Early Universe 5. Desplazamiento al rojo cosmológico y dinámica de un universo en expansión uniforme, parte 1

En el sitio de conferencias gratuitas, MIT OpenCourseWare publicó un curso de conferencias sobre la cosmología de Alan Gus, uno de los creadores del modelo inflacionario del universo.

Se invita a su atención a la traducción de la quinta conferencia: "Corrimiento al rojo cosmológico y dinámica de un universo en expansión uniforme, parte 1".


Hoy terminamos la consideración de la cinemática de un universo en expansión uniforme, que discutimos la última vez. La única pregunta de este tema que aún no hemos tocado es el desplazamiento al rojo cosmológico. Luego pasamos a la dinámica de la expansión uniforme: cómo la gravedad afecta la expansión del universo. Este será el tema principal de las conferencias de hoy y las próximas.

Tiempo cosmológico

Permítanme recordarles que al final de la última conferencia hablamos sobre la sincronización del reloj en el sistema de coordenadas, que usaremos para describir un universo en expansión uniforme. Recuerde que presentamos las coordenadas que se acompañan, que se expanden con el universo. Asumiremos que el universo es completamente homogéneo e isotrópico, y todos los objetos descansan en este sistema de coordenadas.

En el universo real, hay algún movimiento de materia en relación con este sistema de coordenadas, porque el universo no es completamente homogéneo. Pero ahora trabajaremos con una aproximación en la que nuestro universo modelo es absolutamente homogéneo y toda la materia descansa en relación con un sistema de coordenadas en expansión.

Ahora recuerde cómo determinamos el tiempo cosmológico en la última conferencia. Imagine que en cada punto del universo hay un reloj que está en reposo en relación con la materia y, por lo tanto, un sistema de coordenadas acompañante en expansión. Todos estos relojes miden la hora local, y queremos acordar su sincronización. La última vez, descubrimos que podemos sincronizar el reloj si hay algún fenómeno cosmológico que pueda verse desde cualquier parte del universo y que cambie con el tiempo. Dimos dos ejemplos: uno es el cambio en la constante de Hubble, que se puede medir localmente y acepta poner su reloj a cero cuando la constante de Hubble toma un cierto valor.

El segundo ejemplo es la temperatura de la radiación cósmica de fondo de microondas. En nuestro universo modelo, puede aceptar configurar su reloj a cero cuando la temperatura de la radiación de fondo cósmica alcance los 5 grados o cualquier número dado. Si hay fenómenos similares, y están en nuestro universo, entonces puede sincronizar todos los relojes. Es importante entender que una vez que el reloj esté sincronizado, permanecerá sincronizado debido a nuestra suposición de uniformidad. Es decir, si todos están de acuerdo en que la temperatura de la radiación de fondo cósmica en el tiempo cero es de 10 grados, y todos esperan 15 minutos, entonces todos verán la misma caída de temperatura durante este período de tiempo, de lo contrario, esto violaría nuestra hipótesis de homogeneidad absoluta .

ESTUDIANTE: ¿Es cierto que la temperatura de radiación de fondo es la misma para todos los observadores inerciales?

MAESTRO: No es exactamente lo mismo para diferentes observadores inerciales. Es lo mismo para una clase privilegiada de observadores que están en reposo con respecto a la distribución promedio de la materia y, por lo tanto, con respecto al sistema de coordenadas que lo acompaña. Si comienza a moverse a través de la radiación de fondo cósmica, ya no verá una distribución de temperatura uniforme. Verá la radiación más caliente en una dirección y más fría en la opuesta. De hecho, como mencioné, vemos este efecto en nuestro universo real. Aparentemente nos estamos moviendo en relación con la radiación de fondo cósmica, a aproximadamente 1/1000 de la velocidad de la luz. Por lo tanto, la temperatura de radiación no es invariable con respecto al movimiento del observador.

Uno puede hacer otra pregunta: ¿la temperatura de la radiación de fondo es la misma en diferentes lugares del universo visible? Hasta donde podemos juzgar, sí. Hay una forma directa de medir la temperatura de la radiación de fondo, de la que probablemente hablaremos más adelante en el curso, observando ciertas líneas espectrales en galaxias distantes. En algunas galaxias donde estas líneas son visibles, la temperatura de la radiación de fondo cósmica de microondas se puede medir directamente. En nuestro modelo, asumimos una homogeneidad completa de que todo es igual en todas partes. Aunque la homogeneidad en el universo real no está completa, existe una fuerte evidencia de la homogeneidad aproximada de nuestro universo.

ESTUDIANTE: Si algunos observadores viven cerca de los agujeros negros, ¿afectará esto la sincronización del reloj para dichos observadores?

MAESTRO: por supuesto que lo hará. Uno puede sincronizar cosmológicamente un reloj, solo asumiendo que el universo es absolutamente homogéneo. Tan pronto como aparecen las heterogeneidades, como los agujeros negros, o incluso estrellas como el Sol, crean desviaciones que evitan que el reloj se sincronice entre sí. Tan pronto como aparece la concentración de masa, la uniformidad se vuelve solo aproximada. Pero estas desviaciones son pequeñas. Las desviaciones que surgen del sol son del orden de una millonésima. Por lo tanto, en una muy buena aproximación, el universo es descrito por nuestro modelo homogéneo. Aunque, si te acercas mucho a uno de los agujeros negros supermasivos ubicados en los centros de las galaxias, resulta que tiene una influencia muy fuerte en el progreso de tu reloj.

Corrimiento al rojo cosmológico

El siguiente tema, como prometí, es el desplazamiento al rojo cosmológico. En la tercera conferencia, hablamos sobre el cambio Doppler para las ondas sonoras y el cambio Doppler relativista para las ondas de luz, teniendo en cuenta la teoría especial de la relatividad. Sin embargo, la teoría especial de la relatividad no describe completamente la cosmología, aunque la teoría especial de la relatividad se usa para describir los eventos locales en la cosmología. La teoría especial de la relatividad no incluye los efectos de la gravedad y, a escala global, los efectos de la gravedad son muy importantes para la cosmología. Por lo tanto, la teoría especial de la relatividad no es suficiente para comprender muchas propiedades del universo, incluido el desplazamiento al rojo cosmológico. Sin embargo, resulta que hay una manera de describir el desplazamiento al rojo cosmológico, que lo explica aún más simplemente que la teoría especial de la relatividad. Primero, lo describiré, y luego hablaremos sobre cómo este resultado de aspecto muy simple se compara con la conclusión de la teoría especial de la relatividad, que también debería ser correcta, al menos localmente.

Entonces, supongamos que estamos mirando una galaxia distante, y una fuente localizada en esta galaxia emite luz. Queremos entender cuál es la relación entre la frecuencia de la luz en la radiación y la frecuencia que veremos cuando se reciba luz.


Para imaginar esta situación, introduzcamos un sistema de coordenadas, $$$x$ . Este será nuestro sistema de coordenadas complementario. $$$x$ medido en divisiones. Nos ubicaremos en el origen y en la galaxia distante a cierta distancia de nosotros. Ella tiene una coordenada específica. $$$l_c$ ( $$$c$ denota concomitante). $$$l_c$ Es la distancia que nos acompaña a la galaxia. La distancia física que llamaremos $$$l_p$ ( $$$p$ significa físico), depende del tiempo, porque el universo se está expandiendo. Como dijimos antes $$$l_p (t) = a (t) l_c$ . Factor de escala $$$a (t)$ , que depende del tiempo, se multiplica por la distancia de acompañamiento, que no depende del tiempo. Por lo tanto, las distancias físicas simplemente aumentan en proporción al factor de escala $$$a (t)$ .

Supongamos ahora que la galaxia emite una onda de luz, y estamos tratando de determinar la distancia entre las crestas de la onda, que es igual a la longitud de onda. Como solo estamos interesados ​​en las crestas, simplemente imaginamos que cada cresta es un impulso, y lo que sucede entre ellas no nos interesa. Seguiremos los sucesivos pulsos de luz emitidos por la galaxia.

Es importante que sepamos para nuestro modelo cómo se propagan las ondas de luz en un sistema de coordenadas que lo acompaña. Si $$$x$ Es la coordenada asociada, entonces $$$dx / dt$ - la velocidad de la luz que la acompaña, que es igual a la velocidad de la luz habitual $$$c$ pero dividido por el factor de escala:

$$

$$\ frac {dx} {dt} = \ frac c {a (t)}$$

El factor de escala aquí juega el papel de convertir metros en divisiones. $$$c$ medido en metros por segundo. Compartir $$$c$ en $$$a (t)$ obtenemos la velocidad de la luz en divisiones por segundo, como queríamos, porque $$$x$ no medido en metros, sino en divisiones. La división es una unidad arbitraria que elegimos para describir nuestro sistema de coordenadas complementario.

Una característica importante de esta ecuación es que la velocidad de la luz en el sistema de coordenadas adjunto depende del tiempo, pero no depende de $$$x$ . Nuestro universo es homogéneo, por lo que todos los puntos $$$x$ equivalente Por lo tanto, en cada momento, dos pulsos de luz se moverán con la misma velocidad de acompañamiento, independientemente de dónde se encuentren. Eso es todo lo que necesitamos. El primer impulso sale de la galaxia distante y se mueve hacia nosotros, el segundo impulso sigue al primero. El segundo impulso en cualquier momento se moverá con la misma velocidad de acompañamiento que el primer impulso, incluso si su velocidad de acompañamiento cambia con el tiempo.

Esto significa lo siguiente. La velocidad de acompañamiento de los pulsos puede variar con el tiempo, pero siempre que ambos se muevan a la misma velocidad de acompañamiento, en cualquier momento estarán exactamente a la misma distancia entre sí en el sistema de coordenadas que lo acompaña. $$$Δx$ , la distancia de acompañamiento entre dos pulsos no cambia con el tiempo. Si la distancia de acompañamiento no cambia con el tiempo, y la distancia física siempre es igual al producto del factor de escala por la distancia de acompañamiento, entonces la longitud de onda física del pulso de luz simplemente se estirará en proporción al factor de escala. La longitud de onda aumentará con la expansión del universo, al igual que cualquier otra distancia en nuestro modelo del universo aumentará con la expansión del universo. Esta es una idea clave, es muy simple y contiene todo.

Que $$$Δx$ constantemente significa que $$$Δl$ la distancia física es proporcional $$$a (t)$ , lo que significa que la longitud de onda de la luz $$$λ$ , en función de t, es proporcional $$$a (t)$ .

La longitud de onda está relacionada con el período de la relación de onda. $$$λ = cΔt$ . La longitud de onda es la distancia que recorre una ola en un período. Por lo tanto, si $$$λ$ proporcional $$$a (t)$ entonces $$$Δt$ , el período de onda será proporcional $$$a (t)$ . Por lo tanto:

$$$$ display $$ \ frac {Δt_ {acc.}} {Δt_ {source}} = \ frac {λ _ {acc.}} {λ _ {source}} = \ frac {a (t_ {acc. )}} {a (t_ {source)}} $$ display $$

.

Entonces, la relación de longitud de onda es simplemente la cantidad de veces que el universo se ha estirado. Es igual a la relación de factores de escala en el tiempo inicial y final. Determinamos el desplazamiento al rojo usando el período de onda. La razón de períodos, o la razón de longitudes de onda, o la razón de factores de escala, es 1 + z.

$$

$$1 + z = \ frac {a (t_ {obs.)}} {A (t_ {fuente)}}$$

La relación del desplazamiento al rojo cosmológico con la teoría especial de la relatividad
¿Cómo se relaciona el desplazamiento al rojo cosmológico con el desplazamiento al rojo de la teoría especial de la relatividad, la fórmula para la cual derivamos anteriormente? Nuestro resultado difiere en dos aspectos del cálculo que hicimos en la tercera clase. La primera razón que es importante para nosotros es que el cálculo cosmológico tiene en cuenta los efectos que no se tuvieron en cuenta en los cálculos anteriores. En particular, a pesar del hecho de que recibimos la respuesta utilizando un argumento cinemático muy simple, en el que, a primera vista, prácticamente no hay matemáticas, en realidad es muy fuerte, ya que tiene en cuenta no solo la teoría especial de la relatividad, sino también la teoría general relatividad Incluye todos los efectos de la gravedad. La gravedad no afecta el hecho de que la velocidad de la luz acompañante es $$$c / a (t)$ . Esto es solo una conversión de unidades, junto con la suposición física fundamental de que la velocidad de la luz es siempre igual $$$c$ con respecto a cualquier observador.

Por lo tanto, cuando consideramos la gravedad, esta relación continúa manteniéndose, y esto fue lo único que usamos, por lo que la gravedad no puede afectar la respuesta. ¿Nos hemos perdido algo de la teoría especial de la relatividad? No tomé en cuenta la dilatación del tiempo, que fue crucial para nuestro cálculo relativista del desplazamiento al rojo.

¿He cometido un error? ¿Necesito agregar dilatación de tiempo en alguna parte? De hecho, no. Tuvimos dos horas involucradas en nuestro cálculo: el reloj de la galaxia y nuestro reloj, que utilizamos para medir el período de radiación y el período de recepción. Pero ambos relojes están en reposo en relación con la materia local, a pesar de que se mueven entre sí. Por lo tanto, por definición, miden el tiempo cosmológico. El tiempo cosmológico es un tipo de tiempo muy peculiar, no es tiempo en ningún sistema inercial. Los relojes se mueven uno con respecto al otro, por lo tanto, si determinamos la hora en el sistema inercial, dicho reloj nunca podría sincronizarse y la hora no coincidiría con ellos.

Pero en el sistema del tiempo cosmológico, muestran el mismo tiempo. Como cada reloj está en reposo en relación con la materia local, miden $$$t$ tiempo cosmológico Por lo tanto, no es necesaria la dilatación del tiempo. No es que lo hayamos olvidado, no está ahí. No se usa en cálculos.

Por lo tanto, el resultado obtenido, no importa cuán simple parezca, en realidad cubre completamente los efectos tanto de la teoría especial de la relatividad como de la gravedad. Permítanme señalar que no es obvio dónde está la gravedad aquí. Te dije que el resultado incluye todos los efectos de la gravedad. ¿Dónde se esconde la gravedad? Quiero hacerte esta pregunta. ¿Cómo afecta la gravedad a los cálculos, aunque no mencioné la gravedad cuando hice el cálculo?

ESTUDIANTE: a través del factor de escala.

MAESTRO: Así es, a través del factor de escala. No hemos hablado sobre cómo cambiar $$$a (t)$ . Cambio $$$a (t)$ incluirá explícitamente los efectos de la gravedad. Es por eso que nuestro resultado depende de la gravedad, aunque no necesitamos usar o mencionar la gravedad para obtener una respuesta. La respuesta para el desplazamiento al rojo cosmológico es tan simple porque $$$a (t)$ Ya incluye mucha información. Acabamos de aprovechar esto para obtener una expresión muy simple dependiendo de $$$a (t)$ sin decir nada sobre cómo calcularemos $$$a (t)$ . Esta es la primera diferencia.

Otra diferencia importante entre los dos cálculos son las variables utilizadas en la respuesta. Puede haber varias respuestas diferentes a la misma pregunta, dependiendo de qué variables se usen. En este caso, expresamos desplazamiento al rojo $$$z$ para objetos que descansan en un sistema de coordenadas que lo acompaña. El cálculo en la teoría especial de la relatividad, por otro lado, da z dependiendo de la velocidad medida en el sistema de coordenadas inerciales. Por lo tanto, los resultados se expresan en términos completamente diferentes.

¿Qué sucede si intentamos comparar las respuestas que recibimos para los corrimientos al rojo relativistas y cosmológicos? Solo hay un caso en el que son legítimos comparar. Dado que el cálculo que acabamos de hacer incluye los efectos de la gravedad, y el cálculo que utiliza la teoría especial de la relatividad no incluye los efectos de la gravedad, el único caso en el que podemos compararlos y asegurarnos de que coincidan es cuando la gravedad es insignificante.

Podemos considerar el modelo cosmológico, donde la gravedad es pequeña, no hay contradicción en esto. Si la gravedad es insignificante, ¿cómo se comportará? $$$a (t)$ ? Si no hay gravedad, $$$a (t)$ debería depender linealmente de $$$t$ . Esto significa que todas las velocidades son constantes. Así, en el caso particular de la ausencia de gravedad, $$$a (t)$ crece linealmente con el tiempo. En este caso, siempre puede asegurarse de que la constante que se agrega al término lineal se convierte en cero, simplemente configurando el tiempo cero en el momento en que $$$a (t)$ igual a cero Por lo tanto, en ausencia de gravedad, podemos decir que $$$a (t)$ debe ser proporcional a t.

Entonces, para este caso particular, nuestros dos cálculos deben coincidir. Puedes comprobarlo tú mismo. No es tan simple, para esto necesitará una comprensión de la relación entre los dos sistemas de coordenadas. La respuesta a la teoría especial de la relatividad se da en un sistema de coordenadas inerciales, que en presencia de la gravedad no existe en absoluto. Está conectado con el sistema de coordenadas en expansión de una manera compleja, debido a la dilatación del tiempo y la contracción de Lorentz asociada con el movimiento que ocurre en el universo en expansión.

Deberá averiguar la relación entre estos dos sistemas de coordenadas. Cuando haga esto y compare las respuestas, encontrará que realmente coinciden exactamente. Todo esto está en excelente acuerdo con la teoría especial de la relatividad, en el caso particular cuando la gravedad está ausente.

Newton y el universo estático

Discutimos todo lo que quería contar sobre la cinemática de un universo en expansión uniforme, ahora estamos listos para pasar a la dinámica. Necesitamos descubrir cómo la gravedad afecta el universo para poder calcular cómo$$a ( t ) cambia con el tiempo. Este será el único objetivo para comprender el comportamiento.$a(t)$$$$a(t)$ .

Esta pregunta, en cierto sentido, se remonta a Isaac Newton. Quiero señalar que una de las cosas interesantes en cosmología es que, si observamos la historia de la cosmología, muchos grandes físicos cometieron grandes errores al tratar de analizar cuestiones cosmológicas. Hoy discutiremos uno de los errores de Newton. Incluso grandes físicos como Newton podrían cometer errores estúpidos. Realmente cometió un estúpido error al analizar las consecuencias cosmológicas de su propia teoría de la gravedad.

Newton, como todos antes del Hubble, creía que el universo era estático. Representaba el universo como una distribución estática de estrellas dispersas en el espacio. Al comienzo de su carrera, hasta donde yo sé la historia, asumió que la distribución de las estrellas era finita en el espacio infinito. Pero en algún momento, se dio cuenta de que si hay una distribución de masa finita en el espacio vacío, y toda la sustancia se atrae entre sí con una fuerza atractiva inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, lo que sabía, ya que lo abrió, como resultado, todo debería comprimirse en punto. Decidió que su suposición no funcionaba, pero aún así estaba seguro de que el universo era estático, ya que todo parecía estático, las estrellas no se movían a ninguna parte.

Entonces se preguntó qué podría cambiar, y decidió que, en lugar de suponer que las estrellas forman una distribución finita, es mejor suponer que están distribuidas infinitamente en el espacio. Razonó de la siguiente manera, y este es precisamente el error de que si las estrellas llenan un espacio infinito, incluso si todas se atraen entre sí, no tendrán una dirección preferida para el movimiento. Dado que no tendrán una dirección preferida para el movimiento, ya que son atraídos por todos los lados, permanecen en su lugar. Por lo tanto, creía que una distribución infinita y uniforme de la materia sería estable, que no surgirían fuerzas gravitacionales en una distribución de masa tan infinita.

Aparentemente escuchó varios argumentos a favor de esto. Uno de los argumentos de que la distribución infinita sería estable fue el argumento de que una fuerza infinita que lo empuja hacia la derecha y una fuerza infinita que lo empuja hacia la izquierda actúan sobre la partícula. Como ambos son infinitos, se neutralizan entre sí. Newton no aceptó este argumento. Era lo suficientemente sofisticado como para comprender que infinito menos infinito no es necesariamente cero. Sin embargo, Newton estaba convencido de que la distribución de masa infinita sería estable.

El argumento que lo convenció no era la infinidad de la materia en cada lado, sino la simetría. El argumento que tomó fue que si observas cualquier punto de esta distribución infinita, si miras alrededor de este punto, todas las direcciones se verán iguales, con la sustancia extendiéndose hasta el infinito y, por lo tanto, no habrá dirección en la que la fuerza deba actuar sobre cualquier partícula en particular. Y si la fuerza no tiene dirección, debería ser cero. Este fue el argumento que Newton tomó.

Ahora discutiremos esto con más detalle e intentaremos entender cómo los académicos modernos se relacionan con este argumento. Por cierto, quiero mencionar un hecho histórico. El argumento de Newton, hasta donde yo sé, no ha sido cuestionado por nadie durante cientos de años, hasta Albert Einstein. Albert Einstein, tratando de describir la cosmología utilizando su nueva teoría general de la relatividad, fue la primera persona en darse cuenta de que incluso si tiene una distribución de masa infinita, se derrumba. Einstein se dio cuenta de que lo mismo sucedería en la física newtoniana, esto no es una característica de la teoría general de la relatividad. Históricamente, simplemente requería la creación de una teoría general de la relatividad para hacer que la gente reconsiderara y entendiera que Newton estaba equivocado.

La imposibilidad de un universo estático.

La dificultad de tratar de analizar el problema de la manera en que Newton lo hizo es que Newton vio la gravedad como una fuerza que actúa a distancia. Si tenemos dos objetos ubicados a distancia$$r aparte, se atraerán entre sí con una fuerza proporcional$r$$$$1/r^2$ .Desde la época de Newton, se han inventado otras formas de describir la gravedad newtoniana que hacen que la situación sea mucho más clara. La dificultad de usar la descripción de Newton es que si intentamos agregar todas estas fuerzas proporcionalmente$$1 / r 2 , obtenemos cantidades divergentes, cuya interpretación debemos entender. Pero para entender que Newton estaba equivocado, es más fácil mirar otras formulaciones de la gravedad de Newton. Describiré dos de ellos, con los cuales ya puede estar familiarizado. Describiré el primero por analogía con la ley de Coulomb. La ley de Coulomb es de hecho la misma que la ley de la gravedad. La ley de Coulomb establece que cualquier partícula cargada crea un campo eléctrico que es igual a la carga dividida por la distancia al cuadrado y multiplicada por un vector unitario dirigido desde la carga.$1/r^2$

$$

$$\vec E=\frac q{r^2} \hat r$$

Esta es la ley de Coulomb. A veces tiene una constante, dependiendo de en qué unidades se mide$$q , pero esto no es importante para nosotros. Supongo que usamos esta ecuación, donde la constante es 1.Como sabes, de la ley de Coulomb puedes obtenerla ley de Gauss. Si la ley de Coulomb es verdadera, entonces definitivamente podemos decir a qué es igual la integraldel flujo del campo eléctricosobre cualquier superficie cerrada. Es proporcional a la cantidad total de carga dentro de la superficie.$q$

$$

$$\oint\limits_S \vec E \cdot d\vec a = 4πq_{}$$

donde $$q en n es la cantidad total de carga dentro de una superficie cerrada. Puedes escribir la ley de gravedad de Newton, casi de la misma manera que Newton la formuló. Puede expresar la aceleración gravitacional a una distancia dada del objeto:$q_{}$

$$

$$\vec g=\frac {-GM}{r^2} \hat r$$

Esta es la misma ley del cuadrado inverso y similar a la ley de Coulomb, excepto por la constante al principio. La constante tiene el signo opuesto, que es importante en algunos casos, pero no ahora. Lo importante es que esta ecuación puede reformularse como la ley de Gauss, y se llama la ley de gravedad de Gauss. La única forma en que difiere es la constante por delante:

$$

$$\oint\limits_S \vec g \cdot d\vec a = -4πGM_{}$$

Ahora tomemos la distribución uniforme de la materia que Newton consideró. Newton argumentó que es posible tomar una distribución homogénea de la materia que llene todo el espacio infinito, y será estática, es decir, no habrá aceleración. La falta de aceleración en el lenguaje de Newton significa que$$→ g debe ser cero en todas partes. Pero de la última fórmula se deduce que si$\vec g$$$→ g es igual a cero en todas partes, entonces la integral de$\vec g$$$→ g sobre cualquier superficie cerrada también será igual a cero y, por lo tanto, la masa total encerrada dentro de esta superficie también debería ser igual a cero. Pero si tenemos una distribución uniforme de masa, entonces la masa total cerrada, por supuesto, no será cero para ningún volumen distinto de cero. Por lo tanto, está claro que la afirmación de que el sistema es estático contradice directamente la formulación de la ley de gravitación de Gauss Newton.Solo por diversión, te daré otro argumento similar, usando otra formulación más moderna de la gravedad newtoniana. Si no la conoce y no entiende de lo que estoy hablando, no se preocupe, esto no es tan importante. Para aquellos de ustedes que la conocen, la traeré. Otra forma de formular la gravedad newtoniana es introducir el potencial gravitacional. Usaré la carta$\vec g$

$$φ para potencial gravitacional. Se asocia con la aceleración gravitacional de la siguiente manera:$φ$$$→g =- →∇ φ$\vec g = - \vec ∇φ$ donde $$→∇ φ$\vec ∇φ$Es un gradiente $$$φ$ . Gradiente $$φ es igual a un vector unitario$φ$$$I en la dirección de x multiplicado por el derivado de$\hat i$$$φ por$φ$$$x , más un vector unitario$x$$$J en la dirección del eje y, multiplicado por la derivada de$\hat j$$$φ por$φ$$$y , más un vector unitario$y$$$K multiplicada por la derivada de$\hat k$$$φ por$φ$$$$z$ :

$$

$$\vec ∇φ = \hat i \frac {\partial φ}{\partial x} + \hat j \frac {\partial φ}{\partial y} + \hat k \frac {\partial φ}{\partial z}$$

Una vez que hemos determinado el potencial gravitacional, podemos escribir la forma diferencial de la ley de Gauss, que se convierte en la llamada ecuación de Poisson. Afirma que

$$

$$∇^2φ = 4πGρ$$

donde ρ es la densidad de masa, y $$$∇^2φ$ definido como la segunda derivada de $$$φ$ por $$$x$ , más la segunda derivada de $$$φ$ por $$$y$ , más la segunda derivada de $$$φ$ por $$$z$ :

$$$$ display $$ ∇ ^ 2φ = \ frac {\ partial ^ 2 φ} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 φ} {\ partial y ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 φ} {\ parcial z ^ 2} $$ mostrar $$

Esto se llama la ecuación de Poisson. Si se da la densidad de masa, entonces puede encontrar el potencial gravitacional, luego puede calcular su gradiente y encontrar $$$\ vec g$ . Esto es equivalente a otras formulaciones de gravedad. Pero esto nos da otra prueba más de la afirmación de Newton de que hay una distribución uniforme de la materia sin ninguna fuerza gravitacional. Si no hay fuerzas gravitacionales, entonces $$$\ vec g$ debería ser cero, como dijimos hace un minuto. Y por el hecho de que $$$\ vec g$ igual a cero, se deduce que el gradiente $$$φ$ igual a cero

Si nos fijamos en la fórmula del gradiente, entonces este es un vector. Para un vector cero, cada uno de sus tres componentes debe ser igual a cero y, por lo tanto, la derivada de $$$φ$ por $$$x$ derivada de $$$φ$ por $$$y$ la derivada de $$$φ$ por $$$z$ desaparecerá Esto significa que $$$φ$ debe ser constante en todas partes; no tiene una derivada con respecto a ninguna coordenada espacial. Por lo tanto, si $$$\ vec g$ igual a cero, entonces el gradiente $$$φ$ igual a cero y $$$φ$ Es una constante en todo el espacio. Si $$$φ$ es constante en todas partes, lo que ocurre en ausencia de gravedad, entonces queda claro de inmediato que $$$∇ ^ 2φ$ debe ser igual a cero, lo que significa que ρ debe ser igual a cero, es decir, no habrá densidad de masa. Pero Newton quería una densidad de masa distinta de cero, una sustancia distribuida uniformemente en el espacio infinito. Esta es otra demostración de que el argumento de Newton era incorrecto.

Integrales condicionalmente convergentes

Entonces, llegamos a la conclusión de que Newton estaba equivocado, pero necesitamos analizar más cuidadosamente el argumento de Newton para comprender exactamente dónde cometió un error. Lo siguiente que quiero discutir es la ambigüedad asociada con la adición de fuerzas gravitacionales newtonianas para un universo infinito. Mencioné que el verdadero problema con los cálculos de Newton es que la cantidad que calculó es divergente, y debe tener cuidado al intentar calcularlo.

Para aclarar esto, quiero comenzar con un ejemplo de una integral que da un valor ambiguo. Introduciré un par de conceptos matemáticos. Imaginemos que tenemos alguna función arbitraria $$$f (x)$ donde $$$x$ será solo una variable.

Lo generalizaremos en tres dimensiones, lo que nos interesa, pero comenzaremos con una variable. Si tenemos una funcion $$$f (x)$ , podemos considerar la integral desde menos infinito hasta infinito desde $$$f (x)$ Lo llamaré $$$I_1$ :

$$

$$I_1 = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty f (x) dx$$

Es una integral tal que se obtiene sumando todas las fuerzas gravitacionales que actúan sobre el cuerpo. Ahora quiero considerar el caso cuando $$$I_1$ es finito

Primero necesito determinar con mayor precisión lo que quiero decir con $$$I_1$ , integral de menos a más infinito. Podemos definir la integral de menos infinito a infinito como el límite de la integral de $$$-L$ antes $$$L$ de $$$f (x)$ en que $$$L$ tiende al infinito:

$$

$$I_1 = \ lim_ {L \ to \ infty} \ int \ limits _ {- L} ^ Lf (x) dx$$

Necesitamos calcular la integral de $$$-L$ antes $$$L$ . Si suponemos que $$$f (x)$ es finito, la integral también es siempre finita. Asumiré que la función misma $$$f (x)$ es finito, solo nos preocuparemos por la convergencia de la integral para $$$L$ tendiendo al infinito. Entonces para cualquier $$$L$ la integral es algún tipo de número. Entonces uno puede preguntarse si este número tiende al límite cuando $$$L$ tiende al infinito? Si es así, lo llamaremos el valor $$$I_1$ . Esta es solo una definición de lo que entendemos por integral de menos infinito a infinito.

Ahora considere el caso cuando este valor existe, cuando $$$I_1$ menos infinito, es decir, tiene un valor finito. Pero también quiero considerar la integral, que llamaré $$$I_2$ , que también se define como la integral desde menos infinito hasta infinito pero desde el valor absoluto $$$f (x)$ :

$$

$$I_2 = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty | f (x) | dx$$

Ahora un poco de terminología. Si $$$I_2$ menos infinito, si converge, entonces $$$I_1$ llamado absolutamente convergente . Absolutamente convergente significa que la integral converge, incluso si se utiliza el valor absoluto de la función. Por el contrario, si $$$I_2$ diverge, pero al mismo tiempo $$$I_1$ converge entonces $$$I_1$ llamado condicionalmente convergente . Por lo tanto, si la integral de una función converge, pero la integral del valor absoluto de la misma función no converge, entonces este caso se llama convergencia condicional.

La razón de esta separación es que las integrales condicionalmente convergentes son muy peligrosas. Son peligrosos porque no están bien definidos. Puede obtener cualquier valor que queramos agregando el integrando en un orden diferente. Mientras nos adherimos a un cierto orden, que está implícito en el símbolo de la integral, obtenemos una respuesta única. Pero, si, por ejemplo, simplemente movemos el comienzo de la integración, podemos obtener una respuesta diferente. Por lo general, no esperamos esto. Por lo general, simplemente nos integramos a lo largo de la recta numérica, sin importar dónde comenzamos a calcular la integral. Por lo tanto, el resultado se vuelve mucho menos definido cuando trabajamos con integrales condicionalmente convergentes.

Antes de pasar a la integral específica que nos interesa, con la ayuda de la cual intentaremos agregar las fuerzas gravitacionales de la distribución infinita de la materia, daré un ejemplo de una función muy simple que ilustra esta ambigüedad cuando la integral converge, pero no converge absolutamente. Puede obtener cualquier respuesta que queramos agregando las partes de la integral en un orden diferente. Un ejemplo que consideraré es la función f (x), que es +1 si x> 0 y -1 si x <0. No indico a qué equivale si x = 0, esto no importa durante la integración. Un solo punto no importa. Puede tomar cualquier valor para la función con x = 0, esto no cambiará nada.

Si lo integramos simétricamente, siguiendo la definición de lo que entendemos por integración de menos infinito a infinito, obtenemos una reducción completa.

Cuando nos integramos desde $$$-L$ antes $$$L$ , obtenemos cero porque hay una reducción completa entre las partes negativas y las partes positivas de la integral. Entonces, si tomas el límite, cuando $$$L$ tiende al infinito, el límite cero será cero. No hay ambigüedad en esta declaración.

Por lo tanto, sumando las partes de la integral en el orden indicado, obtenemos la integral, que es igual a cero. Pero el resultado depende del orden en que colocamos estas partes. En particular, si simplemente cambiamos el comienzo de la integración, comenzando a alejarnos del nuevo comienzo, obtendremos una respuesta diferente. Miremos el límite nuevamente cuando $$$L$ tiende al infinito, pero en lugar de integrarse desde $$$-L$ antes $$$L$ nos integraremos desde $$$a-l$ antes $$$a + L$ .

Esto es en realidad la misma integral, simplemente desplazamos a la derecha nuestro inicio de integración. En un caso particular $$$a$ es igual a cero, y obtenemos lo mismo que antes, pero si $$$a$ no igual a cero, esto significa que nuestra integral se calcula a partir de $$$x = a$ no de $$$x = 0$ .

Primero debemos calcular la integral de $$$a-l$ antes $$$a + L$ y luego tomar el límite cuando $$$L$ luchar por el infinito y ver qué obtenemos.

Es fácil entender lo que obtenemos. Tan pronto como $$$L$ cada vez más grande $$$a$ , la respuesta ya no cambia al aumentar $$$L$ . Cuando aumentamos $$$L$ , agregamos alguna parte negativa a la izquierda y la misma parte positiva a la derecha, y se neutralizan entre sí. Cuando $$$L = a$ , la integral será de 0 a 2 $$$a$ . En la integral solo habrá valores positivos de la función, el intervalo de integración será 2 $$$a$ , esto significa que la integral será 2 $$$a$ . Para cualquier valor grande $$$L$ la integral será la misma porque, como $$$L$ como dije, simplemente reducimos la adición de valores positivos a la derecha y valores negativos a la izquierda. Por lo tanto, el límite en esta integración tiene un valor definido, que es igual a 2 $$$a$ .

$$$a$ - este es el número desde el que comenzamos la integración, por lo que puede ser cualquier cosa. Podemos elegir $$$a$ como queramos Por lo tanto, podemos obtener cualquier respuesta que queramos si podemos agregar partes de la integral en un orden arbitrario. Esta es la incertidumbre fundamental de las integrales condicionalmente convergentes. Veremos que un intento de sumar las fuerzas que actúan sobre una partícula en una distribución de masa infinita es una integral convergente condicional. Por lo tanto, podemos obtener cualquier respuesta que queramos, y no significará nada a menos que lo haga con mucho cuidado.

El problema de la adición de fuerzas gravitacionales.

Ahora quiero calcular la fuerza que actúa sobre una partícula en una distribución infinita de materia y mostrar que puedo obtener diferentes respuestas, dependiendo del orden en el que agregaré fuerzas gravitacionales. En cada ejemplo, agregaré fuerza en un cierto orden y obtendré una cierta respuesta, sin embargo, obtendré diferentes respuestas, dependiendo del orden de adición que elija.

Intentemos calcular la fuerza gravitacional en algún momento $$$P$ en la distribución infinita de la materia. La sustancia llena la diapositiva y todo el espacio hasta el infinito. Agregaremos la contribución gravitacional de toda esta sustancia en un cierto orden.

En nuestro primer cálculo, agregamos las fuerzas gravitacionales de una sustancia ubicada en capas concéntricas centradas en un punto $$$P$ . Primero tomamos la capa más interna, luego la segunda capa, la tercera capa, etc. yendo más lejos del centro. En este caso, es fácil entender que la fuerza que actúa sobre el punto $$$P$ calculado en este orden es 0, porque para cada shell $$$P$ ubicado en el centro, y debido a consideraciones de simetría, las fuerzas deben ser compensadas. De hecho, se sabe, y pronto aprovecharemos este hecho de que el campo gravitacional del caparazón dentro del caparazón es cero. Esto fue probado por Newton. Y fuera del caparazón, el campo gravitacional se ve exactamente como si todo el material del caparazón estuviera concentrado en su centro. Está claro que en este caso la fuerza gravitacional en el punto $$$P$ igual a 0.

Ahora consideraremos un caso más complejo, en el que también calculamos la fuerza gravitacional en un punto $$$P$ . Pero usaremos proyectiles esféricos centrados alrededor de otro punto, $$$Q$ . Ahora $$$Q$ define las conchas que usaremos para agregar fuerza. También agregaremos fuerzas de todos los depósitos desde cero hasta el infinito, es decir sumar todas las fuerzas en el punto $$$P$ de toda la distribución infinita de la materia. Pero agregaremos estas fuerzas en un orden diferente, porque tomaremos en orden el caparazón centrado en $$$Q$ . Primero nos fijamos en la contribución del área sombreada, que es todas las conchas alrededor $$$Q$ tener radios menores que la distancia desde $$$Q$ antes $$$P$ . Para todos estos proyectiles, el punto $$$P$ se encuentra fuera del caparazón. Por lo tanto, cada caparazón actúa exactamente de la misma manera que una masa puntual igual a la masa total de la capa concentrada en un punto $$$Q$ , el centro de todas las conchas. Por lo tanto, la sustancia que está en la región sombreada contribuye a la fuerza en el punto $$$P$ igual a la fuerza que crearía una masa sombreada si se concentrara en un punto $$$Q$ .

Por otro lado, todos los demás proyectiles serán proyectiles para los cuales $$$P$ ubicado en el interior. $$$P$ ya no está en el centro de estas conchas, pero Newton descubrió que no importa. Dentro de la capa esférica, la fuerza gravitacional es cero en cualquier lugar, independientemente de lo cerca que esté del límite. Todas las fuerzas de diferentes partes de la carcasa se compensan con precisión. Si nos acercamos a la frontera, podemos suponer que habrá una atracción en la dirección de esta frontera. De hecho, en este caso, la fuerza de atracción hacia una partícula específica en este límite se vuelve más fuerte, porque es proporcional $$$1 / r ^ 2$ . Pero a medida que nos acercamos a la frontera, cada vez hay más sustancia en el lado opuesto. Y estos dos efectos se cancelan por completo. Por cierto, el hecho de que la fuerza que actúa sobre una partícula dentro del caparazón es cero se puede probar fácilmente utilizando la ley de Gauss para la gravedad.

Por lo tanto, las capas externas no contribuyen. Encontramos que la fuerza en el punto $$$P$ igual a la fuerza creada por la masa sombreada. Aceleración gravitacional en un punto $$$P$ está determinado por una fórmula simple: es igual a G multiplicado por la masa total del área sombreada dividida por $$$b ^ 2$ donde $$$b$ igual a la distancia entre $$$Q$ y $$$P$ , y multiplicado por un vector unitario dirigido desde $$$Q$ a un lado $$$P$ :

$$

$$\ vec g = \ frac {GM} {b ^ 2} \ hat e_ {QP}$$

Y este es un valor distinto de cero. Por lo tanto, obtenemos un resultado cero o distinto de cero dependiendo del orden en que sumamos las fuerzas de nuestra distribución infinita de la materia. Además, podemos obtener cualquier respuesta, porque podemos elegir $$$b$ lo que sea La respuesta depende de $$$b$ y se vuelve arbitrariamente grande a medida que crece $$$b$ . Puede parecer que la respuesta disminuye al aumentar $$$b$ pero en realidad está creciendo como la masa $$$M$ creciendo como $$$b ^ 3$ . Podemos ganar fuerza en cualquier dirección eligiendo $$$Q$ en la dirección correcta de $$$P$ . De hecho, podemos obtener cualquier respuesta usando este método para sumar fuerza.

El problema es que estos depósitos no existen realmente. Solo trabajamos mentalmente con estos proyectiles. La sustancia se distribuye uniformemente y no hay conchas. Los proyectiles son objetos puramente mentales que no deberían afectar la respuesta. Solo determinan el orden en que resumimos las fuerzas gravitacionales.