🤛 🧒 🎱 No es tan simple con una computadora cuántica ✌🏾 👨🏻‍🔬 😊

La computadora de D-Wave, que ella llama cuántica

Se han emprendido esfuerzos en la dirección de una computadora cuántica desde principios de los años 80 del siglo pasado, un siglo de grandes logros científicos, entre los cuales QM está en primer lugar (aunque no se habría desarrollado sin SR). La computación cuántica se basa en el concepto de entrelazamiento (enredo cuántico). Sin embargo, las opiniones predominantes y ampliamente popularizadas sobre este tema, en mi opinión, han ido demasiado lejos de lo que en realidad se sigue estrictamente de CM. El artículo aborda el paradigma de la confusión, y aquí se considera el problema de la computación cuántica. El contenido principal de este artículo son las críticas a los fundamentos científicos del sueño del Santo Grial de la era de Internet.

Sobre qubits para aquellos que no están en el tema

El concepto inicial es un qubit (bit cuántico), un portador de información elemental. Como implementación física, en principio, cualquier objeto cuántico puede tener dos estados básicos, que se denotan por

$| 0 \ rangle$ y

$| 1 \ rangle$ . Para el papel de un qubit, por ejemplo, es adecuado un fotón con una de dos polarizaciones perpendiculares o un electrón con una de las dos direcciones de giro opuestas. Desde un punto de vista matemático, los estados son vectores que pueden multiplicarse por números complejos y también sumarse. Por lo tanto, además de las condiciones básicas

$| 0 \ rangle$ y

$| 1 \ rangle$ que son similares a 0 y 1 en un bit regular, un qubit puede residir en un estado cuántico

$| x \ rangle = c_0 \ cdot | 0 \ rangle + c_1 \ cdot | 1 \ rangle \ qquad \ qquad (1)$ donde

$c_0, c_1$ - cualquier número complejo (en particular, números reales). En este caso, el estado físico del qubit no cambia si los coeficientes

$c_0, c_1$ multiplicar por el mismo número

$a \ neq 0$ . Por lo tanto el vector

$| x \ rangle$ puede normalizarse, es decir, elegir un factor

$a \ in {\ mathbb C}$ para que las nuevas probabilidades

$c_j '= ac_j$ satisfacer la condición

$| c_0 '| ^ 2 + | c_1' | ^ 2 = 1$ . Entonces el vector

$| x '\ rangle = c_0' \ cdot | 0 \ rangle + c_1 '\ cdot | 1 \ rangle$ llamado normalizado o soltero.El significado físico del estado (1), que se denomina superposición de estados básicos, es el siguiente. Si el vector

$| x \ rangle$ unidad de esencia luego números

$| c_0 | ^ 2$ y

$| c_1 | ^ 2$ dar la probabilidad de que al medir el estado del qubit se obtendrá

$| 0 \ rangle$ y

$| 1 \ rangle$ en consecuencia Después de la medición, el qubit permanecerá en ese estado base, que resultó ser medido. Solo la influencia externa puede salir de ella. Por lo tanto, podemos decir que qubit en el estado normalizado (1) con probabilidad

$| c_0 | ^ 2$ igual a 0 y con probabilidad

$| c_1 | ^ 2$ es igual a 1. Nada de esto puede suceder con un bit regular (clásico). ¡La superposición es un efecto esencialmente cuántico! El término "básico" aplicado a las condiciones

$| 0 \ rangle$ y

$| 1 \ rangle$ significa que cualquier otro estado qubit puede expresarse por su superposición en el sentido de (1) para algunos números

$c_0, c_1$ (definido hasta proporcionalidad).El registro de trabajo de una computadora cuántica se considera como un conjunto de

$n$ los qubits que de alguna manera están interconectados están enredados . Para darse cuenta de sus grandiosas posibilidades, el número

$n$ debería ser lo suficientemente grande digamos

$n> 100$ . Deje que cada número de qubit

$j$ en el registro está en su estado

$| x_j \ rangle$ donde

$x_ {j} \ in \ {0,1 \}$ . Si consideramos un conjunto de

$n$ qubits como un objeto cuántico, entonces su estado puede ser descrito por un conjunto de vectores

$| x_1 \ rangle | x_2 \ rangle ... | x_n \ rangle$ que se indica brevemente

$| x_1x_2 ... x_n \ rangle$ . El término "producto tensorial" y notación como

$| x_1 \ rangle \ otimes ... \ otimes | x_n \ rangle$ eso puede confundir a muchos lectores de artículos en computadoras cuánticas. Se les puede aconsejar que simplemente ignoren el ícono.

$\ otimes$ creyendo

$| x_1 \ rangle \ otimes | x_2 \ rangle \ otimes ... \ otimes | x_n \ rangle = | x_1x_2 ... x_n \ rangle \ qquad \ qquad (2)$ Si bien no hay confusión, solo un conjunto de qubits independientes, aunque se considera que es un solo objeto. El entrelazamiento aparecerá si introducimos en consideración la superposición de estados (2), es decir, vectores (más precisamente, tensores) de estados de registro de la forma

$\ sum_ {j = 1} ^ n c_j \ cdot | x_ {1j} x_ {2j}, ..., x_ {nj} \ rangle \ qquad \ qquad (3)$ donde

$c_j$ - números complejos

$| x_ {kj} \ rangle$ - vector de estado

$k$ - th qubit,

$x_ {kj} \ in \ {0,1 \}$ . El conjunto de todo tipo de vectores de la forma (3) se denomina producto tensorial.

$n$ espacios de estados de qubits individuales, aunque es bastante posible prescindir de la palabra "tensor" (nunca aparece en el libro fundamental de Dirac "Principios de la mecánica cuántica").Se recomienda un buen artículo para una introducción científica inicial, pero precisa y poco popular sobre este tema, y los párrafos 2, 3, 4, 5 y 7.1 son suficientes. El párrafo 6 puede omitirse sin perjuicio de la comprensión de las ideas principales. Después de leer esta introducción, será más fácil lidiar con ella, y la presentación de los fundamentos de la mecánica cuántica puede omitirse por completo.

Enredo cuántico

Por definición, el estado (3) se enreda si este vector no se puede expandir a un producto

$| A_1 \ rangle | A_2 \ rangle ... | A_n \ rangle$ vectores de estado de qubits individuales. En este caso, el efecto sobre cualquiera de los qubits puede reflejarse en los estados de algunos otros qubits del registro. Tenga en cuenta que cada vector

$| A_j \ rangle$ , en términos generales, es una superposición de los básicos, por lo que

$| A_j \ rangle = c_ {j0} | 0 \ rangle + c_ {j1} | 1 \ rangle$ para algunos números

$c_ {j0}, c_ {j1}$ .Para ilustrar, considere el caso de dos qubits. Su estado general

$| 01 \ rangle$ no confuso, como

$| 01 \ rangle = | 0 \ rangle | 1 \ rangle$ . Al medir, digamos, el segundo qubit, lo encontraremos en un estado

$| 1 \ rangle$ . El primero permanecerá en el mismo estado.

$| 0 \ rangle$ , es decir, la medida del segundo no lo afectó. Ahora deja que un par de qubits estén en un estado

$| 01 \ rangle + | 10 \ rangle$ . Es confuso porque este vector no puede representarse como un producto

$| A_1 \ rangle | A_2 \ rangle$ (fácil de verificar).Al medir el segundo qubit, tenemos la misma probabilidad

$0.5$ encontrarlo capaz

$| 0 \ rangle$ o

$| 1 \ rangle$ . Si el segundo qubit se detecta en el estado

$| 0 \ rangle$ , entonces esto significa que la pareja enredada terminó en

$| 10 \ rangle$ . En consecuencia, el primer qubit cayó automáticamente en un estado

$| 1 \ rangle$ . Si el segundo qubit se mide en el estado

$| 1 \ rangle$ entonces la pareja terminó en

$| 01 \ rangle$ . En consecuencia, el primer qubit fue capaz de

$| 0 \ rangle$ En el momento en que medimos el segundo. Por lo tanto, medir el estado de uno de los dos qubits enredados afecta instantáneamente el estado del segundo. En este caso, se destruye el estado general inicial de un par de qubits, que se llama dramáticamente colapso de la función de onda (el término "función de onda" puede considerarse un sinónimo de "vector de estado", aunque todavía existe una diferencia formal entre ellos).Un ejemplo de qubits enredados son los electrones de un átomo o un orbital, considerados en estados de espín. El principio de Pauli prohíbe que dos electrones tengan un nivel de energía común, orbital y momento de giro. Suponga que para un electrón era posible medir el espín, y antes estaba en una superposición de estados de espín. Luego, el segundo electrón en el mismo orbital adquiere inmediatamente un giro opuesto al suyo, aunque antes también estaba en superposición. ¡Incluso si el segundo electrón no se vio afectado al medir el primer electrón! imagen

La figura ilustra la medición de un qubit en un registro cuántico de 6 qubit

Sobre la mariposa sacudiendo la galaxia

Todo esto realmente se desprende de la mecánica cuántica, pero ... cualquier modelo matemático tiene una aplicabilidad limitada. Obviamente, para la aplicabilidad de QM, los qubits deben estar realmente interconectados dentro de un único sistema cuántico. Es difícil dar una declaración estricta, aunque intuitivamente todo está claro.Suponga que los qubits son fotones en estados polarizados. Obviamente, como un sistema cuántico único, deberían formar parte de un único campo conectado, que permanece así en el proceso de su distribución. Si cada uno de los fotones está en un paquete de ondas separado y están separados entre sí en el espacio (por ejemplo, entre paquetes de ~ 1 m con paquetes de tamaños de ~ 1 mm), entonces apenas vale la pena hablar de su complejidad real.Podemos considerar formalmente vectores de estados generales de la forma (3), pero esto no confundirá a nuestros fotones. Los vectores físicos a 'priori corresponden solo a vectores de la forma (2), que expresan el hecho de que cada fotón está en su estado de polarización "personal", sin ninguna conexión con los demás. De la mecánica cuántica no se deduce que las superposiciones (3) de tales "estados generales" estén relacionadas con la realidad física. Esta es una pregunta sobre la aplicabilidad del modelo matemático, al cual no responderá.Sin embargo, los entusiastas de la magia cuántica esencialmente creen que cualquier conjunto de objetos cuánticos homogéneos, formalmente combinados en algo completo, forma automáticamente un sistema cuántico con un espacio de estado que consiste en vectores de la forma (3). Como hay estados confusos entre estos, estos objetos pueden ser confusos. Solo necesita descubrir cómo ... o dónde obtenerlo ya es confuso. La dogmatización de esta idea, aparentemente, fue facilitada en gran medida por los matemáticos con su inclinación por las construcciones formales. ¡La computación cuántica es un campo enorme para aplicar esfuerzos matemáticos, en el que crecen resultados hermosos como el algoritmo Shore! Al mismo tiempo, todos se refieren a KM como una base supuestamente confiable para su fe.Volvamos al ejemplo con un par de qubits en un estado confuso.

$| 01 \ rangle + | 10 \ rangle$ . Suponga que están separados entre sí a una distancia tal que excluye la interacción física (directamente y a través de otros cuerpos). Los defensores de la magia cuántica creen que si la expansión se produce por inercia sin influencia externa, este estado enredado seguirá siéndolo independientemente de la distancia entre los qubits. Formalmente, nada nos impide pensar eso, pero lo que realmente sucede después de medir el primer qubit y encontrarlo en un estado

$| 1 \ rangle$ por ejemplo Según el paradigma mágico, un par de qubits podrán

$| 10 \ rangle$ . Pero esto significaría que al medir el primer qubit, automáticamente influimos en el segundo. ¡Incluso si él está del otro lado de la galaxia! Lo absurdo de tal conclusión no molesta a la comunidad científica, que acepta los milagros de EPR, como supuestamente se deriva formalmente de la mecánica cuántica.Es más razonable suponer que la medición del primer qubit no afecta al segundo, sino que solo destruye su estado conjunto sin consecuencias para el segundo qubit. Permanecerá en un estado individual.

$| 0 \ rangle + | 1 \ rangle$ que estaba originalmente en Aceptando este punto de vista, simplemente debemos aclarar el concepto de medir un sistema compuesto. A saber: su medición (que es capaz de provocar un salto al estado propio de la cantidad medida) es solo la interacción con un objeto macroscópico que afecta a todos los subsistemas, la combinación de la cual se obtiene este sistema.Por lo tanto, las conclusiones absurdas de la pseudo-paradoja del EPR que componen la magia cuántica nos obligan a aclarar el concepto de perturbación. Pero en cambio, le dan un significado absoluto, como si el aleteo del ala de una mariposa se considerara una perturbación del Universo ... aunque desde un punto de vista filosófico lo es. Por supuesto, estas consideraciones no refutan el paradigma EPR. La medida de la verdad es solo un experimento. Los experimentos fundamentales de Alan Aspe son criticados en términos de mecánica cuántica. Hay razones serias para creer que fueron mal interpretados.El enredo mágico es necesario para controlar qubits. Es obvio que una persona podrá interactuar con qubits individuales en el registro a través de objetos enredados en pares con ellos, separados espacialmente entre sí o separando qubits a distancias macroscópicas mientras mantienen el enredo entre ellos. De lo contrario, la lectura / escritura de datos en registros cuánticos es casi imposible. Independientemente de la cuestión de la realidad física del enredo en el sentido de EPR, la teoría de las computadoras cuánticas tiene sus propias dificultades. Considere el problema específico de la computación cuántica, que muchos expertos conocen, pero en general no atrae la atención adecuada. Se asocia con la simetría / antisimetría de los estados articulares de partículas idénticas. imagen

Producto de teletransportación humana fallida (captura de pantalla de la película "Fly")

Teletransportación cuántica

El EPR se basa en la idea de teletransportación, es decir, un método para transferir el estado de qubits a otros qubits ubicados a cualquier distancia. Puede leer sobre esta tecnología en el párrafo 4.2.2 del artículo , al que me referiré, indicando solo los párrafos. La descripción del algoritmo sigue exactamente la cláusula 4.1.Una pequeña digresión. La teoría de la computación cuántica parte de la hipótesis de que cualquier transformación unitaria del espacio de estado de un registro cuántico puede realizarse físicamente a través de la acción en sus qubits (todos juntos o por separado). La definición de una transformación unitaria se da en la Sección 4 (Puertas Cuánticas). La condición de unitaridad subyace a la mecánica cuántica. En la computación cuántica, tales transformaciones se llaman compuertas cuánticas (compuerta), lo que indica una conexión con los circuitos. En esencia, estos son circuitos lógicos reversibles que convierten datos en registros, solo que actúan en qubits, no en bits. Pero algunas puertas cuánticas no tienen análogos clásicos, por ejemplo, la transformada de Hadamard de 1 qubit

$H$ (párrafo 4.1.1).Por ejemplo, una válvula

$C_ {no}$ NO CONTROLADO actúa sobre un par de qubits, como el clásico

$C_ {no}$ por un par de bits También cuántica

$C_ {no}$ mantiene superposiciones de estado, es decir:

$C_ {not} \ bigl (c_ {00} | 00 \ rangle + c_ {01} | 01 \ rangle + c_ {10} | 10 \ rangle + c_ {11} | 11 \ rangle \ bigr) = c_ {00 } | 00 \ rangle + c_ {01} | 01 \ rangle + c_ {10} | 11 \ rangle + c_ {11} | 10 \ rangle)$ De vuelta a la teletransportación. Deje que Alice y el lejano Bob tengan un qubit de un par enredado en condiciones generales

$| \ psi_0 \ rangle = | 00 \ rangle + | 11 \ rangle$ . Alice quiere teletransportar a Bob a otro qubit que está en estado

$| \ varphi \ rangle = a | 0 \ rangle + b | 1 \ rangle$ . El estado del conjunto de estos qubits puede especificarse mediante un vector

$| xyz \ rangle$ sujeto a la teletransportación, el segundo y el tercero son un intrincado par de qubits de Alice y Bob, respectivamente. Alice aplica una válvula a un vector (4)

$C_ {no} \ otimes I$ y luego

$H \ otimes I \ otimes I$ donde

$I$ - transformación de identidad. De hecho, ella actúa

$C_ {no}$ en los primeros dos qubits que están disponibles para ella, y el tercero permanece sin cambios. Luego aplica la válvula al primer qubit

$H$ , mientras que los otros dos no se tocan.Luego, Alice mide los primeros dos qubits, que están en uno de los estados

$| xy \ rangle$ donde

$x, y \ in \ {0,1 \}$ . En consecuencia, el qubit Bob enredado con ellos entra en uno de los cuatro estados indicados en la tabla al final de la Sección 4.2.2. Alice envía el par de bits recibidos durante la medición a Bob a través de una conexión a Internet estándar. Dependiendo de los valores obtenidos, aplica una de las válvulas a su qubit

$I, x, y, z$ de acuerdo con la tabla al final de la cláusula 4.2.2. Acción

$X, Y, Z$ descrito al comienzo de la cláusula 4.1.Como resultado de todas estas manipulaciones, el qubit de Bob entra en un estado

$a | 0 \ rangle + b | 1 \ rangle$ el qubit que Alice quería teletransportarse. En este caso, el estado de este último colapsó, porque La clonación del estado es imposible (probado). Por lo tanto, hubo una transferencia del estado de qubit, y la información necesaria para esto se transmitió de la manera habitual.¿Puede esto llamarse teletransportación? Incluso si fuera posible transferir el estado cuántico de un objeto macroscópico, reproducirlo en otro lugar requeriría un objeto físicamente idéntico. Primero, este "espacio en blanco" debe colocarse en el lugar de llegada. Por lo tanto, las fantasías sobre teletransportaciones, como una forma de superar distancias monstruosas e interestelares, no tienen fundamento. Además, para una persona que se ha sometido a tal "transporte cero", simplemente significaría la muerte. Una copia de la persona original que surgió en el lugar de llegada sería una persona diferente, aunque con el mismo conjunto de recuerdos (ver la película "Luna 2112" y el artículo ). En cualquier caso, la restricción de movimientos por la velocidad de la luz sigue siendo válida, porque El método de teletransportación cuántica implica la transmisión de información a través de señales.Aparentemente, incluso el estado de un qubit no puede teletransportarse. La razón es que es casi imposible crear un par de qubits enredados alejados entre sí. Sin embargo, suponga que es posible.Según la mecánica cuántica, las partículas se dividen en dos clases: bosones y fermiones. Los primeros incluyen fotones, y los segundos son electrones. Si un conjunto de

$n$ Como un bosón forma un único objeto cuántico, los vectores de estado (3) admisibles para él deben ser simétricos con respecto a cualquier permutación de partículas. Esto significa que si en cada término

$| x_ {1j} x_ {2j} ... x_ {nj} \ rangle$ reorganizar los factores de la misma manera, entonces el vector (3) no debería cambiar. Para un conjunto de

$n$ los estados permisibles de fermiones (3) deben ser antisimétricos con respecto a cualquier permutaciones. Esto significa que si los factores se reorganizan de la misma manera en cada término, entonces, para una permutación pareja, el vector (3) no cambiará, pero para la permutación impar, cambiará de signo. Es la diferencia de comportamiento al reorganizar conjuntos de partículas idénticas lo que los divide en bosones y fermiones.Por lo tanto, un par de qubits enredados, que son bosones, pueden estar en estados

$| 00 \ rangle$ ,

$| 11 \ rangle$ ,

$| 01 \ rangle + | 10 \ rangle$ pero no puede ser capaz de

$| 10 \ rangle$ porque cuando se transpone, entra en

$| 01 \ rangle$ . Un par de qubits que son fermiones no pueden estar en estados

$| 00 \ rangle$ y

$| 11 \ rangle$ porque con transposición (permutación impar) no cambian. Un par de fermiones puede estar en un estado (confuso)

$| 01 \ rangle- | 10 \ rangle$ porque cuando se transpone, entra en

$| 10 \ rangle- | 01 \ rangle = - (| 01 \ rangle- | 10 \ rangle)$ (es decir, cambia de signo).La transformación CONTROLLED-NOT no conserva la simetría y la antisimetría de los estados:

$C_ {no} (| 11 \ rangle) = | 10 \ rangle$ - la imagen de un vector simétrico no es simétrica ni antisimétrica;

$C_ {not} (| 10 \ rangle- | 01 \ rangle) = | 11 \ rangle- | 01 \ rangle$ - la imagen del vector antisimétrico no es simétrica ni antisimétrica.Entonces aplicando la transformación

$C_ {no}$ a un par de bosones enredados obtenemos un estado en el que este par no puede estar. Del mismo modo, aplicando

$C_ {no}$ para un par de fermiones enredados obtenemos un estado en el que no pueden estar juntos. Por lo tanto, cualquier intento de implementación física

$C_ {no}$ hará que el estado de los dos qubits de Alice deje de enredarse, y un solo sistema cuántico degenerará en un par de qubits independientes con un estado común

$| x \ rangle | y \ rangle$ .El vector (4), que sirve como el estado inicial del triple de qubits, no es simétrico ni antisimétrico. Esto también se aplica al resultado de las manipulaciones en él (véase la cláusula 4.2.2). Por lo tanto, este triple de qubits no puede estar enredado, porque No puede formar un único sistema cuántico de tres bosones o tres fermiones. Sin embargo, el algoritmo supone que el primer par de qubits se confunde con el tercero. Como el segundo y el tercer qubits están enredados, los primeros dos qubits deben enredarse entre ellos (hasta que Alice mida sus qubits). Pero, como se muestra arriba, la conversión

$C_ {no}$ destruirá esta conexión.Por lo tanto, este algoritmo de teletransportación no se puede implementar utilizando qubits físicamente idénticos, es decir, qubits indistinguibles. Y en el caso de varias partículas cuánticas, el mecanismo de enredo no funciona. De hecho, la condición

$| x \ rangle | y \ rangle + | y \ rangle | x \ rangle$ no tiene sentido, porque si

$| x \ rangle$ es el vector de estado de la primera partícula, entonces no puede ser el segundo estado, de manera similar

$| y \ rangle$ . ¡No puedes intercambiar estos factores! Además, para varias partículas, la teletransportación en general pierde su significado (es imposible copiar el estado de un protón en un neutrón)Aparentemente, las consideraciones de simetría / antisimetría se pueden usar para demostrar la imposibilidad de teletransportar el estado qubit mediante otros algoritmos.¿Pero qué pasa con los experimentos exitosos de teletransportación de un qubit, que se analizan en la sección 4.2.2? El primero de estos experimentos se describe en el artículo . De la anotación se puede ver que este experimento no fue teletransportador en el sentido discutido anteriormente. Se alega que hubo una medición de la polarización de uno de un par de fotones enredados y distantes. Resultó que (como predice EPR) el segundo fotón tenía la misma polarización. Los autores llamaron a este resultado teletransportación. ¡Tal libertad para manipular términos de ciencia ficción introduce una buena cantidad de confusión!Pero, ¿fue este tipo de experimento confirmado el fenómeno del enredo de partículas mutuamente distantes, que es la base de la magia cuántica? Déjame decir que no! Los experimentos con fotones enredados fueron interpretados erróneamente. En todos estos experimentos, de hecho, se registraron los hechos del "enredo" de los fotones consigo mismos. Este tema se discute en detalle en el artículo . imagen

Computación cuántica

Si los fermiones se usan como qubits, por ejemplo, electrones en estados de espín, entonces con el número de qubits

$n \ geq 3$ cualquier vector de estado de registro es cero. Esto se desprende de la declaración general: cualquier multivector es igual a cero en el espacio cuya dimensión es menor que su rango. Se puede verificar fácilmente directamente intentando componer un estado antisimétrico a partir de vectores de la forma

$| 000 \ rangle, | 001 \ rangle, \ ldots, | 111 \ rangle$ . ¡Nada saldrá de eso! No confunda el vector de estado cero del registro, que no corresponde a ningún estado físico, con el vector de estado en el que todos los qubits tienen un valor de 0.Por lo tanto, los fermiones no son adecuados para registros cuánticos de más de dos qubits. En la práctica, esto significa que las computadoras cuánticas solo se pueden crear en la "base elemental" de los bosones . Por ejemplo, fotones o partículas alfa, aunque para este último no está claro qué considerar como estados

$| 0 \ rangle$ y

$| 1 \ rangle$ .Sin embargo, como es costumbre describir las computadoras cuánticas, ¡no son factibles con qubits bosones!Se sabe que cualquier conversión de código binario se puede realizar a través de una composición de puertas de Fredkin.

$F$ y toffoli

$T$ (párrafo 5.1) Es fácil verificar que la puerta cuántica

$T$ destruye la simetría de los estados:

$T (| 111 \ rangle) = | 110 \ rangle$ . Valvula

$F$ actúa sobre vectores simétricos como una transformación de identidad. De hecho:

$F (| 111 \ rangle) = | 111 \ rangle$

$\ quad F (| 000 \ rangle) = | 000 \ rangle$ Es fácil entender que cualquier vector de estado simétrico de tres qubits es una combinación lineal de vectores en los lados izquierdos de estas ecuaciones. En consecuencia, la válvula Fredkin no cambia los estados simétricos. Por lo tanto, cualquier secuencia de transformaciones

$F$ y

$T$ aplicado a qubits triples en los bits correspondientes de los registros de datos destruirá los estados entrelazados de tales triples o los dejará sin cambios. Por lo tanto, la computación cuántica implementada por una secuencia de puertas

$F$ y

$T$ físicamente impracticable De consideraciones similares (violación de la simetría del estado general de los qubits) se deduce que casi todos los cálculos cuánticos son imposibles .

La computadora de Dios

Supongamos que necesita calcular alguna función

$f (x)$ que para todo el argumento con

$n$ los bits binarios toman un valor entero con

$k$ dígitos binarios Para hacer esto, necesita un registro de

$n$ qubits para escribir valores de argumentos y mayúsculas y minúsculas

$k$ qubits para registrar valores de funciones. Variable

$x$ puede ser igual

$0, 1, \ ldots, 2 ^ n-1$ . Cada uno de estos valores corresponde a un vector de estado del primer registro correspondiente a los estados de qubits

$| 0 \ rangle$ o

$| 1 \ rangle$ que están determinados por los dígitos binarios de un número

$x$ . Dichos estados de registro se denotarán

$| x \ rangle$ por ejemplo

$x = 01 \ ldots 01$ .Antes de comenzar los cálculos, se inicia el siguiente estado (normalizado) del primer registro:

$\ frac {1} {\ sqrt {2 ^ n}} \ cdot \ sum_ {x = 0} ^ {2 ^ n-1} | x \ rangle \ qquad \ qquad (5)$ Para que esto diga

$| 00 \ ldots 0 \ rangle$ Se aplica la transformación de Walsh-Hadamard (Sección 4.1.1). Al medir valores qubit en estado (5) con probabilidad

$P = 2 ^ {- n}$ puede obtener cualquier número entero de

$ en línea $ 0 $ en línea $ antes

$2 ^ n-1$ . Entonces el segundo registro se establece en

$| 0 \ ldots 0 \ rangle$ entonces el sistema de dos registros puede

$2 ^ {- n / 2} \ cdot \ sum_ {x = 0} ^ {2 ^ n-1} | x, 0 \ rangle$ . En general, no es confuso. Se cree que este estado se volverá confuso después de aplicar una conversión unitaria a un par de registros

$U_f$ definido por la función

$f (x)$ (vea el último párrafo en la página 27 del artículo extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2015/07/RIFFEL.pdf , al que me refiero constantemente). Resulta el siguiente estado de este par:

$\ frac {1} {\ sqrt {2 ^ n}} \ cdot \ sum_ {x = 0} ^ {2 ^ n-1} | x, f (x) \ rangle \ qquad \ qquad (6)$ Como puede ver, una aplicación de la válvula

$U_f$ fue suficiente para calcular los valores

$f (x)$ para todos los valores

$x = 0, 1, \ ldots, 2 ^ n-1$ al mismo tiempoEste es el paralelismo natural de la computación cuántica. Con un número de qubits de trabajo del primer registro de varios cientos, el número

$2 ^ n$ será gigantesco, por lo que este paralelismo no está disponible fundamentalmente en las supercomputadoras convencionales. ¡La computadora de Dios es una comparación bastante adecuada! Sin embargo, al leer los resultados del segundo registro con probabilidad

$P = 2 ^ {- n}$ puede obtener cualquiera de los valores

$f (x)$ . Para resolver este problema, se propone el algoritmo de Grover, que también sufre una violación de la simetría (ver más abajo).La viabilidad física de tal computación paralela parece dudosa, basada en consideraciones de simetría. Como se muestra arriba, solo los bosones pueden actuar como qubits. Por lo tanto, los vectores de sus estados entrelazados deben ser simétricos, es decir, no cambiar bajo ninguna permutaciones. Sin embargo, está claro que el vector (6) no es simétrico: la transposición de qubits del primer y segundo registro puede cambiarlo.Entonces, después de aplicar la transformación

$U_f$ El estado general de un par de registros no es confuso. Por lo tanto, al medir el segundo registro para obtener el resultado de los cálculos, obtenemos un cierto número

$f (x_0)$ , pero no podremos determinar qué valor

$x = x_0$ coincide El hecho es que el estado (6) es físicamente imposible debido a la ruptura de la simetría, por lo tanto, el vector

$| x_0, f (x_0) \ rangle$ - uno de los términos del vector (6) no se puede obtener al medir registros. imagen

Una supercomputadora no se puede comparar con una cuántica, solo que la última difícilmente se puede hacer en principio.

Algoritmo de Grover

Entonces, el paralelismo cuántico en el cálculo de funciones arbitrarias no puede realizarse físicamente. Pero supongamos que para alguna función

$f (x)$ logramos hacer esto y obtuvimos un par de registros en estado general (6). ¿Cómo obtener acceso a los resultados del cálculo si todos los estados en la superposición (6) son igualmente probables? Simplemente midiendo el estado de los registros obtenemos un par aleatorio de números binarios

$x, f (x)$ . En este caso, los registros podrán

$| x \ rangle | f (x) \ rangle$ , y todos los demás resultados de cálculo se perderán irremediablemente (aquí está: ¡el colapso de la función de onda!). Para resolver este problema, a Grover se le ocurrió un algoritmo hermoso (Sección 7.1).Digamos que queremos saber el significado

$f (x_0)$ por un muy definido

$x = x_0$ . Es necesario agregar un qubit más a los registros para escribir los valores de la función lógica

$P (x)$ , que por definición es igual a 1 para

$f (x) = f (x_0)$ e igual a 0 para

$f (x) \ neq f (x_0)$ . Luego al vector

$\ frac {1} {\ sqrt {2 ^ n}} \ cdot \ sum_ {x = 0} ^ {2 ^ n-1} | x, f (x), P (x) \ rangle \ qquad \ qquad (7)$ se usa la válvula, invirtiendo los signos de los coeficientes

$a_x$ para todos los vectores

$| x, f (x), P (x) \ rangle$ en la suma (7) para la cual

$P (x) = 1$ (párrafo 7.1.2). Inicialmente todos

$a_x = 1 / \ sqrt {2 ^ n}$ .Al vector (7) cambiado de esta manera, se aplica la transformación de inversión de todos los coeficientes.

$a_x$ en relación a su promedio

$A$ . Se describe en la cláusula 7.1.1, y la suma debe mantenerse hasta

$N-1 = 2 ^ n-1$ donde

$n$ - el número de qubits en el primer registro. Inversión de números

$a_x$ relativo a la media significa una reflexión simétrica de los puntos correspondientes relativos al punto

$A$ en el plano complejo Como resultado de estas ingeniosas acciones, los coeficientes frente a los vectores de la forma

$| x, f (x), 1 \ rangle$ en suma (7) aumentará en valor absoluto en comparación con los coeficientes frente a los vectores de la forma

$| x, f (x), 0 \ rangle$ .Después de repetir los pasos descritos del algoritmo de Grover

$\ pi \ sqrt {2 ^ n} / 4$ veces (¡ya no es posible!), amplitudes de probabilidad (es decir, coeficientes

$a_x$ ) para estados

$| x, f (x), 1 \ rangle$ será mucho más grande que para los estados

$| x, f (x), 0 \ rangle$ . Esto significa que medir el segundo registro es más probable que dé un número

$f (x_0)$ , y el código binario en el primer registro será igual a algún número

$x = \ widetilde x$ para que

$f (x_0) = f (\ widetilde x)$ (tal vez

$\ widetilde x = x_0$ ) Por lo tanto, se obtendrá el valor de función deseado

$f (x)$ a las

$x = x_0$ .Si la medición aún no da un número

$f (x_0)$ , entonces todo el proceso, incluida la computación cuántica, debe repetirse hasta obtener el resultado deseado. Como no se conoce de antemano, en cualquier caso, deberá repetirlo varias veces y luego elegir entre los números obtenidos.

$f (x)$ El número que ocurre con más frecuencia. Debido a la alta probabilidad del evento.

$P (x) = 1$ no habrá demasiadas repeticiones de este tipo. Para que pueda obtener el valor

$f (x_0)$ para cualquier

$x_0 = 0, 1, \ ldots, 2 ^ n-1$ .El método descrito para aumentar las amplitudes de probabilidad.

$a_x$ a la vista de los estados

$\ sum_ {x = 0} ^ {2 ^ n-1} a (x) \ cdot | x, f (x), P (x) \ rangle \ qquad \ qquad (8)$ también sufre una violación de la simetría de los estados de qubits enredados. De hecho, si algún término

$| x_0, f (x_0), 1 \ rangle$ incluido en (8) con el coeficiente

$a_ {x_0}$ , excediendo significativamente en valor absoluto los coeficientes para los vectores de la forma

$| x, f (x), 0 \ rangle$ , entonces dicho vector (8) no será simétrico (antisimétrico).En consecuencia, el algoritmo de Grover no puede implementarse físicamente en registros cuyos qubits son bosones (fermiones) indistinguibles. Tampoco se puede usar para una búsqueda desordenada de registros en un archivo, excepto en algunos casos especiales.

Emulación usando espacios Fock

El problema con la simetría de los estados es conocido, pero la mayoría de los expertos obviamente no piensan en ello. Como solución, se propone la emulación de registros cuánticos utilizando cadenas de fermiones (redes fermiónicas) o, en otras palabras, espacios de Fock.Esta idea es la siguiente.Mayo dado

$n$ estados

$|\psi_1\rangle,\ldots,|\psi_n\rangle$ No puede aceptar ningún fermión ni otros estados. Entonces el estado

$|x_1x_2\ldots x_n\rangle$ Se propone un registro cuántico virtual para emular un conjunto de

$k$ tales fermiones donde

$k$ - número de unidades en código binario

$x_1x_2\ldots x_n$ . En este caso, los fermiones se encuentran en un estado antisimétrico general correspondiente a los estados ocupados.

$|\psi_{j_1}\rangle,\ldots,|\psi_{j_k}\rangle$ donde

$j_1,\ldots,j_k$ - números de dígitos del registro, en el que hay unidades. En consecuencia, las combinaciones lineales de la forma (3) de los estados del registro virtual son emuladas por las mismas combinaciones lineales de los estados correspondientes de las cadenas de fermiones.La elección de fermiones en lugar de bosones se debe al hecho de que no hay dos fermiones en este sistema que puedan estar en el mismo estado

$|\psi_j\rangle$ .De lo contrario, tal emulación sería imposible. Por lo tanto, todos los estados posibles del registro cuántico corresponden al espacio Fock de los estados de fermión en los que el número de partículas varía de

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