Primer universo 3. Efecto Doppler y teoría especial de la relatividad.

En el sitio de conferencias gratuitas, MIT OpenCourseWare publicó un curso de conferencias sobre la cosmología de Alan Gus, uno de los creadores del modelo inflacionario del universo.

Se invita su atención a la traducción de la tercera conferencia: "El efecto Doppler y la teoría especial de la relatividad".


Cambio Doppler no relativista

Al final de la última conferencia, comenzamos a discutir el cambio Doppler y presentamos la notación. Fue un caso cuando el observador está inmóvil y la fuente se mueve con velocidad $$$v$ . Consideramos ondas de sonido que tenían una velocidad fija en relación con algún medio.


La velocidad de onda relativa al medio se denota $$$u$ , $$$v$ significa la tasa de eliminación de la fuente como se muestra. $$$Δt_s$ - el intervalo de tiempo entre las crestas de onda emitidas por la fuente, es decir, el período de la onda en la fuente. $$$Δt_o$ indica el período de la onda en el observador. Necesitamos calcular la relación entre $$$Δt_o$ y $$$Δt_s$ .

La figura muestra los diversos pasos en este proceso. En la primera etapa, la fuente se mueve hacia la derecha y emite la primera cresta de la ola. Hasta ahora, nada particularmente interesante.

En un segundo paso, la fuente emite una segunda cresta de onda. Pero durante este tiempo la fuente se ha movido, este movimiento se resalta en amarillo. El tiempo entre la emisión de las crestas de la ola es $$$Δt_s$ . Por lo tanto, la distancia que recorre la fuente durante este tiempo es $$$vΔt_s$ . Llama a esta distancia $$$Δl$ .
Este es un paso realmente importante; explica el cambio Doppler. Se ve que la segunda cresta de la ola debería pasar un poco más que la primera cresta, por $$$Δl$ .
La tercera etapa: la ola pasó la distancia entre el observador y la fuente. En esta etapa, la primera cresta acaba de golpear al observador. La cuarta etapa: la segunda cresta golpeó al observador.

Para comprender a qué es igual el desplazamiento Doppler, debe tenerse en cuenta que si ambos objetos estuvieran inmóviles, no habría diferencia en el período de la onda entre el observador y la fuente. Cada cresta de la onda golpearía al observador con un retraso igual al tiempo durante el cual la onda de sonido recorre la distancia desde la fuente hasta el observador. Pero, en ausencia de movimiento, este retraso es el mismo para cada cresta. Por lo tanto, si la fuente no se mueve $$$Δt_o$ = $$$Δt_s$ .
Pero debido al movimiento de la fuente, la segunda cresta tendrá que recorrer una distancia mayor que $$$Δl$ . La diferencia entre los períodos será igual al tiempo que tarda la ola en recorrer esta distancia.

$$

$$Δt_o = Δt_s + \ frac {Δl} u$$

Sabemos lo que es igual $$$Δl$ . $$$Δl$ - es solo $$$vΔt_s$ . Sustituyendo en nuestra ecuación obtenemos:

$$

$$Δt_o = Δt_s + \ frac {vΔt_s} u$$

Esta ecuación muestra la relación entre $$$Δt_o$ y $$$Δt_s$ . Puedes encontrar la relación $$$Δt_o$ y $$$Δt_s$ .

$$

$$\ frac {Δt_o} {Δt_s} = 1+ \ frac vu$$

Esta relación es también la relación de la longitud de onda del observador $$$λ_o$ y en la fuente $$$λ_s$ , porque la longitud de onda es simplemente igual a la velocidad de la onda multiplicada por su período $$$Δt$ .
Existe una definición estándar para describir Doppler o desplazamiento al rojo.

$$$$ display $$ \ frac {λ_} {λ_s} = 1 + z $$ display $$

$$$z$ llamado Doppler o desplazamiento al rojo. Los astrónomos restan uno de la relación de longitud de onda para que cuando ambos objetos estén inmóviles, $$$z$ resultó ser 0. Este caso corresponde a la ausencia de desplazamiento al rojo y significa que la longitud de onda es la misma en la fuente y en el observador.

$$$$ display $$ \ frac {λ_} {λ_s} = \ frac {Δt_o} {Δt_s} = 1+ \ frac vu = 1 + z $$ display $$

Por lo tanto, obtenemos el desplazamiento al rojo para el movimiento no relativista, u onda de sonido, en el caso en que la fuente se mueve:

$$

$$z = \ frac vu$$

Ahora pasamos a otro caso simple, cuando el observador se mueve y la fuente es estacionaria. La fuente todavía está a la derecha y el observador está a la izquierda. Pero esta vez, el observador se mueve a gran velocidad. $$$v$ . En ambos casos $$$v$ Es la velocidad relativa entre la fuente y el observador.


El primer paso es nuevamente bastante simple. La fuente emite la primera cresta de la ola. Etapa dos: la fuente emite la segunda cresta de la onda. Etapa número tres: la primera cresta de la ola llega al observador. Etapa cuatro: la segunda cresta de la ola llega al observador.

Entre el momento en que la primera cresta llega al observador y el momento en que la segunda cresta llega al observador, es decir, el tiempo entre la tercera y la cuarta etapa que el observador se ha movido. Se movió una distancia igual a $$$v$ veces el tiempo entre estos pasos. El tiempo entre estas etapas es solo el tiempo que transcurre entre la recepción de dos crestas por parte del observador. Esto es lo que hemos designado $$$Δt_o$ Es el período de onda medido por el observador. La distancia recorrida es fácil $$$vΔt_o$ . Todo lo necesario para obtener una respuesta ocurre dentro del rectángulo amarillo en la última etapa.

Puedes escribir las ecuaciones para este caso. Esta vez es un poco más complicado. Comencemos con la misma idea. $$$Δt_o$ sería igual $$$Δt_s$ si no hubo movimiento Pero $$$Δt_o$ se vuelve un poco más grande debido a la distancia adicional que recorre la segunda cresta. Esta distancia extra se llama nuevamente $$$Δl$ . El tiempo de retraso será nuevamente $$$Δl$ dividido por $$$u$ , velocidad de onda.

Pero esta vez tenemos una fórmula diferente para $$$Δl$ . Esta vez $$$Δl$ es igual a $$$vΔt_o$ pero no $$$vΔt_s$ como en el caso anterior

$$$$ display $$ Δt_o = Δt_s + \ frac {Δl} u = Δt_s + \ frac {vΔt_o} u $$ display $$

La ecuación se vuelve un poco más complicada porque $$$Δt_o$ aparece a ambos lados de la ecuación. Sin embargo, esta es una ecuación con una desconocida, de la cual es fácil de encontrar $$$Δt_o$ . Después de simples transformaciones algebraicas obtenemos:

$$

$$\ frac {Δt_o} {Δt_s} = (1- \ frac vu) ^ {- 1}$$

Restando la unidad, obtenemos la ecuación final para $$$z$ , nuevamente para el caso no relativista cuando el observador se mueve:

$$

$$z = \ frac {Δt_o} {Δt_s} -1 = (1- \ frac vu) ^ {- 1} - 1 = \ frac {v / u} {1-v / u}$$

Vale la pena señalar que cuando la velocidad $$$v$ pequeño en comparación con la velocidad de la onda, que a menudo ocurre si consideramos una onda de luz, pero también ocurre en el caso de la propagación del sonido, entonces ambas fórmulas para $$$z$ son casi lo mismo Ambos son proporcionales $$$v / u$ si $$$v / u$ no es suficiente La única diferencia es el denominador.

En el segundo caso, tenemos el denominador $$$1-v / u$ . En el primer caso $$$z$ solo igual $$$v / u$ , y no hay denominador. Si $$$v / u$ es pequeño, entonces el denominador en el segundo caso es cercano a 1. Por lo tanto, las dos fórmulas serán casi iguales. Puede describir esto con un poco más de precisión calculando la diferencia entre z en ambos casos. Habiendo hecho cálculos simples, obtenemos:

$$

$$z_ {source \ _moves} - z_ {observador \ _moves} = \ frac {(v / u) ^ 2} {1- \ frac vu}$$

La fórmula muestra claramente que la diferencia entre $$$z$ proporcional $$$(v / u) ^ 2$ no solo $$$v / u$ . Si $$$v / u$ igual a una milésima, la diferencia será una millonésima. Por lo tanto, para velocidades lentas, no importa si la fuente se mueve o si el observador se mueve. Pero las respuestas, por supuesto, serán muy diferentes si la velocidad $$$v$ comparable a $$$u$ .
ESTUDIANTE: ¿Viola esto el principio de relatividad de Galileo?

MAESTRO: En realidad no. Para nuestros cálculos, el aire en el que se mueve la onda de sonido es crítico. En ambos casos, el aire está en reposo en relación con el patrón. Si las transformaciones de Galileo se realizan de una imagen a otra, luego de la transformación, el aire se moverá y la imagen no será exactamente la misma.

Por lo tanto, todo es consistente con la teoría galileana de la relatividad. Debe recordarse que el aire juega un papel decisivo aquí. Cuando decimos que el observador o la fuente está en reposo, en realidad significa que está en reposo con respecto al medio en el que se mueve la onda.

ESTUDIANTE: me di cuenta de que si $$$v$ mas $$$u$ , entonces en el primer caso la respuesta siempre es positiva, todo está en orden. Pero si $$$v$ mas $$$u$ en el segundo caso, se obtiene una respuesta negativa. Me parece extraño

MAESTRO: Sí, si $$$v$ mas $$$u$ , entonces, en el caso del movimiento del observador, la respuesta se vuelve negativa. Esto significa que la ola nunca llegará al observador. Si el observador se mueve más rápido que la velocidad de la ola, la ola nunca lo alcanzará. Por lo tanto, obtenemos una respuesta tan inusual. Si la fuente se mueve más rápido que la velocidad de la ola, la ola aún llega al observador. Por lo tanto, en el primer caso, obtenemos la respuesta correcta.

Dilatación del tiempo relativista
Pasemos ahora al caso relativista. Necesitamos algunos hechos de la teoría de la relatividad. Como hay cursos especializados en la teoría de la relatividad, no quiero que nuestras conferencias se conviertan en tal curso. Sin embargo, quiero que nuestro curso sea entendido completamente por personas que no hayan completado la teoría de la relatividad. El conocimiento de la teoría especial de la relatividad no es un requisito previo para nuestro curso. Por lo tanto, mi objetivo será contarle lo suficiente sobre la teoría especial de la relatividad para que pueda comprender lo que sigue. No daré los resultados; su conclusión se puede encontrar en otros cursos. Si no quieres visitarlos, entonces también está bien. Pero quiero que mi curso sea lógicamente consistente.

Por lo tanto, consideraremos las consecuencias de la teoría especial de la relatividad, sin tratar de conectarlas directamente con las ideas fundamentales de la teoría especial de la relatividad. Sin embargo, recuerdo de dónde vino la teoría especial de la relatividad. Se originó en la cabeza de Albert Einstein cuando examinó la teoría galileana de la relatividad, que se le preguntó hace un minuto. La teoría de la relatividad galileana dice que si observa cualquier proceso físico en un marco de referencia que se mueve a una velocidad uniforme en relación con otro marco de referencia, entonces, en ambos sistemas de informes, las leyes de la física deberían describirse de la misma manera.

La teoría de la relatividad de Galileo jugó un papel muy importante en la historia de la física. La pregunta clave durante la época de Galileo era si la Tierra se movía alrededor del Sol o si el Sol giraba alrededor de la Tierra. Galileo participó activamente en esta disputa. Uno de los argumentos que demuestran que el Sol debería moverse alrededor de la Tierra, y no al revés, fue tal que si la Tierra se mueve alrededor del Sol, esto significa que nos estamos moviendo con la Tierra a una velocidad muy alta. La velocidad de la tierra alrededor del sol es alta según los estándares convencionales. La gente en ese momento creía que obviamente tal movimiento debería sentirse. Esto era evidencia de que la tierra estaba inmóvil y que el sol se movía. Porque, de lo contrario, se sentiría el efecto del movimiento rápido de la Tierra.

Para el punto de vista de Galileo de que la Tierra se está moviendo, es crucial que no notemos tal movimiento. Si nos movemos de manera uniforme, las leyes de la física siguen siendo exactamente las mismas que lo serían si estuviéramos solos. Esta es la esencia de la teoría de la relatividad de Galileo. Galileo lo declaró muy claramente en sus escritos.

Todo esto era cierto para los fenómenos mecánicos. Sin embargo, en la década de 1860, Maxwell derivó sus ecuaciones. O más bien, completó su conclusión, la mayoría de estas ecuaciones ya existían. De las ecuaciones de Maxwell se deduce que la luz debe moverse a una velocidad fija, que puede expresarse en términos de constantes eléctricas y magnéticas. $$$ε_0$ y $$$µ_0$ . Esta velocidad denotamos $$$c$ . Ahora imagine que golpea una nave espacial que se mueve a una velocidad igual a, digamos, la mitad $$$c$ , y perseguido por un rayo de luz. Según la física, que se conocía en ese momento, resultó que desde el punto de vista de una nave espacial se movía a una velocidad $$$c / 2$ , el pulso de luz se alejará de todo a una velocidad $$$c / 2$ . Pero esto significa que en el marco de referencia de una nave espacial de movimiento tan rápido, las leyes de la física deben de alguna manera diferir. Las ecuaciones de Maxwell deben diferir de la forma estándar.

Había cierta tensión entre la física de Maxwell y la física de Newton. Tensión, pero no una contradicción. Es posible imaginar que hay un sistema de referencia fijo en el que las ecuaciones de Maxwell tienen una forma simple. Pero las ecuaciones de Newton tienen la misma forma en todos los marcos de referencia inerciales. Para explicar por qué sucede esto, los físicos inventaron la idea del éter, es decir, un entorno en el que se propagan las ondas de luz, como el aire en el que se propagan las ondas de sonido. El marco de referencia en el que las ecuaciones de Maxwell tienen una forma simple es el marco de referencia en el que el éter está en reposo. Si nos movemos en relación con el éter, las ecuaciones se vuelven diferentes. Eso pensaba la gente en 1904. Era un punto de vista constante, pero significaba que había una dualidad entre el electromagnetismo y la mecánica.

Einstein pensó que tal vez la física no es tan ilógica. Tal vez hay una forma más elegante que puede explicar todo. Se dio cuenta de que si modifica las ecuaciones que se utilizan para convertir entre diferentes marcos de referencia, puede hacer que las ecuaciones de Maxwell sean invariables. Puede hacer que las ecuaciones de Maxwell sean válidas en todos los marcos de referencia. Volvamos a nuestro ejemplo de un barco persiguiendo un rayo de luz. Según las nuevas ecuaciones de transformación que propuso Einstein, resulta que, aunque esto contradice la intuición de que el pulso de luz se aleja de la nave a una velocidad $$$s$ . Aunque el barco en sí se mueve a gran velocidad $$$c / 2$ tratando de atrapar un pulso ligero.

No es obvio cómo puede ser esto. Pero resulta que eso es exactamente lo que sucede. Básicamente era el presentimiento de Einstein. Sugirió que no hay éter, que las leyes de la física, el electromagnetismo y la mecánica son las mismas en todos los marcos de referencia. Para que esto resulte, las ecuaciones de transformación entre diferentes sistemas de referencia deben diferir de las utilizadas por Galileo.

Estas transformaciones se llaman transformaciones de Lorentz. En esta conferencia no los escribiremos. En esta conferencia, hablaremos sobre tres efectos físicos que se derivan de las transformaciones de Lorentz. Uno de estos efectos es la dilatación del tiempo. Un poco más adelante discutiremos otros dos efectos principales que son necesarios para comprender la teoría especial de la relatividad y explicar cómo puede ser que la velocidad de la luz sea la misma para todos los observadores, incluso para aquellos que se mueven.


Disminuir la velocidad del tiempo es que si observa un reloj en movimiento, entonces el reloj en movimiento "se ve" más lento. Observo que pongo la palabra "mirar" entre comillas. Volveremos a esto y discutiremos en detalle lo que significa la palabra "mirar". Sin embargo, un reloj en movimiento se verá en mi marco de referencia siempre más lento en un número absolutamente predecible de veces. Este número es una expresión bien conocida en la teoría especial de la relatividad. $$$γ$ :

$$

$$γ = \ frac 1 {\ sqrt {1-β ^ 2}}$$

donde $$$β$ Es solo una designación para $$$v / c$ es la velocidad del reloj dividida por la velocidad de la luz. Si $$$v / c$ pequeño, entonces la desaceleración también es pequeña, $$$γ$ casi igual a 1. La dilatación del tiempo en 1 vez significa que el tiempo no se ralentiza en absoluto. Si $$$γ$ cerca de 1, entonces el efecto será insignificante. Pero un reloj en movimiento siempre irá más lento.

Volvamos a la palabra "mirar". Hay sutileza. El año pasado, el PBS lanzó una película de cuatro partes , Space Fabric, de Brian Green. Intentó ilustrar la dilatación del tiempo. Mostró a un hombre sentado en una silla, y un hombre caminando hacia él y con un reloj sobre su cabeza. La cámara mostró que una persona sentada en un sillón vería que el reloj comienza a moverse más lentamente cuando se mueve. Esto no es verdad Esto no es lo que realmente ve. Y este es el problema clave de la palabra "mirar".

Cuando decimos que un reloj en movimiento es más lento, no queremos decir que el observador realmente lo vea. La complejidad de la situación es que cuando miras algo, registras pulsos de luz que llegan a tus ojos en un momento dado. Dado que la luz viaja en tiempo finito, significa que ves cosas diferentes en diferentes momentos. Por ejemplo, si hay algún objeto, por ejemplo, un puntero láser volando hacia mí, veré su parte trasera donde estaba antes que la parte delantera. Porque la luz que se emite desde la parte posterior tarda más en llegar a mi ojo que la luz emitida desde el frente del puntero.

Por lo tanto, cuando un objeto se acerca a mí, veré sus diferentes partes en diferentes momentos. Todo esto se complica. Lo que veré, teniendo en cuenta la teoría especial de la relatividad, es bastante difícil. Se puede calcular, pero no existe una expresión simple para esto. Es necesario calcular paso a paso lo que veré en un momento dado. Esto no es como una simple imagen.

Por lo tanto, la afirmación de que el reloj va más lento en $$$γ$ veces, no se basa en lo que el observador realmente ve. Se basa en lo que verá el marco de referencia, no en una persona específica. Esto finalmente lleva a una imagen más simple. El sistema de referencia se puede representar como un conjunto de reglas conectadas entre sí, de modo que formen una cuadrícula de coordenadas y un conjunto de relojes ubicados en todas partes dentro de esta cuadrícula.

Además, todas las observaciones se realizan localmente. Es decir, si queremos medir el tiempo en algún tipo de sistema de referencia, no usamos el reloj central, esperando que el pulso de luz llegue a este reloj central. En cambio, el sistema de referencia está lleno de relojes que se han sincronizado entre sí desde el principio. Si queremos saber a qué hora ocurrió un evento, miramos el reloj al lado. Este reloj muestra cuándo ocurrió este evento.

Como regla general, así es como trabajamos con varios sistemas de coordenadas. Si queremos entender lo que ve un observador en particular, entonces la imagen es complicada. Debemos tener en cuenta la velocidad de la luz. Solo al excluir el tiempo para la propagación de la luz y al calcular lo que mostrará el reloj local, veremos la dilatación del tiempo en una forma simple, que los relojes en movimiento siempre van más despacio.

En particular, en el ejemplo de una persona sentada en una silla y un reloj acercándose a él. Una persona experimentará lo que estamos discutiendo en esta conferencia: cambio Doppler. A medida que el reloj se le acerca, experimentará un cambio azul, no uno rojo. Verá que el reloj va más rápido, no más lento, exactamente lo contrario de lo que se mostró en el programa de televisión. Le parecerá que el reloj se mueve más rápido debido al hecho de que cada pulso de luz posterior viaja una distancia más corta a medida que el reloj se acerca al observador. Este efecto hace una contribución mayor que el efecto de ralentizar un reloj en movimiento en comparación con un reloj fijo ubicado directamente al lado.

ESTUDIANTE: Si un reloj vuela muy rápido frente a nosotros, ¿podríamos verlo disminuir cuando es estrictamente perpendicular a nosotros?

MAESTRO: Sí, tienes toda la razón. Cuando el reloj vuela más allá del observador y está estrictamente opuesto a él, la velocidad del reloj en su marco de referencia es perpendicular a la velocidad de los fotones que ve. Al hacerlo, verá el efecto puro de la dilatación del tiempo.

Quiero agregar que yo y varias otras personas del MIT participamos en la creación de la película de Brian Green. Discutimos este problema durante mucho tiempo con Brian Green por correo electrónico. Todos dijimos que esto está mal. Sin embargo, Brian Green tomó la posición de que esto se hizo intencionalmente, que estaba tratando de ilustrar el efecto de la dilatación del tiempo, sin discutir el cambio Doppler. Como no quería hablar sobre el cambio Doppler, simplemente ignoró el hecho de su existencia. Todos pensamos que esto estaba mal desde un punto de vista pedagógico. Pero no pudimos convencer a Brian de esto.

Cambio Doppler Relativista

Ahora calculamos nuevamente el cambio Doppler, esta vez considerando que el reloj en movimiento es más lento en$$$γ$tiempos Trataremos el caso relativista donde la onda es una onda de luz. Y las velocidades pueden ser comparables a la velocidad de la luz. Esta vez, el efecto de la dilatación del tiempo es lo suficientemente grande como para tenerlo en cuenta.

Esta vez, ambas respuestas deberían ser iguales. Si las respuestas son diferentes, resulta que nuestra imagen del mundo es incorrecta, contradictoria. No importa si la fuente se mueve o si el observador se mueve. Anteriormente, importaba, y atribuimos esto al hecho de que el aire estaba involucrado en el proceso. Si hacemos una transformación para movernos de un caso a otro, desde el caso cuando la fuente se está moviendo, hasta el caso cuando el observador se está moviendo, el aire tendrá diferentes velocidades en diferentes casos. En un caso, estará inmóvil; en el otro, se moverá. Por lo tanto, no planeamos obtener la misma respuesta.

Pero ahora, cuando nos movemos del caso donde la fuente se está moviendo, al caso donde el observador se está moviendo, el éter debe moverse a una velocidad diferente. Pero el axioma principal de la teoría especial de la relatividad es que no hay éter, al menos no hay efectos físicos que surjan del éter. Entonces puedes fingir que no existe. Por lo tanto, en la teoría especial de la relatividad, debemos obtener la misma respuesta, ya sea una fuente en movimiento o un observador en movimiento. Esta es en realidad la misma situación, solo considerada desde diferentes marcos de referencia. La teoría especial de la relatividad afirma que no importa en qué marco de referencia hagamos los cálculos. Utilizaremos las mismas cifras, pero esta vez tendremos en cuenta el hecho de que los relojes en movimiento se ralentizan en$$$γ$ tiempos


Para comenzar, pensemos en qué etapa es importante para nosotros reducir la velocidad de un reloj en movimiento. En el segundo. Es en esta etapa que la fuente mide el período entre la emisión de dos crestas de la onda con un reloj en movimiento. Uno simplemente puede imaginar que la fuente emite una serie de pulsos, donde cada pulso es una cresta de onda. Para mí, esto parece un poco más simple porque no necesita pensar en la onda sinusoidal que la fuente realmente crea.

El tiempo entre estos pulsos, medido por el reloj de la fuente, es lo que designamos como$$$Δt_s$ .La fuente se mueve en nuestra imagen. Realizaremos todos los cálculos en nuestro marco de referencia. Esto es muy importante, ya que las transformaciones entre sistemas de referencia son un poco complicadas en la teoría especial de la relatividad. Cuando resuelve un problema, es muy importante elegir un marco de referencia que utilizará para describir el problema y cumplirlo. Si algo se describió originalmente en un marco de referencia diferente, debe comprender cómo se ve en su marco de referencia. Luego correlacionar esto con otros eventos que se describen en su marco de referencia.

Para nuestra tarea, nuestro marco de referencia será un marco de referencia para la imagen, un marco de referencia que está en reposo en relación con el observador. También puede llamarlo el sistema de referencia del observador. Con respecto a este sistema de referencia, la fuente se mueve. La fuente emite un tren de pulsos. Uno puede imaginar que la fuente es solo un reloj. Cualquier fenómeno que se repite a intervalos regulares es un reloj. Por lo tanto, la fuente es un reloj en movimiento que corre más lento en$$$γ$tiempos

De lo contrario, nada cambia. El observador también tiene un reloj que usa para medir el tiempo entre crestas. Pero el reloj del observador descansa en nuestro marco de referencia. Por lo tanto, no hay dilatación del tiempo asociada con el reloj del observador, solo una dilatación del tiempo asociada con el reloj de la fuente. Y nuevamente, todo lo importante se representa dentro del rectángulo amarillo. Ahora necesita mirar las ecuaciones y ver cómo cambian.

La última vez, el intervalo de tiempo medido por el observador fue la suma de dos miembros. Como el primer miembro fue$$$Δt_s$, sería el único miembro si la fuente estuviera en reposo. Esto también es cierto en nuestro caso. Pero el tiempo en la fuente es más lento$$$γ$tiempos Es decir, si no tiene en cuenta los cambios en la longitud de la ruta (tomaremos en cuenta estos cambios en el próximo término), el período medido por el observador será diferente del período medido por la fuente en$$$γ$tiempos Pero necesitas averiguar si$$$γ$pararse en el numerador o denominador. Un ejemplo mental puede ayudar.

Entonces, el reloj fuente va más lento. Supongamos que estamos hablando de un intervalo de tiempo de un segundo. Si el reloj de la fuente va más lento, esto significa que debe pasar más tiempo para que pasemos un segundo en la fuente. Digamos que el reloj corre más lento dos veces. Esto significa que la fuente solo tendrá un segundo cada dos segundos. Esto significa que el período que veremos será más largo que$$$Δt_s$ en $$$γ$tiempos Así, frente al primer término ponemos un factor$$$γ$ . El segundo término sigue siendo igual. $$$Δl/u$ .

$$

$$Δt_o = γΔt_s + \frac{Δl}u$$

Pero la expresión para $$$Δl$ También cambiando. $$$Δl$Es el intervalo de tiempo que requiere un pulso de luz para recorrer una distancia adicional. La distancia extra es proporcional al tiempo entre pulsos. Este tiempo cambia debido a la desaceleración del reloj fuente. Entonces el segundo término también aumenta en$$$γ$ tiempos

$$

$$Δt_o = γΔt_s + \frac{Δl}u = γΔt_s + \frac{vγΔt_s}u = γ(1+\frac vu)Δt_s$$

Entonces toda la respuesta aumenta en $$$γ$tiempos Dado que

$$

$$γ = \sqrt{\frac 1{1-{(\frac vu)}^2}}$$

y

$$

$$1-{(\frac vu)}^2 = (1-\frac vu)(1+\frac vu)$$

después de transformaciones algebraicas obtenemos

$$

$$Δt_o = \sqrt \frac {1+β}{1-β}Δt_s$$

Entonces, obtuvimos una respuesta que tiene en cuenta la teoría especial de la relatividad en el caso del movimiento fuente. Con la teoría de la relatividad tomada en cuenta, nuestra respuesta aumentó en$$$γ$tiempos Esperamos que la respuesta no dependa de si la fuente u observador se está moviendo, pero, por supuesto, esto debe verificarse mediante cálculos.


Como base, tomamos el cálculo que ya hemos hecho para el caso no relativista, con un observador en movimiento. Intentaremos calcular el caso relativista. Ahora el reloj del observador es más lento. Van más despacio con respecto a nosotros, con respecto a nuestro marco de referencia, donde nuestro marco de referencia, por definición, es el marco de referencia de nuestra imagen.

Lo más importante está sucediendo nuevamente en el rectángulo amarillo. La fuente es estacionaria, por lo tanto$$$Δt_s$ - es solo el período de onda medido por nuestro reloj. Pero el periodo medido por el observador $$$Δt_o$ será diferente Por lo tanto, escribiremos nuestra ecuación de una manera diferente, reemplazando la expresión para $$$Δl$ . Para $$$Δl$ en lugar de $$$vΔt_o$ nosotros escribiremos $$$vΔt '$ .

$$$Δt '$ no igual $$$Δt_o$ . $$$Δt '$ - este es el tiempo transcurrido entre la tercera y la cuarta etapa, es decir, el tiempo transcurrido entre la llegada de dos crestas de onda adyacentes al observador, medido en nuestro marco de referencia. Describimos todo desde el punto de vista de nuestro marco de referencia. $$$Δt '$ diferente de $$$Δt_o$ en $$$γ$ veces, porque en relación con nosotros, el reloj del observador es más lento en $$$γ$ tiempos

De nuevo, necesitas pensar un poco dónde estar $$$γ$ , en el numerador o denominador. Sabemos que el reloj del observador es más lento en relación con el nuestro. Esto significa que el tiempo que tarda un observador en pasar un segundo debería llevar más de un segundo. Por lo tanto $$$Δt '$ = $$$γΔt_o$ . Por ejemplo, durante el tiempo que el reloj del observador pasa un segundo, pasan dos segundos.

Repetiremos el cálculo que hicimos para el caso no relativista cuando el observador se estaba moviendo. Pero en el cálculo agregaremos una dilatación del tiempo que hará que este cálculo sea verdadero. Primero, escribimos las ecuaciones, cómo se ven en nuestro marco de referencia, es decir, usan el intervalo $$$Δt '$ :

$$

$$Δt '= Δt_s + \ frac {vΔt'} c$$

Ahora podemos realizar transformaciones similares a las que realizamos para el caso no relativista y obtener la expresión para $$$Δt '$ :

$$

$$Δt '= (1- \ frac vc) ^ {- 1} Δt_s$$

Sustituyendo una expresión por $$$Δt_o$ obtenemos:

$$$$ display $$ Δt_o = \ frac 1γΔt '= \ sqrt {(1 + β) (1-β)} \ frac 1 {1-β} Δt_s $$ display $$

o:

$$$$ display $$ Δt_o = \ sqrt \ frac {1 + β} {1-β} Δt_s $$ display $$

Esta expresión es cierta tanto en el caso del movimiento de la fuente como en el caso del movimiento del observador.

Redshift $$$z$ en el caso relativista resulta:

$$$$ display $$ z = \ frac {Δt_o} {Δt_s} -1 = \ sqrt \ frac {1 + β} {1-β} -1 $$ display $$

Entonces, obtuvimos lo que esperábamos. Que el resultado es consistente con los principios de la teoría de la relatividad. Nuestra respuesta no depende de si la fuente o el observador se están moviendo, porque no importa en qué marco de referencia realicemos los cálculos.

Otros efectos de la relatividad especial.

Ahora quiero hablar sobre otros dos efectos cinemáticos de la teoría especial de la relatividad, a saber, la contracción de Lorentz y el cambio en el concepto de simultaneidad. Pero antes de abordar estos efectos, hay otro tema que debemos discutir. Este es un reloj que se mueve con aceleración.

La teoría especial de la relatividad describe los marcos de referencia inerciales y qué transformaciones se realizan durante la transición de un sistema inercial a otro. Si sabemos cómo funciona el reloj, que está en reposo en el mismo marco de referencia, la teoría especial de la relatividad describe completamente cómo funcionará el reloj en el marco de referencia, moviéndose a una velocidad uniforme en relación con el marco de referencia original. O, en otras palabras, describe cómo funcionará el reloj si se mueve a una velocidad constante.

Sin embargo, en el mundo real, tenemos muy pocas horas que puedan considerarse inerciales. Cualquier reloj que vemos a nuestro alrededor, el reloj en la pared que se mueve con la Tierra, o mi reloj, se acelera constantemente. Queremos poder trabajar con relojes que aceleren y se muevan a velocidades relativistas. Esto, por ejemplo, sucede en los satélites. El sistema GPS, como probablemente sepa, no funcionará si los cálculos no tienen en cuenta los efectos de la teoría especial de la relatividad e incluso la teoría general de la relatividad. Por lo tanto, estudiar el comportamiento de un reloj en movimiento es un desafío tecnológico crítico.

¿Qué podemos decir sobre un reloj acelerador? Existe un mito común de que se necesita una teoría general de la relatividad para describir la aceleración. Por lo tanto, debemos posponer la conversación sobre la aceleración de las horas hasta que tomemos un curso en la teoría general de la relatividad. De hecho, esto no es así. La teoría general de la relatividad es la teoría de la gravedad, que afirma que la gravedad y la aceleración están estrechamente relacionadas. En este contexto, la aceleración aparece en la teoría general de la relatividad.

Sin embargo, la teoría especial de la relatividad es suficiente para describir cualquier sistema que se describe mediante ecuaciones que son consistentes con la teoría especial de la relatividad. La relatividad especial no describe la gravedad. Por lo tanto, en una situación donde la gravedad es importante, la teoría especial de la relatividad no puede dar los resultados correctos. Pero mientras la gravedad está ausente, mientras tratamos solo con fuerzas electromagnéticas, nadie nos molesta usando las ecuaciones de la teoría especial de la relatividad.

Debemos usar las ecuaciones de dinámica en relatividad especial, que muestran cómo los cuerpos reaccionan a las fuerzas. Cada vez que se aplica fuerza, aparece la aceleración. Tales ecuaciones existen. Podemos combinar, por ejemplo, el electromagnetismo con la mecánica relativista para describir un sistema de partículas que interactúan usando fuerzas electromagnéticas, de acuerdo con la teoría especial de la relatividad. Y, a pesar del hecho de que estas partículas se están acelerando, podemos calcular para ellas todo lo que queramos.

En particular, si hay relojes hechos de partes cuya física entendemos, la teoría especial de la relatividad puede decirnos cómo se comportarán estos relojes, incluso cuando se están acelerando. Sin embargo, este cálculo puede ser muy, muy complicado. Porque la física de cualquier reloj real, por ejemplo, mi reloj, es muy complicada. Pero no necesitamos escribir las ecuaciones que describen mi reloj para comprender cómo se comportarán durante la aceleración.

Observo que muchos de ustedes ya tienen mucha experiencia con relojes de aceleración, porque muchos de ustedes usan relojes que aceleran constantemente. Y generalmente funcionan. Por lo general, suponemos que aunque el reloj está acelerando, está lo suficientemente bien como para resistir la aceleración que su muñeca les da y muestra la hora correcta.

Por otro lado, uno puede imaginar la situación opuesta. Si toma un mecanismo mecánico y lo arroja contra la pared, se estrellarán contra la pared y se detendrán. Cuando chocan contra una pared, experimentan una aceleración muy grande. Si la aceleración es lo suficientemente grande, podemos predecir lo que sucederá con el reloj, incluso si se trata de una interacción compleja. Si la aceleración es lo suficientemente grande, simplemente rompe el reloj y se detiene. Este es uno de los posibles efectos que la aceleración puede tener en el reloj.

Otros efectos son similares a este. Si el movimiento de mi mano afecta el trabajo del reloj, este es un efecto mecánico que puede calcularse entendiendo la mecánica del reloj y no utilizando los principios de la teoría general de la relatividad. La diferencia con la teoría especial de la relatividad aquí es que la teoría especial de la relatividad puede hacer una predicción precisa de cómo se comportará el reloj si se mueve a una velocidad constante, incluso sin saber nada sobre la estructura de este reloj. La relatividad especial puede hacer tal predicción, porque hay simetría, la simetría de Lorentz, que conecta un reloj en movimiento y un reloj en reposo. Esta es la simetría exacta de la naturaleza. Independientemente de lo que esté hecho el reloj, si se mueve a una velocidad constante, la teoría especial de la relatividad afirma que irá más lento en $$$γ$ tiempos

Por otro lado, ni en la teoría especial de la relatividad ni en la teoría general de la relatividad existe un principio similar con respecto a la aceleración. La forma en que actúa la aceleración en el reloj, por supuesto, depende de qué tan grande sea la aceleración, cómo está organizado el reloj y cómo la aceleración afecta a las diferentes partes internas del reloj. La conclusión es que cuando hablamos de un reloj de aceleración, siempre suponemos que el reloj está lo suficientemente bien como para que la aceleración no afecte la velocidad. Asumimos que estos son relojes perfectos, que están hechos perfectamente bien. Cuando decimos que la aceleración no afecta la velocidad del reloj, queremos decir que en cada momento el reloj funciona exactamente a la misma velocidad que otros relojes que se mueven simultáneamente con nuestro reloj a la misma velocidad, pero sin aceleración .

En cualquier momento, mi reloj tendrá una cierta velocidad. El ritmo de su progreso se verá muy ligeramente afectado. $$$γ$ , que en nuestro caso estará muy cerca de 1. Si consideramos que mi reloj es un reloj ideal, entonces suponemos que en cualquier momento van a la misma velocidad que el reloj, que no se acelera, pero que se mueven con el mismo velocidad, como un reloj. Entonces el factor $$$γ$ permanecerá, pero no habrá efecto de aceleración. La velocidad del reloj estará determinada solo por su velocidad en relación con nuestro sistema de referencia.

Ahora quiero hablar un poco sobre otras consecuencias de la teoría especial de la relatividad. Un poco más adelante hablaremos de las consecuencias dinámicas de la teoría especial de la relatividad, que incluye ecuaciones bien conocidas, como $$$e = mc ^ 2$ . Pero antes de hablar sobre cantidades dinámicas, como la energía y el impulso, terminamos con una consideración de los efectos cinemáticos de la teoría especial de la relatividad. Por cinemática me refiero a las consecuencias de una teoría especial de la relatividad para medir el tiempo y la distancia.

Si nos limitamos a las consecuencias de medir el tiempo y las distancias, los efectos cinemáticos, entonces hay exactamente tres de esas consecuencias de la teoría especial de la relatividad. Toda la teoría especial de la relatividad, en cierto sentido, está incorporada en estos tres efectos. Disminuir el tiempo es uno de esos efectos.


La segunda consecuencia es otro efecto conocido de la teoría especial de la relatividad, la contracción de Lorentz, o a veces llamada contracción de Lorentz-Fitzgerald. En su descripción, la palabra "mira" aparecerá nuevamente. Siempre escribiré esta palabra entre comillas para recordarle que esto no es exactamente lo que ve el observador. Cualquier barra que se mueve con velocidad $$$v$ a lo largo de su longitud relativa a un marco de referencia dado, "buscará" un observador en este marco de referencia más corto que su longitud en $$$γ$ tiempos La longitud de la barra, que se mueve perpendicular a su longitud, no cambia. Todo esto se muestra en la figura.

Esta es una consecuencia muy famosa de la teoría especial de la relatividad. Significa que el cohete se está acortando cada vez más a medida que se mueve más y más rápido. Nuevamente, recuerde que esto no es lo que realmente verá. Esto es lo que sucede si los observadores locales realizan mediciones, y luego la longitud del cohete se calcula en función de estas mediciones.


El tercer y último efecto es un poco más difícil de describir. Pero este es un efecto muy importante. Los primeros dos efectos no serían consistentes si no hubiera un tercer efecto. El tercer efecto es un cambio en el concepto de simultaneidad, o la relatividad de la simultaneidad.

Supongamos que tenemos un sistema que consta de dos horas que están sincronizadas en su marco de referencia, en relación con el cual descansan. Permítales también estar conectados por una varilla, que tiene cierta longitud en su marco de referencia, que llamaremos $$$l_0$ . Si todo el sistema se mueve con respecto a nosotros a una velocidad $$$v$ a lo largo de la barra, para nosotros, este reloj no parece sincronizado, a pesar del hecho de que están sincronizados en su marco de referencia.

En particular, el reloj trasero se verá un poco adelantado $$$βl_0 / c$ . Déjame recordarte que $$$β = v / c$ . $$$l_0$ - la distancia entre los relojes medida en el sistema de referencia de reloj. $$$c$ - Esta, por supuesto, es la velocidad de la luz. Por otro lado, si el reloj se mueve en una dirección perpendicular a la línea que los conecta, entonces el reloj parece sincronizado.

Este efecto es muy importante para la integridad de toda la imagen. No probaremos que la teoría especial sea consistente. Bien podríamos hacer esto, pero no trataremos esto, ya que nuestro curso no está dedicado a un estudio detallado de la teoría especial de la relatividad. Sin embargo, puede parecer que existe una discrepancia bastante obvia entre la consecuencia de la teoría especial de la relatividad: que los relojes móviles son más lentos y el postulado de que las mismas leyes de la física son ciertas para todos los observadores inerciales. Esto significa que si te estás moviendo en relación a mí, entonces para mí tu reloj es más lento. Pero al mismo tiempo, para ti, mi reloj es más lento. Porque, desde tu punto de vista, estás en reposo y me estoy moviendo hacia ti. Desde su punto de vista, mi reloj se está moviendo. Y mi reloj debería ir más lento.

Me parece que su reloj funciona más lento. Te parece que mi reloj corre más lento. Esto parece ser una contradicción. ¿Qué sucede si simplemente ponemos el reloj uno al lado del otro y comparamos cómo va? ¿Qué reloj irá más rápido? ¿Cómo podemos acordar esto entre nosotros? Por supuesto, no podemos mantener el reloj uno al lado del otro, y al mismo tiempo moverlo uno respecto al otro. Esta es una de las razones para resolver la contradicción. Recuerde que en realidad quiero decir cuando digo que su reloj está funcionando más lento. Hago todas mis mediciones sin observar directamente su reloj, porque entonces existe el efecto de un retraso en la propagación de la señal, lo que complica la imagen. Tomo todas mis medidas con la ayuda de muchos observadores locales que están a mi alrededor y están en reposo en relación conmigo. Me pasan sus resultados. Solo después de recibir y combinar sus resultados obtengo una sola imagen de qué, dónde y cuándo sucedió.

Por lo tanto, cuando digo que su reloj es lento, quiero decir que tengo muchos relojes que están en reposo en relación conmigo. Cuando su reloj pasa volando sobre mí, los observadores locales comparan su reloj con su reloj. Luego me pasan los resultados. Si su reloj funciona más lento, digamos, dos veces, significa que cuando su reloj pasa volando por el reloj de mi observador y su reloj muestra un segundo, su reloj solo mostrará medio segundo. Cuando vuelan más allá de los relojes más distantes de mi marco de referencia, y los relojes de mi marco de referencia muestran dos segundos, su reloj mostrará un segundo, y así sucesivamente. En este sentido, su reloj corre más lento.

Esto debería ser compatible con el hecho de que, según su punto de vista, mi reloj también funciona más lentamente. Si supone que el reloj de mi sistema de referencia está sincronizado, entonces llega a la conclusión de que mi reloj es más rápido. Porque cuando su reloj muestra medio segundo, mi reloj muestra un segundo. Cuando su reloj muestra un segundo, mi reloj muestra dos segundos. Según esta comparación directa, resulta que mi reloj es más rápido.

Pero al mismo tiempo, sabemos que esto no es cierto. Deberías obtener el mismo resultado que yo. Si nos movemos en relación el uno con el otro, debes pensar que mi reloj se mueve más lento. La salida de esta difícil situación es la relatividad de la simultaneidad. Desde su punto de vista, la secuencia de relojes de mi sistema de referencia, cuando pasan volando, realmente muestra un mayor tiempo en comparación con su reloj. Sin embargo, desde su punto de vista, mi reloj no está sincronizado entre sí. Por lo tanto, no puede determinar qué tan rápido va mi reloj midiendo el tiempo en diferentes relojes.

Si desea saber qué tan rápido va mi reloj, debe realizar un seguimiento de uno de mis relojes y observar cómo cambian las lecturas con el tiempo. No debe comparar las lecturas de diferentes relojes, porque mis relojes no están sincronizados entre sí, desde su punto de vista. Pero si miras uno de mis relojes usando un juego de tus relojes que no se mueven hacia ti, así como usé mi reloj cuando medí la velocidad de tu reloj, entonces todo encajará. Verás que mi reloj funciona más lento. Veré tu reloj ir más lento. Como no estamos de acuerdo sobre qué eventos ocurren simultáneamente, la contradicción no surge. Por lo tanto, la relatividad de la simultaneidad es crítica, de lo contrario obtendríamos una contradicción evidente en todo el panorama.

Eso es todo lo que planeé contar en la conferencia de hoy. Discutimos las consecuencias cinemáticas de la teoría especial de la relatividad. Como dije, no intentaremos sacarlos. Si está interesado en cómo se obtienen, puede tomar un curso especializado en teoría especial de la relatividad.

Más adelante discutiremos las consecuencias de la teoría especial de la relatividad para el impulso y la energía, que serán importantes para nosotros. La energía y el ímpetu nos interesan siempre que se definan de tal manera que se conserven cantidades. Es por eso que la energía y el impulso son importantes en la física. Para un sistema cerrado, la energía total y el impulso no cambian. La energía y el impulso se pueden transferir de una parte del sistema a otra. Pero la energía y el impulso no se pueden crear ni destruir.

Si tomamos las definiciones de energía y momento de la mecánica newtoniana y las usamos en cinemática relativista, resulta que, por ejemplo, cuando una partícula colisiona, la energía y el momento se almacenarían en un marco de referencia y no en otro marco de referencia. Las leyes de conservación dependerán del marco de referencia utilizado.

Por lo tanto, Einstein cambió ligeramente las definiciones de energía e impulso de tal manera que si se almacenan en un marco de referencia, se almacenan en cualquier otro marco de referencia asociado con las primeras transformaciones de la teoría especial de la relatividad. Tan pronto como cambiemos la cinemática de la transición de un marco de referencia a otro, también debemos cambiar las definiciones de energía e impulso para que las leyes de conservación sean válidas en todos los marcos de referencia. En el futuro, introducimos definiciones ligeramente modificadas y no newtonianas de la energía y el impulso de las partículas en movimiento.