Cómo funciona el campo de Higgs: 4) por qué es necesario el campo de Higgs

Cómo funciona el campo de Higgs:

1. Idea principal
2. ¿Por qué se promedia el campo de Higgs distinto de cero?
3. ¿Cómo aparece la partícula de Higgs?
4. ¿Por qué es necesario el campo de Higgs?

Hasta ahora, en una serie de artículos, les he explicado el campo de Higgs la idea básica de cómo funciona, y les describí cómo el campo de Higgs se vuelve distinto de cero y cómo aparece la partícula de Higgs, al menos para el tipo de campo más simple y la partícula de Higgs (del Modelo estándar) . Pero no expliqué por qué no hay alternativa para introducir algo parecido a un campo de Higgs; por qué hay obstáculos para entrar en masas de partículas conocidas en ausencia de este campo. Esto lo discutiremos en este artículo.

Le expliqué que todas las "partículas" elementales (es decir, cuantos) de la naturaleza son cuantos de ondas en los campos. Y, de manera simplificada, todos estos campos satisfacen una ecuación de clase 1 de la forma:

$$

$$d / dt (d Z (x, t) / dt) - c ^ 2 d / dx (d Z (x, t) / dx) = - (2 \ pi c ^ 2 / h) ^ 2 m ^ 2 Z (x, t)$$

donde Z (x, t) es el campo, m es la masa de la partícula, c es la velocidad de la luz, h es la constante de Planck. Si la partícula no tiene masa, entonces el campo correspondiente satisface la misma ecuación, donde m = 0, que llamé una ecuación de clase 0.

Los casos con m = 0 incluyen fotones, gluones y gravitones: cuantos de los campos eléctrico, cromoeléctrico (o gluón) y gravitacional; todos estos son quanta sin masa ("partículas") que se mueven al límite de velocidad universal c. Para electrones, muones, tau, todos los quarks, todos los neutrinos, partículas W, Z y el bosón de Higgs, cada uno de los cuales tiene su propia masa, el campo correspondiente satisface la ecuación de clase 1 con la masa correspondiente sustituida en él.

Lamentablemente, esta no es toda la historia. Verá, para todos los campos elementales conocidos de la naturaleza que corresponden a cuantos masivos, la ecuación escrita anteriormente no se cumple, al menos en la forma en que la escribí. Por qué El problema es que no introdujimos una interacción débil en nuestras ecuaciones. Y si lo presentamos, entonces, como veremos, estas ecuaciones simples no pueden usarse. En cambio, requerirán ecuaciones más sofisticadas que pueden producir resultados físicos similares.

Por qué

El problema es este: las ecuaciones que hemos escrito son necesarias, pero no suficientes. Necesitamos que se ejecuten, pero esto no es lo único que hay que hacer. Nos falta algo: interacción débil. Y esta interacción no podrá hacer amigos con la ecuación escrita anteriormente.

Si profundizo en los detalles, el resultado será demasiado abstruso. Explicaré esto usando ecuaciones similares a las que realmente se usan, pero sin profundizar en toda la historia.

Ecuaciones más complejas para un electrón.

Para ver el problema, considérelo en el contexto de un campo específico; por ejemplo, tome un campo electrónico. El problema es que el campo de electrones no satisface la ecuación anterior. Un electrón es una partícula con un giro de -1/2, lo que significa que no solo se mueve, sino que también gira continuamente, por lo que es imposible de imaginar, y resulta que las ecuaciones anteriores son suficientes solo para describir el cambio en su posición, pero no para describir que ¿Qué pasa con su giro? Como resultado, resulta que, de hecho, el electrón está formado por dos campos, ψ (x, t) y χ (x, t), que satisfacen dos ecuaciones:

$$

$$d \ psi / dt - c d \ psi / dx = \ mu \ chi \\ d \ chi / dt + c d \ chi / dx = - \ mu \ psi$$

Donde introduje la constante μ = 2π mc² / h para abreviar. Y de nuevo, no te estoy diciendo un poco, ya que esta ecuación de movimiento es solo a lo largo de una dimensión espacial, el eje x; La forma completa de la ecuación es más complicada. Pero la esencia es verdadera; pronto verificaremos que estas dos ecuaciones implican la anterior indicada al comienzo del artículo.

Nota: ψ y χ a menudo se denominan campos “electrón zurdo” y “electrón diestro”, pero sin la introducción de matemáticas adicionales, tales nombres son más confusos que aclaradores, por lo que los evitaré.

Estos dos campos juntos constituyen un campo electrónico en el sentido de que las amplitudes de la onda electrónica χ y ψ deben ser proporcionales entre sí. Esto se puede verificar haciendo una ola de ambos:

$$

$$\ psi = \ psi_0 cos (2 \ pi [\ nu t + x / \ lambda]) \\ \ chi = \ chi_0 sin (2 \ pi [\ nu t + x / \ lambda])$$

donde ψ ₀ y χ ₀ son las amplitudes de onda, y ν y λ son su frecuencia y longitud de onda (que supuse igual). Entonces obtenemos:

$$

$$(2 \ pi) (\ nu - c / \ lambda) \ psi_0 sin (2 \ pi [\ nu t + x / \ lambda]) = \ mu \ chi_0 sin (2 \ pi [\ nu t + x / \ lambda]) 0 \\ - (2 \ pi) (\ nu + c / \ lambda) \ chi_0 cos (2 \ pi [\ nu t + x / \ lambda]) = - \ mu \ psi_0 cos (2 \ pi [\ nu t + x / \ lambda])$$

Que significa

$$

$$(\ nu + c / \ lambda) \ psi_0 = (\ mu / 2 \ pi) \ chi_0 \\ (\ nu - c / \ lambda) \ chi_0 = (\ mu / 2 \ pi) \ psi_0$$

Estas ecuaciones muestran la proporcionalidad de ψ ₀ y χ ₀ ; en general, si uno no es cero, entonces el otro también, y si aumenta uno de ellos, el segundo también aumenta.

Pero tenga en cuenta: estas son dos ecuaciones que describen dos relaciones que pueden contradecirse fácilmente. Dos ecuaciones pueden ser consistentes si hay una relación adicional entre ν, -c / λ y μ. ¿Qué tipo de actitud es esta? Multiplicamos las dos ecuaciones y las dividimos por ψ ₀ χ ₀ (lo que se puede hacer mientras ψ ₀ y χ ₀ no _son iguales a cero; supongamos que no son iguales), y encontramos:

$$

$$\ nu ^ 2 - (c / \ lambda) ^ 2 = (\ mu / 2 \ pi) ^ 2$$

¿Cuáles son las implicaciones de esta ecuación? Supongamos que tenemos una onda cuántica única en los campos ψ y χ - ondas de amplitud mínima - en otras palabras, un electrón. Entonces la energía E = hν, y el momento p = h / λ de este cuanto puede obtenerse multiplicando esta ecuación por h² y sustituyendo μ = 2π mc² / h, obteniendo

$$

$$E ^ 2 - (pc) ^ 2 = (mc ^ 2) ^ 2$$

Y esta es la relación de Einstein entre la energía, el momento y la masa del objeto, que, naturalmente, debe ser satisfecha por un electrón de masa m.

¡Y esto no es una coincidencia, ya que la relación de Einstein se cumple para una onda cuántica que satisface una ecuación de clase 1, y dos ecuaciones para ψ y χ implican que ψ y χ satisfacen una ecuación de clase 1! Para ver esto, multiplique la primera ecuación por –μ y sustitúyala por la segunda:

$$

$$- \ mu (d \ psi / dt - c d \ psi / dx) = (d / dt- c d / dx) (d \ chi / dt + c d \ chi / dx) = - \ mu ^ 2 \ chi$$

Lo que da (dado que d / dx (dχ / dt) = d / dt (dχ / dx)) una ecuación de clase 1 para χ (un truco similar da una ecuación de clase 1 para ψ):

$$

$$d / dt (d \ chi / dt) - c ^ 2 d / dx (d \ chi / dx) = - \ mu ^ 2 \ chi$$

Dos ecuaciones en lugar de una es una forma complicada (inventada por Dirac) de hacer que las partículas con un giro de -1/2 satisfagan la relación de Einstein para energía, momento y masa. Un electrón es un cuanto de una onda en los campos ψ y χ que juntos forman el campo electrónico, y este cuántico actúa como una partícula con masa my giro 1/2. Lo mismo es cierto para el muón, tau y seis quarks.

La masa del electrón, calculada "en la frente", y la interacción débil se contradicen entre sí.

Desafortunadamente, este hermoso conjunto de ecuaciones escritas en 1930 resultó ser incompatible con los experimentos. En las décadas de 1950 y 1960, descubrimos que la interacción débil solo afecta a χ, ¡pero no a ψ! Esto significa que la ecuación

$$

$$d \ chi / dt - d \ chi / dx = - \ mu \ psi$$

No tiene sentido La variación temporal del campo χ bajo la influencia de una interacción débil no puede ser proporcional al campo ψ, que es independiente de la interacción débil. En otras palabras, el campo W puede convertir el campo χ (x, t) en el campo de neutrinos ν (x, t), pero no puede convertir ψ (x, t) en nada, por lo que la versión de esta ecuación que aparece después de combinar el campo con ella W no está definido y no tiene sentido:

$$

$$d \ chi / dt - d \ chi / dx = - \ mu \ psi$$

Campo W ↓

$$

$$d \ nu / dt - d \ nu / dx = ??? $$$

Este fracaso de las ecuaciones en combinación con una interacción débil nos dice (como también dijeron los físicos de la década de 1960) que es necesario encontrar un nuevo conjunto de ecuaciones. Resolver este problema requerirá una nueva idea. Y una nueva idea es el campo de Higgs.

Entra el campo de Higgs: ecuaciones correctas para la masa de electrones

En esta etapa, las ecuaciones se volverán más complejas (por lo que no di explicaciones detalladas desde el principio). En un artículo sin detalles técnicos, que describe cómo sería el mundo con el campo cero de Higgs , se indica la estructura que aparece en las siguientes ecuaciones.

Necesitaremos ecuaciones para electrones y neutrinos, permitiendo la posibilidad de la transformación de un electrón a través de una partícula W en neutrinos y viceversa, pero solo cuando interactúa con χ (el llamado "campo de electrones del lado izquierdo"), y no con ψ.

Para hacer esto, recuerde una sutileza: antes de que el campo de Higgs se vuelva distinto de cero, hay cuatro campos de Higgs, y no uno. Tres de ellos desaparecen como resultado. Puede ser confuso que hay varias formas de llamarlos, y cada uno de los métodos es útil en su contexto. En mi artículo sobre el mundo con el campo cero de Higgs, llamé a estos cuatro campos, cada uno de los cuales es un número real en el espacio y el tiempo, los nombres H ⁰ , A ⁰ , H ⁺ y H ^- . El campo H de Higgs (x, t), al que me refiero en esta serie de artículos, es H ⁰ (x, t). Aquí los llamaré dos campos complejos, es decir, funciones que tienen un valor real e imaginario en cada punto del espacio y el tiempo. Llamaré a estos dos campos complejos H ⁺ y H ⁰ ; y el campo H de Higgs (x, t), al que me refiero en esta serie de artículos, será la parte real de H ⁰ (x, t). Después de que el campo de Higgs se vuelve distinto de cero, H ^{+ es} absorbido por lo que llamamos el campo W ⁺ , y la parte imaginaria de H ^{0 es} absorbida por lo que llamamos el campo Z. [La parte compleja de H ⁺ se llama H ^- ; y dado que W ⁺ absorbe H ⁺ , su parte imaginaria W ^- absorbe H ^- ].

El siguiente hecho está asociado con una interacción débil: las partículas de la naturaleza y las ecuaciones que satisfacen deben ser simétricas cuando ciertos campos se intercambian entre sí. La simetría completa es bastante complicada, pero la parte que necesitamos se ve así:

ψ no cambia
χ ⇆ ν
H ⁺ ⇆ H ⁰
H ^- ⇆ H ^{0 *} (parte compleja)
W ⁺ ⇆ W ^-

χ ⇆ ν refleja el hecho de que la interacción débil afecta estos campos. El hecho de que ψ no cambia se refleja en el hecho de que esta interacción no lo afecta. Sin esta simetría, y sin su forma más general, las versiones cuánticas de ecuaciones para interacción débil no tienen sentido: conducen a predicciones a partir de las cuales se deduce que la probabilidad de ciertos eventos es mayor que uno o menor que cero.

Resulta que las ecuaciones que necesitamos se ven así (aquí y es el parámetro Yukawa, g es una constante que determina la fuerza de la interacción débil):

$$

$$d \ psi / dt - d \ psi / dx = (2 \ pi c ^ 2 / h) y (H ^ {0 *} \ chi + H ^ - \ nu) \\ d \ chi / dt + d \ chi / dx + g W ^ - \ nu = - (2 \ pi c ^ 2 / h) y H ^ 0 \ psi \\ d \ nu / dt + d \ nu / dx + g W ^ + \ chi = - (2 \ pi c ^ 2 / h) y H ^ + \ psi$$

Tenga en cuenta que estas ecuaciones satisfacen la simetría anterior . Los expertos notarán que simplifiqué estas ecuaciones, pero espero que estén de acuerdo en que todavía describen la esencia del problema. Tenga en cuenta que tyx son tiempo y espacio (aunque simplifico rastreando solo una de las tres dimensiones espaciales); c, h, y, yg son constantes independientes del espacio y el tiempo; ψ, χ, W, H, etc. - estos son campos, funciones de espacio y tiempo.

¿Qué sucede si el campo de Higgs se vuelve distinto de cero? Campo H ^- y la parte imaginaria de H ⁰ desaparecerá (por qué - no pintaré aquí), siendo absorbida por otros campos. La parte real de H ⁰ se volverá distinta de cero, con un valor promedio de v; Como se describe en el artículo sobre cómo funciona el campo de Higgs, escribimos:

$$

$$Real [H ^ 0 (x, t)] = H (x, t) = v + h (x, t)$$

donde h (x, t) es el campo cuyo cuanto, la partícula física de Higgs, observamos en la naturaleza. Después de esto, las ecuaciones toman la forma:

$$

$$d \ psi / dt - d \ psi / dx = (2 \ pi c ^ 2 / h) y (v + h) \ chi \\ d \ chi / dt + d \ chi / dx + g W ^ - \ nu = - (2 \ pi c ^ 2 / h) y (v + h) \ psi \\ d \ nu / dt + d \ nu / dx + g W ^ + \ chi = 0$$

Estas ecuaciones, después de que el campo de Higgs toma un valor distinto de cero de v, describen las interacciones entre:

• Un campo electrónico cuyos cuantos son electrones de masa m _e = yv;
• Uno de los tres campos de neutrones cuyos cuantos son neutrinos (en estas ecuaciones no tienen masa. Para agregar masa, debe modificar ligeramente las ecuaciones de una manera que no describiré aquí).
• Un campo W, cuyos cuantos son partículas W, y cuya presencia implica la participación de interacción débil.
• El campo de Higgs h (x, t), cuyos cuantos son partículas de Higgs.

Tenga en cuenta que las ecuaciones no parecen satisfacer la simetría anterior. Esta simetría está "oculta" o "rota". Su presencia ya no es obvia cuando el campo de Higgs se vuelve distinto de cero. Sin embargo, todo funciona como debería para adaptarse a los experimentos:

• Si los campos h, W y ν son cero en una determinada región de espacio y tiempo, las ecuaciones se convierten en las ecuaciones originales del campo electrónico, pero en forma de una combinación de ψ y χ.
• Si el campo W en alguna sección es igual a cero, los términos donde h ingresa muestran que la interacción entre los electrones y las partículas de Higgs es proporcional a y, y por lo tanto, proporcional a la masa del electrón.
• Si el campo h es cero en alguna región, entonces los términos donde W ^- y W ⁺ entran incluyen que la interacción débil puede convertir electrones en neutrinos y viceversa, específicamente convertir χ en ν sin afectar ψ.

Resumen

Resumamos Para partículas con un giro de -1/2, ecuaciones simples de clase 1

$$

$$d / dt (d Z (x, t) / dt) - c ^ 2 d / dx (d Z (x, t) / dx) = - (2 \ pi c ^ 2 / h) ^ 2 m ^ 2 Z (x, t)$$

que hemos estudiado hasta ahora, tiene que complicar, como Dirac entendió alguna vez. La descripción de un electrón y su masa requiere varias ecuaciones, lo que implica una ecuación de clase 1, pero con propiedades adicionales. Desafortunadamente, las ecuaciones simples de Dirac no son suficientes, porque su estructura no coincide con el comportamiento de la interacción débil. La solución es complicar las ecuaciones introduciendo el campo de Higgs, que, tomando un valor promedio distinto de cero, puede dar la masa de electrones sin interferir con la interacción débil.

Vimos cómo funciona esto con la masa del electrón, hasta las ecuaciones para el campo de electrones. Ecuaciones similares funcionan para los hermanastros del electrón, muón y tau, y para todos los campos de quark; un pequeño cambio les permite trabajar para campos de neutrinos. Las masas de partículas W y Z aparecen en diferentes ecuaciones, pero algunos de los problemas similares, la necesidad de mantener una cierta simetría para que la interacción débil tenga sentido, también juegan un papel aquí.

En cualquier caso, el comportamiento de la interacción débil, a juzgar por los experimentos, y las masas de las partículas elementales conocidas (aparentemente) observadas en los experimentos no coincidirían entre sí si no hubiera algo como el campo de Higgs. Experimentos recientes en el Gran Colisionador de Hadrones han proporcionado la confirmación necesaria de que las ecuaciones que describí y los conceptos en los que se basan son más o menos verdaderas. Estamos esperando nuevos estudios experimentales de la partícula de Higgs para descubrir si hay otros campos de Higgs y si el campo de Higgs resultará más complicado de lo que lo describo.