Modulación de amplitud de una señal arbitraria.

Como saben, AM es un tipo de modulación en la que la amplitud de la señal portadora cambia de acuerdo con la ley de la señal de modulación (información). Hay muchas fuentes con una descripción teórica y práctica de AM. La descripción se da, en primer lugar, para mostrar la composición de frecuencia de la señal de AM. Como señal de modulación, generalmente se considera una señal de tono único. Esta señal se establece mediante una simple función senoidal. Siempre me preguntaban y me preguntaba cómo describir AM en caso de que hubiera una señal arbitraria como señal de modulación. Es una señal arbitraria, cuyo espectro de frecuencia consta de muchos componentes, lo cual es interesante, ya que AM se usa en la transmisión para transmitir sonido.

Intentemos describir la AM para el caso anterior, teniendo en cuenta que la señal de modulación puede representarse como una suma continua de señales simples de un solo tono de diferentes frecuencias con diferentes amplitudes y fases. Sin entrar en las complejidades del análisis matemático, esta señal se puede escribir como una suma continua (integral de Fourier):

$$

$$S (t) = \ int \ limits_0 ^ mA (f) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (1)$$

donde $$$m$ - el límite superior de la frecuencia de la señal (banda de la señal de modulación), $$$f$ Es la variable de integración responsable de la frecuencia, y $$$f \ in (0; m]$ . Las funciones $$$A (f)$ y $$$\ varphi (f)$ - la amplitud y fase del componente de señal a una frecuencia $$$f$ .

El integrando de esta fórmula es el llamado convolución trigonométrica en la forma de fase de amplitud del término de la serie de Fourier en el que se puede expandir la señal. La integral en (1) se puede llamar la integral de Fourier, ya que, de hecho, es una suma continua, es decir, serie continua de Fourier en la que se descompone la señal original. La expansión de la señal en una serie similar da una idea de la composición de frecuencia de esta señal. Por lo tanto, la señal de modulación inicial se presenta como una suma continua de sinusoides (en este caso, por conveniencia, $$$cos$ ) varias frecuencias $$$f$ de $$$0$ antes $$$m$ , cada uno de ellos tiene su propia amplitud $$$A (f)$ cambio de fase $$$\ varphi (f)$ . Función $$$A (f)$ representa el espectro de frecuencia de la señal original $$$S (t)$ .

Vale la pena señalar que la señal se considera por un período de tiempo limitado. $$$t \ in [0; t_0]$ . En términos generales, cuando se trata de una señal de audio, entonces, como regla, el espectro de frecuencia tiene sentido práctico para considerar fragmentos de señal muy cortos. Obviamente, cuanto mayor sea la duración de la señal, más componentes de baja frecuencia (aproximándose a cero) aparecerán en la composición espectral, que no se puede comparar con las frecuencias de sonido en el rango audible.

Además de la señal de modulación, hay una señal de tono, que es una oscilación de portadora con una frecuencia $$$f_c$ amplitud $$$C$ y cero fase inicial:

$$

$$S_c (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct), \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (2)$$

por otra parte $$$f_c \ gg m$ . De hecho, en la radiodifusión, la frecuencia de la portadora es muchas veces mayor que el ancho de banda de la señal transmitida.

Ahora pasamos directamente al proceso de modulación de amplitud.

Señal AM es conocida $$$S_ {AM}$ existe el resultado de multiplicar la señal portadora y la señal de modulación, previamente sesgada e "indexada" por el índice de modulación $$$k$ es decir

$$

$$S_ {AM} (t) = S_c (t) (1 + kS (t)). \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (3)$$

Para evitar la llamada sobremodulación $$$k \ in (0; 1)$ .

Sustituimos los datos iniciales (1) y (2) en la expresión (3), abrimos los corchetes, los insertamos en la integral independiente de la variable de integración $$$f$ algunos factores:

$$

$$S_ {AM} (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct) \ Big (1 + k \ int \ limits_0 ^ mA (f) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df \ Big) = \\ = C \ sin (2 \ pi f_ct) + C \ sin (2 \ pi f_ct) k \ int \ limits_0 ^ mA (f) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df = \\ = C \ sin (2 \ pi f_ct) + kC \ int \ limits_0 ^ mA (f) \ sin (2 \ pi f_ct) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df. $$$

Aplicamos la conocida fórmula trigonométrica escolar para transformar el producto para funciones integradas:

$$

$$\ sin a \ cos b = \ frac12 \ Big (\ sin (a-b) + \ sin (a + b) \ Big).$$

Esta fórmula es clave en AM y enfatiza estos mismos "dos lados" en la composición espectral de la señal de AM.

Continuando con la igualdad, dividimos la integral de la suma resultante en la suma de dos integrales, expandimos los corchetes y sacamos los corchetes de los factores necesarios en los argumentos de las funciones:

$$

$$S_ {AM} (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct) + kC \ int \ limits_0 ^ mA (f) \ frac12 \ Big (\ sin (2 \ pi f_ct- (2 \ pi ft + \ varphi ( f)) + \\ + \ sin (2 \ pi f_ct + (2 \ pi ft + \ varphi (f)) \ Big) df = \\ = C \ sin (2 \ pi f_ct) + \ frac12kC \ int \ limits_0 ^ mA (f) \ sin (2 \ pi (f_c-f) t- \ varphi (f)) df + \\ + \ frac12kC \ int \ limits_0 ^ mA (f) \ sin (2 \ pi (f_c + f) t + \ varphi (f)) df.$$

Los tres términos resultantes representan respectivamente, como se puede ver por la igualdad, la señal portadora, las señales del lado "inferior" y "superior". Antes de dar una explicación concreta, continuamos la igualdad aplicando el método de reemplazo de variables en la siguiente configuración:

$$

$$\ begin {bmatrix} w = w (f) = (f_c \ pm f), \; dw = \ pm df, \\ df = \ pm dw, \; f = \ pm (w-f_c), \\ w (0) = f_c, \; w (m) = (f_c \ pm m). \ end {bmatrix}.$$

Usaremos este mismo reemplazo:

$$

$$S_ {AM} (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct) - \\ - \ frac12kC \ int \ limits_ {f_c} ^ {f_c-m} A (f_c-w) \ sin (2 \ pi wt - \ varphi (f_c-w)) dw + \\ + \ frac12kC \ int \ limits_ {f_c} ^ {f_c + m} A (w-f_c) \ sin (2 \ pi wt + \ varphi (w-f_c)) dw $$$

Al intercambiar los límites de integración en la primera integral (como resultado de lo cual el signo frente a la integral cambiará al opuesto), podemos combinar las dos integrales en una. Además, el primer término que describe la señal portadora también se puede introducir allí. En este caso, naturalmente, las funciones integradas de la amplitud y la fase deben generalizarse. Todo esto se hace condicionalmente y para una presentación más detallada, sin entrar en las complejidades del análisis matemático. Por lo tanto, resulta:

$$

$$S_ {AM} (t) = \ int \ limits_ {f_c-m} ^ {f_c + m} B (w) \ sin (2 \ pi wt + \ psi (w)) dw,$$

donde

$$

$$B (w) = \ begin {cases} \ frac12kCA (f_c-w), \; \; \; (f_c-m) \ leqslant w <f_c \\ C, \; \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; w = f_c \\ \ frac12kCA (w-f_c), \; \; \; f_c <w \ leqslant (f_c + m) \ end {cases} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (4)$$

y

$$

$$\ psi (w) = \ begin {cases} - \ varphi (f_c-w), \; \; \; (f_c-m) \ leqslant w <f_c \\ 0, \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; w = f_c \\ \ varphi (w-f_c), \; \; \; f_c <w \ leqslant (f_c + m) \ end {cases}. \; \; \; \; \; \; \; \ ; \; \; (5)$$

Por lo tanto, se introdujeron nuevas funciones definidas por partes (4) y (5) que describen el cambio en amplitud y fase en función de la frecuencia. Mirando los componentes de la función (4), uno puede notar que el tercer componente se obtiene por transferencia paralela de la función $$$A (f)$ en $$$f_c$ , y el primero, con una extensión de espejo preliminar. Las constantes constantes frente a las funciones, que reducen la amplitud, no las tengo en cuenta. Es decir, en el espectro de la señal de AM hay tres componentes: la portadora, el lado superior y el lado inferior, que se reflejó en (4).

En conclusión, vale la pena señalar que AM puede describirse utilizando un enfoque más complejo basado en señales complejas y números complejos. La señal habitual discutida en este artículo no tiene un componente imaginario. Teniendo en cuenta la representación usando diagramas vectoriales en el plano complejo, una señal sin un componente imaginario está compuesta por dos señales complejas con ambos componentes. Esto es obvio si representamos una señal de tono único como la suma de dos vectores que giran en direcciones opuestas simétricamente con respecto al eje x (Re). La velocidad de rotación de estos vectores es equivalente a la frecuencia de la señal y la dirección al signo de la frecuencia (positiva o negativa). De esto se deduce que el espectro de frecuencia de la señal sin un componente imaginario no solo tiene un componente positivo, sino también negativo. Y, por supuesto, es simétrico con respecto a cero. Es con esta representación que se puede argumentar que en el proceso de modulación de amplitud, el espectro de la señal de modulación se transfiere en una escala de frecuencia a la derecha desde cero a la frecuencia portadora (y también a la izquierda). En este caso, el "lado inferior" no se produce, ya existe en la señal de modulación original, aunque se encuentra en el rango de frecuencia negativa. A primera vista, suena extraño, ya que en la naturaleza, al parecer, no hay frecuencias negativas. Pero las matemáticas presentan muchas sorpresas.