📑 🚕 🧜🏾 ¿Qué es el fuego y por qué arde? 👨 😅 🍰

Recientemente hice un fuego en la playa y me di cuenta de que no sabía nada sobre el fuego y cómo funciona. Por ejemplo, ¿qué determina su color? Así que estudié esta pregunta, y esto es lo que aprendí.

Fuego

El fuego es una reacción en cadena estable que involucra la combustión , que es una reacción exotérmica en la cual un agente oxidante, generalmente oxígeno, oxida el combustible, generalmente carbono, dando como resultado productos de combustión tales como dióxido de carbono, agua, calor y luz. Un ejemplo típico es la combustión de metano:

CH ₄ + 2 O ₂ → CO ₂ + 2 H ₂ O

El calor generado por la combustión se puede utilizar para alimentar la combustión en sí, y en el caso de que sea suficiente y no se requiera energía adicional para mantener la combustión, se produce un incendio. Para detener el fuego, puede retirar el combustible (apagar el quemador de la estufa), oxidante (cubrir el fuego con material especial), calentar (rociar el fuego con agua) o la reacción en sí.

Quemar, en cierto sentido, es lo opuesto a la fotosíntesis , la reacción endotérmica en la que entran la luz, el agua y el dióxido de carbono, lo que resulta en carbono.

Es tentador sugerir que la leña utiliza carbón que se encuentra en la celulosa . Sin embargo, aparentemente, algo más complejo está sucediendo . Si un árbol está expuesto al calor, se somete a una pirólisis (en contraste con la combustión, que no requiere oxígeno), que lo convierte en sustancias más combustibles, como gases, y son estas sustancias las que se encienden durante los incendios.

Si el árbol arde lo suficiente, la llama desaparecerá, pero la descomposición continuará y, en particular, el árbol continuará brillando. La combustión lenta es una combustión incompleta que, en contraste con la combustión completa, produce monóxido de carbono .

Llama

Las llamas son la parte visible del fuego. Con la combustión, se produce hollín (parte del cual es producto de una combustión incompleta y parte es pirólisis), que se calienta y produce radiación térmica . Este es uno de los mecanismos que agregan color al fuego. Además, utilizando este mecanismo, el fuego calienta sus alrededores.

La radiación térmica se produce debido al movimiento de partículas cargadas: toda una sustancia de temperatura positiva consiste en mover partículas cargadas, por lo que emite calor. Un término más común pero menos preciso es la radiación del cuerpo negro.. Esta descripción se refiere a un objeto que absorbe toda la radiación entrante. La radiación térmica a menudo se aproxima por la radiación del cuerpo negro, posiblemente multiplicada por una constante, porque tiene una propiedad útil: depende solo de la temperatura. La radiación del cuerpo negro se produce en todas las frecuencias, y al aumentar la temperatura, aumenta la radiación a altas frecuencias. La frecuencia pico es proporcional a la temperatura de acuerdo con la ley de desplazamiento de Viena .

Los objetos cotidianos emiten calor constantemente, la mayoría de los cuales está en el rango infrarrojo . Su longitud de onda es más larga que la de la luz visible; por lo tanto, no se puede ver sin cámaras especiales . El fuego es lo suficientemente brillante como para emitir luz visible, aunque tiene suficiente radiación infrarroja.

Otro mecanismo para la aparición de color en un incendio es el espectro de emisión de un objeto quemado. A diferencia de la radiación de cuerpo negro, el espectro de emisión tiene frecuencias discretas. Esto se debe al hecho de que los electrones generan fotones a ciertas frecuencias, pasando de un estado de alta energía a un estado de baja energía. Estas frecuencias se pueden usar para determinar los elementos presentes en la muestra. Una idea similar (usando un espectro de absorción ) se usa para determinar la composición de las estrellas. El espectro de emisión también es responsable del color de los fuegos artificiales y del fuego coloreado .

La forma de la llama en la Tierra depende de la gravedad. Cuando el fuego calienta el aire circundante, se produce convección: aire caliente, que contiene, entre otras cosas, ceniza caliente, se eleva y frío (que contiene oxígeno), cae, sostiene el fuego y le da forma a la llama. Con baja gravedad, por ejemplo, en una estación espacial, esto no sucede. El fuego es alimentado por la difusión de oxígeno, por lo tanto, se quema más lentamente y en forma de una esfera (ya que la combustión ocurre solo donde el fuego está en contacto con el aire que contiene oxígeno. No queda oxígeno dentro de la esfera).

Radiación de cuerpo negro

La radiación del cuerpo negro se describe mediante la fórmula de Planck relacionada con la mecánica cuántica. Históricamente, fue una de las primeras aplicaciones de la mecánica cuántica. Se puede derivar de la mecánica estadística cuántica de la siguiente manera.

Calculamos la distribución de frecuencia en un gas fotónico a una temperatura T. El hecho de que coincida con la distribución de frecuencia de los fotones emitidos por un cuerpo completamente negro de la misma temperatura se deduce de la ley de radiación de Kirchhoff. La idea es que el cuerpo negro se pueda equilibrar con un gas de fotones (ya que tienen la misma temperatura). Un gas negro es absorbido por un pulso negro, que también emite fotones, por lo que para el equilibrio es necesario que para cada frecuencia a la que el rayo negro emite radiación, lo absorba a la misma velocidad determinada por la distribución de frecuencia en el gas.

En mecánica estadística, la probabilidad de un sistema en el microestado s, si está en equilibrio térmico a una temperatura T, es proporcional a

e ^{- β E _s}

donde E _s es la energía del estado s, y β = 1 / k _B T, o beta termodinámica (T es la temperatura , k _B -Constante de Boltzmann ). Esta es la distribución de Boltzmann . Una explicación de esto se da en la publicación del blog de Terence Tao. Esto significa que la probabilidad es igual a

p _s = (1 / Z (β)) * e ^{- β E _s}

donde Z (β) es la constante normalizadora

Z (β) = ∑ _s e ^{- β E _s}

llamada función de partición . Tenga en cuenta que las probabilidades no cambian si E _{s se} cambia por ± una constante (que como resultado multiplica la función de partición por una constante). Solo las energías de los diferentes estados difieren.

La observación estándar indica que una suma estadística, hasta un factor constante, contiene la misma información que la distribución de Boltzmann, por lo que todo lo que se puede calcular en función de la distribución de Boltzmann también se puede calcular a partir de la suma estadística. Por ejemplo, los momentos de una variable aleatoria para energía se describen mediante

<E ^k > = (1 / Z) * ∑ _s E ^k_s * e ^{- β E _s} = ((-1) ^k / Z) * ∂ ^k / ∂ β ^k * Z

y, hasta la solución del problema de los momentos , esto describe la distribución de Boltzmann. En particular, la energía promedio será igual a

<E> = - ∂ / ∂β log Z

La distribución de Boltzmann se puede usar como una determinación de temperatura. Dice que, en cierto sentido, β es una cantidad más fundamental, ya que puede ser cero (lo que significa la misma probabilidad de todos los microestados; esto corresponde a "temperatura infinita") o negativo (en este caso, los microestados con altas energías son más probables; esto corresponde a " temperatura absoluta negativa ").

Para describir el estado de un gas de fotones, necesita saber algo sobre el comportamiento cuántico de los fotones. Con la cuantización estándar del campo electromagnético, el campo puede considerarse como un conjunto de oscilaciones armónicas cuánticas , cada una de las cuales oscila con diferentes frecuencias angularesω. Las energías de los estados propios de un oscilador armónico se denotan mediante un número entero no negativo n ∈ ℤ _{≥ 0} , que puede interpretarse como el número de fotones de frecuencia ω. Las energías de los estados propios (hasta una constante):

E _n = n ℏ ω

donde ℏ es la constante de Planck reducida . El hecho de que necesitamos rastrear solo la cantidad de fotones se deriva del hecho de que los fotones pertenecen a los bosones . En consecuencia, para una constante ω, la constante de normalización será

Z _ω (β) = ∑ [n = 0; ∞] e ^-nβℏω = 1 / (1 - e ^-βℏω )

Digresión: respuesta clásica incorrecta

La suposición de que n, o, de manera equivalente, la energía E _n = n ℏ ω, debe ser completa, se conoce como la hipótesis de Planck , e históricamente puede haber sido la primera cuantización (aplicada a la mecánica cuántica) en física. Sin este supuesto, utilizando osciladores armónicos clásicos, la suma anterior se convierte en una integral (donde n es proporcional al cuadrado de la amplitud), y obtenemos una constante de normalización "clásica":

Z ^cl_ω (β) = ∫ [0; ∞] e ^{- n β ℏ ω} dn = 1 / βℏω

Estas dos constantes de normalización dan predicciones muy diferentes, aunque la cuántica se aproxima a la clásica cuando βℏω → 0. En particular, la energía promedio de todos los fotones de frecuencia ω calculada a través de la constante de normalización cuántica da

<E> _ω = - d / dβ * log 1 / (1 - e- ^βℏω ) = ℏω / (e ^βℏω - 1)

Y la energía promedio calculada a través de la constante de normalización clásica será

<E> ^cl_ω = - d / dβ * log (1 / βℏω) = 1 / β = k _B T La

respuesta cuántica se aproxima a la clásica como ℏω → 0 (a bajas frecuencias), y la respuesta clásica corresponde al teorema de equidistribución niien mecánica estadística clásica, pero completamente en desacuerdo con los experimentos. Ella predice que la energía promedio de la radiación del cuerpo negro a una frecuencia ω será una constante independiente de ω, y dado que la radiación puede ocurrir a frecuencias de cualquier altura, resulta que el cuerpo negro emite una cantidad infinita de energía en cualquier frecuencia, lo que, por supuesto, no es así. Este es el llamado " desastre ultravioleta ".

A su vez, la constante de normalización cuántica predice que a bajas frecuencias (en relación con la temperatura) la respuesta clásica es aproximadamente correcta, pero a altas frecuencias la energía promedio disminuye exponencialmente, y la disminución es grande a temperaturas más bajas. Esto se debe a que a altas frecuencias y bajas temperaturas, un oscilador armónico cuántico pasa la mayor parte de su tiempo en el estado fundamental y no se mueve tan fácilmente al siguiente nivel, cuya probabilidad es exponencialmente menor. Los físicos dicen que la mayor parte de este grado de libertad (la libertad del oscilador para oscilar a una frecuencia determinada) está "congelada".

Densidad de estados y fórmula de Planck

Ahora, sabiendo lo que sucede a cierta frecuencia ω, es necesario sumar todas las frecuencias posibles. Esta parte de los cálculos es clásica y no se necesitan correcciones cuánticas.

Utilizamos la simplificación estándar de que un gas de fotones está encerrado en un volumen con un lado de longitud L con condiciones de límite periódicas (es decir, realmente será un toro plano T = ℝ ³ / L ℤ ³ ). Las frecuencias posibles se clasifican de acuerdo con las soluciones de la ecuación de ondas electromagnéticas para ondas estacionarias en el volumen con las condiciones de contorno especificadas, que, a su vez, corresponden, hasta un factor, a los valores propios del Δ laplaciano. Más precisamente, si Δ υ = λ υ, donde υ (x) es una función suave T → ℝ, entonces la solución correspondiente de la ecuación de onda electromagnéticapara una onda estacionaria será

υ (t, x) = e ^{c √λ t} υ (x)

y, por lo tanto, dado que λ suele ser negativo y, por lo tanto, √λ suele ser imaginario, la frecuencia correspondiente será

ω = c √ (-λ)

Tal frecuencia ocurre tenue V _λ veces, donde V _λ es el valor propio de λ del Laplaciano.

Simplificamos las condiciones usando un volumen con condiciones de contorno periódicas porque en este caso es muy simple anotar todas las funciones propias del Laplaciano. Si los números complejos se usan por simplicidad, se definen como

υ _k (x) = e ^{i kx}

donde k = (k ₁ , k ₂ , k ₃ ) ∈ 2 π / L * ℤ ³, La onda de vector . El valor propio correspondiente del laplaciano es

λ _k = - | k | ² = - k ²₁ - k ²₂ - k ²_{3 La}

frecuencia correspondiente es

ω _k = c | k |

y la energía correspondiente (un fotón de esta frecuencia)

E _k = ℏ ω _k = ℏ c | k |

Aquí, aproximamos la distribución de probabilidad sobre las posibles frecuencias ω _k , que, estrictamente hablando, son discretas, mediante una distribución de probabilidad continua, y calculamos la densidad de estados correspondienteg (ω). La idea es que g (ω) dω debe corresponder al número de estados disponibles con frecuencias en el rango de ω a ω + dω. Luego integramos la densidad de estados y obtenemos la constante de normalización final.

¿Por qué es razonable esta aproximación? La constante de normalización completa se puede describir como sigue. Para cada número de onda k ∈ 2 π / L * ℤ ³ existe un número n _k ∈ ℤ _{≥0 que} describe el número de fotones con dicho número de onda. El número total de fotones n = ∑ n _{k es} finito. Cada fotón agrega ω _k = ℏ c | k | a la energía , lo que implica que

Z (β) = ∏ _k Z _{ω _k} (β) = ∏ _k 1 / (1 - e^{-βℏc | k |} )

sobre todos los números de onda k, por lo tanto, su logaritmo se escribe como la suma

log Z (β) = ∑ _k log 1 / (1 - e ^{-βℏc | k |} )

y queremos aproximar esta suma por la integral. Resulta que para temperaturas razonables y grandes volúmenes, el integrando cambia muy lentamente con k, por lo que esta aproximación será muy cercana. Deja de funcionar solo a temperaturas ultrabajas, donde se produce el condensado de Bose-Einstein .

La densidad de estados se calcula de la siguiente manera. Los vectores de onda se pueden representar como puntos de red uniformes que viven en el "espacio de fase", es decir, el número de vectores de onda en una determinada región del espacio de fase es proporcional a su volumen, al menos para regiones grandes en comparación con el espacio de red de 2π / L. De hecho, el número de vectores de onda en la región del espacio de fase es V / 8π ³ , donde V = L ³ , nuestro volumen limitado.

Queda por calcular el volumen de la región de espacio de fase para todos los vectores de onda k con frecuencias ω _k = c | k | en el rango de ω a ω + dω. Esta es una carcasa esférica de espesor dω / c y radio ω / c; por lo tanto, su volumen es

2πω ² / c ³ dω

Por lo tanto, la densidad de estados para el fotón

g (ω) dω = V ω ² /2 π ² c ³ dω

De hecho, esta fórmula dos veces subestimada: hemos olvidado tomar en cuenta la polarización del fotón (o, equivalentemente, giro de fotones) que se duplica el número de estados para un número de onda dado. Densidad correcta:

g (ω) dω = V ω ² / π ² c ³ dω

El hecho de que la densidad de estados sea lineal en el volumen V no funciona solo en un toro plano. Esta es propiedad de los valores propios del laplaciano según la ley de Weil . Esto significa que el logaritmo de la constante de normalización

log Z = V / π ² c³ ∫ [0; ∞] ω ² log 1 / (1 - e ^{- βℏω} ) dω La

derivada con respecto a β proporciona la energía media del gas fotón

<E> = - ∂ / ∂β log Z = V / π ² c ³ ∫ [0; ∞] ℏω ³ / (e ^βℏω - 1) dω

Pero para nosotros el integrando es importante, dando la "densidad de energía"

E (ω) dω = Vℏ / π ² c ³ * ω ³ / (e ^βℏω - 1) dω

que describe la cantidad de energía de gas fotón que emana de fotones con frecuencias en el rango de ω a ω + dω. Como resultado, obtuvimos la forma de la fórmula de Planck, aunque debe jugar un poco con ella para convertirla en una fórmula relacionada con la radiación del cuerpo negro y no con los gases de fotones (debe dividir por V para obtener la densidad por unidad de volumen, y hacer algo más para obtener Medida de radiación).

La fórmula de Planck tiene dos limitaciones. En el caso cuando βℏω → 0, el denominador tiende a βℏω, y obtenemos

E (ω) dω ≈ V / π ² c ³ * ω ² / β dω = V k _B T ω ² / π ² c ³ dω

Esta es una variante de la ley Rayleigh - Jeans, predicciones clásicas para la radiación del cuerpo negro. Se realiza aproximadamente a bajas frecuencias, pero a altas diverge de la realidad.

En segundo lugar, como βℏω → ∞, el denominador tiende a e ^βℏω , y obtenemos

E (ω) dω ≈ V ℏ / π ² c ³ * ω ³ / e ^βℏω dω

Esta es una variante de la aproximación de Wien . Se realiza aproximadamente a altas frecuencias.

Ambas limitaciones históricamente han estado antes de la fórmula de Planck.

Ley de desplazamiento de Viena

Este tipo de fórmula de Planck es suficiente para descubrir a qué frecuencia la energía E (ω) es máxima a la temperatura T (y, por lo tanto, de qué color será el cuerpo negro a la temperatura T). Tomamos la derivada con respecto a ω y encontramos que es necesario resolver lo siguiente:

d / dω ω ³ / (e ^βℏω - 1) = 0

o que lo mismo (tomando la derivada logarítmica)

3 / ω = βℏe ^βℏω / (e ^βℏω - 1 )

Deje ζ = βℏω, luego reescribiremos la ecuación

3 = ζ e ^ζ / (e ^ζ - 1)

O

3 - ζ = 3e ^-ζ

Con esta forma de la ecuación, es fácil mostrar la existencia de una solución positiva única ζ = 2,821 ..., por lo tanto, dado que ζ = βℏω y la frecuencia máxima

ω _max = ζ / βℏ = ζ k _B / ℏ * T

Esta es la ley de desplazamiento de Wien para las frecuencias. Reescribimos usando longitudes de onda l = 2πc / ω _max

2πc / ω _max = 2πcℏ / ζ k _B T = b / T

Donde b = 2πcℏ / ζ k _B ≈ 5.100 * 10 ^-3 mK (metro-Kelvin). Este cálculo generalmente se realiza de una manera ligeramente diferente, expresando primero la densidad de energía E (ω) dω en términos de longitudes de onda, y luego obteniendo el máximo de la densidad resultante. Como dω es proporcional a dl / l ² , ω ³ cambia a ω⁵ , y ζ se reemplaza por una solución única ζ '

5 - ζ' = 5e ^{-ζ '}

que es aproximadamente igual a 4.965. Esto nos da la longitud de onda máxima

l _max = 2πcℏ / ζ 'k _B T = b' / T

donde

b '= 2πcℏ / ζ' k _B ≈ 2,898 * 10 ^-3 mK

Esta es la ley de desplazamiento de Wien para las longitudes de onda.

La temperatura de un árbol en llamas es de aproximadamente 1000 K, y si sustituimos este valor, obtenemos una longitud de onda de

2πc / ω _max = 5.100 * 10 ^-3 mK / 1000 K = 5.100 * 10 ^-6 m = 5100 nm

Y

l _max = 2.898 * 10 ^-3 mC / 1.000 K = 2,898 * 10^-6 m = 2898 nm

Para comparar, las longitudes de onda de la luz visible están en el rango de 750 nm para rojo a 380 nm para violeta. Ambos cálculos indican que la mayor parte de la radiación del árbol se produce en el rango infrarrojo, esta radiación se calienta, pero no brilla.

Pero la temperatura de la superficie del sol es de aproximadamente 5800 K, y sustituyéndola en las ecuaciones, obtenemos

2πc / ω _max = 879 nm

y

l _max = 500 nm, lo

que significa que el Sol emite mucha luz en todo el rango visible (y por lo tanto parece blanco) . En cierto sentido, este argumento funciona al revés: es posible que el espectro visible durante la evolución se haya vuelto así, porque a ciertas frecuencias el Sol emite la mayor cantidad de luz.

Y ahora un cálculo más serio. La temperatura de una explosión nuclear alcanza los 10 ⁷ K, que es comparable a la temperatura dentro del sol. Sustituyendo estos datos y obtener

= 2pc / w _max = 0,51 um

y

l _max = 0,29 um

es la longitud de onda de los rayos X . La fórmula de Planck no se detiene al máximo, por lo tanto, las explosiones nucleares emiten radiación con longitudes de onda más cortas, es decir, rayos gamma . Una explosión nuclear produce esta radiación solo debido a su temperatura; debido a su naturaleza nuclear, una explosión produce, por ejemplo, radiación de neutrones .