Entendemos la física de partículas: 2) una bola cuántica en un resorte

1. Bola sobre un resorte, versión newtoniana
2. Una bola cuántica en un resorte.
3. Olas, aspecto clásico
4. Ondas, la ecuación clásica del movimiento.
5. Ondas cuánticas
6. Campos
7. Las partículas son quanta
8. Cómo interactúan las partículas con los campos.

El resultado clave del artículo anterior fue que el movimiento oscilatorio de una pelota sobre un resorte en la física pre-cuántica de Newton y sus amigos toma la forma

$$

$$z (t) = z_0 + A cos [2 \ pi \ nu t]$$

Donde:
• z es la posición de la pelota en función del tiempo t,
• z ₀ es la posición de equilibrio de la pelota (donde descansaría si no hubiera fluctuado),
• A - amplitud de vibración (que podemos elegir arbitrariamente grande o pequeña),
• ν [desnudo]: frecuencia de vibración (dependiendo solo de la fuerza del resorte K y la masa de la bola M, y no dependiendo de A).

Además, la energía total almacenada en la oscilación es

$$

$$E = 2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 M$$

Al cambiar A, podemos mantener cualquier cantidad de energía en la oscilación.

En mecánica cuántica, todo cambia. A primera vista (y no necesitamos nada más), solo una cosa cambia: la afirmación de que podemos elegir la amplitud de las oscilaciones tan grandes o pequeñas como queramos. Resulta que esto no es así. En consecuencia, la energía almacenada en la oscilación no puede seleccionarse arbitrariamente.


Fig. 1

Cuantización de la amplitud de oscilación

Max Planck, el famoso físico de principios del siglo XX, descubrió que hay algo cuántico en el Universo e introdujo una nueva constante de la naturaleza, que se llama constante de Planck, h. Cada vez que encuentres algo en mecánica cuántica, verás h. Cuantitativamente

$$

$$h = 6.626068 \ veces 10 ^ {- 34} m ^ 2 kg / s$$

- Un valor muy pequeño para la vida humana ordinaria. Y aquí está lo que sale:

Una bola cuántica en un resorte puede oscilar solo con amplitudes

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {2 n h / \ nu M}$$

Donde n es un número entero, por ejemplo, 0, 1, 2, 1798 o 2,348,979. Las oscilaciones no son arbitrarias, sino cuantificadas: podemos llamar a n el cuanto de oscilaciones. Definición: decimos que una bola que oscila con quantum n está en el enésimo estado excitado. Si el cuanto es cero, decimos que está en el estado fundamental.

Para hacerle entender lo que esto significa, se muestran los primeros cinco estados excitados, y el estado fundamental (bastante ingenuamente, no tome la imagen demasiado en serio) en la Fig. 1. La oscilación más pequeña posible ocurre en el estado n = 1. Este es un cuanto de vibraciones; No hay fracción de un cuanto. Una bola no puede oscilar menos, a menos que esté en un estado sin oscilaciones, cuando n = 0.

Todo lo demás, a primera vista, es igual. ¡Pero en realidad la historia de la mecánica cuántica es mucho más complicada! Pero por ahora, podemos alejarnos de esta confusión y usar una física casi 100% correcta.

¿Por qué no podemos decir que las oscilaciones se cuantifican según nuestra experiencia? Porque en los sistemas cotidianos, la cuantización es demasiado pequeña. Tome una pelota real y un resorte; por ejemplo, una pelota pesa 50 gramos y su frecuencia de oscilación es de una vez por segundo. Entonces la amplitud para un cuanto, n = 1, corresponderá a la amplitud

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {2 n h / \ nu M} = 1.8 \ veces 10 ^ {- 16} m$$

¡Esto es un par de decenas de milésimas de una millonésima de una millonésima de metro, o 10 veces menos que un protón! ¡Una cantidad cuántica de vibraciones ni siquiera moverá la bola una distancia del orden del tamaño del núcleo atómico! ¡No es de extrañar que no veamos cuantización! Si la pelota se mueve a una distancia visible, contiene una gran cantidad de cuantos, y para una n tan grande, desde nuestro punto de vista, podemos hacer cualquier A, ver Fig. 2. No podemos medir A con la precisión suficiente para notar limitaciones tan sutiles en su magnitud.


Fig. 2. La amplitud de las oscilaciones A para el estado n. Para n pequeña, los valores individuales de A están lejos uno del otro, pero ya para n = 100 los valores permitidos de A están tan cerca que la discreción ya es muy difícil de notar. En situaciones cotidianas, los valores de n son tan grandes que es imposible notar la discreción.

Tenga en cuenta que, en particular, dichos valores se obtienen debido a la gran masa de la pelota. Si la bola consistiera en 100 átomos de hierro y tuviera un radio de una milésima de una millonésima parte de un metro, su amplitud mínima sería una millonésima parte de un metro, es decir, sería mil veces su radio. Y este es un valor suficientemente grande que puede verse a través de un microscopio. Pero una bola tan pequeña estaría expuesta a fuerzas que operan a escala atómica y oscilaría mucho más rápido que una vez por segundo, y una gran frecuencia corresponde a pequeñas amplitudes. Entonces, incluso con una pelota pequeña, es bastante difícil notar la cuantización de la naturaleza.

Cuantización de la energía vibracional.

Ahora tome la cuantización de la amplitud y colóquela en la fórmula para la energía vibratoria, que ya mencionamos al principio del artículo, $$$E = 2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 M$. Al sustituir los valores permitidos para A, obtenemos un resultado sorprendente:

$$

$$E = n h \ nu$$

Increíblemente simple respuesta! La energía almacenada en una bola cuántica en un resorte (ingenuamente hablando) es proporcional a n, el número de cuantos de vibración, la constante de Planck h y la frecuencia de vibración ν. Aún más sorprendente, ¡esta fórmula simple es en realidad casi precisa! ¿Qué muestra ella bien?

• La energía necesaria para aumentar el número de cuantos en oscilaciones por unidad (n → n + 1) es igual a h ν.
• En cualquier oscilador encontrado en la vida cotidiana, la energía de un cuanto será tan pequeña que nunca sabremos acerca de su cuantización.

Compruébalo Para una pelota con un resorte, que oscila una vez por segundo, un cuanto de energía será igual a 6.6 × 10 ^-34 J, o 0,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 66 julios. Y el Joule es la energía que gastas levantando una manzana desde el suelo hasta el nivel del cinturón, ¡no tan grande! Entonces esta es una cantidad increíblemente pequeña de energía. Solo en moléculas pequeñas e incluso en sistemas más pequeños la frecuencia de vibración puede ser tan grande que se pueda detectar la cuantificación de energía.

Resulta que la fórmula de la energía no es del todo cierto. Después de completar estos cálculos para la mecánica cuántica, encontrará que la fórmula correcta para la energía es:

$$

$$E = (n + 1/2) h \ nu$$

A menudo no tenemos que prestar atención a este pequeño cambio de n por 1/2. Sin embargo, es muy interesante: es de él que comienza todo el enredo de la mecánica cuántica. ¿No es curioso? Incluso si el oscilador no tiene cuantos de oscilación en absoluto, cuando n = 0, todavía contiene una pequeña cantidad de energía. Se llama energía de cero vibraciones, o energía cero, y se toma del temblor básico, la imprevisibilidad básica, que vive en el corazón de la mecánica cuántica. Mira la foto. 3, que, inevitablemente de forma esquemática e imprecisa, intenta demostrar cómo la fluctuación de fase es responsable de la energía cero. La pelota se mueve al azar, incluso en el estado fundamental. En el futuro, volveremos a la energía cero, ya que nos llevará a los problemas más profundos de toda la física.


Fig. 3. La imprevisibilidad fundamental de la mecánica cuántica se puede imaginar como un jitter aleatorio que cambia la posición de la pelota. Se mueve aleatoriamente incluso en el estado fundamental, y también afecta a los excitados, aunque con el aumento de n su influencia ya no es tan notable. El dibujo es incompleto y no se debe tomar demasiado en serio.