Transmisión de potencia inalámbrica a través de bobinas inductivas acopladas magnéticamente

Introduccion

Creo que muchos de los lectores han visto al menos un videoclip en servicios de video populares, donde la electricidad se transmite a través del espacio vacío mediante bobinas inductivas.

En este artículo queremos abordar los principios básicos del proceso de transferencia de energía inalámbrica utilizando un campo magnético. Comenzando con una consideración de la bobina inductiva más simple y calculando su inductancia, pasaremos gradualmente a la teoría de los circuitos eléctricos, en la que mostraremos y justificaremos el método de transmisión de la potencia máxima, todas las demás cosas son iguales. Entonces comencemos.

Campo magnético de una vuelta con corriente

Considere el campo magnético de una sola bobina con corriente. Encuentre el campo magnético de la bobina en cualquier punto del espacio. ¿Por qué es necesaria tal consideración? Porque en casi todos los libros, al menos en aquellos que el autor del artículo logró encontrar, la solución a este problema se limita a encontrar solo un componente del campo magnético y solo a lo largo del eje del giro:$$ $ en línea $ B_z (z) $ en línea $ mientras encontramos la ley para el campo magnético en todo el espacio.


Ilustración de la ley de Bio Savara Laplace

Para encontrar el campo magnético, utilizamos la ley de Bio-Savard-Laplace (ver Wikipedia - Ley de Bio-Savard-Laplace ). La figura muestra que el centro del sistema de coordenadas$$ $ en línea $ O $ en línea $ coincide con el centro del bucle. La circunferencia del bucle se indica como$$ $ en línea $ C $ en línea $ y el radio del círculo es como$$ $ en línea $ a $ en línea $ La corriente fluye a través del bucle$$ $ en línea $ I $ en línea $ .$$ $ en línea $ \ vec {r} $ en línea $ Es un vector de radio variable desde el origen hasta un punto arbitrario en el turno.$$ $ en línea $ \ vec {r} _0 $ en línea $ Es el radio vector al punto de observación. También necesitamos un ángulo polar$$ $ en línea $ \ varphi $ en línea $ Es el ángulo entre el vector de radio$$ $ en línea $ \ vec {r} $ en línea $ y eje$$ $ en línea $ OX $ en línea $ . La distancia desde el eje del giro hasta el punto de observación se denota por$$ $ en línea $ \ rho $ en línea $ . Y finalmente$$ $ en línea $ \ mathrm {d} \ vec {r} $ en línea $ - incremento elemental del vector de radio$$ $ en línea $ \ vec {r} $ en línea $ .

De acuerdo con la ley de Bio-Savard-Laplace, el elemento del circuito con corriente$$ $ en línea $ \ mathrm {d} \ vec {r} $ en línea $ crea una contribución elemental al campo magnético, que viene dada por la fórmula

$$$$ display $$ \ mathrm {d} \ vec {B} (\ vec {r} _0) = \ frac {\ mu_0 I} {4 \ pi} \ cdot \ frac {[\, \ mathrm {d} \ vec {r} \ times (\ vec {r} _0- \ vec {r})]} {| \ vec {r} _0- \ vec {r} | ^ 3} $$ display $$

Ahora nos detenemos con más detalle sobre las variables y expresiones incluidas en la fórmula. Dada la simetría axial del problema, podemos escribir

$$$$ display $$ \ vec {r} _0 = (\ rho \ cos {\ varphi}, \ rho \ sin {\ varphi}, z) \ overset {\ varphi = 0} {\ rightarrow} (\ rho, 0 , z) $$ mostrar $$

$$$$ display $$ \ vec {r} = (a \ cos {\ varphi}, a \ sin {\ varphi}, 0) $$ display $$

$$$$ display $$ \ mathrm {d} \ vec {r} = (-a \ sin {\ varphi}, a \ cos {\ varphi}, 0) \, \ mathrm {d} \ varphi $$ display $$

$$$$ display $$ \ vec {r} _0- \ vec {r} = (\ rho -a \ cos {\ varphi}, -a \ sin {\ varphi}, z) $$ display $$

$$$$ display $$ [\ mathrm {d} \ vec {r} \ times (\ vec {r} _0- \ vec {r})] = \ begin {vmatrix} \ vec {e} _x & \ vec {e} _y & \ vec {e} _z \\ -a \ sin {\ varphi} \, \ mathrm {d} \ varphi & a \ cos {\ varphi} \, \ mathrm {d} \ varphi & 0 \\ \ rho -a \ cos {\ varphi} & -a \ sin {\ varphi} & z \ end {vmatrix} = (az \ cos {\ varphi}, az \ sin {\ varphi}, a ^ 2 -a \ rho \ cos {\ varphi}) \, \ mathrm {d} \ varphi $$ display $$

$$$$ display $$ | \ vec {r} _0- \ vec {r} | ^ 3 = \ left (\ rho ^ 2 + a ^ 2 + z ^ 2 -2 \ rho a \ cos {\ varphi} \ right ) ^ {\ frac {3} {2}} $$ display $$

Para encontrar el campo magnético resultante, es necesario integrarlo en todo el contorno del bucle, es decir.

$$$$ display $$ \ vec {B} (\ vec {r} _0) = \ int_C {\, \ mathrm {d} \ vec {B} (\ vec {r} _0)} $$ display $$

Después de sustituir todas las expresiones y algunas transformaciones idénticas, obtenemos las expresiones para los componentes axial y radial del campo magnético, respectivamente.

$$$$ display $$ B_z (\ rho, z) = \ frac {\ mu_0 I} {4 \ pi} \ int_0 ^ {2 \ pi} {\ frac {\ left (a ^ 2 - \ rho a \ cos { \ varphi} \ right) \, \ mathrm {d} \ varphi} {\ left (\ rho ^ 2 + a ^ 2 + z ^ 2 -2 \ rho a \ cos {\ varphi} \ right) ^ {\ frac {3} {2}}}} $$ mostrar $$

$$$$ display $$ B_r (\ rho, z) = \ frac {\ mu_0 I} {4 \ pi} \ int_0 ^ {2 \ pi} {\ frac {a \, z \, \ cos {\ varphi} \ , \ mathrm {d} \ varphi} {\ left (\ rho ^ 2 + a ^ 2 + z ^ 2 -2 \ rho a \ cos {\ varphi} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} }} $$ mostrar $$

Para encontrar el valor absoluto del campo magnético, es necesario sumar los componentes por el teorema de Pitágoras.$$ $ en línea $ B = \ sqrt {B_r ^ 2 + B_z ^ 2} $ en línea $ .

Demostremos la solución obtenida como un ejemplo de una bobina de radio.$$ $ en línea $ a = 0.1 $ en línea $ (m) y$$ $ en línea $ I = 1 $ en línea $ (A)


La amplitud de la componente axial del campo magnético.


La amplitud de la componente radial del campo magnético.


La amplitud absoluta del campo magnético.

Tenga en cuenta que para un bucle de forma arbitraria, a grandes distancias$$ $ en línea $ z \ gg a $ en línea $ es decir mucho más grande que el tamaño característico de la bobina, el comportamiento del campo magnético tenderá a la solución encontrada.

Inductor Bobinas acopladas magnéticamente

Ahora que conocemos la solución para el campo magnético de una vuelta, podemos encontrar la inductancia de la bobina, que consiste en$$ $ en línea $ n $ en línea $ vueltas Por definición, la inductancia es el coeficiente de proporcionalidad entre la corriente en la bobina y el flujo magnético a través del área de la sección transversal de la bobina. Aquí usamos el modelo de bobina ideal, que no tiene dimensiones en la dirección de su eje de simetría. Por supuesto, en la práctica esto no sucede. Sin embargo, como aproximación, las fórmulas resultantes serán bastante buenas. Aunque las bobinas se consideran adimensionales a lo largo$$ $ en línea $ oz $ en línea $ , debe establecer un radio distinto de cero de la sección del cable. Dejarlo$$ $ en línea $ \ delta $ en línea $ y un ejemplo igual a$$ $ en línea $ \ delta = 0.1 $ en línea $ (mm) De lo contrario, al integrar el flujo magnético, el integrando se convertirá en infinito.


Bobinas inductivamente acopladas

La figura muestra dos bobinas acopladas magnéticamente. Deje que la primera bobina tenga un radio$$ $ en línea $ a_1 $ en línea $ y contiene$$ $ en línea $ n_1 $ en línea $ vueltas, y el segundo -$$ $ en línea $ a_2 $ en línea $ y$$ $ en línea $ n_2 $ en línea $ en consecuencia Luego, para encontrar las inductancias intrínsecas, es necesario calcular el flujo magnético de cada bobina a través de su propia sección transversal.

$$$$ display $$ \ Phi = \ iint_S {\ vec {B} \ cdot \ vec {\, \ mathrm {d} S}} = \ int_0 ^ {2 \ pi} {\ int_0 ^ {a- \ delta} {B_z (\ rho, z) \ rho \, \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi}} = 2 \ pi \ int_0 ^ {a- \ delta} {B_z (\ rho, z ) \ rho \, \ mathrm {d} \ rho} $$ display $$

Dado que hay muchas vueltas en la bobina, encontramos un valor llamado enlace de flujo, que se multiplica dos veces por el número de vueltas

$$$$ display $$ \ Psi = \ frac {1} {2} n ^ 2 \ mu_0 I \ int_0 ^ {a- \ delta} {\ int_0 ^ {2 \ pi} {\ frac {\ left (a ^ 2 - \ rho a \ cos {\ varphi} \ right) \, \ mathrm {d} \ varphi} {\ left (\ rho ^ 2 + a ^ 2 + z ^ 2 -2 \ rho a \ cos {\ varphi} \ right) ^ {\ frac {3} {2}}}} \ rho \, \ mathrm {d} \ rho} $$ display $$

Por definición, la inductancia es un coeficiente de proporcionalidad.$$ $ en línea $ L $ en línea $ en la fórmula$$ $ en línea $ \ Psi = LI $ en línea $ . Así, obtenemos las inductancias intrínsecas de las bobinas.

$$$$ display $$ L_1 = \ frac {1} {2} n_1 ^ 2 \ mu_0 \ int_0 ^ {a_1- \ delta} {\ int_0 ^ {2 \ pi} {\ frac {\ left (a_1 ^ 2 - \ rho a_1 \ cos {\ varphi} \ right) \, \ mathrm {d} \ varphi} {\ left (\ rho ^ 2 + a_1 ^ 2 -2 \ rho a_1 \ cos {\ varphi} \ right) ^ {\ frac {3} {2}}}} \ rho \, \ mathrm {d} \ rho} $$ display $$

$$$$ display $$ L_2 = \ frac {1} {2} n_2 ^ 2 \ mu_0 \ int_0 ^ {a_2- \ delta} {\ int_0 ^ {2 \ pi} {\ frac {\ left (a_2 ^ 2 - \ rho a_2 \ cos {\ varphi} \ right) \, \ mathrm {d} \ varphi} {\ left (\ rho ^ 2 + a_2 ^ 2 -2 \ rho a_2 \ cos {\ varphi} \ right) ^ {\ frac {3} {2}}}} \ rho \, \ mathrm {d} \ rho} $$ display $$

Deje que los centros de las bobinas se separen por distancia$$ $ en línea $ d $ en línea $ yacen en un eje, y su plano de vueltas está orientado en paralelo. Para encontrar la inductancia mutua, es necesario calcular el enlace de flujo formado por una bobina a través de la sección transversal de la otra, es decir.

$$$$ display $$ \ Psi_ {12} = \ frac {1} {2} n_1 n_2 \ mu_0 I \ int_0 ^ {a_2- \ delta} {\ int_0 ^ {2 \ pi} {\ frac {\ left (a_1 ^ 2 - \ rho a_1 \ cos {\ varphi} \ right) \, \ mathrm {d} \ varphi} {\ left (\ rho ^ 2 + a_1 ^ 2 + z ^ 2 -2 \ rho a_1 \ cos {\ varphi} \ right) ^ {\ frac {3} {2}}}} \ rho \, \ mathrm {d} \ rho} $$ display $$

Entonces la inductancia mutua de las bobinas viene dada por

$$$$ display $$ M_ {12} = \ frac {1} {2} n_1 n_2 \ mu_0 \ int_0 ^ {a_2- \ delta} {\ int_0 ^ {2 \ pi} {\ frac {\ left (a_1 ^ 2 - \ rho a_1 \ cos {\ varphi} \ right) \, \ mathrm {d} \ varphi} {\ left (\ rho ^ 2 + a_1 ^ 2 + d ^ 2 -2 \ rho a_1 \ cos {\ varphi} \ right) ^ {\ frac {3} {2}}}} \ rho \, \ mathrm {d} \ rho} $$ display $$

Hasta donde el autor sabe, tales integrales solo pueden tomarse numéricamente.
Tenga en cuenta que, por regla general$$ $ en línea $ \ Psi_ {12} = \ Psi_ {21} $ en línea $ y$$ $ en línea $ M_ {12} = M_ {21} = M $ en línea $ . El coeficiente de acoplamiento de la bobina se llama valor

$$$$ display $$ k = \ frac {M} {\ sqrt {L_1L_2}} $$ display $$

Estudiamos la dependencia del coeficiente de acoplamiento de las bobinas con la distancia. Para hacer esto, considere dos bobinas idénticas con un radio de vueltas$$ $ en línea $ a_1 = a_2 = 0.1 $ en línea $ (m) y el número de vueltas$$ $ en línea $ n_1 = n_2 = 100 $ en línea $ . En este caso, la inductancia de cada bobina es$$ $ en línea $ L_1 = L_2 = 8.775 $ en línea $ (mH)


Coeficiente de acoplamiento de bobinas desde la distancia entre ellas.

El horario no cambiará si el número de vueltas en ambas bobinas es el mismo o el radio de ambas bobinas es el mismo. El coeficiente de acoplamiento se expresa convenientemente como un porcentaje. El gráfico muestra que incluso con una distancia entre las bobinas de 1 (mm), el coeficiente de acoplamiento es inferior al 100%. El coeficiente cae al 10% a una distancia de aproximadamente 60 (mm) y al 1% a 250 (mm).

Transmisión de energía inalámbrica

Entonces, conocemos la inductancia y el coeficiente de acoplamiento. Ahora usamos la teoría de los circuitos eléctricos de corriente alterna para encontrar los parámetros óptimos en los cuales la potencia transmitida sería máxima. Para comprender este párrafo, el lector debe estar familiarizado con el concepto de impedancia eléctrica, así como con las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm. Como se sabe por la teoría de circuitos, dos bobinas acopladas inductivamente forman un transformador de aire. Para el análisis de transformadores, es conveniente un circuito equivalente en forma de T.


Transformador de aire y su circuito equivalente

La bobina transmisora ​​de la izquierda se llamará convencionalmente el "transmisor", y la bobina receptora de la derecha se llamará el "receptor". Coeficiente de acoplamiento entre bobinas$$ $ en línea $ k $ en línea $ . En el lado del receptor está el consumidor representado por la carga$$ $ en línea $ z_L $ en línea $ . La carga generalmente puede ser compleja. Voltaje de entrada del transmisor$$ $ en línea $ u_1 $ en línea $ y la corriente de entrada es$$ $ en línea $ i_1 $ en línea $ . El voltaje transmitido al receptor es$$ $ en línea $ u_2 $ en línea $ y la corriente transmitida$$ $ en línea $ i_2 $ en línea $ . La impedancia total en el lado del transmisor se denota por$$ $ en línea $ z_1 $ en línea $ , y la impedancia completa en el lado del receptor$$ $ en línea $ z_2 $ en línea $ .

Se supone que se aplica un voltaje sinusoidal a la entrada del circuito$$ $ en línea $ u_1 = u_ {1m} \ sin {\ omega t} $ en línea $ .

Denotamos$$ $ en línea $ R_ {coil \, 1}, R_ {coil \, 2}, L_ {coil \, 1}, L_ {coil \, 2}, M $ en línea $ - resistencia e inductancia de las bobinas (dos propias y una mutua), respectivamente. Entonces, según la teoría del transformador

$$$$ display $$ z_1 = R_ {coil \, 1} + j \ omega (L_ {coil \, 1} - M) $$ display $$

$$$$ display $$ z_2 = R_ {coil \, 2} + j \ omega (L_ {coil \, 2} - M) + R_ {load} + j X_ {load} $$ display $$

Por otro lado, de acuerdo con nuestra notación

$$$$ display $$ z_1 = r_1 + j x_1 $$ display $$

$$$$ display $$ z_2 = r_2 + j x_2 $$ display $$

donde$$ $ en línea $ r_1, r_2 $ en línea $ Impedancias completas en el lado del transmisor y el receptor, respectivamente, y$$ $ en línea $ x_1, x_2 $ en línea $ - Reactancia completa.

La impedancia de comunicación es$$ $ en línea $ z_3 = j \ omega M = j x_3 $ en línea $ .

Encuentra la corriente de entrada del circuito

$$$$ display $$ i_1 = \ frac {u_1} {z_1 + z_2 || z_3} $$ display $$

donde esta la señal$$ $ en línea $ || $ en línea $ denota una conexión paralela de resistencias. Entonces el voltaje transmitido al receptor

$$$$ display $$ u_2 = u_1 - i_1 z_1 = u_1 \ left (1 - \ frac {z_1} {z_1 + z_2 || z_3} \ right) $$ display $$

Y corriente inducida

$$$$ display $$ i_2 = \ frac {u_2} {z_2} = \ frac {u_1} {z_2} \ left (1 - \ frac {z_1} {z_1 + z_2 || z_3} \ right) $$ display $$

Podemos encontrar la potencia integrada transmitida al receptor

$$$$ display $$ s_2 = u_2 i_2 ^ * = p_2 + jq_2 $$ display $$

Por lo tanto, tenemos la expresión de poder complejo

$$$$ display $$ s_2 = | u_1 | ^ 2 z_2 \ left | \ frac {z_3} {z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3} \ right | ^ 2 $$ display $$

Expresión para componente de potencia activa

$$$$ display $$ p_2 = | u_1 | ^ 2 r_2 \ left | \ frac {z_3} {z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3} \ right | ^ 2 $$ display $$

Expresión para componente de potencia reactiva

$$$$ display $$ q_2 = | u_1 | ^ 2 x_2 \ left | \ frac {z_3} {z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3} \ right | ^ 2 $$ display $$

En la mayoría de las tareas prácticas, es necesario transferir la potencia activa máxima, por lo tanto

$$$$ display $$ p_2 \ rightarrow \ mathrm {max} \ Rightarrow \ left | \ frac {z_3} {z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3} \ right | ^ 2 \ rightarrow \ mathrm {max} $$ display $$

O eso es lo mismo

$$$$ display $$ \ left | z_1 + z_2 + \ frac {z_1z_2} {z_3} \ right | ^ 2 \ rightarrow \ mathrm {min} $$ display $$

$$$$ display $$ \ left | r_1 + jx_1 + r_2 + jx_2 + \ frac {(r_1 + jx_1) (r_2 + jx_2)} {jx_3} \ right | ^ 2 \ rightarrow \ mathrm {min} $$ display $$

$$$$ display $$ \ frac {1} {x_3 ^ 2} | (r_1x_3 + r_2x_3 + r_1x_2 + r_2x_1) + j (x_1x_3 + x_2x_3 + x_1x_2 - r_1r_2) | ^ 2 \ rightarrow \ mathrm {min} $$ display $ $ $

Por conveniencia, presentamos la función

$$$$ display $$ f (x_1, x_2) = (r_1x_3 + r_2x_3 + r_1x_2 + r_2x_1) + j (x_1x_3 + x_2x_3 + x_1x_2 - r_1r_2) $$ display $$

y examinarlo para los extremos

$$$$ display $$ | f (x_1, x_2) | ^ 2 \ rightarrow \ mathrm {min} $$ display $$

¿De dónde obtenemos el sistema de dos ecuaciones?

$$$$ display $$ \ frac {\ partial | f | ^ 2} {\ partial x_1} = 2 \ mathbb {Re} (f) r_2 + 2 \ mathbb {Im} (f) (x_2 + x_3) = 0 $ $ display $$

$$$$ display $$ \ frac {\ partial | f | ^ 2} {\ partial x_2} = 2 \ mathbb {Re} (f) r_1 + 2 \ mathbb {Im} (f) (x_1 + x_3) = 0 $ $ display $$

Este sistema tiene cinco soluciones, dos de las cuales no son físicas, ya que conducen a valores imaginarios de cantidades que se supone que son reales. A continuación se enumeran otras tres soluciones físicas junto con las fórmulas de potencia correspondientes.
Solución 1

$$$$ display $$ x_1 = -x_3, \ quad x_2 = -x_3 $$ display $$

Poder

$$$$ display $$ p_2 = \ frac {| u_1 | ^ 2 \, x_3 ^ 2 \, r_2} {\ left (r_1r_2 + x_3 ^ 2 \ right) ^ 2}, \ quad q_2 = - \ frac {| u_1 | ^ 2 \, x_3 ^ 3} {\ left (r_1r_2 + x_3 ^ 2 \ right) ^ 2} $$ display $$

Decisión 2 y 3

$$$$ display $$ x_1 = \ frac {1} {r_2} \ left (\ sqrt {r_1r_2 \ left (x_3 ^ 2-r_1r_2 \ right)} - ​​r_2x_3 \ right), \ quad x_2 = \ frac {1} { r_1} \ left (\ sqrt {r_1r_2 \ left (x_3 ^ 2-r_1r_2 \ right)} - ​​r_1x_3 \ right) $$ display $$

$$$$ display $$ x_1 = - \ frac {1} {r_2} \ left (\ sqrt {r_1r_2 \ left (x_3 ^ 2-r_1r_2 \ right)} + r_2x_3 \ right), \ quad x_2 = - \ frac {1 } {r_1} \ left (\ sqrt {r_1r_2 \ left (x_3 ^ 2-r_1r_2 \ right)} + r_1x_3 \ right) $$ display $$

Potencia para las soluciones 2 y 3.

$$$$ display $$ p_2 = \ frac {| u_1 | ^ 2} {4 \, r_1}, \ quad q_2 = \ frac {| u_1 | ^ 2 \, x_2} {4 \, r_1 \, r_2} $$ mostrar $$

Las soluciones 2 y 3 deben usarse cuando la reactancia del acoplamiento es lo suficientemente grande

$$$$ display $$ x_3 ^ 2> r_1r_2 $$ display $$

Cuando esto no sea así, debe usar la solución 1. Muy a menudo en situaciones reales$$ $ en línea $ x_3 $ en línea $ resultará pequeño, por lo tanto, consideramos la solución 1 con más detalle.
Solución 1:$$ $ en línea $ x_1 = -x_3, \ quad x_2 = -x_3 $ en línea $ . Y la potencia activa correspondiente viene dada por la fórmula

$$$$ display $$ p_2 = \ frac {| u_1 | ^ 2 \, x_3 ^ 2 \, r_2} {\ left (r_1r_2 + x_3 ^ 2 \ right) ^ 2} $$ display $$

La fórmula de potencia muestra que la potencia depende de la reactancia de la conexión.$$ $ en línea $ x_3 = 2 \ pi \, f \, k \, \ sqrt {L_ {coil \, 1} L_ {coil \, 2}} $ en línea $ y, por lo tanto, la frecuencia de transmisión$$ $ en línea $ f $ en línea $ , y a partir de la geometría de la disposición mutua de las bobinas, que se tiene en cuenta por el coeficiente de acoplamiento$$ $ en línea $ k $ en línea $ .

Como han observado lectores atentos, adicción$$ $ en línea $ p_2 (x_3) $ en línea $ - no lineal. Función$$ $ en línea $ p_2 (x_3) $ en línea $ alcanza un máximo en$$ $ en línea $ x_3 = \ sqrt {r_1r_2} $ en línea $ .


Estudio de fórmula de poder$$ $ en línea $ p_2 (x_3) $ en línea $ a extremos

Potencia activa máxima a$$ $ en línea $ x_3 = \ sqrt {r_1r_2} $ en línea $ es igual a

$$$$ display $$ p_2 = \ frac {| u_1 | ^ 2} {4 \, r_1} $$ display $$

Por lo tanto, la fórmula anterior representa el límite teórico absoluto de la potencia activa transmitida en cualquier condición. Además, para la potencia reactiva transmitida al receptor, tenemos

$$$$ display $$ q_2 = \ frac {| u_1 | ^ 2} {\ sqrt {r_1r_2}} $$ display $$

Simulación numérica

Puede demostrar el trabajo de la teoría anterior realizando una simulación del modelo SPICE de nuestro dispositivo desde dos bobinas conectadas.


Modelo SPICE de dos bobinas inductivamente acopladas

Simulación realizada para coeficiente de acoplamiento$$ $ en línea $ k = 1 $ en línea $ %, que corresponde a 25 cm de eliminación entre las bobinas. Los parámetros de las bobinas son los mismos que en el párrafo anterior, adoptado para trazar$$ $ en línea $ k $ en línea $ .

Resulta que la reactancia de cada una de las bobinas debe ser compensada por condensadores$$ $ en línea $ C_1 $ en línea $ y$$ $ en línea $ C_2 $ en línea $ . Es decir, configurar cada uno de los circuitos (transmisión y recepción) en resonancia a una frecuencia dada. Si suponemos que el valor de la carga es real, entonces los valores de capacitancia se pueden encontrar a partir de las fórmulas

$$$$ display $$ C_1 = \ frac {1} {\ omega ^ 2 L_1}, \ quad C_2 = \ frac {1} {\ omega ^ 2 L_2} $$ display $$

A continuación hay dos gráficos para el voltaje transmitido y la potencia transmitida en el tiempo a una frecuencia$$ $ en línea $ f = 10 $ en línea $ (kHz).


Voltaje transmitido


Poder transmitido

Se puede ver en las figuras que a una distancia de 25 (cm) el voltaje transmitido era aproximadamente 2.5 menos que la entrada, y la potencia pico transmitida era aproximadamente 4 veces menos que la potencia consumida desde la entrada, lo cual es consistente con las fórmulas obtenidas .

En conclusión, describimos qué medidas se pueden tomar para aumentar la potencia transmitida:

1. aumentar el número de vueltas en bobinas$$ $ en línea $ n_1, n_2 $ en línea $
2. aumentar el radio de vueltas$$ $ en línea $ a_1, a_2 $ en línea $
3. aumentar la frecuencia de transmisión$$ $ en línea $ f $ en línea $
4. reducir la distancia entre las bobinas$$ $ en línea $ d $ en línea $
5. Introducir un núcleo magnético que pertenezca a ambas bobinas (cerrado o abierto)
6. inserte un núcleo magnético abierto que pertenezca solo a la bobina del receptor

Quizás la redacción de este artículo impone una obligación al autor de fabricar y probar dicho sistema de dos bobinas en condiciones de laboratorio, pero esta es una historia completamente diferente. Gracias por su atencion

Literatura

1. Sivukhin, D. V. “Curso general de física. T. 3: Electricidad y magnetismo. (1990)
2. Bessonov, Lev Alekseevich. Fundamentos teóricos de la ingeniería eléctrica. Campo electromagnético Editorial URIGHT, 2012.
3. Lavrentiev, M.A. y B.V. Shabat. "Teoría de funciones de una variable compleja". (1972)