen wir über maschinelles Lernen, das die
Wachstumsrate der Wissenschaft verändert . Ein Prozess, der als generative Modellierung bezeichnet wird, kann beispielsweise der „dritte Weg“ sein, Hypothesen nach traditionellen Beobachtungs- und Modellierungsmethoden zu formulieren und zu testen, obwohl viele ihn immer noch einfach als vereinfachte Methode zur Informationsverarbeitung ansehen. Auf jeden Fall, wie Dan Falk schrieb, "verändert maschinelles Lernen den Geschmack der wissenschaftlichen Entdeckung und vereinfacht natürlich den Weg dorthin".
Wenn wir darüber sprechen, was uns maschinelles Lernen im letzten Jahr geholfen hat, ist es bemerkenswert, dass Forscher Algorithmen gefunden haben
, die Erdbeben im Nordwestpazifik
vorhersagen können , während das multidisziplinäre Team herausgefunden hat, wie das Sehen funktioniert, und ein mathematisches Modell basierend auf diesen Erkenntnissen erstellt hat
Gehirn Anatomie . Bis dahin ist es aber noch ein langer Weg: Ein Team aus Deutschland gab bekannt, dass
Maschinen häufig keine Bilder erkennen können, weil sie sich auf Texturen statt auf Formen konzentrieren, und das neuronale Netzwerk mit dem Spitznamen BERT lernte, Menschen in
Tests auf Leseverständnis nur zu besiegen Die Forscher fragten sich, ob die Maschine wirklich etwas verstand oder nur besser testen konnte.
Nächste Schritte in der Entwicklung von Quantencomputern
Nach vielen Jahren der Unwissenheit im letzten Jahr erreichten die Forscher endlich ein wichtiges Stadium, um die Frage des Quantencomputers zu verstehen - obwohl dieses Verständnis, wie das gesamte Quantum, mit Unsicherheit behaftet ist. Herkömmliche klassische Computer bauen auf einem Binärzahlensystem auf und arbeiten mit Bits, während Quantencomputer mit Qubits arbeiten, die Quantenregeln verwenden, um die Rechenleistung zu erhöhen. 2012 prägte
John Preskill den Begriff der Quantenüberlegenheit, um den Punkt zu beschreiben, an dem ein Quantencomputer einen klassischen übertrifft. Berichte über
schnellere Quantensysteme ließen viele Insider vermuten, dass wir
diesen Punkt im Jahr 2019 erreichen könnten, und im Oktober gab Google bekannt, dass
dieser Moment endlich gekommen war . IBM, als Konkurrent von Google in dieser Angelegenheit, stimmte dieser Aussage jedoch nicht zu und sagte, sie verursache "viel Skepsis". Die offensichtlichen Fortschritte bei der Entwicklung funktionsfähiger Quantencomputer im Laufe der Jahre haben jedoch auch Forscher wie Stephanie Vener dazu veranlasst, mit dem Aufbau der
nächsten Generation des Quanteninternets zu beginnen.
Mit dieser Übersetzung ging der Artikel zu Ende. Und wir laden Sie zu Tagen der offenen Tür in den
Grund- und Aufbaukursen
"Mathematik für Data Science" ein , um sich eingehender mit dem Lehrplan vertraut zu machen.