Teoría de la felicidad. La ley de la cáscara de sandía y la normalidad de la anormalidad.

Represento los capítulos desordenados de mi libro "Teoría de la felicidad" con el subtítulo "Fundamentos matemáticos de las leyes de la maldad" a la corte de los lectores de Habr. Este libro de ciencia popular aún no se ha publicado, informa de manera muy informal acerca de cómo las matemáticas le permiten mirar el mundo y la vida de las personas con un nuevo grado de conciencia. Es para aquellos que están interesados ​​en la ciencia y para aquellos que están interesados ​​en la vida. Y dado que nuestra vida es compleja y, en general, impredecible, el énfasis en el libro se centra principalmente en la teoría de la probabilidad y las estadísticas matemáticas. Aquí no se prueban los teoremas y no se dan los fundamentos de la ciencia, de ninguna manera es un libro de texto, sino lo que se llama ciencia recreativa. Pero es precisamente un enfoque tan lúdico que nos permite desarrollar la intuición, alegrar las conferencias para los estudiantes con ejemplos vívidos y, por último, explicar a los no matemáticos y a nuestros hijos lo interesante que encontramos en nuestra ciencia seca.



En este capítulo, comenzamos analizando las sandías y sus cáscaras, descubrimos su conexión con la famosa ley de Murphy y nos aseguramos con toda severidad de que los gustos no se debatan.

¿Me parece solo que soy normal?

Con qué frecuencia, viendo las noticias o leyendo los comentarios sobre ellas, estamos perplejos: "¿Hay personas normales en este mundo?" Parece que debería haberlo, porque somos muchos y, en promedio, deberíamos ser normales. Pero al mismo tiempo, los sabios dicen que cada uno de nosotros es único. Y los adolescentes están seguros de que ciertamente son diferentes de la masa gris de las "personas normales" y que no son como los demás.

Los lectores familiarizados con las estadísticas, por supuesto, han visto muchas veces cómo, para varias distribuciones asimétricas, el modo (máximo en el gráfico de densidad de probabilidad) no coincide con el valor promedio o la expectativa matemática. Es decir, el valor promedio no corresponde a la densidad de probabilidad más alta, pero de todos modos, se espera que sea, si no el más frecuente, entonces al menos dominante. Sin embargo, no todo es tan simple. Hasta ahora, hemos considerado distribuciones univariadas, distribuciones en el espacio de resultados unidimensional. ¡Pero la vida es multifacética, y ciertamente no unidimensional! Y al agregar dimensiones adicionales, pueden suceder cosas inesperadas.

Una de las características de la geometría multidimensional es un aumento en la proporción de valores límite en un volumen limitado. Eso es lo que se quiere decir. Considere el problema clásico de la sandía en espacios con diferentes dimensiones y procure descubrir cuánta pulpa de azúcar maravillosa obtendremos de esta sandía enorme, fuerte y deliciosa, si la cortamos, descubriremos que el grosor de su cáscara no excede $$ de su radio? Parece que $$ Esto es mucho dolor, pero mira la figura al comienzo del artículo, tal vez encontremos una sandía con tales proporciones bastante aceptables.

Comencemos con una sandía unidimensional: esta es una columna rosa y su cáscara es dos pequeños segmentos blancos a lo largo de los bordes. La longitud total de la corteza, que es un análogo del volumen en un mundo unidimensional, será $$ de la longitud total de la sandía. Una sandía bidimensional en forma de panqueque, la corteza en forma de anillo blanco, tendrá un área más pequeña que su parte interna, ya solo tres veces. En el mundo tridimensional habitual, tal corteza será casi $$ volumen total Hay una trampa

Las acciones que ocupa la cáscara en una sandía de varias dimensiones.

Para una pelota, así como para un cuerpo de forma arbitraria, podemos obtener la dependencia de la relación entre el volumen de la corteza y el volumen total del cuerpo. Se expresa a través de la relación entre el grosor de la corteza y el tamaño característico del cuerpo. $$ y es una función exponencial de la dimensión del espacio $$ :

$$

Aquí hay un gráfico del crecimiento de la proporción de un radio del quince por ciento de la corteza de la sandía en su volumen, con un aumento adicional en la dimensión del espacio.


En un espacio de cuatro dimensiones, nuestra sandía convencional de melón corto nos dejará solo la mitad de la carne, y en el mundo de once dimensiones solo podemos darnos un festín $$ de toda la sandía, tirando la corteza que forma $$ su radio!

Entonces, estamos listos para formular la ley profunda de la cáscara de sandía :

Al comprar una sandía multidimensional, básicamente obtienes su cáscara.

Es una pena, por supuesto, pero ¿qué tiene esto que ver con la normalidad de nuestro mundo y las leyes de la maldad? Por desgracia, es él quien impide la búsqueda del llamado "medio dorado", devalúa los resultados de las encuestas de opinión y aumenta el papel de los problemas poco probables.

El hecho es que el espacio de las personas con todos sus parámetros es esencialmente multidimensional. Se pueden considerar dimensiones bastante independientes de altura, peso, edad y riqueza obvias, así como niveles de desarrollo intelectual (IQ) y emocional (EQ), finalmente, rasgos faciales o rasgos de carácter observables, aunque poco formalizados, como el nivel de habla, terquedad o amoridad. Podemos calcular fácilmente una docena y media de parámetros que caracterizan a una persona. Y para cada uno de estos parámetros hay una cierta "norma" determinada estadísticamente, el valor más esperado y, además, a menudo observado. ¿Cuántas personas en un espacio de parámetros tan rico serán típicas en todos los aspectos? La expresión que usamos para calcular la relación de los volúmenes de cáscara y sandía también se puede usar para calcular la probabilidad de estar entre al menos personas "anormales". De hecho, la probabilidad de satisfacer todos los criterios de tipicidad es simultáneamente igual al producto de las probabilidades de ser típico para cada criterio individualmente.

Ahora simplificaremos enormemente la tarea para no escribir fórmulas aterradoras, según las cuales nada se puede calcular correctamente. Suponga que las cualidades de las personas en cada dirección obedecen a una distribución normal (gaussiana) alrededor de un cierto valor promedio. Esto, por supuesto, es extremadamente audaz, pero es bastante razonable para nuestros propósitos, porque no estamos hablando de un conjunto específico de características, pero, francamente, fantaseamos, tratando de formular al menos algo específico en un tema tan inestable. Por lo tanto, es demasiado pronto para cargar los detalles hasta que la imagen más general sea visible. Entonces, subordinamos todos los criterios a una distribución normal con nuestros medios y variaciones. Entonces, podemos determinar los parámetros de la persona más típica del mundo y contar las desviaciones de ellos. Además, no nos importa qué valores de dispersión específicos aparezcan para cada criterio, porque solo estamos interesados ​​en la probabilidad de ir más allá de la desviación estándar, y este valor no depende de la escala de la distribución en sí. Todo esto lleva al hecho de que si designamos para $$ la probabilidad de estar fuera de la región limitada por la desviación estándar (para aparecer en la "corteza" externa de la distribución, que probablemente no es como la corteza de una sandía, sino de la atmósfera de la Tierra, que se aleja mucho en el espacio exterior, volviéndose cada vez más delgada) algo anormal al considerar $$ Los criterios se calcularán mediante la fórmula "sandía":

$$

Para una distribución gaussiana $$ donde $$ - desviación estándar.

Las probabilidades de ser "anormal" para un número diferente de criterios de comparación y para diferentes "severidades" de la definición de la norma. Los gráficos superior e inferior difieren en que al determinar la "normalidad" utilizan un radio de una y dos desviaciones estándar, respectivamente.

Bueno, resulta que es normal ser al menos algo anormal. Evaluando a las personas según los diez parámetros principales, prepárese para el hecho de que solo el 2% de la población total será completamente ordinaria. Además, tan pronto como los encontremos, se convertirán inmediatamente en celebridades, ¡habiendo perdido su mediocridad!

La misma ley de maldad

Una de las leyes clásicas de la maldad, formulada en los corazones del ingeniero Edward Murphy, establece:

"Todo lo que puede salir mal saldrá mal".

Es algo más profundo que la declaración trivial de que todos los resultados, incluso los más improbables, se observan en la muestra completa.

Suponga que para realizar algún trabajo se requiere realizar una serie de acciones, y para cada una de ellas hay una pequeña probabilidad de falla. ¿Cuál es la probabilidad de que todo salga sin problemas? Es simple: debe multiplicar la probabilidad de éxito para todos los pasos. Y luego se activa la ley de la cáscara de sandía: cuanto mayor es el número de pasos, más importante es el papel de las fronteras, en nuestro caso, las situaciones de emergencia. ¡Una docena de pasos son suficientes para que el 5% de probabilidad de error en cada uno de ellos aumente al 50% la probabilidad de falla de todo! Lo mismo se aplica a sistemas complejos con muchas partes, cada una de las cuales puede fallar. En el caso más simple, la probabilidad de falla del sistema se calcula a partir de la probabilidad de falla de cada parte de acuerdo con la misma ley de cáscara de sandía.

Nuestro razonamiento es extremadamente simple, y la ley de Murphy es más emocional que objetiva y parece un truismo, pero, sin embargo, fue a partir de esta observación que una nueva gran ciencia comenzó en los años cuarenta y cincuenta del siglo XX: la teoría de la fiabilidad. Añadió tiempo, la interconexión de los elementos del sistema, la economía, así como el factor humano, y encontró aplicación fuera de las ciencias de la ingeniería: en economía, teoría de control y, finalmente, en programación.

Volveremos a este tema cuando estudiemos la ley del último día , que obliga a la impresora a desechar el día en que se completa el proyecto. La Ley de Murphy, antigua, ¡una fuerza verdaderamente terrible! Mientras tanto, volvamos al tema de la unicidad y la normalidad.

La felicidad es encontrar amigos con el mismo diagnóstico que el tuyo.

Todos somos diferentes, esto es comprensible, pero ¿es posible plantear la cuestión del cumplimiento de alguna norma? ¿Estamos tratando de evaluar y comparar? Usted pregunta, ¿qué hay de malo en eso? Siempre comparamos a alguien con alguien, la mayoría de las veces, a nosotros mismos con otros, pero a veces permitimos evaluar a otra persona. Sin embargo, desde el punto de vista de las matemáticas, no todo es tan simple.

Comparar es determinar la relación de orden . Es decir, denotar que un elemento de un determinado conjunto, en cierto sentido, precede a otro. Aprendimos esto incluso en la escuela: 2 menos de 20, un elefante es más débil que una ballena, un contrato es más caro que el dinero, etc. Pero aquí hay una serie de preguntas. ¿Qué viene antes del lunes o martes? ¿Qué pasa con el domingo o el lunes? ¿Y qué domingo es antes del lunes, o después del sábado? ¿Y qué número es mayor: 2 + 3i o 3 + 2i? Podemos nombrar los colores del arco iris en orden e incluso asociar todos los colores intermedios con el número real: la frecuencia de la luz, pero además de estos colores hay muchos colores no espectrales, forman una rueda de colores que es familiar para los tipógrafos y diseñadores, ¿se pueden organizar en orden todos los colores visibles con el ojo? Estos ejemplos muestran que hay dificultades con la relación de orden. Por ejemplo, la transitividad no funciona muchos días de la semana (porque $$ debería $$ pero para $$ debería $$ no sigue eso $$ siempre sigue $$ ) Un intento de introducir el concepto de más / menos en el campo de los números complejos no es coherente con la aritmética de estos números, y los colores tienen ambas deficiencias.

¿Y cómo puede comparar personas, libros, platos, lenguajes de programación y otros objetos que tienen muchos parámetros, incluso formalizados condicionalmente? En principio, es posible, pero solo acordando primero las definiciones y las métricas, de lo contrario será un debate interminable, tormentoso y sin sentido. Lamentablemente, el debate acalorado a menudo surge ya en la etapa de elección de las métricas, ya que ellas mismas forman un cierto conjunto, en el que también es necesario determinar la relación de orden.

Sin embargo, es posible ofrecer una forma de razonamiento completamente significativa e inequívoca sobre la comparabilidad de los objetos multidimensionales, por ejemplo, las personas. En un espacio de parámetros multidimensionales, cada objeto puede ser representado por un vector, un conjunto de números, los valores de los criterios que lo caracterizan. Considerando un conjunto de vectores (por ejemplo, la sociedad humana), veremos que algunos de ellos resultan ser codirigidos, o al menos cercanos en direcciones, ahora ya se pueden comparar en longitud. Al mismo tiempo, algunos vectores serán ortogonales (en el sentido geométrico - perpendicular, en un sentido más amplio - independientes), y las personas que les correspondan simplemente serán incomprensibles entre sí: por una serie de parámetros aparecerán en espacios conjugados, como los notorios físicos y letristas. No tiene sentido argumentar que un buen poeta es de alguna manera mejor o peor que un ingeniero talentoso o un atleta dotado de la naturaleza. Lo único que se puede juzgar es la longitud del vector: el grado de superdotación, la distancia del promedio.

A este respecto, puede surgir una pregunta curiosa: ¿qué proporción de vectores aleatorios en el espacio de una dimensión dada será codireccional, y qué parte será ortogonal? ¿Cuánto puede encontrar personas de ideas afines, o al menos aquellas con las que pueda compararse?

En el mundo bidimensional, cada vector corresponde a un espacio unidimensional de colineal (codireccional) y un espacio unidimensional de vectores ortogonales. Si consideramos los vectores "casi" codireccionales y "casi" ortogonales, entonces forman sectores de la misma área con la misma elección de la desviación permitida. Es decir, objetos similares y diferentes, cuando se consideran dos criterios, serán la misma cantidad.


Vectores casi colineales y casi ortogonales en espacios bidimensionales y tridimensionales.

En el mundo tridimensional, la imagen cambiará. Los vectores codirigidos aún forman un espacio unidimensional, mientras que los vectores ortogonales ya llenan el plano: espacio bidimensional. Fijando la longitud de los vectores $$ y permitiendo una ligera desviación de las direcciones ideales por un ángulo $$ , el número de vectores casi codireccionales se puede comparar con el área de regiones circulares alrededor de los polos $$ y el número de vectores casi ortogonales, con el área de la franja alrededor del ecuador: $$ . Su actitud $$ mientras reduce la desviación $$ creciendo ilimitadamente.

En el mundo de cuatro dimensiones, los vectores ortogonales ya forman un espacio tridimensional, mientras que los vectores codireccionales todavía están en el espacio unidimensional, y la diferencia en su número ya es proporcional al cuadrado de la desviación del ideal. Pero en esta etapa, es mejor recurrir a la teoría de la probabilidad y descubrir cuáles son las posibilidades de obtener vectores ortogonales o codireccionales, tomando dos vectores del espacio al azar, dimensión $$ ? La distribución de ángulos entre vectores aleatorios nos informará sobre esto. Afortunadamente, discutiendo las áreas de esferas multidimensionales, puede calcularse analíticamente y presentarse en la forma final:

$$

Aqui $$ Es una función gamma, una generalización de un factorial a números reales (e incluso complejos).

Distribuciones angulares de vectores aleatorios para espacios de varias dimensiones.

Ahora está claro que para el espacio bidimensional, los ángulos se distribuyen uniformemente, para tridimensional, en proporción a la función sinusoidal, y con una dimensión creciente, la distribución tiende a la normalidad con una dispersión en constante disminución. Para todas las dimensiones superiores a dos, el modo de distribución es de 90 grados y la proporción de vectores mutuamente ortogonales aumenta a medida que aumenta el número de parámetros. La observación más importante es que los vectores codireccionales (que tienen un ángulo de aproximadamente 0 o 180 grados prácticamente no permanecen con una dimensionalidad de espacio suficientemente alta. Consideremos vectores más o menos similares (codireccionales, comparables) que tienen un ángulo inferior a 30 grados (este es un ángulo muy pequeño: $$ ) Luego, cuando se compara con dos criterios similares a algunos vectores seleccionados, solo un tercio de todos los vectores aleatorios resultará ser. El uso de tres criterios le permitirá comparar solo con un vector dado $$ todo el conjunto, para cuatro criterios, ya $$ , y cada adición posterior de dimensión reducirá esta fracción a la mitad. Si somos más estrictos y nos limitamos a un ángulo más pequeño, la proporción de vectores que se consideran similares disminuirá aún más rápido.

Por lo tanto, obtenemos la formulación vectorial de la ley de la cáscara de sandía:

En espacios de alta dimensión, casi todos los vectores son ortogonales entre sí.

o equivalente: el sabor y el color de ninguna pareja.

Compare sabiamente, no busque la normalidad en la vida y no tema la anormalidad. La matemática misma nos dice que en un mundo complejo de personas solo podemos hablar sobre el grado de similitud, pero no sobre la comparación. Entonces, no hay razón para involucrarse en disputas interminables, en busca de la verdad, en cambio, vale la pena escuchar y tratar de escuchar una opinión diferente, para ver una vista desde otro espacio conjugado, enriqueciendo así su percepción del mundo.

Los sabios tienen razón: todos somos únicos y en nuestra singularidad somos exactamente lo mismo.

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Los invito, los primeros lectores de este libro, a preguntas, adiciones y comentarios que, sin duda, lo harán más preciso, más rico y más interesante.