Sigo familiarizando a los lectores de Habr con los capítulos de su libro "Teoría de la felicidad" con el subtítulo "Fundamentos matemáticos de las leyes de la maldad". Este libro de ciencia popular aún no se ha publicado, informa de manera muy informal acerca de cómo las matemáticas le permiten mirar el mundo y la vida de las personas con un nuevo grado de conciencia. Es para aquellos que están interesados en la ciencia y para aquellos que están interesados en la vida. Y dado que nuestra vida es compleja y, en general, impredecible, el énfasis en el libro se centra principalmente en la teoría de la probabilidad y las estadísticas matemáticas. Aquí no se prueban los teoremas y no se dan los fundamentos de la ciencia, de ninguna manera es un libro de texto, sino lo que se llama ciencia recreativa. Pero es precisamente un enfoque tan lúdico que nos permite desarrollar la intuición, alegrar las conferencias para los estudiantes con ejemplos vívidos y, por último, explicar a los no matemáticos y a nuestros hijos lo interesante que encontramos en nuestra ciencia seca.Este es uno de los primeros capítulos en el que, utilizando el ejemplo de un ciclista, consideramos las herramientas que necesitamos para medir la injusticia: la curva de Lorenz y el índice de Gini, así como el notorio Pareto y el formidable inspector.
Ley es ley
En este libro hablaremos sobre varios problemas. Familiar, esperado y tan predecible que recibieron el estado de las leyes. Muchos de ellos ya han sido formulados: esta es la ley del sándwich que cae, y la ley de Murphy: "
Si puede ocurrir algún problema, sucederá "
. Y las leyes de Chisholm sobre el tema: "
Cuando las cosas van bien, algo debería suceder en un futuro muy cercano. "y la observación de Ettore:"
El siguiente giro siempre se mueve más rápido "
. La mayoría de ellos son bastante triviales, pero de acuerdo con la ley de Muir,"
cuando intentamos sacar una cosa, resulta que está conectada con todo lo demás "
. Intentaremos encontrar un núcleo racional de estas leyes. pero no para para luchar contra ellos, pero por placer. Y dado que usaremos las matemáticas en este caso, el placer será peculiar y útil, en contraste con el resultado mismo. Bueno, si nuestro razonamiento nos lleva demasiado lejos, podemos adoptar el postulado de Persigue: "
El número de hipótesis razonables que explican cualquier fenómeno es infinito "
. Al final, Grossman, citando a Kh. L. Menkin, señaló correctamente que "
Complejo los problemas siempre tienen soluciones simples, fáciles de entender e incorrectas "
.Algunos de los problemas que nos ocurren son naturales y determinados, y otros son de naturaleza estocástica y probabilística.
Por ejemplo, si se le redujo su salario en un 10% y luego se disculpó y aumentó en un 10%, al final perdió porque
x(1−0.1)(1+0.1)=x(1−0.01)<x.
Además, si el salario se incrementa primero y luego, sin siquiera disculparse, se reduce en el mismo 10%, el resultado será el mismo, ya que no importa en qué orden multiplicar los coeficientes. Es muy simple, ofensivo, pero no tiene nada que ver con la suerte.
Otro ejemplo de problemas deterministas es la magia que ocurre en nuestros bolsillos con auriculares: ponemos los auriculares cuidadosamente doblados en nuestro bolsillo, y después de media hora sucede un milagro, y sacamos un paquete de cables salvajes de nuestro bolsillo. En 2007, dos científicos del soleado y sereno San Diego publicaron un artículo científico serio,
"Formación espontánea de nodos en un hilo excitado", en el que se analiza y modela en detalle la ofuscación de auriculares en un bolsillo. Los autores, basados en la teoría del nudo, la teoría de la probabilidad y los experimentos físicos, demuestran de manera convincente que con el método estándar de bobinado, los auriculares realmente necesitan enredarse, además, después de solo unos segundos de sacudidas. Sin embargo, ya estamos observando esto, solo la velocidad de enredo inferida es inesperada aquí. Es bastante posible lidiar con esta molestia de una manera matemática: debe cambiar la forma en que se pliegan los auriculares, no con anillos que tienden a formar nodos, sino con una serie de bucles en la dirección opuesta, como se muestra en la figura. Con este método de plegado, los bucles se destruyen mutuamente y los nodos no se forman. Durante muchos años he estado doblando los auriculares de esta manera, sintiéndome como un topólogo genial, y cada vez que me regocijo, como un truco, cuando se desenrollan de un movimiento descuidado de la mano.
Pero incluso entre las leyes de naturaleza estocástica, no todos son igualmente interesantes. Por ejemplo, la ley de Buk:
"Siempre encuentras las llaves en tu último bolsillo". no tiene ninguna base racional. Un cálculo simple muestra que con la misma probabilidad de encontrar las claves para todos los bolsillos, este último no es diferente de los demás. Es que verificará aleatoriamente todos los bolsillos, examinándolos de todos modos y varias veces. En este caso, la función de probabilidad para el número del bolsillo en el que aparecen las teclas será para
N Los bolsillos se describen por
distribución geométrica :
P(n)= frac1N left(1− frac1N right)n−1,
y el número de bolsillo esperado será igual
N . Es decir, en cierto sentido, la ley de Haya se está implementando. Sin embargo, de esta manera estamos buscando claves, a menos que realmente necesitemos entrar urgentemente al baño, y esta es una ley de maldad en toda regla.
Nos interesarán las leyes que son paradójicas e instructivas, leyes que parecen rocas malvadas, eligiendo entre una multitud de opciones las más molestas y desagradables, en contra de la intuición que sugiere que esta elección no debería ser la más probable.
Si largo, largo, largo, si largo a lo largo del camino ...
Soy un gran fanático del ciclismo aficionado. ¿Qué podría ser mejor que correr a lo largo de la pista temprano en la mañana, en el frío, rodando por una pendiente fácil ... esta sensación vale la pena para superar las subidas sin fin o la resistencia al viento en contra por ello! Es cierto, a veces parece que hay más ascensos que descensos, y el viento se esfuerza por llegar, donde sea que gire. En los libros sobre merfología a este respecto,
se da
la ley del ciclista :
No importa a dónde vaya: es cuesta arriba y viento arriba.
Vivo en Kamchatka, en Petropavlovsk hay muchos toboganes, y andar por la ciudad no se pueden evitar. Sin embargo, debería tranquilizarme la idea de que al comenzar mi camino desde casa, regreso a casa nuevamente, lo que significa que el descenso total debería ser igual al ascenso total. Una ruta radial será especialmente honesta. Imagine una pista de 2 km que consta de una colina simétrica: un kilómetro arriba, un kilómetro abajo. Puedo ir cuesta arriba durante un tiempo suficiente a una velocidad de 10 km / h, y en el descenso trato de mantener una velocidad de 40 km / h (sí, tengo cuidado y me monto en un casco). Esto significa que pasaré cuatro veces más tiempo en la subida que en el descenso, y la imagen general será la siguiente: 4/5 del tiempo de viaje se gastará en un ascenso suave, y solo 1/5 en un descenso agradable. Resulta una pena: ¡el 80% del tiempo de caminata se compone de secciones difíciles del camino! Si salgo de nuestra ciudad montañosa, hacia el océano o hacia el valle del río Avachi, casi no habrá toboganes, pero todavía tengo viento en contra y un viento suave, o secciones con un mal camino.
Veamos la ley del ciclista desde la teoría de la probabilidad. Si tomo muchas selfies durante mi paseo en bicicleta, y luego empiezo a tomarlas sin mirar de un paquete mixto, una parte significativa de las imágenes me mostrará una figura doblada en un casco naranja, arrastrándose humildemente cuesta arriba o contra el viento. La probabilidad de ver a un ciclista volador y brillante en una imagen de una imagen publicitaria, por desgracia, será solo del 20%. ¿Y qué dirán las estadísticas? Si dejamos salir a una gran multitud de ciclistas en una pista montañosa, esperamos un poco y observamos su densidad, ¡veremos cómo la mayoría de los atletas se agolpan en áreas difíciles, y la probabilidad de encontrar una cara serena y sonriente en la masa general no será tan grande!
El resultado del modelado de simulación del movimiento del conjunto de ciclistas en una pista montañosa. Para cada uno de los participantes en el movimiento, se establece su potencia, determina su velocidad máxima, tanto en el ascenso como en el descenso (se tiene en cuenta la resistencia del aire). Se puede ver qué tan pronto después del inicio del movimiento, la mayor parte del conjunto se concentra en los ups.Permítanos, como una vez en la escuela, mostrar en el gráfico la dependencia del movimiento del ciclista en el tiempo, al moverse a lo largo de una colina triangular simétrica. Simplemente hacemos todo de una manera adulta, en nuestra propia escala de la tarea: mediremos la distancia no en kilómetros, sino en fracciones de la ruta general, haremos lo mismo con el tiempo de viaje. La primera mitad del camino (segmento
AB ) el ciclista se movió lentamente y durante mucho tiempo -
4/5 todo el tiempo, y el segundo (segmento
BC ) venció rápidamente, por
1/5 tiempo
Horario del ciclista en partes de la ruta y el tiempo total.Hay una manera completamente universal de juzgar la injusticia de este mundo, adoptada por econométricos, demógrafos, ecologistas o comercializadores: la
curva de Lorentz y el
índice de Gini asociado. Para una distribución conocida de algo valioso, por ejemplo, dinero, en una determinada población, es posible, después de clasificar a los miembros del conjunto aumentando el nivel de riqueza, primero, construir una curva acumulativa, normalizando el eje X al tamaño de la población y el eje Y a su bienestar general. El resultado es una curva que lleva el nombre del economista estadounidense Max Otto Lorenz. Cuando trazamos el movimiento del ciclista, esencialmente trazamos la curva de Lorenz para distribuir las velocidades a lo largo de los tramos de una ruta que consta de solo dos columnas.
Distribución de la velocidad del ciclista a lo largo del camino recorrido.Por supuesto, no todos los horarios de movimiento se pueden percibir como una curva de Lorentz. Antes de construirlo, debe ordenar los períodos de viaje aumentando la velocidad y luego proceder a la construcción. En otras palabras, primero necesita construir un histograma de velocidades, y luego agregar secuencialmente las contribuciones de todas las columnas del histograma, comenzando con la contribución de valores pequeños, terminando con la más grande. El resultado debería ser una curva cóncava en todas partes que vaya por debajo de la diagonal (
AC ) Esta diagonal se llama
curva de igualdad , en nuestro caso corresponde a una velocidad constante (promedio) a lo largo de todo el camino, o un histograma con una sola columna (función de densidad de probabilidad en forma de delta). Y en el sentido económico: la igualdad universal del bienestar. Cuanto más se desvía la curva de Lorentz de la curva de igualdad, menos "justa" puede considerarse la distribución. Tan pronto como estudiemos las leyes de maldad e injusticia de nuestro mundo, es aconsejable utilizar tanto la terminología como las herramientas utilizadas para estudiar la justicia.
El área bajo la curva de Lorentz para cualquier distribución que no sea la distribución tipo delta será menor que el área bajo la curva de igualdad. Su diferencia puede servir como una característica formal de la desigualdad o "injusticia" de distribución. Esta característica se refleja en
el índice de Gini . Se calcula como el área duplicada de la figura formada por la curva de igualdad y la curva de Lorentz. Para un mundo ideal, el índice de Gini es 0, en la versión más pesadilla tiende a uno. En el ejemplo que examinamos, es 0.35. Este es un muy buen indicador. Por ejemplo, la distribución de la riqueza entre la población en Rusia ahora tiene un índice de Gini de 0.39, en los EE. UU. - 0.49, en Austria y Suecia no supera 0.3, y para todo el mundo en 2017 ascendió a 0.66. Entonces, la situación con los ciclistas, por supuesto, es insultante e injusta, pero bastante tolerante.
Consideramos la distribución de velocidades por distancia, y qué sucederá si se nos da la distribución de velocidades por tiempo (dividimos el tiempo de viaje en intervalos y contamos el número de intervalos con una u otra velocidad). Debido a la falta de dimensión del diagrama de Lorentz, podemos volver a trazar la curva correspondiente e incluso compararla con el resultado anterior. Por ejemplo, deje la mitad del tiempo de viaje, digamos, una hora, un ciclista a una velocidad de 10 km / h, y una hora a una velocidad de 40 km / h (no importa en qué orden). Entonces 1/5 de todo el camino caerá a una velocidad baja y 4/5 a una velocidad alta. La curva de Lorentz, en el caso de una distribución de velocidad a lo largo del tiempo, será un reflejo de la curva de Lorentz para la distribución de velocidades a lo largo de una distancia, en relación con la diagonal, perpendicular a la línea de igualdad. En este caso, el índice de Gini será el mismo, porque cuando la curva se refleja, el área debajo de ella no cambiará. Entonces, según el nivel de injusticia, estas dos condiciones diferentes resultan ser las mismas, ¡aunque el segundo caso parece ser mucho más agradable!
Tenga en cuenta que, con la ayuda de algún índice formal, comenzamos a comparar cosas completamente diferentes e incomparables, es tentador y peligroso. Debe tener en cuenta que los índices y criterios formales siempre son iguales a algo, independientemente de si tiene sentido o no. Comparamos la distribución de la riqueza entre la población de los países y la distribución del tiempo dedicado a superar el camino en términos de diferencias con respecto a algunas opciones que se considerarían justas. Mientras tengamos conversaciones frívolas y, a veces, hooligan sobre las leyes de la maldad, tal vez esta sea una comparación justificada, pero en matemáticas, por supuesto, esto no se puede hacer. La curva de Lorentz, y a partir de ella, el índice de Gini se puede calcular formalmente para el histograma del brillo de los píxeles en la imagen o para la frecuencia de las palabras en el habla en vivo, esto no tendrá ninguna relación con la justicia, y tendrá muy poco sentido. Por lo tanto, teniendo en cuenta el índice de Gini para cualquier cosa horrible, lo llamaremos
el índice de maldad para no confundir al lector con la locura de los términos.
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La conclusión que saca el ciclista, jadeando en una marcha más baja: "el mundo es injusto y la mayor parte de la energía toma la parte más estúpida del trabajo", a menudo referido como
el principio de Pareto o
el principio "80/20" . Esto es empirismo absoluto, nadie ha probado el principio de Pareto, pero se cita con tanta frecuencia que ya da la impresión de la verdad. Se utiliza como excusa y como instrucción, se encuentra en diversas manifestaciones y, a veces, funciona, por ejemplo, el principio de "80/20" corresponde al índice de significancia del orden de 0.6, en cuanto a la distribución de la riqueza en todo el mundo. Entendiendo que esta no es la trama del destino, sino las matemáticas más simples, con las que no tiene sentido luchar, uno puede aprender a disfrutar tanto de las etapas prolongadas como de las tediosas pero inevitables etapas de trabajo, al menos resolviendo problemas en la mente o meditando. Los taoístas se esforzaron por vivir para siempre, y razonaron correctamente que, junto con el trabajo en el cuerpo, para lograr su objetivo, se requiere la preparación de la mente. De hecho, para la vida eterna, necesita no solo la capacidad de soltar el apego, sino también la paciencia, así como la capacidad de disfrutar de largos períodos.
El principio de Pareto tiene una generalización más rigurosa útil para la comprensión. La ley de la maldad, que lleva el nombre del ciclista sin nombre, tiene un título científico oficial: la
paradoja de la inspección . Este conocido fenómeno se encuentra en una variedad de estudios relacionados con encuestas sociológicas, que prueban la teoría de fallas (una sección de matemática aplicada que se ocupa de la confiabilidad de los sistemas complejos), desplazando implícita pero sistemáticamente los resultados observados hacia fenómenos observados con mayor frecuencia.
Pongamos un ejemplo clásico, con una encuesta de pasajeros de transporte público. Muchos autobuses operan en la línea por día, a una hora pico relativamente corta, los autobuses se desbordan, y el resto del tiempo pasan casi vacíos. Si interrogamos a los pasajeros, una parte importante de ellos estará en un autobús lleno de gente (simplemente hay más personas allí), y obtendremos una expresión de descontento general. Si entrevistamos a los conductores, se quejarán de lo incompleto de una parte significativa de las rutas y de la irracionalidad de las autoridades que los conducen en vano. Un horario flexible suavizará la situación, pero, en cualquier caso, la curva de Lorentz se desviará de la curva de igualdad correspondiente a la situación increíble de siempre el mismo número de pasajeros en todos los autobuses.
En las introducciones a la teoría de la probabilidad, a menudo se encuentra una bolsa opaca especial, en la que los matemáticos ponen varios objetos y luego los sacan al azar, a veces haciendo conclusiones muy reflexivas. La solución a la paradoja es que analizamos el sistema de flujo de pasajeros en su conjunto y colocamos los autobuses en la bolsa, y al realizar la encuesta, sacamos a los pasajeros al azar (inspeccionamos) e intentamos sacar conclusiones basadas en ellos. La imagen muestra cuál es la diferencia:
Las estadísticas de autobuses dicen que el 75% de ellos son gratuitos e inútiles. Al mismo tiempo, una encuesta de pasajeros descubrirá que el 64% de los pasajeros que viajaron ese día se encontraban en vehículos superpoblados.Veamos esta situación trazando la curva de Lorenz, esta vez, la real, para el número de pasajeros en los autobuses de la figura anterior. Para hacer esto, debe ordenar los autobuses por el número de pasajeros y resumir secuencialmente la contribución de cada uno de ellos al flujo total de pasajeros:La curva de Lorenz ilustra bien la injusticia observada en la situación del autobús: la mitad de los autobuses transportan solo una quinta parte del flujo de pasajeros.La curva de Lorentz, en este caso, muestra cómo se desplazan los cuantiles de la distribución del número de elementos en algunos grupos (eje horizontal) cuando se analiza la distribución de elementos según la pertenencia al grupo (eje vertical). De hecho, esta es la paradoja de la inspección: la imagen que observa el inspector resulta estar distorsionada, porque no analiza los grupos, sino los elementos de los grupos, mientras que el promedio y la mediana observados se desplazan hacia una "cola más pesada" de la distribución.Por sí misma, la ley de nuestro ciclista es muy simple, pero agravará las otras leyes de maldad de vez en cuando, añadiéndoles un tono emocional hosco. Pensando en las leyes de la mezquindad, me gusta pensar en la distorsión de la percepción del mundo del inspector en términos de cambiar las curvas de color de una imagen. En los editores gráficos de trama, utilizamos la herramienta Curvas para modificar imágenes, cambiando la distribución de la cantidad de píxeles en brillo. Aquí, por ejemplo, cómo la curva de Lorentz que obtuvimos para los autobuses cambia la percepción de la realidad. La imagen del mundo se está oscureciendo, como esperamos.La curva de Lorentz del ejemplo, utilizada como filtro de "Curva" en el editor de gráficos de trama, oscurece la imagen visible del bus Kamchatka. Quejándose de que los autobuses "siempre llegan tarde" y "siempre están llenos de gente", ¡consuélese con el hecho de que esto es solo una ilusión relacionada con la paradoja de la inspección!La paradoja de la inspección puede manifestarse en sus extremos: si entre los grupos de elementos colocados en nuestra bolsa teórica están aquellos cuyos elementos no solo son raros sino que no son observables en absoluto, obtenemos un error sistemático del sobreviviente. Este fenómeno a menudo se cuenta en varios artículos desmotivadores, para empresarios y programadores principiantes, asegurándoles que el camino exitoso descrito en los libros probablemente no sea para ellos, porque, dicen, los libros que no tuvieron éxito no están escritos. Sin embargo, esto no tiene nada que ver con las leyes de la maldad, así que dejemos estos argumentos. En general, las paradojas descritas son errores metodológicos cometidos al recibir y procesar datos, es útil saber sobre ellos, pero, desafortunadamente, conducen a una opinión generalizada sobre las estadísticas como manipulación injusta de datos reales entre personas muy alejadas de estos métodos.Nos encontraremos con la ley del ciclista y su influencia más de una vez: haciendo cola o en la parada del autobús, observando la injusticia de la distribución de la riqueza. Y las curvas de Lorentz y el índice de villanía nos permitirán comparar audazmente entre ellos cosas escandalosamente diferentes. Las matemáticas son una ciencia exacta, pero nadie prohíbe que los matemáticos se porten mal. En su, por supuesto, círculo y sin peleas.
La experiencia de publicar capítulos sobre Habré resultó ser muy útil: los comentarios de los lectores me permitieron corregir la redacción, ampliar el conjunto de ejemplos y mis propios horizontes. Me complacerá hablar en el libro sobre cómo nuestra comunidad ha ayudado a editarlo y agradecer a los creadores y residentes de Habr por participar en su redacción.