Siguiendo a Gauss, reconocemos el estado "real" de las matemáticas, y dado que nuestra empresa tiene un centro de competencia "Apoyo algorítmico", a menudo tenemos materiales interesantes sobre este tema: nuestros colegas escriben sus propios artículos de autor y luego estudian Que interesante sucede con colegas extranjeros, preparar breves revisiones y traducciones de artículos de terceros. Esto probablemente será útil para aquellos que comparten nuestros intereses, por lo que decidimos compartir estos materiales y conocimientos.
En matemáticas, a menudo sucede que son las cosas más simples que parecen ser conocidas por todos y cada uno, como los números racionales, es increíblemente difícil de entender. Por ejemplo, los matemáticos han estado buscando soluciones racionales a las ecuaciones de diofantina durante varios cientos de años. Las ideas tomadas de la física ayudaron a acercarse a resolver la tarea de mil años. Presentamos un artículo publicado en la revista Quanta, con nuestra traducción parcial y resumen.
Minhyun Kim, matemático de la Universidad de Oxford, está tratando de descubrir qué números racionales pueden resolver ciertos tipos de ecuaciones diofantinas. Se estima que este problema matemático tiene alrededor de 3.000 años. Dado que las decisiones racionales no obedecen a los patrones geométricos, esta es una tarea difícil. Tan complicado que en 1986 Gerd Falting recibió el Premio Fields solo por demostrar que algunas clases de ecuaciones diofantinas tienen un número finito de soluciones racionales. Los propios matemáticos llaman al avance de Falting "prueba ineficaz" porque no menciona el número exacto de soluciones racionales y no permite que se identifiquen.
Kim intenta mirar números racionales en un contexto numérico extendido en el que comienzan a aparecer patrones ocultos. Kim logró descubrir ese contexto en física: según el matemático, las soluciones racionales tienen mucho en común con la trayectoria de la luz. Kim dudó durante mucho tiempo que tenía razón y que su trabajo podría convencer a otros científicos y que recientemente había decidido presentar su idea al público en general. Según el propio Kim, en los próximos 15 años, la teoría de los números estará mucho más estrechamente entrelazada con la física.
Kevin Hartnett , autor de un artículo publicado en Quanta, escribe:
“Los matemáticos a menudo dicen que cuanto más simétrico es un objeto, más fácil es estudiarlo. Con esto en mente, les gustaría ubicar el estudio de las ecuaciones de diofantina en un contexto más simétrico que en el que generalmente aparece el problema. Si esto se puede hacer, se podría usar la simetría detectada para buscar los puntos racionales necesarios.
Los conjuntos de números también pueden ser simétricos, y cuanto más simétrico sea el conjunto de números, más fácil será de entender: puede usar relaciones simétricas para calcular valores desconocidos. Los números que tienen cierto tipo de relaciones simétricas forman un "grupo", y puede usar las propiedades del grupo para comprender todos los números que contiene. Pero el conjunto de soluciones racionales de la ecuación no tiene simetría y no forma un grupo, lo que deja a los matemáticos solos con una tarea imposible, un intento de encontrar todas las soluciones una por una.
A partir de la década de 1940, los matemáticos comenzaron a explorar formas de ubicar las ecuaciones de diofantina en contextos más simétricos. Claude Chabati descubrió que dentro del espacio geométrico más grande que construyó usando números p-adic, los números racionales forman su propio subespacio simétrico. Combinó este subespacio con el gráfico de ecuaciones de Diophantine: sus puntos de intersección corresponden a soluciones racionales de la ecuación.
En la década de 1980, Robert Coleman complementó el trabajo de Chabati. Durante varias décadas después de esto, el enfoque de Coleman-Chabati fue la mejor herramienta para encontrar soluciones racionales de ecuaciones de diofantina. Sin embargo, solo funciona cuando la gráfica de ecuaciones está en una cierta proporción con respecto a un espacio más grande. Cuando esta proporción no cumple con los requisitos, la búsqueda de puntos exactos en los que la curva de la ecuación se cruza con números racionales es complicada.
Para expandir el trabajo de Chabati, Kim quería encontrar un espacio aún más grande en el que pudieran ubicarse las ecuaciones de diofantina ".
Y aquí Kim sugiere usar un análogo de los conceptos físicos de "espacio-tiempo", "espacio de espacios":
“Para entender por qué, considera un rayo de luz. Los físicos creen que la luz se mueve a través del espacio multidimensional de los campos. En este espacio, la luz se moverá a lo largo de un camino que corresponde al principio de "acción mínima", es decir, a lo largo de un camino que minimiza el tiempo requerido para moverse del punto A al punto B. Este principio explica por qué la luz se refracta cuando se mueve de un medio a otro: La trayectoria curva minimiza el tiempo empleado. Tales espacios más grandes de espacios encontrados en física tienen simetrías adicionales que están ausentes en todos los espacios que representan. Estas simetrías llaman la atención sobre ciertos puntos, enfatizando, por ejemplo, el camino que minimiza el tiempo. Construidos de manera diferente o en un contexto diferente, estas mismas simetrías pueden ser enfatizadas por otros puntos, por ejemplo, puntos correspondientes a soluciones racionales de ecuaciones.
En teoría de números, hay algo como el espacio-tiempo. Este algo también ofrece varias formas de formar caminos y construir el espacio de todos los caminos posibles. Kim está desarrollando un esquema en el que los problemas de encontrar la trayectoria de la luz y encontrar soluciones racionales de las ecuaciones de Diophantine son las caras de un problema.
Las soluciones de ecuaciones diofantinas forman espacios, curvas que se definen por ecuaciones. Estas curvas pueden ser unidimensionales, como un círculo, o multidimensionales. Por ejemplo, si trazas las soluciones complejas de la ecuación diofantina x4 + y4 = 1, obtienes un toro con tres agujeros. Los puntos racionales de este toro no tienen una estructura geométrica, y esto hace que su búsqueda sea una tarea difícil, pero pueden corresponder a puntos en un espacio de espacios más multidimensional, que ya tendrá una cierta estructura ".
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