Los matemáticos arrojan luz sobre una hipótesis minimalista

En esta tableta, originaria de Babilonia, hecha alrededor de 1800 a. C., se enumeran los triples pitagóricos: enteros a, byc, que satisfacen la ecuación polinómica a ² + b ² = c ² . Hasta el día de hoy, la búsqueda de soluciones racionales y enteras de ecuaciones polinómicas sigue siendo un problema grave para los matemáticos.

En el siglo V aC El matemático griego hizo un descubrimiento que sacudió los fundamentos de las matemáticas y, según la leyenda, le costó la vida. Los historiadores creen que se trataba de Hippasus de Metapont , y pertenecía a la escuela de matemáticas de Pitágoras, cuyo dogma principal era que cualquier fenómeno físico puede expresarse como números enteros y sus relaciones (lo que llamamos números racionales). Pero esta suposición se vino abajo cuando, según los historiadores, Gippas consideró las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, que debería satisfacer el teorema de Pitágoras, la famosa relación a ² + b ² = c ² . Se dice que Gippas demostró que con la misma longitud de las patas de un triángulo expresado por un número racional, su hipotenusa no puede expresarse por un número racional.

Según una versión de la historia, Gippas hizo este descubrimiento mientras estaba en el mar, y sus colegas, sorprendidos por este descubrimiento, lo arrojaron por la borda.

Los matemáticos modernos ya no se sienten avergonzados, como los antiguos griegos, por los números irracionales (y en general descubrieron que hay más números irracionales que los racionales). Pero el amor de los pitagóricos por las soluciones racionales de ecuaciones continúa alimentando a los matemáticos con información. Subraya la teoría de números, la rama teórica tradicional de las matemáticas, que, en nuestra era digital, inesperadamente ha encontrado muchas aplicaciones.

Ahora dos jóvenes matemáticos han avanzado a la vanguardia de la ciencia en su estudio de soluciones racionales de ecuaciones cúbicas. Las ecuaciones polinómicas en las que las variables están en algunos grados, como y = 3x ³ + 4 o x ² + y ² = 1, se encuentran entre los objetos fundamentales estudiados por los matemáticos y se utilizan en diversas aplicaciones prácticas, así como en ramas de las matemáticas. .

Universo polinomial

Es fácil ver que una ecuación polinómica en la cual el grado de las variables no excede 1, como y = 3x + 4, tiene un número infinito de soluciones racionales. Cualquier valor racional de x da un valor racional de y, y viceversa.

Se sabe desde hace mil años cómo encontrar soluciones racionales para polinomios con grado 2, como x ² + y ² = 1 o y = 3x ³ + 2x - 7. Es posible que no tengan ninguna solución o que tengan infinitas soluciones. Los gráficos de tales curvas son secciones cónicas: círculos, parábolas, elipses e hipérbolas. Si un punto racional P está en la tabla, entonces hay una manera hermosa de encontrar todos los otros puntos racionales. Solo necesita tomar todas las líneas que pasan por P con una pendiente racional, y calcular la segunda intersección de esta línea con la sección cónica.

En 1983, Gerd Faltings, quien ahora ocupa el cargo de director del Instituto de Matemáticas. Max Planck en Bonn, descubrió ecuaciones polinómicas con grados superiores a 3. Mostró que la mayoría de ellas solo pueden tener muchas soluciones racionales. Y quedaban ecuaciones cúbicas, tercos desviadores del universo de polinomios.

Las ecuaciones cúbicas resistieron los esfuerzos de los matemáticos para clasificar sus soluciones. Los intentos de clasificar soluciones racionales de ecuaciones cúbicas (más precisamente, una familia de ecuaciones cúbicas conocidas como curvas elípticas, ya que son ellas, con la excepción de varias otras, que pueden tener soluciones racionales) han sido llevadas a cabo por todos los grandes especialistas en teoría de números, a partir del matemático francés del siglo XVII Pierre Fermat. dice Benedict Gross de la Universidad de Harvard.

Las ecuaciones cúbicas elípticas pueden tener un número cero, finito o infinito de soluciones. Hasta ahora, los matemáticos solo han podido adivinar con qué frecuencia surgen estas opciones.

Las curvas elípticas tienen una capacidad inexplicable de surgir en lugares inesperados, tanto en matemática teórica como aplicada. Su comprensión se convirtió en un elemento clave en la prueba del teorema de Fermat de 1995 , aunque parece que las curvas elípticas no están relacionadas con su formulación. Las operaciones que utilizan curvas elípticas se han convertido en componentes centrales de muchos protocolos criptográficos que codifican números de tarjetas bancarias en transacciones en línea. Las soluciones racionales de las curvas elípticas están en el centro de varios problemas geométricos del estilo pitagórico, por ejemplo, la búsqueda de triángulos rectangulares con longitudes racionales de lados y al mismo tiempo área racional.

"Estimulación inteligente, excelente estructura, aplicaciones prácticas: todas estas son curvas elípticas", dice Manjul Bhargava de la Universidad de Princeton.

Bargawa tiene 38 años, su colega Arul Shankar tiene 26 años, trabajan en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton y ya han dado uno de los pasos más importantes en las últimas décadas para comprender las soluciones racionales de las curvas elípticas.

En su trabajo, no existe una receta para encontrar soluciones racionales a una curva elíptica particular; en cambio, explica cuáles son los escenarios más probables para decisiones racionales si la curva se elige al azar.

Los descubrimientos de Bargava y Shankar "comienzan a arrojar luz sobre una gran área de nuestra ignorancia", dijo Gross. "Después de su trabajo, el mundo entero se ve diferente".

Seguridad elíptica

Si tomamos dos puntos racionales en una curva elíptica, entonces la línea que los atraviesa casi siempre se cruza con la curva en otro punto, también con coordenadas racionales. Es muy simple usar dos puntos racionales diferentes para generar el tercero, pero es muy difícil hacer lo contrario: tome un punto racional y encuentre otros dos puntos racionales que lo generarían. Esta propiedad hace que las curvas elípticas sean útiles para la criptografía: la seguridad criptográfica se basa en operaciones que son fáciles de realizar en una dirección y difíciles en otra.

"Las curvas elípticas están involucradas en muchas cosas sorprendentes", dijo Peter Sarnak de la Universidad de Princeton. "Son lo suficientemente complejos como para llevar una gran cantidad de información, pero lo suficientemente simples como para un estudio en profundidad".

Paseo divertido

Encontrar soluciones racionales de una curva elíptica se reduce a encontrar puntos en su gráfico en el plano xy, de modo que sus coordenadas x e y sean números racionales. Y a menudo es bastante difícil de hacer. Pero si encuentra varios puntos racionales, es posible generar más utilizando procedimientos simples, descubiertos por primera vez hace dos milenios por el matemático alejandrino Diophantus. Por ejemplo, si dibuja una línea a través de dos puntos racionales, generalmente intersecta la curva exactamente en un punto, también racional.

Este proceso es "una estructura muy compleja, hay algo especial en las ecuaciones cúbicas que les da profundidad", dijo Bargava.

En 1922, Louis Mordell demostró algo sorprendente. Para cualquier curva elíptica, incluso teniendo infinitos puntos racionales, puede generar todos los puntos racionales, comenzando con un pequeño número de ellos y luego conectándolos. Si el número de puntos racionales en una curva elíptica es infinito, el número mínimo de puntos necesarios para generarlos se llama rango de la curva. Cuando el número de estos puntos es finito, el rango de la curva es 0.



Décadas de matemáticas han reflexionado sobre una hipótesis minimalista que estima el rango de las curvas elípticas, con evidencia mixta. La hipótesis dice que estadísticamente, aproximadamente la mitad de las curvas elípticas tienen un rango de 0 (es decir, tienen un número finito de puntos racionales o cero), y la otra mitad tiene 1 (es decir, su número infinito de puntos racionales puede generarse a partir de uno ) Según esta hipótesis, el número de todos los demás casos es muy pequeño. Esto no significa que no haya excepciones, o incluso que haya un número finito de ellas, pero si tomamos colecciones cada vez más grandes de curvas elípticas, entonces las curvas que caen en otras categorías serán cada vez menos porcentaje, y su número tenderá a 0% .

Esta suposición fue formulada por primera vez en 1979 por Dorian Goldfeld de la Universidad de Columbia, refiriéndose a una clase particular de curvas elípticas. "Durante mucho tiempo ha sido el folklore", dice Barry Mazur de la Universidad de Harvard.

Una hipótesis parcialmente minimalista está respaldada por la creencia generalizada de que las curvas elípticas no deberían tener demasiados puntos racionales. De hecho, una minoría está en la recta numérica de los números racionales.

"Los puntos racionales de las curvas elípticas son perlas aleatorias de matemáticas, y es muy difícil imaginar que haya demasiados accidentes tan preciosos", escribieron Mazur y sus tres coautores en 2007 para la revista Bulletin of the American Mathematical Society .

A primera vista, esto sugiere que la mayoría de las curvas elípticas deben tener un rango de 0. Pero muchos matemáticos creen en la hipótesis de paridad, que supone que las curvas elípticas con rangos pares e impares se encuentran entre 50 y 50. Si combina la hipótesis de paridad con una rareza de puntos racionales, entonces obtenemos una hipótesis minimalista: dividir 50 por 50 entre los rangos más bajos posibles, 0 y 1.

En apoyo de la hipótesis minimalista, los datos experimentales también dicen que es realmente difícil para las curvas elípticas tener altos rangos. Los especialistas en curvas elípticas usaron computadoras para buscar curvas de alto rango. El récord actual se establece en alrededor de 28, pero hay muy pocas curvas y sus coeficientes son gigantes.

Pero otras estimaciones no son tan inspiradoras. Los matemáticos han calculado los rangos de cientos de miles de curvas elípticas, y hasta ahora el 20% de todas las curvas tienen un rango de 2. Para un porcentaje pequeño pero no muy pequeño de curvas, el rango es 3. Según la hipótesis minimalista, su porcentaje debería tender a cero si se tienen en cuenta todas las curvas elípticas. "Aparentemente, los datos se oponen a la suposición", dijo Mazur.

Por lo general, cuando los datos no corresponden a la hipótesis, se descartarán correctamente. Pero muchos matemáticos se aferran a la hipótesis minimalista. Aunque las computadoras han reelaborado muchos ejemplos, los matemáticos señalan que estos cálculos son solo la punta del iceberg. "También puede suceder que hasta que demostremos las hipótesis, ningún dato recopilado por nosotros, incluso en cantidades muy sólidas, tranquilizará a los teóricos", escribió Mazur con sus colegas.

También agregaron que una parte bastante grande de las curvas elípticas calculadas con un rango de más de 1 es similar a la materia oscura en física. “Esta gran masa de puntos racionales está claramente ahí. No tenemos dudas sobre esto. Solo dudamos de cómo dar una explicación satisfactoria del hecho de que están allí ”.

Debido al conflicto de datos y teoría, escriben, durante décadas la hipótesis minimalista "fue rechazada o dada por supuesta".

Nuevos métodos

Hasta hace poco, Manjul Bargava, la estrella emergente del mundo matemático, estaba en el campo de los escépticos. Una de las revistas Popular Science lo ubicó entre los "diez mejores genios" en 2002, y al año siguiente a los 28 años, se convirtió en una de las personas más jóvenes en recibir el título de profesor en la Universidad de Princeton. Sus colegas admiran no solo sus logros matemáticos, sino también su disposición amable y creativa.


Manjul Bargava a los 38 años

"Manjul es un tipo muy inusual", dijo Gross. "Él ve las cosas de una manera diferente a la mayoría de las personas, y en eso consiste su genio".

Bargawa, especialista en teoría de números, se interesó en el claro contraste entre los datos calculados y la hipótesis minimalista. "Esto sugiere que algo interesante está sucediendo allí", dijo. "Fui a mi colega, Peter Sarnak, y le pregunté:" ¿Cómo puedes creer en esta suposición? ", Recuerda Bargava. "Para mí, parecía divertido".

Pero Sarnak creía que los datos como resultado comenzarán a inclinarse en la dirección opuesta, cuando será posible calcular curvas elípticas con coeficientes mucho más grandes. "Tenía mucha confianza en esta hipótesis", dijo Bargava.

Bargawa decidió de una forma u otra descubrir algo específico sobre la hipótesis. "Ha llegado el momento de probar algo", dice. Comenzó a estudiar conjuntos de algoritmos que calculan las filas de curvas elípticas, originando el procedimiento introducido por Fermat en el siglo XVII. Esta es una familia de algoritmos llamados algoritmos de descenso: para cada número entero mayor que 2 existe un algoritmo, trabajaron de manera experta y encontraron curvas elípticas con puntos racionales. Pero a pesar de los numerosos intentos, nadie pudo demostrar que estos algoritmos siempre funcionarán.

Bargawa decidió probar un enfoque diferente. "Tuve la idea de probar el algoritmo de descenso para todas las curvas elípticas al mismo tiempo, y luego demostrar que en la mayoría de los casos funcionará", dijo Bargava. De hecho, para estudiar la hipótesis minimalista no es necesario saber cómo se ve cada curva elíptica; es suficiente saber qué tipo de lucha están buscando.

Tal enfoque incluía el trabajo en el campo de la geometría numérica, dedicado a contar nodos de celosía en varias figuras (el nodo de celosía es un punto con coordenadas enteras). En las formas más simples, como un círculo o un cuadrado, el número de nodos de la red corresponde aproximadamente al área de la figura. Pero la tarea de Bargawa se refería a figuras más complejas, y cuando una figura tiene características complicadas, como tentáculos, puede tener muchos más o menos nodos reticulados de lo que predice su área.


Arul Shankar a los 26

Antes de embarcarse en tales formas, Bargava estableció una tarea similar pero simple para Arul Shankar, su estudiante graduado. A menudo, los estudiantes de posgrado luchan con las tareas de las disertaciones durante años, pero Shankar trajo la solución en solo tres meses. Por lo tanto, dice Bargava, "le pregunté si le gustaría unirse a mí".

Bargava y Shankar han desarrollado un conjunto de nuevas técnicas cuya importancia probablemente vaya más allá de la tarea original que están resolviendo, dice Mazur. "La geometría de los números siempre ha sido un método profundo y poderoso, y ahora han aumentado seriamente su poder". Agregó que el genio de su técnica "abre nuevas posibilidades en la teoría de números".

Estas nuevas técnicas "afectarán la teoría de números por muchos años más", concuerda Gross.

Patrón claro

Si la hipótesis minimalista es cierta, entonces el rango promedio de las curvas elípticas debería ser ½, pero antes del trabajo de Bargava y Sankar, los matemáticos ni siquiera podían probar que el valor promedio sería finito. Usando un algoritmo de descenso de 2 órdenes, Bargava y Shankar pudieron demostrar que el rango promedio para todas las curvas elípticas no excede 1.5. Utilizando las órdenes 3, 4 y 5 para algunas curvas que no se procesaron en el paso anterior, pudieron bajar la barra superior a 0,88.

Y aunque existe una brecha entre este valor y el promedio predicho por la hipótesis minimalista, el descubrimiento de Bargava y Shankar representa un salto adelante. "Este es solo el primer paso, pero ya es muy grande", dice Sarnak. "Es genial ver cómo dos jóvenes están avanzando activamente".

Además, habiendo demostrado que el rango promedio es menor que 1, Bargava y Shankar demostraron que una parte bastante grande de curvas elípticas, al menos 12%, tiene un rango de 0 (ya que de lo contrario el promedio sería más alto). Utilizaron esto para mostrar que la misma parte de las curvas satisface la famosa hipótesis de Birch-Swinnerton-Dyer , la vieja cuestión de las curvas elípticas, por la cual el Instituto de Matemáticas Clay recibió una recompensa de un millón de dólares .

En una conferencia de Bargawa en el Clay Institute, uno de los oyentes preguntó en broma si Bargava y Shankaru ahora dependen del 12% del premio en un millón. "Los representantes del instituto estuvieron en la conferencia e inmediatamente dijeron que no, que no deberían", dijo Bargava con tristeza.

Los descubrimientos de Bargava y Shankar alarmaron a los especialistas en teoría de números, muchos de los cuales no esperaban avances en el campo de rango medio. "Me preguntas un mes antes de que Manjul me contara sobre su trabajo", dice Gross, "te respondería que no tiene remedio". Ahora, dijo, la hipótesis minimalista parece cada vez más prometedora. "Apostaría dinero a ella".

Una de las formas posibles, que probablemente requerirá una infusión de nuevas ideas, como dicen los matemáticos, es tratar de usar algoritmos para reducir los pedidos superiores a 5 para refinar aún más los límites del rango medio. "Con el uso de descensos de las órdenes 2, 3, 4 y 5 hubo un patrón claro, y lo más probable es que continúe", dijo Bargava.

Bargava no se considera el único propietario de los derechos de esta idea, y espera que su trabajo inspire a los jóvenes matemáticos a seguir investigando en el campo de los puntos racionales de las curvas elípticas. "La hipótesis minimalista no es un fin en sí misma", dice. - Cada vez que abres la puerta, resulta que necesitas abrir muchas más puertas. Cuanta más gente haga esto, más puertas podremos abrir ”.