Teorema de Boshernitsan

El artículo ofrece una prueba simple de que el mapeo de un espacio métrico compacto en sí mismo, sin disminuir la distancia, es una isometría.

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Display $$$f: E \ rightarrow E$ espacio métrico con métrico $$$\ rho (\ cdot, \ cdot)$ llamada isometría si por alguna $$$x, y \ en E$ igualdad justa $$$\ rho (x, y) = \ rho (f (x), f (y))$ . Aquí probamos la siguiente declaración:

Teorema Si $$$f: E \ rightarrow E$ un mapeo de un espacio métrico compacto en sí mismo de manera que

$$$\ rho (x, y) \ leq \ rho (f (x), f (y)) (1)$

para cualquier $$$x, y \ en E$ luego mapeo $$$f$ - isometría

Recuerde algunas declaraciones simples sobre conjuntos métricos compactos e introduzca algunas convenciones y definiciones necesarias para una mayor exposición.

A través de $$$| A |$ denotamos el número de elementos de un conjunto finito $$$A$ .

Para $$$x \ en E$ y $$$\ varepsilon> 0$ muchos $$$Q_ {x, \ varepsilon} = \ {y: y \ en E, \ rho (x, y) <\ varepsilon \}$ llamemos $$$\ varepsilon$ -puntos de vecindario $$$x$ (o bola abierta centrada en $$$x$ y radio $$$\ varepsilon$ )

Conjunto finito $$$A \ subconjunto E$ llamará $$$\ varepsilon$ red en $$$E$ (o simplemente $$$\ varepsilon$ -network) si por algún punto $$$x \ en E$ hay un punto $$$y \ en A$ tal que $$$\ rho (x, y) <\ varepsilon$ . Muchos $$$B \ subconjunto E$ llamará $$$\ varepsilon$ -rechazado si $$$\ rho (x, y) \ geq \ varepsilon$ para cualquier $$$x, y \ en B$ tal que $$$x \ neq y$ .

Para cualquier conjunto finito $$$A = \ left \ {a_1, \ ldots, a_m \ right \} \ subset E$ denotar por $$$l (A)$ la cantidad $$$\ sum _ {i \ leq j} \ rho \ left (a_i, a_j \ right)$ . Magnitud $$$l (A)$ llamar a la longitud del conjunto $$$A$ .

1. Dejar secuencias $$$\ left \ {a_n \ right \}$ , $$$\ left \ {b_n \ right \}$ muchos elementos $$$E$ converger en consecuencia
a los puntos $$$a, b \ en E$ . Entonces $$$\ rho \ left (a_n, b_n \ right) \ rightarrow \ rho (a, b)$ a las $$$n \ rightarrow \ infty$ .

Prueba . Considere las desigualdades obvias

$$$\ rho \ left (a_n, b_n \ right) \ leq \ rho (a, b) + \ rho \ left (a_n, a \ right) + \ rho \ left (b_n, b \ right) (2)$

$$$\ rho \ left (a_n, b_n \ right) + \ rho \ left (a_n, a \ right) + \ rho \ left (b_n, b \ right) \ geq \ rho (a, b) (3)$

Desde $$$a_n \ rightarrow a$ , $$$b_n \ rightarrow b$ a las $$$n \ rightarrow \ infty$ entonces para $$$\ varepsilon> 0$ hay un natural $$$N$ eso para todos $$$n> N$ será

$$$\ rho \ left (a_n, a \ right) <\ frac {\ varepsilon} {2}, \ rho \ left (b_n, b \ right) <\ frac {\ varepsilon} {2} (4)$

De $$$(2), (3), (4)$ se sigue que $$$\ left | \ rho (a, b) - \ rho \ left (a_n, b_n \ right) \ right | <\ varepsilon$ para todos $$$n> N$ .

2. Para cada $$$\ varepsilon> 0$ en $$$E$ hay un finito $$$\ varepsilon$ red

Prueba . Familia de pelota abierta $$$\ left \ {Q_ {x, \ varepsilon} \ right \}$ donde $$$x$ corre a través $$$E$ es un recubrimiento $$$E$ . T. a. $$$E$ compacto, elija una familia finita de bolas $$$\ left \ {Q_ {x_1, \ varepsilon}, \ ldots, Q_ {x_m, \ varepsilon} \ right \}$ también cubriendo $$$E$ . Está claro que el conjunto $$$A = \ left \ {x_1, \ ldots, x_m \ right \}$ - final $$$\ varepsilon$ red

3. espacio $$$E$ limitado A saber, hay tal número $$$d> 0$ eso $$$\ rho (x, y) <d$ para cualquier $$$x, y \ en E$ .

La prueba se deduce inmediatamente de 2. De hecho, ponemos $$$g = \ underset {i \ neq j} {\ max} \ left (x_i, x_j \ right)$ donde $$$x_i$ , $$$x_j$ - elementos $$$\ varepsilon$ redes $$$A$ . Está claro que $$$\ rho (x, y) \ leq g + 2 \ varepsilon$ .

4. Si $$$B = \ left \ {a_1, \ ldots, a_n \ right \}$ - final $$$\ frac {\ varepsilon} {2}$ red en $$$E$ entonces para cualquier $$$\ varepsilon$ conjunto escaso $$$K$ será $$$| K | \ leq | B |$ es decir $$$| K | \ leq n$ .

Prueba . Globo$$ $ en línea $ \ underset {i = 1} {\ overset {n} {\ unicode {222a}}} Q_ {a_i, \ frac {\ varepsilon} {2}} $ en línea $ cubre $$$E$ . Si $$$| K |> n$ entonces dos elementos diferentes de $$$K$ estará en una de las bolas $$$Q_ {a_i, \ frac {\ varepsilon} {2}}$ , lo que contradice el hecho de que $$$K$ - $$$\ varepsilon$ conjunto escaso.

5. A todos $$$\ varepsilon$ conjunto escaso $$$A \ subconjunto E$ coincide con el número $$$l (A)$ - su longitud. Ya hemos demostrado que es una función que pone a cualquiera $$$\ varepsilon$ conjunto escaso $$$A$ número coincidente $$$| A |$ limitado Tenga en cuenta que la función que cada $$$\ varepsilon$ conjunto escaso $$$A \ subconjunto E$ coincide con su longitud $$$l (A)$ También es limitado.

6. Dejar $$$c = \ sup l (A)$ donde $$$\ sup$ tomado en todos $$$\ varepsilon$ conjuntos escasos $$$A \ subconjunto E$ . Entonces justo

Lema 1. Hay $$$\ varepsilon$ conjunto escaso $$$C = \ left \ {a_1, \ ldots, a_k \ right \}$ tal que $$$l (C) = c$ , $$$C$ es $$$\ varepsilon$ red en $$$E$ , $$$f (C)$ también es $$$\ varepsilon$ red en $$$E$ y para cualquier $$$a_i, a_j \ en C$ será $$$\ rho \ left (a_i, a_j \ right) = \ rho \ left (f \ left (a_i \ right), f \ left (a_j \ right) \ right)$ .

7. Lema 2. El mapa $$$f$ continuamente en $$$E$ . Más precisamente: si $$$\ rho (x, y) <\ varepsilon$ para cualquier $$$x, y \ en E$ entonces $$$\ rho (f (x), f (y)) <5 \ varepsilon$ .

Prueba . Considerar $$$\ varepsilon$ red $$$C$ de Lemma 1. Si $$$x$ no pertenece a la pelota $$$Q_ {a_i, \ varepsilon}$ entonces $$$x$ no pertenece $$$Q_ {f \ left (a_i \ right), \ varepsilon}$ . Esto significa que hay tal $$$i$ eso $$$x \ en Q_ {a_i, \ varepsilon}$ y $$$f (x) \ en Q_ {f \ left (a_i \ right), \ varepsilon}$ . Del mismo modo, hay $$$j$ eso $$$y \ en Q_ {a_j, \ varepsilon}$ y $$$f (y) \ en Q_ {f \ left (a_j \ right), \ varepsilon}$ . Tasa $$$\ rho (f (x), f (y))$ . Está claro que $$$\ rho (f (x), f (y)) <\ rho \ left (f \ left (a_i \ right), f \ left (a_j \ right) \ right) + \ varepsilon + \ varepsilon = \ rho \ left (a_i, a_j \ right) +2 \ varepsilon$ . Y desde $$$\ rho (x, y) <\ varepsilon$ y $$$x \ en Q_ {a_i, \ varepsilon}$ , $$$y \ en Q_ {a_j, \ varepsilon}$ entonces $$$\ rho \ left (a_i, a_j \ right) <3 \ varepsilon$ . Por lo tanto $$$\ rho (f (x), f (y)) <5 \ varepsilon$ .

Entonces hemos demostrado que $$$f$ muestra continuamente $$$E$ en $$$E$ . Se desprende del Lema 1 que para cada $$$\ varepsilon> 0$ existe $$$\ varepsilon$ red en $$$E$ tal que $$$f$ mantiene distancias entre elementos de esta red. Por lo tanto, para cualquier punto $$$x, y \ en E$ puede encontrar secuencias $$$x_n \ rightarrow x$ , $$$y_n \ rightarrow y$ tal que $$$\ rho \ left (f \ left (x_n \ right), f \ left (y_n \ right) \ right) = \ rho \ left (x_n, y_n \ right)$ . Pero $$$\ rho \ left (x_n, y_n \ right) \ rightarrow \ rho (x, y)$ a las $$$n \ rightarrow \ infty$ . De la continuidad del mapeo $$$f$ se sigue que $$$f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f (x)$ , $$$f \ left (y_n \ right) \ rightarrow f (y)$ a las $$$n \ rightarrow \ infty$ . Por lo tanto $$$\ rho \ left (f \ left (x_n \ right), f \ left (y_n \ right) \ right) \ rightarrow \ rho (f (x), f (y))$ a las $$$n \ rightarrow \ infty$ . Y como para cualquier $$$n$ la igualdad tiene $$$\ rho \ left (x_n, y_n \ right) = \ rho \ left (f \ left (x_n \ right), f \ left (y_n \ right) \ right)$ entonces $$$\ rho (x, y) = \ rho (f (x), f (y))$ .

Observación

Esta prueba del teorema de Boshernitsan se basa en conversaciones con mi amigo estudiante, ahora matemático estadounidense Leonid Luxemburg, durante una de sus visitas a Moscú y es mi presentación de su idea propuesta.

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Slobodnik Semyon Grigoryevich ,
desarrollador de contenido para la aplicación "Tutor: matemáticas" (ver artículo sobre Habré ), candidato de ciencias físicas y matemáticas, profesor de matemáticas en la escuela 179 en Moscú