En el cuarto libro,
"Principios" de Euclides, un texto sobre geometría con una antigüedad de 2,300 años, hay una indicación para construir un polígono de 15 lados dentro de un círculo. El primer paso es bien conocido por los estudiantes de geometría: construir un triángulo equilátero y un pentágono regular para que sus vértices se encuentren en un círculo y ambas figuras tengan un vértice común. Además de las indicaciones textuales, los
"Principios" contenían dibujos que ilustran el método.
En la copia completa más antigua de The Beginnings , un manuscrito del siglo IX almacenado en la Biblioteca del Vaticano, se dibujaron y borraron secciones de líneas. Imagen del Catálogo en línea de la Biblioteca del Congreso, División de Grabados y Fotografías.Es imposible descubrir cómo eran los esquemas originales del propio Euclides, pero en los manuscritos sobrevivientes, se revelan variaciones sorprendentes en la exhibición de figuras geométricas como el pentágono. Tales variaciones parecen errores para el observador moderno: en algunas versiones medievales del texto, los segmentos de línea tienen una longitud incorrecta. En el manuscrito del siglo IX, la copia más antigua de
The Beginning , que se almacena en la Biblioteca del Vaticano, las secciones fueron dibujadas y borradas. En otro texto del siglo IX publicado en la Universidad de Oxford, los lados del pentágono dentro del círculo son curvos y desordenados, no rectos. Las curvas también se usan en la copia parisina del siglo XII, pero son un poco menos sinuosas que en la versión anterior de Oxford. El texto del siglo XI o XII se almacena en Viena, en el que las líneas originales tenían la longitud correcta y eran rectas, pero luego alguien les agregó segmentos curvos (1).
Los comienzos son de gran interés, pero este no es el único texto científico histórico con problemas en los dibujos. Resulta que se encuentran en copias de las obras de Ibn al-Khaysam, Arquímedes, Aristóteles y Ptolomeo. Entre las variaciones hay líneas paralelas que no son paralelas, formas marcadas incorrectamente, segmentos iguales o ángulos dibujados desiguales, o ángulos desiguales que pueden parecer iguales. Por ejemplo, en el manuscrito del Arquímedes Palimpsesto del siglo X, se usa un triángulo isósceles para indicar la parabota. Esto puede parecer simples rarezas históricas, pero algunos investigadores encuentran entre los dibujos pistas interesantes sobre cómo las matemáticas han evolucionado a lo largo del milenio.
Visualización
Los investigadores comienzan a estudiar estas variaciones para descubrir cómo se difunden las ideas matemáticas y comprender cómo las diferentes personas abordaron este tema. Tradicionalmente, los historiadores de las matemáticas que estudian textos griegos antiguos se centran en palabras y números y se saltan dibujos como ilustraciones simples para el texto. Según el historiador científico Nathan Sidoli de la Universidad de Waseda en Tokio y su colega Ken Saito de la Universidad de la Prefectura de Osaka, quienes notaron cambios esquemáticos en el octágono y otras pruebas en el ensayo de 2012, debido a este enfoque en el texto, nos saltamos parte de la historia (1).
Las matemáticas son ricas en abstracciones y, con el tiempo, las personas han descubierto muchas formas de visualizar estas abstracciones. "Desde nuestra juventud, aprendemos a comprender conceptos comunes de ciertas formas visuales", dice Sidoli. "Al observar estos trabajos, podemos recordar que esta no es una forma universal de ver".
Los dibujos y diagramas han sido parte de las matemáticas de miles de años de historia humana. Los babilonios calcularon las raíces cuadradas y conocieron el principio del teorema de Pitágoras otros mil años antes de Pitágoras o Euclides. Una tableta de arcilla que data del siglo XVII antes de Cristo, en la que se dibuja un dibujo de un cuadrado y sus diagonales con los números correspondientes, puede servir como evidencia. El pionero de la visualización de datos Edward Tufty, profesor de ciencias políticas, informática y estadística en Yale, llama a la tableta un "testigo gráfico" del conocimiento de los babilonios.
Algunos investigadores creen que los dibujos en sí mismos pueden ser una parte integral de las matemáticas y un portador de información entre siglos, a pesar de todas sus deficiencias. Si el error que apareció en una copia se extendió a versiones posteriores, esto indica que los encuestadores no entendieron las matemáticas o no apreciaron la precisión. Por otro lado, algunos expertos utilizaron planos para complementar el conocimiento establecido en
Los Principios . Por ejemplo, donde Euclides describió solo las propiedades de un ángulo agudo, los escribas posteriores podrían agregar propiedades similares para los ángulos obtusos y rectos.
Este fragmento de "Principios" era parte del papiro de Oxirinh, un grupo de manuscritos descubiertos en 1897 en un antiguo vertedero cerca de la ciudad de Oxirinh en Egipto. Un texto de aproximadamente 2.000 años de antigüedad se refiere al quinto teorema del segundo volumen del Principio . Imagen cortesía de Bill Casselman (Universidad de Columbia Británica, Vancouver).Intervención del lector
The Beginnings , que consta de trece volúmenes, se publicaron en al menos cientos de publicaciones, y hasta el siglo pasado fue el segundo libro más grande del mundo en términos de ventas. (La primera es la Biblia.) Pero no todo en
los Principios fue deducido por Euclides. Los volúmenes contienen una colección de conocimiento matemático conocido por los antiguos griegos de la época. El físico Stephen Hawking llamó a Euclides "el mejor enciclopedista matemático de todos los tiempos" y lo comparó con Noah Webster, quien compiló el primer diccionario de inglés (2).
Los "Principios" fueron traducidos del griego antiguo, árabe, latín, hebreo y otros idiomas. El tracto en el proceso de crecimiento y migración ha evolucionado, así como los dibujos en él. Los lectores dejaron notas en los márgenes e hicieron ediciones. Los lectores y traductores posteriores vieron tanto el manuscrito como los apéndices, y editaron el trabajo de acuerdo con lo que correspondía a su tiempo. Dichas interacciones se registran en traducciones de evidencia y dibujos de
los Principios , y el acto de copiar se convirtió, en palabras del estudiante graduado de la Universidad de Stanford, Yensu Lee, quien estudia la evolución de
los dibujos de
los Principios , en un acto de transformación.
"Podemos pasar por alto fácilmente el papel de los lectores en la creación de dibujos", dice Lee, enfatizando que podrían intervenir y contribuir haciendo notas en el manuscrito. Los escribas más tarde tomaron nota de estas notas. "Si creían que los dibujos de margen eran más importantes que los planos principales", explica Lee, "los planos marginales se convirtieron en los principales por generaciones posteriores". Estos cambios visuales transmiten ideas matemáticas de formas que el texto no puede transmitir.
Llamar a tales cambios errores sería demasiado común. Se suponía que algunos de los cambios eran mejoras; otros han surgido de prácticas culturales. Por ejemplo, el texto árabe se lee de derecha a izquierda, por lo que en las primeras versiones árabes de los
"Principios" la orientación de los dibujos a menudo se reflejaba: las esquinas que se abrían a la izquierda en los manuscritos griegos antiguos se revelaban a la derecha en las versiones árabes. Sin embargo, cuando estas versiones árabes se tradujeron al latín, algunos escribas no invirtieron los dibujos.
El matemático Robin Hartshorn, quien trabajó anteriormente en la Universidad de California en Berkeley, incluso afirma que no siempre es justo ver un cambio en los dibujos como un proceso de edición. Incluso con todas estas curvas y curvas, los dibujos de los pentágonos transmiten el significado deseado. El sello
"Principios" con dibujos precisos refleja los valores de los tiempos, dice, pero esta práctica es desleal a las versiones anteriores. "Yo lo llamaría un rediseño de dibujos para los gustos de los matemáticos modernos que buscan ver la precisión métrica", dice Hartshorn.
"Estos fueron planos dibujados a mano para conceptos que no siempre son fáciles de escribir por escrito", agrega la historiadora científica Courtney Roby, quien estudia textos de ciencias antiguas en la Universidad de Cornell. "Los dibujos son creaciones de autores y escribas específicos, su creatividad, experimentos y cambios".
La evolución comenzó
Lee participó en manuscritos desde el siglo IX hasta la primera versión impresa de
The Beginnings , que apareció en 1482 después de la invención de la imprenta. Desde entonces, dice Lee,
Beginnings se ha convertido en el libro de texto estándar en muchas universidades europeas, y sus dibujos se han convertido en una herramienta de enseñanza. Como resultado, "en la era de la cultura impresa, estamos observando tipos completamente diferentes de dibujos", dice Lee, quien digitaliza una colección de al menos cinco papiros, 32 manuscritos griegos antiguos, 92 manuscritos traducidos y 32 impresiones de Nachal.
Hasta el siglo XIX, el tratado euclidiano se consideraba un modelo de evidencia matemática rigurosa y estructurada. Para tener sentido, estas pruebas requieren dibujos. "Son inútiles sin planos", explica el filósofo John Mumma de la Universidad de California, argumentando que
los planos de
Beginnings no son solo una herramienta de enseñanza visual, sino que también son importantes para probar las declaraciones en sí mismas (3)
A finales del siglo XIX y principios del XX, los matemáticos cuestionaron la superioridad de
los comienzos y, en parte, la razón de esto fue la dependencia de Euclides de los dibujos. En particular, el matemático alemán David Hilbert pidió un enfoque más formal de las matemáticas, utilizando solo la lógica y sin requerir dibujos para las pruebas, lo que consideró una especie de "muleta" de las matemáticas.
"Rechazaron los" comienzos "de Euclides porque no parecían muy estrictos", dice John Mumma. "Se creía que usaba los dibujos de forma intuitiva y demasiado flexible".
Por ejemplo, en
"Principios" había un dibujo que mostraba un punto en una línea entre otros dos puntos. Hilbert necesitaba una descripción analítica de lo que llamó "intermediación", sin el uso de dibujos. El filósofo y lógico británico Bertrand Russell también criticó el enfoque de Euclides: se dio cuenta de que muchas pruebas griegas antiguas son débiles, porque toman el poder de su razonamiento de los dibujos, y no exclusivamente de la lógica. "La evidencia verdadera debe seguir siendo válida incluso en ausencia de figuras dibujadas, pero muchas pruebas euclidianas no pasan esta prueba", escribió Russell en 1902 (4). (La primera prueba en
los comienzos muestra cómo construir un triángulo isósceles usando dos círculos que se cruzan. Sin embargo, el punto de intersección se justifica a partir del dibujo, su existencia no se prueba estrictamente).
Sin embargo, muchos historiadores modernos de las matemáticas perciben el enfoque de Euclides como otra forma de ver las matemáticas, y no es necesariamente débil simplemente porque usa dibujos. Estos estudiosos sostienen que el dibujo es una prueba y que no hay una forma universal de entender las matemáticas. "Realmente podemos entender todo al usar exactamente la información en el dibujo como evidencia", dice Mumma. "Esto no es solo una ilustración".
La investigación moderna se ha centrado en los dibujos en su mayor parte desde la década de 1990, cuando Revil Netz de la Universidad de Stanford y Kenneth Manders de la Universidad de Pittsburgh declararon que los antiguos dibujos matemáticos merecen ser vistos desde un ángulo diferente. Netz dice que el área de investigación se enfoca en dos aspectos: la representación más gráfica y cómo las personas usan dibujos (5, 6). Argumenta que el trabajo de Lee de la Universidad de Stanford al comparar dibujos de diferentes siglos combina estos dos aspectos, lo que le permite ampliar el campo de estudio.
Netz dice que el trabajo de Lee ayudará a los historiadores a comprender cómo "la ciencia ha pasado de la geometría teórica de los antiguos griegos a ... un uso más aplicado y físico de la geometría para el mundo real".
Después de
The Beginnings, Lee quiere analizar los planos en Euclid
's Optics , un trabajo inicial sobre la física de la luz, y luego centrarse en el trabajo de Ptolomeo y Arquímedes. Espera que su investigación atraiga el interés de historiadores, filósofos y matemáticos en analizar cómo la gente usaba (y sigue usando) dibujos para estudiar ideas matemáticas profundas. "Tendemos a deshacernos de los planos", dice. “Pero algunas ideas no pueden transmitirse en el texto. Deben transmitirse gráficamente ".
Referencias
- Saito K, Sidoli N (2012) Diagramas y argumentos en la matemática griega antigua: lecciones extraídas de las comparaciones de los diagramas manuscritos con los de las ediciones críticas modernas. The History of Mathematical Proof in Ancient Traditions, ed Chemla K (Cambridge Univ Press, Cambridge, Reino Unido), págs. 135-162. Académico de Google
- Hawking S, ed (2002) Sobre los hombros de gigantes (Running Press, Filadelfia). Académico de Google
- Mumma J (2010) Pruebas, fotos y Euclides. Synthese 175: 255–287. CrossRef Web of Science Google Académico
- Russell B (1902) La enseñanza de Euclides. Math Gaz 2: 165–167. Académico de Google
- Netz R (1998) Diagramas matemáticos griegos: su uso y su significado. Aprenda Matemáticas 18: 33–39. Académico de Google
- Manders K (1995) Práctica geométrica basada en diagramas. The Philosophy of Mathematical Practice, ed Mancosu P (Oxford Univ Press, Oxford), págs. 65–79. Académico de Google