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Así creyeron los antiguos. Babilonia

Esta es una continuación de la serie que concebí sobre la historia de la computación y el conteo. El primer artículo sobre Egipto está aquí .

Ahora intentaré hablar un poco sobre otra gran civilización y cultura del pasado. El reino de Babilonia surgió a principios del segundo milenio antes de Cristo, reemplazó a Sumer y Akkad y existió antes de que los persas conquistaran en 539 a. C. Escribieron en Babilonia, como todos recuerdan, en tabletas de arcilla con escritura cuneiforme, que están muy bien conservadas a diferencia del papel, el papiro y cosas similares, por lo que sabemos mucho sobre Babilonia y sus matemáticas. Pero, por supuesto, no lo sabemos todo. A diferencia de los griegos, los babilonios no dejaron algoritmos precisos y explicaciones claras de sus trucos. Ahora solo podemos adivinar cómo actuaron exactamente los babilonios en un caso particular al resolver el problema. En este trabajo, me enfocaré principalmente en la aritmética babilónica, dejando de lado la geometría, el álgebra y la astronomía.


Los babilonios en matemáticas avanzaron mucho más que los egipcios, hasta donde sabemos, aunque aparentemente no igualaron a los griegos. Ya sabían cómo resolver ecuaciones cuadráticas, además, tenían algunos rudimentos de álgebra numérica. Uno de sus logros fue la introducción del sistema posicional de seis decimales sin cero. Esto significa que el manejo de números se ha vuelto mucho más flexible y simple que en Egipto. No se sabe exactamente de dónde vino tal sistema. Una versión dice que una mezcla de los sistemas de 6 y 10 decimales de los pueblos de Sumer y Akkad lo condujo. Pero hay otros pensamientos sobre este tema.
Desafortunadamente, este sistema (quizás afortunadamente, no quisiera aprender su tabla de multiplicar) no fue dominado por otros pueblos del mundo antiguo, y tuve que esperar la llegada del sistema posicional indio. Sin embargo, aún queda algo de reflexión sobre las matemáticas babilónicas en nuestra cultura: dividir un minuto entre sesenta segundos y una hora entre 60 minutos es un eco del antiguo sistema de números babilónico.

Números y sistema de numeración





La imagen muestra cómo los babilonios denotaron 1 y 10. Con su ayuda, se mostraron todos los números del 1 al 59. El número 33 se muestra en la imagen a continuación. Esto es similar a los sistemas de escritura de números romanos y otros no posicionales.



El número 60 se denota exactamente como la unidad. Al principio, se dibujó más grande, pero luego esta diferencia se borró. Los números mayores que 60, pero menores que 120, se designaron de la siguiente manera: primero se escribió el número 60, luego el resto del número menor que 60 después de un espacio.
A continuación se muestra un ejemplo del número 63.



Números de la forma K * 60 + n (1 <= K <60; n = 1 , 2, 3, ... 59) fueron designados por analogía, como en el siguiente ejemplo.



Los babilonios no tenían 0, pero con el tiempo se les ocurrió el uso de un signo que denotaba partes perdidas. Este signo se usó solo para dígitos dentro del número y no se colocó al final. Aquí hay un ejemplo en la imagen.



El problema es que este número podría leerse como 2 * 60 ^ 2 +2 y como 2 * 60 ^ 5 + 2 * 60 ^ 3. ¡Muy incómodo! Tal sistema de grabación debería haber llevado a numerosos errores, ¿no crees? Los babilonios trataron de separar las descargas con mucho cuidado para evitar confusiones (mucho más precisas que yo). Sin embargo, en algunos casos, los errores son muy probables. Se conocen ejemplos de números grandes cuando parte del número se transfirió a otra línea. ¡Intenta aquí para entender lo que significaba! Pero el número de errores en los textos babilónicos es pequeño, aunque se han acabado.
Las fracciones también se designaron de la misma manera. Solo para los muy populares 1/2, 1/3 y 2/3 había insignias especiales.
En todas partes escribiré números babilónicos, separando los dígitos con una coma y la parte entera de la fracción usando un punto y coma. Por ejemplo: 177 será 2.57, etc. Dígitos perdidos, reemplazaré 0.

Cálculos



Como el sistema de los babilonios era posicional, sus cálculos eran muy similares a los nuestros. Al restar y sumar, simplemente sumaron y restaron los números poco a poco. Una ventaja adicional es que los dígitos de seis decimales se designaron de forma no posicional utilizando unidades y decenas, y en dicho sistema es mucho más fácil restar y sumar que en nuestras anotaciones abstractas, que requieren aprender una tabla de suma especial.
La multiplicación, como puede suponer, también fue similar a la nuestra. ¿Pero cómo usaron su enorme tabla de multiplicar? ¿Enseñada de memoria? Habían preparado mesas especiales donde podían ver obras.
Muchas tablas de multiplicar provienen de los babilonios, pero no incluyen todos los productos de números de "valor único", como nuestras tablas decimales. Sus tablas comenzaron de 1 a 20 inclusive, luego los trabajos seguidos por 30, 40, 50. Si los babilonios querían multiplicar 35 por 47, entonces él necesitaba encontrar 35 * 40 en la tabla, y luego 35 * 7 y agregarlo. Esto requirió una acción innecesaria, pero de esta manera fue posible ahorrar espacio significativamente.
Divisiones, como una acción independiente, los babilonios no sabían. En cambio, usaron multiplicación inversa. Para hacer esto, por supuesto, necesitaban tablas de números inversos. Por ejemplo, si fuera necesario dividir 1.15 entre 5, entonces los babilonios encontraron 1/5, que en su registro sería 0; 12 y multiplicaron 1.15 por 0; 12. Si dicho número no se expresaba por una fracción hexadecimal finita, entonces los babilonios buscaban un número que, cuando se multiplicaba por un divisor, daba un dividendo.
Por ejemplo, necesita dividir 22.45.0 por 6.30. En este caso, se formula la siguiente condición: “¿Qué debo tomar de 6.30 para obtener 22.45.0? "La respuesta es 3.30. Por supuesto, los babilonios usaron valores aproximados cuando fue necesario.
Las tablas inversas se veían así:

2treinta
3veinte
4 4quince
5 512
6 610
87; 30
9 96; 40
125 5
quince4 4
dieciséis3; 45
Dieciocho3; 20
veinte3

Etc.
Además de la tabla de valores inversos, los babilonios tenían muchas otras tablas: cuadrados, cubos, raíces cuadradas y cúbicas, y algunas otras.

Tareas



¿Qué tareas pudieron resolver los babilonios?
Por ejemplo, estos son:
“10 hermanos y 1 mina entera y 2/3 de plata. Hermano es más alto que hermano. Cuánto más alto es, no lo sé. La participación del octavo hermano es de 6 shekels. Hermano sobre hermano, ¿cuánto más alto? “
La tarea es dividir la suma entre los hermanos para que la parte de cada uno sea una progresión aritmética y encontrar la diferencia de esta progresión.
Por supuesto, los babilonios también resolvieron el problema de interés. Incluyendo tareas de interés compuesto:
“Le dio un impulso al crecimiento. ¿En cuántos años crecerá sobre sí mismo?
Se supone que el porcentaje es 0; 12 por año. Algunos estudiosos han sugerido que los babilonios poseían los rudimentos de los logaritmos. Otros no están de acuerdo con ellos.
Otro ejemplo incluye ecuaciones cuadráticas:
“Sumo el área de dos cuadrados, y esto es 37.5. El lado de un cuadrado es 2/3 del lado del otro cuadrado. 10 añadidos al lado del más grande, 5 añadidos al lado del más pequeño. ¿Qué cuadrados son qué?
En las tablas, estas tareas se dan con una explicación de sus soluciones. Puedes ver que los babilonios conocían ecuaciones cuadráticas y sistemas de ecuaciones lineales.
Los babilonios también conocían las raíces cuadradas, que se calcularon mediante fórmulas aproximadas:
“La diagonal del cuadrado es 10. Encuentra el lado del cuadrado. 10 s 0; 42.30 multiplicar 7; 5 es el lado. 7; 5 s 1; 25 se multiplican. 10; 25 da ".

Source: https://habr.com/ru/post/es380927/

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