La razón de la traducción del artículo fue que estaba buscando un libro del autor de "The Outer Limits of Reason" . No pude ocultar el libro, pero me encontré con un artículo que, de una manera bastante concisa, muestra la opinión del autor sobre el problema.

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Uno de los problemas más interesantes en la filosofía de la ciencia es la conexión entre las matemáticas y la realidad física. ¿Por qué las matemáticas son tan buenas para describir lo que está sucediendo en el universo? De hecho, muchas áreas de las matemáticas se formaron sin ninguna participación de la física, sin embargo, resultó que se convirtieron en la base de la descripción de algunas leyes físicas. ¿Cómo se puede explicar esto?

Más claramente, esta paradoja se puede observar en situaciones en las que algunos objetos físicos se descubrieron matemáticamente por primera vez, y solo entonces se encontró evidencia de su existencia física. El ejemplo más famoso es el descubrimiento de Neptuno. Urbain Le Verrier hizo este descubrimiento simplemente calculando la órbita de Urano y examinando las discrepancias de las predicciones con la imagen real. Otros ejemplos son la predicción de positrones de Dirac y la sugerencia de Maxwell de que las ondas en un campo eléctrico o magnético deberían generar ondas.

Aún más sorprendente, algunas áreas de las matemáticas existieron mucho antes de que los físicos se dieran cuenta de que eran adecuadas para explicar ciertos aspectos del universo. Las secciones cónicas estudiadas por Apolonio en la antigua Grecia fueron utilizadas por Kepler a principios del siglo XVII para describir las órbitas de los planetas. Se propusieron números complejos varios siglos antes de que los físicos comenzaran a usarlos para describir la mecánica cuántica. La geometría no euclidiana fue creada décadas antes de la teoría de la relatividad.

¿Por qué las matemáticas describen tan bien los fenómenos naturales? ¿Por qué, de todas las formas de expresar pensamientos, las matemáticas funcionan mejor? ¿Por qué, por ejemplo, es imposible predecir la trayectoria exacta del movimiento de los cuerpos celestes en el lenguaje de la poesía? ¿Por qué no podemos expresar la complejidad de la tabla periódica con una pieza musical? ¿Por qué la meditación no ayuda mucho a predecir el resultado de los experimentos en mecánica cuántica?

El premio Nobel Eugene Wigner, en su artículo "La efectividad irrazonable de las matemáticas en las ciencias naturales", también hace estas preguntas. Wigner no nos dio ninguna respuesta específica, escribió que "la increíble efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales es algo místico y no hay una explicación racional para esto".

Albert Einstein escribió sobre este tema:

¿Cómo pueden las matemáticas, el producto de la mente humana, independiente de la experiencia individual, ser una forma tan apropiada de describir objetos en la realidad? ¿Puede la mente humana entonces, por el poder del pensamiento, sin recurrir a la experiencia, comprender las propiedades del universo? [Einstein]

Seamos claros. El problema realmente surge cuando percibimos las matemáticas y la física como 2 áreas diferentes, perfectamente formadas y objetivas. Si observa la situación desde esta perspectiva, realmente no está claro por qué estas dos disciplinas funcionan tan bien juntas. ¿Por qué las leyes abiertas de la física están tan bien descritas por las matemáticas (ya abiertas)?

Muchas personas reflexionaron sobre esta pregunta y dieron muchas soluciones a este problema. Los teólogos, por ejemplo, han propuesto un Ser que construye las leyes de la naturaleza y al mismo tiempo usa el lenguaje de las matemáticas. Sin embargo, la introducción de tal Ser solo complica todo. Los platónicos (y sus primos naturalistas) creen en la existencia de un "mundo de ideas" que contiene todos los objetos matemáticos, formas y también la Verdad. También hay leyes físicas. El problema con los platónicos es que introducen otro concepto del mundo platónico, y ahora necesitamos explicar la relación entre los tres mundos ( nota del traductor. Todavía no entendía por qué el tercer mundo, pero lo dejé como está ). También surge la pregunta de si los teoremas imperfectos son formas ideales (objetos del mundo de las ideas). ¿Qué pasa con las leyes físicas refutadas?

La versión más popular de resolver el problema planteado de la efectividad de las matemáticas es que estudiamos las matemáticas observando el mundo físico. Entendimos algunas de las propiedades de la suma y la multiplicación contando ovejas y piedras. Estudiamos geometría observando formas físicas. Desde este punto de vista, no es sorprendente que la física siga a las matemáticas, porque las matemáticas están formadas por un estudio cuidadoso del mundo físico. El principal problema con esta solución es que las matemáticas se usan bien en áreas que están lejos de la percepción humana. ¿Por qué el mundo oculto de las partículas subatómicas está tan bien descrito por las matemáticas, estudiado contando ovejas y piedras? por qué la matemática describe bien la teoría especial de la relatividad, que trabaja con objetos que se mueven a velocidades cercanas a la velocidad de la luz,que se forma al observar objetos que se mueven a velocidad normal?

En dos artículos ( uno , dos ), Macr Zeltser y yo (Noson Janowski) formulamos una nueva mirada a la naturaleza de las matemáticas ( comentario de un traductor. En general, esos artículos escriben lo mismo que aquí, pero mucho más extensamente ). Hemos demostrado que, como en física, la simetría juega un papel muy importante en las matemáticas. Tal punto de vista ofrece una solución bastante original al problema planteado.

¿Qué es la física?

Antes de considerar la razón de la efectividad de las matemáticas en física, necesitamos hablar sobre qué son las leyes físicas. Decir que las leyes físicas describen los fenómenos físicos es algo frívolo. Para empezar, podemos decir que cada ley describe muchos fenómenos. Por ejemplo, la ley de la gravedad nos dice qué sucederá si dejo caer mi cuchara, también describe la caída de mi cuchara mañana, o qué sucede si dejo caer una cuchara en un mes en Saturno. Las leyes describen toda una gama de fenómenos diferentes. Puedes ir al otro lado. Un fenómeno físico se puede observar de maneras completamente diferentes. Alguien dirá que el objeto está inmóvil, alguien que el objeto se mueve a una velocidad constante. Una ley física debe describir ambos casos de manera idéntica. Además, por ejemplo, la teoría de la gravedad debería describir mi observación de una cuchara que cae en un automóvil en movimiento,desde mi punto de vista, desde el punto de vista de mi amigo parado en el camino, desde el punto de vista de un chico parado sobre su cabeza, al lado de un agujero negro, etc.

Surge la siguiente pregunta: ¿cómo clasificar los fenómenos físicos? ¿Cuáles deberían agruparse y atribuirse a una ley? Los físicos usan el concepto de simetría para esto. En el habla coloquial, la palabra simetría se usa para objetos físicos. Decimos que una habitación es simétrica si su lado izquierdo es similar al derecho. En otras palabras, si intercambiamos lados, la habitación se verá exactamente igual. Los físicos han ampliado un poco esta definición y la aplican a las leyes físicas. Una ley física es simétrica con respecto a la transformación si la ley describe el fenómeno transformado de la misma manera. Por ejemplo, las leyes físicas son simétricas en el espacio. Es decir, el fenómeno observado en Pisa también se puede observar en Princeton. Las leyes físicas también son simétricas en el tiempo, es decir un experimentorealizado hoy debería dar los mismos resultados que si se hubiera llevado a cabo mañana. Otra simetría obvia es la orientación espacial.

Hay muchos otros tipos de simetrías a las que deben ajustarse las leyes físicas. La relatividad galileana requiere que las leyes físicas del movimiento permanezcan sin cambios, independientemente de si el objeto es estacionario o se mueve a una velocidad constante. La teoría especial de la relatividad afirma que las leyes del movimiento deben permanecer igual incluso si el objeto se mueve a una velocidad cercana a la velocidad de la luz. La teoría general de la relatividad dice que las leyes siguen siendo las mismas, incluso si el objeto se mueve con aceleración.

Los físicos generalizaron el concepto de simetría de diferentes maneras: simetría local, simetría global, simetría continua, simetría discreta, etc. Victor Stanger unió muchos tipos de simetría de acuerdo con lo que llamamos invariancia de punto de vista. Esto significa que las leyes de la física deben permanecer sin cambios, independientemente de quién las observe y cómo. Mostró cuántas áreas de la física moderna (pero no todas) pueden reducirse a leyes que satisfagan la invariancia con respecto al observador. Esto significa que los fenómenos relacionados con un fenómeno están relacionados, a pesar de que pueden considerarse de diferentes maneras.

Comprender la verdadera importancia de la simetría se ha ido con la teoría de la relatividad de Einstein. Antes de él, la gente descubrió primero algún tipo de ley física, y luego encontró una propiedad de simetría en ella. Einstein usó la simetría para encontrar la ley. Postuló que la ley debería ser la misma para un observador inmóvil y para un observador que se mueve a una velocidad cercana a la luz. Con esta suposición, describió las ecuaciones de la teoría especial de la relatividad. Fue una revolución en la física. Einstein se dio cuenta de que la simetría es una característica definitoria de las leyes de la naturaleza. No es la ley la que satisface la simetría, pero la simetría da lugar a la ley.

En 1918, Emmy Noether demostró que la simetría es un concepto aún más importante en física de lo que se pensaba anteriormente. Ella demostró un teorema que vincula las simetrías con las leyes de conservación. El teorema mostró que cada simetría genera su propia ley de conservación, y viceversa. Por ejemplo, la invariancia del desplazamiento en el espacio da lugar a la ley de conservación del momento lineal. La invariancia temporal da lugar a la ley de conservación de la energía. La invariancia de orientación da lugar a la ley de conservación del momento angular. Después de eso, los físicos comenzaron a buscar nuevos tipos de simetrías para encontrar nuevas leyes de la física.

Por lo tanto, determinamos qué llamar una ley física. Desde este punto de vista, no es sorprendente que estas leyes parezcan objetivas, intemporales e independientes del hombre. Dado que son invariables con respecto al lugar, el tiempo y la vista de la persona sobre ellos, parece que existen "en algún lugar allí". Sin embargo, esto se puede ver de una manera diferente. En lugar de decir que estamos viendo muchas consecuencias diferentes de las leyes externas, podemos decir que una persona destacó algunos fenómenos físicos observables, encontró algo similar en ellos y los combinó en una ley. Solo notamos lo que percibimos, lo llamamos ley y nos saltamos todo lo demás. No podemos rechazar el factor humano en la comprensión de las leyes de la naturaleza.

Antes de continuar, necesitamos mencionar una simetría que es tan obvia que rara vez se menciona. La ley de la física debe tener simetría de aplicación (simetría de aplicabilidad). Es decir, si la ley funciona con un objeto de un tipo, funcionará con otro objeto del mismo tipo. Si la ley es cierta para una partícula cargada positivamente que se mueve a una velocidad cercana a la velocidad de la luz, entonces funcionará para otra partícula cargada positivamente que se mueva a una velocidad del mismo orden. Por otro lado, la ley puede no funcionar para objetos macro a baja velocidad. Todos los objetos similares están asociados con una ley. Necesitaremos este tipo de simetría cuando discutamos la conexión entre las matemáticas y la física.

Que son las matematicas

Pasemos un tiempo entendiendo la esencia misma de las matemáticas. Veremos 3 ejemplos.

Érase una vez, un granjero descubrió que si tomas nueve manzanas y las combinas con cuatro manzanas, terminarás con trece manzanas. Algún tiempo después, descubrió que si combina nueve naranjas con cuatro naranjas, obtendrá trece naranjas. Esto significa que si cambia cada manzana por una naranja, entonces la cantidad de fruta permanecerá sin cambios. En algún momento, los matemáticos han ganado suficiente experiencia en tales asuntos y derivaron la expresión matemática 9 + 4 = 13. Esta pequeña expresión generaliza todos los casos posibles de tales combinaciones. Es decir, es cierto para cualquier objeto discreto que pueda intercambiarse por manzanas.

Un ejemplo más complejo. Uno de los teoremas más importantes de la geometría algebraica es el Teorema de Hilbert Cero ( https://ru.wikipedia.org/wiki/Hilbert_Zero Theorem ). Consiste en el hecho de que para cada J ideal en el anillo polinomial existe un conjunto algebraico correspondiente V (J), y para cada conjunto algebraico S existe un ideal I (S). La conexión de estas dos operaciones se expresa como $I (V (J)) = \ sqrt J$ , donde $\ sqrt J$ está el radical del ideal. Si reemplazamos un alg. muchos a otro, obtenemos un ideal diferente. Si reemplazamos un ideal con otro, obtenemos otro alg. muchos

Uno de los conceptos básicos de la topología algebraica es el homomorfismo de Gurevich. Para cada espacio topológico X y k positivo, existe un grupo de homomorfismos de un grupo de homotopía k a un grupo de homología k. $h _ {*}: \ pi_k (X) \ rightarrow H_k (X)$ . Este homomorfismo tiene una propiedad especial. Si el espacio X es reemplazado por el espacio Y y $k$ reemplazado por $k '$ , entonces el homomorfismo será diferente $\ pi_ {k '} (Y) \ rightarrow H_ {k'} (Y)$ . Como en el ejemplo anterior, un caso particular de esta afirmación no importa mucho para las matemáticas. Pero si recopilamos todos los casos, obtenemos el teorema.

En estos tres ejemplos, observamos cómo cambiar la semántica de las expresiones matemáticas. Intercambiamos naranjas por manzanas, intercambiamos una idea por otra, reemplazamos un espacio topológico por otro. Lo principal en esto es que al hacer el reemplazo correcto, la afirmación matemática sigue siendo cierta. Afirmamos que esta propiedad es la propiedad principal de las matemáticas. Entonces llamaremos matemático al enunciado si podemos cambiar a qué se refiere, y el enunciado sigue siendo verdadero.

Ahora, para cada enunciado matemático, necesitaremos adjuntar un alcance. Cuando un matemático dice "por cada número entero n", "Tome el espacio de Hausdorff" o "deje que C sea un coalgebra co-asociativo, coasociativo e involutivo", determina el alcance de su declaración. Si esta afirmación es verdadera para un elemento del campo de aplicación, entonces es verdadera para todos ( siempre que este campo de aplicación esté correctamente seleccionado, aprox. Per. ).

Este reemplazo de un elemento por otro se puede describir como una de las propiedades de simetría. Lo llamamos la simetría de la semántica. Argumentamos que esta simetría es fundamental, tanto para las matemáticas como para la física. De la misma manera que los físicos formulan sus leyes, los matemáticos formulan sus enunciados matemáticos, mientras determinan en qué campo de aplicación el enunciado mantiene la simetría de la semántica (en otras palabras, dónde funciona este enunciado). Vamos más allá y decimos que una declaración matemática es una declaración que satisface la simetría de la semántica.

Si hay lógicas entre ustedes, entonces el concepto de simetría de la semántica será bastante obvio para ellos, porque una declaración lógica es verdadera si es verdadera para cada interpretación de una fórmula lógica. Aquí decimos que estera. la declaración es verdadera si es verdadera para cada elemento del ámbito.

Se podría argumentar que tal definición de matemática es demasiado amplia y que una declaración que satisfaga la simetría de la semántica es solo una declaración, no necesariamente matemática. Responderemos que, en primer lugar, las matemáticas son básicamente lo suficientemente amplias. Las matemáticas no solo hablan de números, sino de formas, declaraciones, conjuntos, categorías, microestados, macroestados, propiedades, etc. Para que todos estos objetos sean matemáticos, la definición de las matemáticas debe ser amplia. En segundo lugar, hay muchas declaraciones que no satisfacen la simetría de la semántica. "Hace frío en Nueva York en enero", "Las flores son solo rojas y verdes", "Los políticos son personas honestas". Todas estas afirmaciones no satisfacen la simetría de la semántica y, por lo tanto, no son matemáticas. Si hay un contraejemplo del alcance,esa afirmación automáticamente deja de ser matemática.

Las declaraciones matemáticas también satisfacen otras simetrías, por ejemplo, las simetrías de sintaxis. Esto significa que los mismos objetos matemáticos se pueden representar de diferentes maneras. Por ejemplo, el número 6 se puede representar como "2 * 3", o "2 + 2 + 2", o "54/9". También podemos hablar de una "curva continua de auto intersección", una "curva cerrada simple", una "curva de Jordan", y nos referiremos a lo mismo. En la práctica, los matemáticos intentan usar la sintaxis más simple (6 en lugar de 5 + 2-1).

Algunas de las propiedades simétricas de las matemáticas parecen tan obvias que no se habla en absoluto. Por ejemplo, la verdad matemática es invariante con respecto al tiempo y al espacio. Si la afirmación es cierta, entonces será cierta también mañana en otra parte del mundo. Y no importa quién lo pronuncie: la madre de Teresa o Albert Einstein, y en qué idioma.

Como las matemáticas satisfacen todos estos tipos de simetría, es fácil entender por qué nos parece que las matemáticas (como la física) son objetivas, funcionan fuera del tiempo y son independientes de las observaciones humanas. Cuando las fórmulas matemáticas comienzan a funcionar para problemas completamente diferentes, descubiertos de forma independiente, a veces en diferentes siglos, comienza a parecer que las matemáticas existen "en algún lugar". Sin embargo, la simetría de la semántica (y esto es exactamente lo que sucede) es una parte fundamental de las matemáticas que la define. En lugar de decir que hay una verdad matemática y acabamos de encontrar algunos casos, diremos que hay muchos casos de hechos matemáticos y que la mente humana los combinó, creando una declaración matemática.

¿Por qué las matemáticas son buenas para describir la física?

Bueno, ahora podemos preguntarnos por qué las matemáticas describen la física tan bien. Echemos un vistazo a 3 leyes físicas.

Nuestro primer ejemplo es la gravedad. La descripción de un fenómeno de gravedad puede verse como "En Nueva York, Brooklyn, Mine Street 5775, en el segundo piso a las 21.17: 54, vi una cuchara de doscientos gramos que cayó y golpeó el piso después de 1.38 segundos". Incluso si somos tan precisos en nuestros registros, no nos ayudarán mucho en las descripciones de todos los fenómenos de la gravedad (es decir, esto es lo que debe hacer la ley física). La única buena manera de escribir esta ley es escribirla con una declaración matemática, atribuyéndole todos los fenómenos de gravedad observados. Podemos hacer esto escribiendo la ley de Newton $F = G \ frac {m_1 m_2} {d ^ 2}$ . Al sustituir masas y distancias, obtenemos nuestro ejemplo específico de un fenómeno gravitacional.

, , - $\ frac {\ partial L} {\ partial q} = \ frac {d} {dt} \ frac {\ partial L} {\ partial q '}$ . . , . , ( , ).

, , — $PV = nRT$ . .

En cada uno de los tres ejemplos citados, las leyes físicas se expresan naturalmente solo a través de fórmulas matemáticas. Todos los fenómenos físicos que queremos describir están dentro de la expresión matemática (más precisamente, en casos particulares de esta expresión). En términos de simetrías, decimos que la simetría física de aplicabilidad es un caso especial de simetría matemática de la semántica. Más precisamente, de la simetría de aplicabilidad se deduce que podemos reemplazar un objeto con otro (de la misma clase). Entonces, la expresión matemática que describe el fenómeno debe tener la misma propiedad (es decir, su alcance debe ser al menos no menos).

En otras palabras, queremos decir que las matemáticas funcionan tan bien en la descripción de los fenómenos físicos, porque la física y las matemáticas se formaron de la misma manera. Las leyes de la física no están en el mundo platónico y no son ideas centrales en matemáticas. Tanto los físicos como los matemáticos eligen sus afirmaciones de tal manera que se adapten a muchos contextos. No hay nada extraño en esto de que las leyes abstractas de la física se originen en el lenguaje abstracto de las matemáticas. Como en el hecho de que algunas declaraciones matemáticas se formularon mucho antes de que se descubrieran las leyes correspondientes de la física, porque obedecen a las mismas simetrías.

Ahora hemos resuelto por completo el misterio de la efectividad de las matemáticas. Aunque, por supuesto, hay muchas más preguntas que no se responden. Por ejemplo, podemos preguntarnos por qué las personas generalmente tienen física y matemáticas. ¿Por qué podemos notar simetrías a nuestro alrededor? Parte de la respuesta a esta pregunta es que estar vivo significa exhibir la propiedad de la homeostasis, por lo tanto, los seres vivos deben defenderse. Cuanto mejor entiendan su entorno, mejor sobrevivirán. Los objetos no vivos, como piedras y palos, no interactúan con su entorno. Las plantas, por otro lado, giran hacia el sol y sus raíces se extienden hacia el agua. Un animal más complejo puede notar más cosas en su entorno. La gente nota muchos patrones a su alrededor. Los chimpancés o, por ejemplo, los delfines no pueden hacer esto. Los patrones de nuestros pensamientos los llamamos matemáticas.Algunos de estos patrones son patrones de fenómenos físicos que nos rodean, y llamamos a estos patrones física.

Uno puede preguntarse por qué en los fenómenos físicos en general hay algunas regularidades? ¿Por qué un experimento realizado en Moscú dará los mismos resultados si se lleva a cabo en San Petersburgo? ¿Por qué la bola lanzada caerá a la misma velocidad, a pesar de que fue lanzada en otro momento? ¿Por qué una reacción química procederá de la misma manera, incluso si diferentes personas la miran? Para responder a estas preguntas podemos recurrir al principio antrópico. Si no hubiera patrones en el universo, entonces no existiríamos. La vida aprovecha el hecho de que la naturaleza tiene algunos fenómenos predecibles. Si el universo fuera completamente al azar, o pareciera una especie de cuadro psicodélico, entonces ninguna vida, al menos una vida intelectual, podría sobrevivir. El principio antrópico, en general,No resuelve el problema. Preguntas como “¿Por qué existe el universo?”, “¿Por qué hay algo?” Y “¿Qué está pasando aquí en absoluto?” Permanecen sin respuesta.

A pesar de que no respondimos todas las preguntas, demostramos que la presencia de estructura en el universo observable se describe de forma bastante natural en el lenguaje de las matemáticas.

¿Por qué las matemáticas describen bien la realidad?

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