La teoría de la relatividad fascina con sus paradojas. Todos sabemos sobre los gemelos, sobre la posibilidad de poner un avión largo en una caja corta. Hoy en día, todos los graduados de la escuela conocen las respuestas a estos rompecabezas clásicos, y los estudiantes de física creen además que no hay secretos en la teoría especial de la relatividad para ellos.
Todo estaría bien si no fuera por una circunstancia deprimente: la imposibilidad de velocidades superluminales. ¿Realmente no hay manera más rápida? - Pensé en la infancia. ¿O tal vez puedas? Por lo tanto, los invito a una sesión, no sé, de magia negra o blanca que lleva el nombre de Albert Einstein con exposición al final. Sin embargo, para aquellos que parecen un poco, también preparé una tarea.
UPD: Un día después publico la decisión. Muchas fórmulas de texto, gráficos al final.
A Alpha Centauri
Los invito a tomar asiento en nuestra nave interestelar, que se dirige hacia Alpha Centauri. Desde el punto final de la ruta estamos a 4 años luz de distancia. Atención, enciende los motores. Vamos! Para la comodidad de los pasajeros, nuestro capitán estableció tal empuje para que podamos acelerar con un valor
y sentí la fuerza de gravedad que nos es familiar en la Tierra.
Ahora hemos acelerado decentemente, incluso si la mitad de la velocidad de la luz
. Hagamos una pregunta simple: a qué velocidad nos acercaremos a Alpha Centauri en nuestro propio marco de referencia (barco). Parecería simple si volamos a gran velocidad
en el marco fijo de referencia de la Tierra y Alpha Centauri, luego, desde nuestro punto de vista, nos acercamos al objetivo con rapidez
.
Cualquiera que ya haya sentido la trampa tiene toda la razón. La respuesta
mal! Aquí tenemos que aclarar, bajo la velocidad de acercamiento a Alpha Centauri, llamo el cambio en la distancia restante, dividido por el período de tiempo durante el cual ocurrió dicho cambio. Todo, por supuesto, se mide en nuestro marco de referencia asociado con la nave espacial.
Aquí debemos recordar la reducción de longitud lorentziana. Después de acelerar a la mitad de la velocidad de la luz, encontramos que la escala a lo largo de la dirección de nuestro movimiento se contrajo. Déjame recordarte la fórmula:
Y ahora, si a una velocidad de la mitad de la velocidad de la luz medimos la distancia de la Tierra a Alpha Centauri, no obtuvimos 4 St. años, y solo 3.46 St.
Resulta que solo gracias al hecho de que hemos acelerado a
Ya hemos reducido la distancia hasta el destino final del viaje en casi 0,54 St. Y si no solo nos movemos a alta velocidad, sino que también aceleramos, entonces el factor de escala tendrá una derivada del tiempo, que esencialmente también tiene una velocidad de aproximación y es más
.
Por lo tanto, además de nuestro habitual, yo diría clásico, velocidad
se agrega un término más: una reducción dinámica en la longitud de la ruta restante, que ocurre si y solo si hay una aceleración distinta de cero. Bueno, toma un lápiz y cuenta.
Y aquellos que son demasiado flojos para seguir los cálculos que encuentro al otro lado del spoiler
- la distancia actual a la estrella en la línea del capitán de la nave,
- tiempo de guardia en el vestuario,
- velocidad.
Ya aquí vemos que la primera derivada parcial es velocidad, solo velocidad
con un signo menos, ya que nos estamos acercando a Alpha Centauri. Pero el segundo término es la trampa, que, sospecho, no todos pensaron.
Para encontrar la derivada del tiempo de la velocidad en el segundo término, uno debe tener cuidado, porque Estamos en un marco de referencia móvil. Es más fácil calcular con los dedos a partir de la fórmula para agregar velocidades relativistas. Dejar a la vez
nos estamos moviendo a una velocidad
, y después de un período de tiempo, nuestra velocidad aumentó en
. La velocidad resultante de acuerdo con la fórmula de la teoría de la relatividad será
Ahora reunimos (2) y (3), y la derivada de (3) debe tomarse para
porque Estamos considerando pequeños incrementos.
Admiramos la fórmula final
Ella es asombrosa! Si el primer término - velocidad - está limitado por la velocidad de la luz, entonces el segundo término no está limitado por nada. Tomar
más grande y ... el segundo término puede exceder fácilmente
.
- Que, que! - Algunos no lo creerán.
"Sí, sí, exactamente así", responderé. - Puede ser más que la velocidad de la luz, más de dos velocidades de la luz, más de 10 velocidades de la luz. Parafraseando a Arquímedes, puedo decir: "dame el derecho
, y te proporcionaré una velocidad arbitrariamente alta ".
Bueno, sustituyamos números, con números siempre interesantes. Como recordamos, el capitán estableció la aceleración
, y la velocidad ya ha alcanzado
. Entonces encontramos que para
año luz, nuestra velocidad de aproximación es igual a la velocidad de la luz. Si sustituimos
años luz entonces
Escribo: "tres enteros, tres décimas de la velocidad de la luz".
Sigue preguntándote
Echemos un vistazo más de cerca a la fórmula (5). Después de todo, no es necesario abordar una nave espacial relativista. Tanto la velocidad como la aceleración pueden ser muy pequeñas. Se trata de la magia.
. ¡Solo piénsalo!
Así que me metí en el auto y apreté el acelerador. Tengo velocidad y aceleración. Y en este mismo momento puedo garantizar que en algún lugar a unos cien o dos millones de años luz por delante hay objetos que se me acercan ahora más rápido que la luz. Para simplificar, aún no he tenido en cuenta la velocidad de la Tierra en su órbita alrededor del Sol, y el Sol alrededor del centro de la Galaxia. Con su asignación, los objetos con una velocidad de aproximación superluminal ya estarán bastante cerca, no en una escala cosmológica, sino en algún lugar de la periferia de nuestra galaxia.
Resulta que involuntariamente, incluso con una aceleración mínima, por ejemplo, levantarse de una silla, participamos en un movimiento superluminal.
Todavía estamos sorprendidos
Mire la fórmula (5) muy, muy de cerca. Descubramos no la velocidad de aproximación a Alpha Centauri, sino la velocidad de distancia desde la Tierra. Con un lo suficientemente grande
Por ejemplo, a medio camino de la meta, podemos encontrar que tanto la Tierra como Alpha Centauri se nos están acercando. Después de recuperarse de la sorpresa, por supuesto, puede adivinar que la falla es el acortamiento de la longitud, que funciona no solo hacia adelante, sino también hacia atrás. El espacio detrás de la popa de la nave se encoge más rápido de lo que volamos desde el punto de partida.
Es fácil entender otro efecto sorprendente. Después de todo, vale la pena cambiar la dirección de la aceleración, ya que el segundo término en (5) cambia inmediatamente el signo. Es decir la velocidad de aproximación puede convertirse fácilmente en cero, o incluso negativa. Aunque la velocidad habitual
continuaremos siendo dirigidos a Alpha Centauri.
Exposición
Espero haberte desconcertado lo suficiente. ¡Cómo es que nos enseñaron que la velocidad de la luz es máxima! ¡No puedes acercarte a nada más rápido que la velocidad de la luz! Pero aquí vale la pena prestar atención al dicho de cualquier ley relativista. Está en cualquier libro de texto, pero parece que solo satura el texto, aunque es en él donde está toda la "sal". Este dicho dice que los postulados de la teoría especial de la relatividad funcionan "en un marco de referencia inercial".
En un marco de referencia no inercial, Einstein no nos garantiza nada. Tales cosas!
Lo mismo, un poco más detallado y un poco más complicado.La fórmula (5) contiene la distancia.
. Cuando es cero, es decir cuando tratamos de determinar la velocidad de objetos localmente relativamente cercanos, solo queda el primer término
, que, por supuesto, no supera la velocidad de la luz. No hay problema Y solo a grandes distancias, es decir no localmente, podemos obtener velocidades superligeras.
Debo decir que, en términos generales, la velocidad relativa de los objetos distantes entre sí es un concepto mal definido. Nuestro espacio-tiempo plano en un marco de referencia acelerado parece curvo. Este es el famoso "elevador de Einstein" equivalente al campo gravitacional. Y es correcto comparar dos cantidades de vectores en un espacio curvo solo cuando están en el mismo punto (en un espacio tangente del paquete de vectores correspondiente).
Hablando de nuestra paradoja de la velocidad superluminal, uno podría razonar de manera diferente, diría integralmente. Después de todo, un viaje relativista a Alpha Centauri tomará las propias horas del cosmonauta mucho menos de 4 años, por lo que al dividir la distancia original por el tiempo que pasa solo, obtendremos una velocidad efectiva mayor que la velocidad de la luz. De hecho, esta es la misma paradoja gemela. Para quién es conveniente, así es exactamente cómo se puede entender el movimiento superligero.
Ese es todo el truco. Tu evidencia del capitán.
Y finalmente, se me ocurrió su tarea
o borrador para su discusión en los comentarios .
Tarea
Los terrícolas y los alfa-centauros decidieron intercambiar delegaciones. Una nave espacial lanzada desde la Tierra a gran velocidad
. Al mismo tiempo, un platillo volador de extraterrestres con la misma velocidad partió de Alpha Centauri.
¿Cuál es la distancia entre las naves en el marco de referencia de la nave de los terrícolas en el momento del lanzamiento, cuando estaban cerca de la Tierra y Alpha Centauri, respectivamente? Escribe tu respuesta en los comentarios.
UPD: Solución
Entonces la solución al problema. Primero, considérelo cualitativamente.
Estamos de acuerdo en que los relojes de Alpha, Earth, el cohete y la placa están sincronizados (esto se hizo de antemano), y el inicio de las cuatro horas tuvo lugar a las 12:00.
Considere el espacio-tiempo gráficamente en coordenadas de descanso.
. La tierra está en cero, alfa en la distancia
a lo largo del eje
. La línea mundial de Alpha Centauri obviamente solo sube verticalmente. La línea mundial de la placa va con una pendiente a la izquierda, porque ella voló fuera del punto
en la dirección de la tierra.
Ahora, en este gráfico, dibujaremos los ejes de coordenadas del marco de referencia del cohete lanzado desde la Tierra. Como saben, dicha transformación del sistema de coordenadas (SC) se denomina impulso. En este caso, los ejes están inclinados simétricamente con respecto a la línea diagonal, que muestra el haz de luz.
Creo que en ese momento todo te ha quedado claro. Mirar eje
cruza las líneas mundiales de Alpha y el platillo volador en diferentes puntos. Que paso
Lo asombroso Desde el punto de vista del cohete, tanto la placa como Alpha estaban en el mismo punto antes del inicio, y después de acelerar, resulta que en el SC en movimiento el lanzamiento del cohete y la placa no fue simultáneo. El plato, de repente resulta, comenzó antes y logró acercarse un poco más a nosotros. Por lo tanto, ahora a las 12:00:01 el reloj de misiles está más cerca de la placa que de Alpha.
Y si el cohete acelera de nuevo, "saltará" al siguiente SK, donde la placa está aún más cerca. Además, tal aproximación de placa ocurre solo debido a la aceleración y la compresión dinámica de la escala longitudinal (que es de lo que se trata toda mi publicación), y no al avance del cohete en el espacio, porque el cohete todavía no tenía tiempo para volar. Esta aproximación de placa es precisamente el segundo término en la fórmula (5).
Bueno, además de todo lo demás, es necesario tener en cuenta la reducción de distancia habitual de Lorentz. Te informaré de inmediato que a velocidades de cohete y platillo
cada distancia
- entre el cohete y Alpha: 3.46 St. años (reducción convencional de Lorentz)
- entre el cohete y el plato: 2.76 St. del año
A quién le importa, deletreemos fórmulas en un espacio de cuatro dimensionesEs conveniente resolver tales problemas con la ayuda de vectores de cuatro dimensiones. No necesitan tener miedo, todo se hace utilizando las acciones más comunes de álgebra lineal. Además, nos movemos solo a lo largo de un eje, por lo que solo quedan dos coordenadas de las cuatro coordenadas:
y
.
A continuación, estamos de acuerdo con la notación simple. La velocidad de la luz se considera igual a la unidad. Los físicos siempre hacemos eso. :) También solemos considerar que la unidad es la constante de Planck y la constante gravitacional. Esto no cambia la esencia, pero infernalmente hace que la escritura sea más fácil.
Entonces, la "raíz relativista" ubicua se denota por el factor gamma para la compacidad de los registros, donde
- Velocidad del cohete terrestre:
Ahora escribimos el vector en los componentes.
:
El componente superior es el tiempo, el inferior es la coordenada espacial. Los barcos comienzan simultáneamente en un sistema fijo, por lo que el componente superior del vector es cero.
Ahora encuentra las coordenadas del punto
en un sistema de coordenadas en movimiento
es decir
. Para hacer esto, usamos la transformación a un marco de referencia móvil. Se llama impulso y se hace de manera muy simple. Cualquier vector debe multiplicarse por la matriz de refuerzo
Multiplicar:
Como vemos, el componente temporal de este vector es negativo. Esto también significa que el punto
en términos de un cohete en movimiento está debajo del eje
es decir en el pasado (como se puede ver en la figura anterior).
Encuentra el vector
en un sistema fijo Componente temporal: algún período de tiempo desconocido
espacial: la distancia que la placa se acerca en el tiempo
moviéndose a velocidad
:
Ahora el mismo vector en el sistema
Encuentra la suma de vectores habitual
¿Por qué equiparé esta cantidad a la derecha de tal vector? Por definición, el punto
está en el eje
por lo tanto el componente temporal
debe ser igual a cero y el componente espacial: esta será la misma distancia deseada
de un cohete a un plato. A partir de aquí obtenemos un sistema de dos ecuaciones simples: equiparamos los componentes de tiempo por separado, los espaciales por separado.
De la primera ecuación determinamos el parámetro desconocido
, sustitúyalo en la segunda ecuación y obtenga
. Vamos a omitir cálculos simples y escribir de inmediato
Sustituyendo
,
tenemos
