Intercambio de datos y ecuaciones diferenciales

En uno de los proyectos en los que trabajé, se implementó un mecanismo de intercambio de datos entre componentes remotos del sistema, que funcionó de acuerdo con el siguiente escenario: el componente fuente A, por su parte, prepara los datos destinados a la transmisión; El receptor de componentes B abre periódicamente una sesión de comunicación y toma todos los datos que A ha acumulado en el momento de la conexión. Los datos que llegan ya durante una sesión de comunicación se retrasan hasta la próxima conexión.

En algún momento, me di cuenta de que la transferencia de datos en dicho esquema se describe utilizando una ecuación diferencial ordinaria. Descripción del modelo y las conclusiones que se obtuvieron con su ayuda, bajo el corte.

Denotamos $$$x (t)$- la cantidad de datos en algunas unidades arbitrarias acumuladas para el intercambio en el lado del componente A en el momento $$$t$. Deje que la pausa entre el final de la sesión de intercambio y el comienzo de la próxima igual $$$a_0> 0$unidades de tiempo, y la transferencia de una unidad de datos requiere $$$a_1> 0$unidades de tiempo Luego en la transferencia $$$x (t)$unidades de datos requeridas $$$a_0 + a_1x (t)$unidades de tiempo La tasa de datos es

$$

$$\ frac {x (t)} {a_0 + a_1x (t)}. \ quad (1)$$

Si se designa la velocidad de almacenamiento de datos en el lado A $$$f (t)$entonces $$$x (t)$es una solución a la ecuación diferencial:

$$

$$\ frac {dx} {dt} = - \ frac {x} {a_0 + a_1x} + f (t). \ quad (2)$$

Dado que un crecimiento ilimitado en el volumen de datos aún no enviados es una situación extremadamente indeseable, se convierte en una tarea importante obtener condiciones para la limitación de las soluciones a esta ecuación.

Por simplicidad, consideramos la función $$$f (t)$continuo Dejar

$$

$$f (t) = \ phi_0 + \ phi (t),$$

donde

$$

$$\ left | \ int_0 ^ t \ phi (s) ds \ right | \ leq K _ {\ phi} <+ \ infty$$

para todos $$$t \ geq 0$y $$$\ phi_0> 0$- constante, desempeñando el papel de valor promedio.

Veamos algunos ejemplos. Dejar $$$f (t)$periódico y su horario tiene la forma:


En este caso $$$\ phi_0 = 1/3$, $$$\ phi (t) = f (t) - \ phi_0$.
Al integrar numéricamente la ecuación (1) para varios valores de parámetros $$$a_0, a_1$y valores iniciales $$$x (0)$, obtenemos los siguientes gráficos de soluciones:


Los ejemplos muestran: cuando $$$1 / a_1> \ phi_0$, las soluciones también son limitadas para varios valores $$$x (0)$El sistema tiende a un estado estable. Pausas menos cortas entre sesiones $$$a_0$, cuanto más rápida sea esta convergencia. En $$$1 / a_1 <\ phi_0$tal convergencia no se observa, y las soluciones crecen con el tiempo. La reducción de la duración de las pausas ralentiza la tasa de crecimiento, pero la tendencia a un aumento ilimitado $$$x (t)$Todavía guardado.

En el caso general, se puede demostrar que si $$$1 / a_1> \ phi_0$, entonces las soluciones de la ecuación (1) están delimitadas, y si $$$1 / a_1 <\ phi_0$- Se obtendrán soluciones ilimitadas. Es decir, la limitación de las decisiones está determinada solo por la proporción de las tasas de acumulación y extracción de datos. Duración de las pausas entre sesiones de intercambio. $$$a_0$, el único parámetro que se puede controlar fácilmente no afecta fundamentalmente el comportamiento del sistema. Aunque, como puede verse en la relación (1) y los ejemplos, con su aumento, el tipo de cambio disminuye.

Como resultado, el análisis del modelo nos permite sacar las siguientes conclusiones. Si el tipo de cambio es insuficiente y, por el lado de la fuente, la cantidad de datos para el envío aumenta constantemente, entonces no tiene sentido tratar de corregir la situación reduciendo las pausas entre sesiones. Solo un aumento en el rendimiento del sistema puede ayudar aquí.

Por otro lado, en el caso de que el servicio de intercambio cargue constantemente computadoras en detrimento de otras tareas, la decisión correcta sería aumentar la duración de la pausa dentro de límites razonables: esto solo afectará la relevancia de los datos, sin el riesgo de desbordar la fuente con datos no enviados.

Los cálculos detallados para las condiciones de las decisiones limitadas y algunas otras preguntas sobre el modelo considerado se publican en los materiales del seminario escolar "Modelado matemático, métodos numéricos y complejos de programas" con el nombre de E.V. Voskresensky. Puede ver y descargar el artículo aquí .