Experiencias de matemática trascendental o folklore matemático.

El 16 de marzo a las 19:00 en la tienda Bukvoed (San Petersburgo, Ligovsky pr., 10), se llevará a cabo una conferencia interactiva como parte del proyecto "La ciencia no es harina" para el Día Mundial del Pi: "Experimentos en matemáticas trascendentales o folklore matemático ".

No tenga miedo si ya ha olvidado cuál es el logaritmo y cómo calcular la integral, no lo necesitará. El conocimiento necesario para la conferencia es el sentido común y la lógica elemental.

A menudo puedes escuchar que las matemáticas son inimaginablemente aburridas y demasiado abstractas. Intentaremos demostrar lo contrario con numerosos ejemplos de folklore matemático, y el punto de partida de nuestra reunión será el libro de Eduard Frenkel "Amor y Matemáticas". El corazón de la realidad oculta " . El libro del famoso científico intenta disipar el mito de que las matemáticas son una ciencia aburrida. De la conferencia aprenderá por qué todos los caballos son del mismo color, por qué la luna está hecha de queso y cómo atrapar una mosca en el otro lado de la luna.

Su guía en laberintos matemáticos complejos será Vitaly Filippovsky, matemático, estudiante graduado de ITMO, matemático líder y programador Emoji Apps.

A continuación le ofrecemos familiarizarse con el exquisito extracto de baile del libro de Frenkel.

En el otoño de 1990, me convertí en un estudiante graduado en Harvard. Esto era necesario para cambiar la posición de un profesor visitante a algo más permanente. Joseph Bernstein acordó convertirse en mi supervisor oficial. Para ese entonces, había acumulado suficiente material para mi disertación, y Arthur Jaffe persuadió al decano de la facultad como una excepción para permitirme reducir el término de estudios de posgrado (que generalmente toma 4 o 5 años, y en cualquier caso al menos 2 años, de acuerdo con las reglas) a uno años, para poder defenderme en un año. Gracias a esto, mi "degradación" de profesor a estudiante de posgrado duró bastante.

Mi tesis doctoral fue sobre un nuevo proyecto que acabo de completar. Todo comenzó con una discusión con Drinfeld del programa Langlands en la primavera de ese año. Aquí hay un ejemplo de una de nuestras conversaciones, diseñada como un guión.

ACCION 1
ESCENA 1
OFICINA DE DRINFELD EN HARVARD

Drinfeld pasea por la habitación a lo largo de la pared en la que cuelga una pizarra.
Edward, sentado en una silla, toma notas (en la mesa junto a él hay una taza de té).

Drinfeld
Entonces, la hipótesis Simura - Taniyama - Weil abre una conexión entre ecuaciones cúbicas y formas modulares, pero Langlands fue aún más lejos. Predijo la existencia de una correspondencia más general, en la que el papel de las formas modulares es desempeñado por las representaciones automorfas del grupo Lie.

Edward
¿Qué es una representación automórfica?

Drinfeld (después de una larga pausa)
La definición exacta no nos importa ahora. En cualquier caso, puedes encontrarlo en el libro de texto. Es importante para nosotros que esta sea una representación del grupo de Lie G, por ejemplo, el grupo SO (3) de rotaciones de una esfera.

Edward
Bueno ¿Y con qué están conectadas estas representaciones automorfas?

Drinfeld
Este es el más interesante. Langlands predijo que deberían
estar conectado con representaciones de un grupo de Galois en otro grupo de Lie.

Edward
Ya veo ¿Quieres decir que este grupo de Lie no es el mismo grupo G?

Drinfeld
No! Este es otro grupo de Lee llamado el grupo dual Langlands para G. Drinfeld escribe el símbolo LG en la pizarra.

Edward
¿La letra L en honor a Langlands?

Drinfeld (con una leve sonrisa)
Inicialmente, Langlands fue impulsado por un deseo de comprender objetos llamados funciones L, porque llamó a este grupo un grupo L ...

Edward
Es decir, para cada grupo de Lie G hay otro grupo de Lie llamado LG, ¿verdad?

Drinfeld
Si Y ella está presente según Langlands, que esquemáticamente se ve así. Drinfeld dibuja un diagrama en una pizarra



Edward
No entiendo ... al menos por ahora. Pero déjenme hacer una pregunta más simple: ¿cómo será, por ejemplo, el grupo dual de Langlands para SO (3)?

Drinfeld
Es bastante simple: doble cobertura SO (3). ¿Has visto el truco con la copa?

Edward
Centrarse con una taza? Oh si, lo recuerdo ...

ESCENA 2
Harvard Graduate Home Party

Una docena de estudiantes, más de un poco más de veinte, hablan, beben cerveza y vino. Edward habla con un estudiante graduado.

Estudiante graduado
Aquí te explicamos cómo hacerlo.
Una estudiante graduada toma una copa de vino de plástico y la coloca en la palma abierta de su mano derecha. Entonces ella comienza a girar su palma, girando su mano como en una secuencia de fotografías.
(abajo) Ella hace una revolución completa (360 grados), y su brazo está al revés. Aún sosteniendo la copa en posición vertical, continúa girando, y después
otro turno completo: ¡sorpresa! - su mano y su copa vuelven a su posición normal original.

Otro estudiante graduado
Escuché que en Filipinas hay un baile tradicional con vino en el que realizan este truco con ambas manos. Toma dos vasos de cerveza e intenta girar ambas palmas.
al mismo tiempo Pero no puede seguir sus manos, e inmediatamente derrama cerveza de ambos. Todos se están riendo.

ESCENA 3
LA OFICINA DE DRINFELD OTRA VEZ

Drinfeld
Este enfoque ilustra el hecho de que en el grupo SO (3) hay un camino cerrado no trivial, cuyo doble paso, sin embargo, nos da un camino trivial.

Edward
Oh, lo entiendo La primera rotación completa de la copa gira la mano en un ángulo inusual: este es el análogo del camino no trivial hacia SO (3). Toma una taza de té de la mesa y hace la primera parte del enfoque.

Edward
Parece que el segundo turno debería hacerte girar la mano aún más, pero en cambio la mano vuelve a su posición normal. Edward completa el movimiento.

Drinfeld
Derecho

Edward
Pero, ¿qué es común entre esto y el grupo dual de Langlands?

Drinfeld
El grupo dual de Langlands para SO (3) es la doble cubierta de SO (3), así que ...


Edward
Entonces, cada elemento del grupo SO (3) corresponde a dos elementos del grupo dual Langlands.

Drinfeld
Es por eso que en este nuevo grupo ya no hay caminos cerrados no triviales.

Edward
Es decir, ¿la transición al grupo dual Langlands es una forma de deshacerse de esa dislocación?

Drinfeld
Derecho A primera vista parece que la diferencia es mínima, pero en realidad las consecuencias son más que significativas. Esto, por ejemplo, explica la diferencia en el comportamiento de los componentes básicos de la materia, como los electrones y quarks, y las partículas que transportan
interacciones entre ellos, como los fotones. Para grupos de Lie más generales, la diferencia entre el grupo en sí y su grupo dual de Langlands es aún más fuerte. De hecho, en muchos casos ni siquiera hay una conexión visible entre dos grupos duales.

Edward
¿Por qué el grupo dual generalmente apareció de acuerdo con Langlands? Algún tipo de magia ...

Drinfeld
Esto es desconocido

La dualidad de Langlands establece una relación de pareja entre los grupos de Lie: para cada grupo de Lie G hay un grupo de Lie Langlands dual LG, y un grupo dual
para LG es G.9 en sí. El hecho de que el programa Langlands conecte objetos de dos tipos diferentes (uno de teoría de números y el segundo de análisis armónico) es sorprendente en sí mismo, pero el hecho de que dos grupos duales, G y LG, estén presentes en diferentes partes de esta correspondencia: ¡es simplemente incomprensible para la mente!

Hablamos sobre cómo el programa Langlands conecta diferentes continentes en el mundo de las matemáticas. Continuemos con la analogía: que sea Europa y América del Norte y que haya un camino
emparejar a cada persona en Europa con una persona de América del Norte y viceversa. Además, suponga que esta correspondencia implica la combinación perfecta de varios atributos, como el peso, la estatura y la edad, con una excepción: cada hombre está asociado con una mujer y viceversa. Esta situación es un análogo de reemplazar un grupo de Lie por su grupo dual,
según las predicciones predichas por el programa Langlands.

De hecho, este reemplazo es uno de los aspectos más misteriosos del programa Langlands. Conocemos varios mecanismos que describen cómo aparecen los grupos duales, pero nosotros
Todavía no entiendo por qué esto está sucediendo. Esta ignorancia fue una de las razones por las cuales los científicos están tratando de extender las ideas del programa Langlands a otras áreas de las matemáticas (a través de la piedra de la riqueza de Rosetta) e incluso a la física cuántica, como veremos en el próximo capítulo. Tratamos de encontrar más ejemplos del fenómeno del dualismo de Langlands con la esperanza de que esto nos dé pistas adicionales de por qué surgen y qué significa.

Centremos nuestra atención en la columna de la derecha de la piedra de Rosetta Weil, dedicada a las superficies de Riemann. Como establecimos en el capítulo anterior, en la versión de la correspondencia de Langlands que es relevante para esta columna, los actores son "paquetes automórficos". Desempeñan el papel de funciones automorfas (o representaciones automorfas) asociadas con el grupo G de Lie. Resulta que estas poleas automorfas "viven" en un cierto espacio unido a la superficie X de Riemann y al grupo G, que se llama el espacio de módulo de los paquetes G en X. Nosotros por el momento no importa lo que sea. 10 En la parte opuesta de la correspondencia, como vimos en el capítulo 9, el grupo fundamental de una determinada superficie de Riemann desempeña el papel de los grupos de Galois. Del diagrama anterior, se deduce que la correspondencia geométrica de Langlands debería verse esquemáticamente de la siguiente manera:


Esto significa que deberíamos poder asignar un fajo automorfo a cada representación del grupo fundamental en LG. Y Drinfeld tuvo una idea radicalmente nueva sobre cómo hacer esto.

ACCION 2
ESCENA 1
OFICINA DE DRINFELD EN HARVARD

Drinfeld
Entonces, necesitamos encontrar un método para construir estos paquetes automórficos. Y me parece que las representaciones de las álgebras Katz - Moody podrían ayudarnos.

Edward
Por qué

Drinfeld
Ahora estamos en el mundo de las superficies Riemann. Tal superficie puede tener un borde que consiste en bucles.

Drinfeld dibuja una imagen en la pizarra.



Drinfeld
Por medio de bucles, las superficies de Riemann se pueden asociar con grupos de bucles y, por lo tanto, con álgebras de Kac - Moody. Y esta conexión nos da la oportunidad de transformar ideas
Kac - Álgebras cambiantes en roldanas en el espacio de módulos de haces G en nuestra superficie de Riemann. No entremos en detalles por ahora. Como espero, esquemáticamente esto
debería verse así.

Drinfeld dibuja un diagrama en la pizarra.



Drinfeld
La segunda flecha es clara para mí. La pregunta principal es cómo construir la primera flecha. Feigin me contó sobre su trabajo en representaciones de álgebras Kac - Moody. Creo que solo debe aplicarse aquí.

Edward
Pero entonces las representaciones del álgebra de Katz - Moody para G deben de alguna manera ser "conocidas" sobre el grupo dual de Langlands LG.

Drinfeld
Eso es correcto

Edward
¿Pero cómo es esto posible?

Drinfeld
Y esta es una pregunta que debes responder.

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