Comprensión de la física de partículas: 5) ondas cuánticas

1. Bola sobre un resorte, versión newtoniana
2. Una bola cuántica en un resorte.
3. Olas, aspecto clásico
4. Ondas, la ecuación clásica del movimiento.
5. Ondas cuánticas
6. Campos
7. Las partículas son quanta
8. Cómo interactúan las partículas con los campos.

Recordatorio: bola cuántica en primavera

En el primer artículo de la serie, estudiamos una bola de masa M en un resorte de rigidez K, y descubrimos que sus oscilaciones:

• Habrá una fórmula $$$z (t) = z_0 + A cos [2 \ pi \ nu t]$.
• energía $$$E = 2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 M$.
• La ecuación de movimiento. $$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - K / M (z - z_0)$

Donde la ecuación de movimiento fuerza ν = √ K / M / 2π, pero permite que la amplitud A sea de cualquier valor positivo. Luego, en el segundo artículo, vimos que la mecánica cuántica, aplicable a las oscilaciones, limita su amplitud: ya no puede ser ninguna. En cambio, se cuantifica; debe tomar uno de un número infinito de cantidades discretas.

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {2 n h} / \ nu M$$

Donde n = 0, 1, 2, 3 o 44, o en general cualquier número entero es mayor o igual a cero. En particular, A puede ser igual $$$(1/2 \ pi) \ sqrt {2 h} / \ nu M$, pero no puede ser menos, solo cero. Decimos que n es el número de cuantos de oscilaciones de la pelota. La energía de la pelota ahora también se cuantifica:

$$

$$E = (n + 1/2) h \ nu$$

Lo más importante aquí es que para agregar un cuanto de oscilaciones de la pelota, se requiere una energía de magnitud hν; podemos decir que cada cuanto transfiere energía hν.

Onda cuántica

Con las olas, todo es esencialmente lo mismo. Para una onda con una frecuencia ν y una longitud de onda λ que oscila con la amplitud A alrededor de la posición de equilibrio Z ₀ ,

• Ecuación de movimiento: $$$Z (x, t) = Z_0 + A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])$.
• Energía por longitud de onda: $$$2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 J_ \ lambda$.

(donde J _λ es una constante dependiendo de, digamos, una cuerda si estamos hablando de ondas en una cuerda), varias ecuaciones de movimiento posibles, de las cuales elegiremos dos para estudiar:

$$

$$Clase 0: d ^ 2Z / dt ^ 2 - cw ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = 0$$

$$

$$Clase 1: d ^ 2Z / dt ^ 2 - cw ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = - (2 \ pi \ mu) ^ 2 (Z - Z_0)$$

Y nuevamente, la mecánica cuántica limita la amplitud A a valores discretos. Al igual que para las vibraciones en un resorte,

• Una onda simple de cierta frecuencia y longitud consiste en n cuantos,
• Los valores permitidos de la amplitud A son proporcionales a √n,
• Los valores de energía permitidos E son proporcionales a (n + 1/2).

Más precisamente, en cuanto a una pelota en un resorte,

• Valores de energía permitidos E = (n + 1/2) h ν
• Cada onda cuántica transfiere energía del valor h ν

La fórmula para expresar A es bastante complicada, porque necesitamos saber cuánto dura la onda y la fórmula exacta será demasiado confusa, así que escribamos una fórmula que transmita la idea correcta. Obtuvimos la mayoría de las fórmulas al estudiar ondas infinitas, pero para cualquier onda real en la naturaleza, la duración es finita. Si la longitud de onda es aproximadamente igual a L, y tiene crestas L / λ, entonces la amplitud es aproximadamente igual

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {\ frac {2 n h \ lambda} {\ nu L J_ \ lambda}}$$

Que es proporcional $$$\ sqrt {n h / \ nu}$como en el caso de un resorte, pero depende de L. Cuanto más larga es la onda, menor es su amplitud, de modo que para cada cuanto de onda la energía es siempre igual a hν.

Eso es todo: se muestra en la figura a continuación.


A la izquierda hay una imagen ingenua de ondas, donde la amplitud es proporcional a la raíz cuadrada del número de cuantos y no pueden existir otras amplitudes. A la derecha hay una imagen un poco menos ingenua que tiene en cuenta las vibraciones cuánticas inherentes al mundo cuántico. Incluso en el caso n = 0, existen algunas oscilaciones.

Consecuencia

¿Qué significa esto para nuestras olas de clase 0 y clase 1?

Como las ondas de clase 0 pueden ser de cualquier frecuencia, pueden tener cualquier energía. Incluso para un pequeño valor de ε, siempre se puede hacer un cuanto de una onda de clase 0 con una frecuencia ν = ε / h. Para una energía tan pequeña, esta onda cuántica tendrá una frecuencia muy baja y una longitud de onda muy larga, pero puede existir.

Las ondas que satisfacen una ecuación de Clase 1 no lo son. Dado que para ellos hay una frecuencia mínima ν _min = μ, para ellos también hay un cuanto de energía mínima:

$$

$$E_ {min} = h \ nu_ {min} = h \ mu$$

Si su pequeña cantidad de energía ε es menor que esto, no se puede hacer un cuanto de dicha onda. Para todos los cuantos de onda de clase 1 con longitud de onda finita y frecuencia más alta, E ≥ h μ.

Resumen

Antes de comenzar a tener en cuenta la mecánica cuántica, la amplitud de las ondas, como la amplitud de una bola en un resorte, puede cambiar continuamente; pueden hacerse arbitrariamente grandes o pequeños. Pero la mecánica cuántica implica la existencia de una amplitud mínima de onda distinta de cero, como en el caso de las oscilaciones de bola en un resorte. Y, por lo general, la amplitud solo puede tomar valores discretos. Las amplitudes permitidas son tales que tanto para las oscilaciones de la pelota en el resorte como para las ondas de cualquier clase con una cierta frecuencia ν

• Para agregar una vibración cuántica, se requiere la energía h ν
• Para oscilaciones de n quanta, la energía de oscilación será igual a (n + 1/2) h ν

Ahora es el momento de aplicar el conocimiento adquirido a los campos y ver cuándo y cómo las ondas de onda en estos campos pueden interpretarse como lo que llamamos las "partículas" de la naturaleza.