Constante de magia

Hay cuadrados llamados magia. Bueno, probablemente todos sepan que la suma de los números en dichos cuadrados horizontalmente, verticalmente y las diagonales principales es la misma, es decir, igual al mismo número, esta suma numérica se llama constante mágica (en adelante M _n , donde n es el tamaño del cuadrado; n> 2) Incluso en la escuela, recordé la fórmula para calcular esta constante: M _n = n * (n ² + 1) / 2, no estaba claro de dónde provenía ... intentaremos deducirlo, tal vez alguien ya lo dedujo, tal vez lo mismo , tal vez de una manera diferente, no importa solo escribir.

Ingresando nuevamente números en cuadrados, una vez que noté tal cosa. Si ingresa números del 1 al n ² en columnas de izquierda a derecha, siempre obtiene la constante mágica al agregar números en cualquier diagonal principal, aquí puede ver:

M ₃ :
1 4 7
2 5 8
3 6 9

M ₄ :
1 5 9 13
2 6 10 14
3 7 11 15
4 8 12 16

De acuerdo con la fórmula:

M ₃ = n * (n ² + 1) / 2 = 3 * (3 * 3 + 1) / 2 = 30/2 = 15
M ₄ = n * (n ² + 1) / 2 = 4 * (4 * 4 + 1) / 2 = 68/2 = 34

Diagonalmente (se muestra en negrita arriba):

M ₃ = 1 + 5 + 9 = 15
M ₄ = 1 + 6 + 11 + 16 = 34

A diferencia de la fórmula, las diagonales pueden responder lo que está sucediendo. Considere los números en las diagonales:

M ₃ = 1 + 5 + 9
M ₄ = 1 + 6 + 11 + 16

Lo reescribimos de manera diferente:

M ₃ = 1 + (3 + 2) + (3 * 2 + 3)
M ₄ = 1 + (4 + 2) + (4 * 2 + 3) + (4 * 3 + 4)

¿Te has dado cuenta? Ahora en forma general de n:

M _n = 1 + (n + 2) + (n * 2 + 3) + (n * 3 + 4) + (n * 4 + 5) + ... + (n * (n-1) + n)

Reagruparlo (negrita)
M _n = 1 + (n + 2 ) + (n * 2 + 3 ) + (n * 3 + 4 ) + (n * 4 + 5 ) + ... + (n * (n-1) + n )

y esto (resaltado en negrita)
M _n = 1 + ( n + 2) + ( n * 2 + 3) + ( n * 3 + 4) + ( n * 4 + 5) + ... + ( n * (n-1) + n)

y obtener:

M _n = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n) + (n + n * 2 + n * 3 + n * 4 + ... + n * (n-1))

poner n fuera del soporte:

M _n = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n) + n * (1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1)) [1]

Ahora presentamos una nueva notación,

S _n = 1 + 2 + 3 + ... + n [2]
entonces
S _n-1 = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = S _n - n [3]

Ahora reescribimos la fórmula [1] teniendo en cuenta la notación [2] y [3], y obtenemos:

M _n = S _n + n * (S _n - n) [4]

más o menos:

M _n = S _n * (n + 1) - n ²

[5]

S _n con esto en mente -



obviamente calculado por la fórmula S _n = n ^2/2 + n / 2 = n * (n + 1) / 2,
sustituto en [5]:

M _n = S _n * (n + 1) - n ² = n * (n + 1) * (n + 1) / 2 - n ² = n * (n ² + 2 * n + 1 - 2 * n) / 2 = n * (n ² + 1) / 2

M _n = n * (n ² + 1) / 2

Chtd