El universo primitivo 6. La dinámica de un universo en expansión homogéneo, parte 2

En el sitio de conferencias gratuitas, MIT OpenCourseWare publicó un curso de conferencias sobre la cosmología de Alan Gus, uno de los creadores del modelo inflacionario del universo.

Se invita su atención a la traducción de la sexta conferencia: "Dinámica de un universo en expansión homogéneo, parte 2".

La imposibilidad de un universo estático.

Repitamos brevemente lo que detuvimos la última vez, ya que no terminamos el tema anterior.

Consideramos un universo completamente homogéneo en el que la materia llena todo el espacio. Recordemos que Newton llegó a la conclusión de que tal sistema sería estático. Sin embargo, sostengo que dicho sistema no será estático incluso de acuerdo con las leyes de la mecánica newtoniana.


He proporcionado alguna evidencia. Por ejemplo, examinamos el teorema de Gauss para la ley de gravedad de Newton. Usando un razonamiento bastante simple, pasamos de la ley de gravedad de Newton, formulada como una fuerza que actúa a distancia, a la ley de Gauss. Si la ley de Newton describe la fuerza gravitacional, entonces, para cualquier partícula que cree un campo gravitacional, se cumple la ley de Gauss.

Flujo vectorial de aceleración gravitacional $$$\ vec g$ a través de cualquier superficie cerrada es igual $$$-4πGM$ donde $$$M$ - masa dentro de la superficie. Si aplicamos la ley de Gauss a la distribución infinita de la materia, y supongamos que Newton tenía razón, y no hay fuerzas gravitacionales, esto significaría que la aceleración gravitacional $$$\ vec g$ Sería cero en todas partes. Luego fluya $$$\ vec g$ a través de cualquier superficie también será cero. Sin embargo $$$-4πGM$ obviamente no es igual a cero para cualquier volumen con un tamaño distinto de cero que contenga una masa distinta de cero. Por lo tanto, tal formulación de la ley de gravedad de Newton muestra claramente que la distribución infinita de la materia no puede ser estática.

Además, mostré una formulación diferente y más moderna de la ley de gravedad de Newton, la llamada ecuación de Poisson. Ella fue dada por aquellos que la conocen. Si no estás familiarizado con ella, nada malo. Esto no es necesario


Para esta formulación de la ley de la gravedad, introducimos el potencial gravitacional φ y escribimos la aceleración gravitacional como menos el gradiente φ. Entonces se puede demostrar que φ obedece la ecuación de Poisson,

$$$$ display $$ ∇ ^ 2φ = 4πGρ $$ display $$

donde ρ es la densidad de masa.

De nuevo, es inmediatamente evidente que una distribución estática de la materia es imposible. Si la distribución de la materia fuera estática, entonces el vector $$$\ vec g$ sería igual a 0. Esto significa que el gradiente de φ sería igual a 0. Esto significaría que φ sería una constante. Si φ sería una constante, $$$∇ ^ 2φ$ sería igual a 0, y esto es incompatible con la ecuación de Poisson.

También quiero agregar que desde un punto de vista moderno, las ecuaciones como la ecuación de Poisson se consideran más fundamentales que la ecuación de Newton original, que considera la gravedad como una acción a distancia. En particular, al generalizar la ley de Newton a la teoría general de la relatividad, Einstein comenzó con la ecuación de Poisson y no con la ley que describe la fuerza a distancia.

En la teoría general de la relatividad no existe una ley que describa la acción de la fuerza a distancia. La teoría general de la relatividad se formula de una manera muy similar a la ecuación de Poisson. La idea clave que subyace a este enfoque es que todas las leyes de la física que conocemos pueden expresarse localmente.

La ecuación de Poisson es una ecuación local. Esta es una ecuación diferencial que se ejecuta en cada punto del espacio y no dice nada acerca de cómo la materia en un punto del espacio afecta la materia en otro punto. Esta influencia es una consecuencia de la ecuación y no está incorporada en la ecuación inicialmente.

La ambigüedad del cálculo de la aceleración gravitacional.

Luego discutimos lo que sucedería si sumamos nuestras fuerzas usando la ley y la acción de Newton desde la distancia. Mostré que obtenemos una integral condicionalmente convergente. Tal integral converge, pero puede converger a diferentes valores dependiendo del orden en que se colocan las diferentes partes de la integral.


Examinamos dos posibles órdenes de adición de fuerzas. Calculamos la fuerza en un punto $$$P$ ubicado dentro de la distribución infinita de la materia. Podemos suponer que toda la imagen está llena de sustancia. En nuestra tarea, la sustancia llena uniformemente toda la imagen y todo el universo. Lo único que haremos de manera diferente en nuestros dos cálculos es resumir las fuerzas creadas por la sustancia en un orden diferente.

Si toma una sustancia ordenada por capas concéntricas alrededor $$$P$ , entonces cada caparazón no crea ninguna fuerza en el punto $$$P$ . Por lo tanto, en el límite, cuando agregamos un número infinito de conchas, la suma seguirá siendo 0. Por lo tanto, para este caso obtenemos $$$\ vec g$ igual a 0.

Pero la ley de Newton no nos dice nada en qué orden juntar fuerzas. La ley de Newton simplemente establece que cada masa crea una fuerza proporcional a $$$1 / r ^ 2$ , y que es un vector. Según Newton, es necesario agregar los vectores de fuerza creados por cada masa. Por lo general, la adición de vectores es conmutativa. No importa en qué orden los apilemos. Pero en nuestro caso, el orden de adición es importante. Por lo tanto, la respuesta es mixta.

Para ver esto, consideraremos un orden de adición diferente. Continuaremos usando conchas esféricas porque son más fáciles de trabajar. Se podría plegar de otra manera, pero cualquier otra forma es mucho más difícil de usar.

Esta vez consideraremos conchas esféricas, centradas en otro punto. Llamaremos a este punto $$$Q$ . Calcularemos nuevamente la fuerza en el punto $$$P$ creado por la distribución infinita de materia que llena el espacio, es decir, resolveremos el mismo problema que antes, pero agregaremos fuerzas en un orden diferente.

La última vez mostramos que toda la materia dentro de la esfera, centrada en $$$Q$ y un radio menor que la distancia desde $$$Q$ antes $$$P$ , contribuye a la fuerza en el punto $$$P$ . Y todo el resto de la sustancia se puede dividir en capas esféricas, para lo cual el punto $$$P$ ubicado en el interior. Dentro de la carcasa esférica, la fuerza es cero. Entonces, el resto de la sustancia no hace ninguna contribución.

En este caso, la fuerza en el punto $$$P$ igual a la fuerza creada por una masa puntual ubicada en $$$Q$ , y una masa igual a la masa total del área sombreada. Obviamente, esta fuerza no es igual a cero. Además, es obvio que podemos obtener cualquier poder que deseemos al elegir diferentes puntos $$$Q$ . Podemos aumentar la fuerza eligiendo un punto más alejado. Porque la fuerza siempre apuntará en la dirección del punto $$$Q$ , podemos obtener potencia en cualquier dirección eligiendo un punto $$$Q$ en el lugar apropiado

Por lo tanto, dependiendo de cómo resumimos las fuerzas, podemos obtener cualquier respuesta. Por lo tanto, la descripción de la gravedad como una acción a distancia conduce a la ambigüedad. La descripción de la gravedad en forma de la ley de Gauss o la ley de Poisson muestra que el sistema no puede ser estático. Pronto trataremos de averiguar exactamente cómo se comportará.

Problema de simetría

Ahora quiero volver al argumento que convenció a Newton de la naturaleza estática del universo. Newton creía que al calcular la aceleración gravitacional en cierto punto en una distribución infinita de la materia, surge un problema de simetría. Todas las direcciones desde este punto se ven iguales. Si la aceleración gravitacional existe en un punto dado, ¿hacia dónde debe dirigirse? Este argumento de simetría es muy lógico y suena muy convincente. No puede haber aceleración, simplemente porque no hay una dirección preferida para él.

Probablemente sea difícil convencer a Newton de la falacia de este argumento. No sé si podríamos convencerlo o no. No tenemos oportunidad de intentar hacer esto.
Pero si tuviéramos esa oportunidad, trataríamos de explicarle que la aceleración generalmente se mide en un marco de referencia inercial. Newton mismo siempre lo describió así. Para él, había un sistema de referencia inercial único, preciso a una velocidad constante, determinado en relación con las estrellas fijas. Esta es la terminología de Newton. Entonces determinó el marco de referencia inercial. Todas sus leyes de la física eran válidas en este sistema inercial.

Por otro lado, si todo el espacio está lleno de materia que, como afirmamos, se contraerá, entonces las estrellas fijas no existen. La idea misma de un sistema de referencia inercial desaparece. No hay ningún objeto que esté en reposo o se mueva uniformemente con respecto a cualquier marco de referencia inercial potencial.

En ausencia de un marco de referencia inercial, debe reconocerse que todas las aceleraciones, como las velocidades, son relativas. Podemos hablar sobre la aceleración de una partícula en relación con otra. Pero no se puede hablar de aceleración absoluta de una partícula, porque no hay un marco de referencia inercial en el que se pueda medir la aceleración.

Cuando todas las aceleraciones son relativas, resulta que la descripción correcta, que finalmente deducimos, es una descripción similar a la ley de Hubble. La ley de Hubble es la ley de las velocidades. Establece que desde el punto de vista de cualquier observador, todos los demás objetos se eliminan de este observador. A pesar de que parece que el observador está en un lugar especial, puede ir al marco de referencia de cualquier otro observador y ver exactamente la misma imagen. Por lo tanto, el hecho de que todos los objetos se eliminen del observador no viola la uniformidad. Esto no rompe la simetría que estamos tratando de incorporar al sistema. Lo mismo vale para la aceleración. No lo probaré ahora. Mostraremos esto en el curso de nuestros cálculos futuros.

En nuestro universo colapsante, cualquier observador puede considerarse en reposo. Entonces el observador verá que todas las demás partículas se están acelerando hacia él. Aunque parezca que el observador está en un lugar especial, no lo está. Puede ir al marco de referencia de cualquier otro observador y ver que ahora está en reposo, y todos los demás objetos están acelerando hacia él.

Modelo matemático del universo

Ahora estamos listos para ir más allá y construir un modelo matemático que nos muestre cómo se comportará la distribución uniforme de la materia. Primero eliminamos el problema del infinito. Para hacer esto, comenzamos con una bola finita. Luego, al final, aumentaremos el tamaño de esta bola hasta el infinito.

Nuestro objetivo es construir un modelo matemático de nuestro universo. Queremos incluir en él las tres características que discutimos anteriormente: isotropía, homogeneidad y la ley de Hubble. Lo construiremos como un sistema mecánico utilizando las leyes de la mecánica que conocemos. Usaremos las leyes de Newton. Pero le aseguro que, aunque usaremos las leyes de Newton, la respuesta que obtengamos coincidirá exactamente con la respuesta dada por la teoría general de la relatividad. Más adelante discutiremos por qué es así. No perderemos el tiempo en cálculos aproximados. Obtendremos un cálculo absolutamente correcto, que nos dará una respuesta absolutamente correcta.


Para construir un modelo del universo, imaginamos que nuestro universo es una bola de tamaño finito lleno de materia. Dejar $$$t_i$ - Este es el punto inicial en el tiempo en nuestra imagen. Este punto en el tiempo no tiene que ser especial, desde el punto de vista de la evolución del universo. Cuando construimos el modelo, podemos calcular cómo se comportará el universo en tiempos posteriores a $$$t_i$ y en tiempos anteriores a $$$t_i$ . $$$t_i$ - Es solo la hora actual.

Por tiempo $$$t_i$ le daremos a nuestra pelota el tamaño máximo $$$R_ {max, i}$ . Lo llamé máximo ya que la bola está llena de partículas. Por lo tanto, esta es la distancia máxima inicial desde el centro de la pelota a cualquier partícula. El significado inicial durante $$$t_i$ . Consideraremos que la sustancia que llena la bola es polvo de partículas muy pequeñas. La sustancia tiene una densidad. $$$ρ_i$ . La sustancia es homogénea e isotrópica, al menos isotrópica desde el centro.

Ahora queremos agregar la ley de Hubble. Tengamos todo el asunto, en nuestro universo modelo, expandiéndose y expandiéndose exactamente de acuerdo con la ley de Hubble. Es decir, todas las velocidades serán dirigidas desde el centro con un valor proporcional a la distancia. Denotaré la velocidad de la partícula $$$v_i$ , $$$i$ velocidad inicial media Para cualquier partícula, en el momento inicial, la velocidad obedecerá la ley de Hubble. Será igual a alguna constante que nombraré $$$H_i$ Es el valor inicial de la constante de Hubble por el vector $$$\ vec r$ que es igual al vector desde el centro de la pelota hasta la partícula. Muestra dónde se encuentra la partícula en cuestión.

$$

$$\ vec v_i = H_i \ cdot \ vec r$$

De esta manera $$$\ vec v_i$ - la velocidad inicial de cualquier partícula. $$$H_i$ - Constante inicial del Hubble. Un $$$\ vec r$ -posición de la partícula.

Como dije, comenzaremos con un sistema de tamaño finito con el que podemos trabajar. Sabemos cómo calcular de forma única, al menos en principio, cómo evolucionará dicho sistema en determinadas condiciones iniciales. Al final del cálculo, pasaremos al límite cuando $$$R_ {max, i}$ tiende al infinito Por lo tanto, extenderemos nuestro modelo al espacio infinito.

Una pequeña digresión sobre los infinitos.

También quiero decir algunas palabras sobre el infinito, porque recientemente me encontré con una cosa interesante. Esta es una pequeña digresión, puedes ignorarla. Pero para aquellos que estén interesados, el concepto de infinito presentó una sorpresa inesperada al considerar el multiverso, del que hablé un poco en la conferencia de revisión, y al que volveremos al final del curso.

El multiverso hizo que trabajar con infinitos fuera mucho más cuidadoso que antes. En el proceso, aprendí algunas cosas sobre el infinito que me sorprendieron. Básicamente, en física consideramos el infinito como el límite de los sistemas finitos, como lo hacemos en nuestro modelo. Si queremos entender el comportamiento de un sistema infinito, en física a menudo comenzamos mirando un sistema finito, con el que es mucho más fácil trabajar matemáticamente. Luego tomamos el límite en el cual el sistema se vuelve más y más.

En física, esto funciona en casi todas las situaciones. Creo que esto funciona porque suponemos que las interacciones físicas son locales. Lo que sucede muy lejos no afecta lo que está sucediendo aquí.

A medida que hacemos nuestra esfera cada vez más, agregamos materia a distancias cada vez mayores. Esta nueva sustancia que agregamos no afectará en gran medida lo que está sucediendo dentro. De hecho, en nuestra tarea, la sustancia adicional agregada desde el exterior no tendrá ningún efecto sobre lo que sucede dentro, debido al hecho de que el campo gravitacional dentro de la capa esférica es 0.

Esta es una situación típica, y debido a esto, los físicos tienden a considerar siempre los infinitos como límites de los sistemas finitos. Sin embargo, quiero señalar que esto no siempre es correcto. Hay momentos en que esto es absolutamente incorrecto. Los matemáticos lo saben, pero los físicos generalmente no.

Por lo tanto, quiero señalar que no todos los infinitos están bien descritos como límites de sistemas finitos. Esto no se aplica a la descripción de nuestro modelo de universo. Todo está bien aquí. Continuaremos nuestra discusión sobre nuestro modelo después de que termine mi breve digresión.

Como ejemplo de un sistema que es infinito y no está bien descrito como el límite de los sistemas finitos, podemos tomar muchos números naturales $$$\ mathbb N$ .

Supongamos que queremos describir el conjunto de números naturales como el límite de un conjunto finito. Puede intentar considerar el conjunto de todos los números naturales como el conjunto de números naturales menores que N con N tendiendo al infinito. Si tomamos conjuntos de más y más números y tomamos el límite, ¿obtendremos el conjunto de todos los números naturales?

Puede pensar que la respuesta es sí. Sostengo que el conjunto resultante no es igual al conjunto de enteros. De hecho, sostengo que el límite no existe en absoluto, por lo que no puede ser igual al conjunto de enteros.

Para aclarar esto, te recordaré cuál es el límite. Como no tenemos un curso de matemáticas, no daré una definición rigurosa. Solo te daré un ejemplo que actualizará los hechos que aprendiste en los cursos de matemáticas.

Supongamos que consideramos el límite $$$sin (x) / x$ a las $$$x$ tendiendo a 0. Se sabe a qué es igual. Usualmente se usa la regla de Lital. Pero simplemente puede usar la definición de límite directamente. El valor límite es 1.

Para cualquier $$$x$ no igual a 0, podemos calcular esta expresión. En $$$x = 0$ La expresión es ambigua. Como $$$x$ cada vez más cerca de 0, los números resultantes se están acercando a 1. Podemos obtener el número arbitrariamente cerca de 1 eligiendo $$$x$ lo suficientemente cerca de 0.

Si aplicamos el mismo concepto al conjunto de enteros del 1 al N, ¿se acercará al conjunto de todos los números naturales con N creciente? ¿Están los números del 1 al 10 cerca del conjunto de todos los números naturales? No ¿Y de 1 a un millón? Todavía infinitamente lejos. 1 a mil millones? ¿Del 1 al 10 al centésimo?

No importa qué número elijamos como límite superior, todavía estamos infinitamente lejos de muchos números naturales. No nos estamos acercando. Nuestros conjuntos no convergen al conjunto de números naturales. Este es un concepto diferente.

Que importa ¿Hay alguna pregunta en la que sea importante? ¿Considera los números naturales determinados de alguna otra manera o por este límite?Permítanme decir primero cómo se definen.

Si le preguntas a los matemáticos cómo determinan el conjunto de números naturales, creo que todos dirán que usan los axiomas de Peano. El punto clave en los axiomas de Peano, que determina la existencia de un número infinito de números naturales, es el axioma de sucesión.

Uno de los axiomas de Peano que describe matemáticamente los números naturales es la afirmación de que cada número natural tiene un número que lo sigue. Además, hay otras declaraciones que garantizan que el siguiente número no sea uno de los anteriores. Por lo tanto, para cualquier número, hay un número aún mayor. Este conjunto de axiomas garantiza inicialmente la infinidad del conjunto de números naturales. No se considera como el límite de conjuntos finitos y no puede considerarse como el límite de conjuntos finitos. Porque ningún conjunto finito es como un conjunto infinito.

¿Importa?¿Hay problemas en los que es importante, podemos describir enteros de esta manera o no? Admito que las tareas que conozco parecen exageradas. Pero quiero decir que en matemáticas la palabra "inventado" no importa. Si encuentra una contradicción en alguna parte, nadie le dirá que esta contradicción debe ignorarse, porque es descabellada. Si esto es realmente una contradicción, es importante.

La pregunta en la que realmente importa es si consideramos los números naturales como inicialmente infinitos, o si los consideramos como un límite, por ejemplo, la pregunta es: ¿qué parte de los números naturales es tan grande que cuando se duplican dejan de ser números naturales?

Si consideramos un conjunto finito, para cualquier N, no importa cuán grande sea N, la mitad de los enteros de este conjunto son tan grandes que no se pueden duplicar para que permanezcan en este conjunto. Esta proporción se cumplirá sin importar cuán grande elijamos N.

Por otro lado, si observamos una serie infinita de números naturales, sabemos que cualquier número natural puede duplicarse, solo obtenemos otro número natural. Este es un ejemplo de la propiedad de los números naturales, que será incorrecta si consideramos el conjunto de números naturales como un límite. No puedes hacer esto.

Fue un pequeño retiro. Esto es solo una advertencia de que debe tener cuidado con el infinito como límite de conjuntos finitos. Sin embargo, no está directamente relacionado con nuestro tema.

Una nota sobre el formulario utilizado
Volvamos a nuestro modelo. También quiero hacer un par de comentarios sobre el formulario utilizado en el modelo. Usamos esferas. Puedes preguntar, ¿por qué son las esferas?

La esfera es, con mucho, la forma más simple con la que podemos trabajar. La esfera también garantiza la isotropía, al menos la isotropía desde el centro. Podríamos, habiendo hecho mucho más trabajo, usar, por ejemplo, un cubo, aumentando el cubo cada vez más. A medida que el cubo crece más y más, también llenará todo el espacio. Se puede suponer que este otro método dará la misma respuesta. Y realmente lo es.

Si usáramos cubos, tendríamos muchos más cálculos. Pero obtendríamos la misma respuesta. El cubo es bastante simétrico. En este caso, dará el mismo resultado que la esfera. No le diré cómo calcular el resultado para una forma arbitraria. Pero te garantizo que el cubo dará la misma respuesta.

Por otro lado, si usamos paralelepípedos con tres, o al menos dos lados diferentes, entonces comenzaremos con una figura inicialmente asimétrica. Se resaltará una de las direcciones. Entonces, si usamos tales paralelepípedos, de la misma manera que usamos las esferas, inicialmente crearemos anisotropía. Obtendremos un modelo anisotrópico del universo.

Como estamos tratando de simular un universo real que es altamente isotrópico, utilizamos un formulario que garantiza la isotropía. Una esfera es la forma más simple que se puede usar.

El papel de la materia en la evolución del universo.

Ahora, agreguemos dinámica a nuestro modelo. La dinámica que agreguemos será puramente newtoniana. Consideraremos la sustancia que llena la esfera, el polvo de las partículas newtonianas o, si lo desea, el gas de las partículas newtonianas.

Estas partículas serán no relativistas, lo que se entiende por la palabra newtoniana. Este modelo describe nuestro universo real para un segmento significativo de su evolución, pero no para todo el período de evolución. Antes de continuar, quiero decir algunas palabras sobre el universo real y qué materia lo dominó en diferentes épocas de evolución.

Al principio, en nuestro universo, creemos que la radiación dominó. Esto significa que si seguimos la evolución de nuestro universo en el tiempo y vemos lo que sucedió en todos los tiempos anteriores, los fotones de la radiación de fondo cósmico experimentarán un cambio azul.

Descubrimos que experimentan un desplazamiento hacia el rojo a medida que el universo se expande. Esto significa que si extrapolamos en la dirección opuesta, experimentarán un cambio azul. Cada fotón se está volviendo más enérgico. El número de fotones permanece constante. Su concentración aumenta debido a una disminución en el volumen. Y se están volviendo más enérgicos.

Mientras tanto, la concentración de partículas de materia ordinaria y materia oscura, cualquiera que sea su origen, también aumenta cuando retrocede en el tiempo. Pero no se vuelven más enérgicos. El protón sigue siendo una partícula cuya energía es igual a la masa de los tiempos del protón.$$$c^2$ .

Por lo tanto, a medida que retrocede en el tiempo, la densidad de energía de la radiación de fondo cósmica de microondas se vuelve más y más en comparación con la densidad de energía de la sustancia. Más adelante aprenderemos cómo calcularlo exactamente. Se comparan a una edad del universo de aproximadamente 50,000 años.

ESTUDIANTE: Si las partículas son ondas, ¿por qué no cambian?

PROFESOR: En realidad, están cambiando un poco. Pero suponemos que estas partículas tienen una velocidad insignificante. Su impulso experimenta un cambio azul. Pero el desplazamiento azul es proporcional al valor inicial. Si el valor inicial es muy pequeño, incluso cuando se desplaza hacia arriba, el impulso sigue siendo insignificante.

Por lo tanto, en el universo real, hasta aproximadamente 50,000 años, la radiación dominó. Hablaremos de esto en algunas conferencias. Pero hoy no tenemos esto en cuenta. Luego, comenzando desde aproximadamente 50,000 años hasta 9 mil millones de años, un período bastante grande en la historia del universo, la materia dominó el universo. Sustancia significa sustancia no relativista. Este es un término estándar en cosmología. Cuando decimos que el universo está dominado por la materia, aunque no usamos la palabra no relativista, todo esto está implícito. Este es el caso que consideraremos hoy, la sustancia no relativista habitual que llena el espacio.

Luego se produjo otro cambio en nuestro universo real: desde aproximadamente 9 mil millones de años hasta el presente y, presumiblemente, será el mismo en el futuro, la energía oscura comenzó a dominar en el universo. La energía oscura es algo que hace que el universo se expanda rápidamente. El universo se está expandiendo rápidamente a partir de unos 9 mil millones de años después del Big Bang.

La materia ordinaria no se convierte en energía oscura, como podría esperarse debido a un cambio en el dominio. Simplemente se comportan de manera diferente al expandir el universo. La densidad de la materia ordinaria disminuye en proporción al cubo del factor de escala. Un número fijo de partículas se distribuye en un volumen creciente. La energía oscura, por razones que aprendemos más cerca del final del curso, no cambia su densidad de energía a medida que el universo se expande. Hace 9 mil millones de años, la densidad de la materia ordinaria cayó por debajo de la densidad de la energía oscura. Entonces la energía oscura comenzó a dominar y el universo comenzó a expandirse rápidamente. Hoy, la energía oscura representa aproximadamente el 60% o 70% de la energía total. Esto no es dominio absoluto. Pero esta es la mayor parte.

Para el cálculo de hoy, nos centraremos en el período medio y pretendemos que esta es toda la historia. Volveremos y discutiremos otras épocas. No los ignoraremos. Pero hoy no los discutiremos.

Romper en conchas

Entonces, consideraremos el universo en el que domina la materia. Utilizaremos la mecánica newtoniana. A pesar del hecho de que usaremos la mecánica newtoniana, te lo aseguro, y trataré de dar algunos argumentos más adelante, dará exactamente la misma respuesta que la teoría general de la relatividad.

Para escribir las ecuaciones que describen la expansión de la pelota, usaremos conchas esféricas. Vamos a presentar nuestra pelota en forma de conchas. En otras palabras, en el momento inicial, dividimos la sustancia en conchas. Introducimos una notación para cada una de las conchas y rastreamos su evolución.

La razón por la que podemos describir toda la materia con conchas es porque las velocidades iniciales de todas las partículas se dirigen a lo largo del radio. De acuerdo con la ley de Hubble, las velocidades son proporcionales al vector de radio despedido desde el centro de la pelota. Por lo tanto, todas nuestras velocidades iniciales se dirigen a lo largo del radio.

Además, la gravedad newtoniana para partículas también se dirigirá a lo largo del radio. Por lo tanto, el movimiento de cualquier partícula se dirigirá a lo largo del radio. Nunca habrá fuerzas que actúen sobre la partícula en la dirección tangencial, donde tangencial significa cualquier dirección que no sea radial. Al cambiar el radio de cada partícula, sus variables angulares ϑ y ϕ serán constantes en el tiempo. Por lo tanto, ya no hablaré de ellos.

Cada caparazón tiene una designación $$$r_i$ igual a su radio en el momento inicial $$$t_i$ . En el futuro, esta designación de la cáscara se conserva.

Para describir el movimiento, presentamos la función $$$r (r_i, t)$ . La función es igual al radio de la carcasa. $$$r_i$ a tiempo $$$t$ . Función $$$r (r_i, t)$ nos muestra dónde está el shell en cualquier momento posterior o anterior.

Debo decir que en el libro de texto verá una conclusión más simple que la que le mostraré. ¿Por qué lo estoy complicando? El hecho es que mi cálculo mostrará más que el dado en el libro de texto. La mayoría de los libros de texto asumen que el movimiento de los proyectiles seguirá obedeciendo la ley de Hubble y mantendrá una densidad completamente uniforme. No asumiremos que la sustancia permanece homogénea. Probamos que sigue siendo homogéneo. Me parece que es mucho mejor probar algo que simplemente asumir sin probarlo.

Hay otro problema que es un poco más complicado. Nuevamente, esta es una sutileza que probablemente no se menciona en los libros de texto. Tenemos varios proyectiles expandibles. Podemos calcular la fuerza que actúa sobre cualquier capa si sabemos qué sustancia hay dentro de esta capa. Las conchas en el exterior no crean fuerza. Por lo tanto, es muy importante saber en qué orden se ubican los depósitos. Inicialmente, nosotros, por supuesto, sabemos esto. Se ordenan según $$$r_i$ . Pero tan pronto como comienzan a moverse, en principio, existe la posibilidad de que las conchas comiencen a cruzarse entre sí.

Si las capas se cruzan, nuestras ecuaciones de movimiento cambiarán, porque cambiará la cantidad de materia que actúa sobre la capa. Tendremos que tener esto en cuenta. Afortunadamente, este problema no ocurre. Lo mostraremos de la siguiente manera. Inicialmente, todos los proyectiles se eliminan entre sí de acuerdo con la ley de Hubble. La ley de Hubble establece que cualquiera de las dos partículas se aleja una de la otra con una velocidad relativa proporcional a su distancia. Esto es cierto para dos conchas. Si los proyectiles comienzan a cruzarse, ciertamente no lo harán de inmediato. No hay dos proyectiles que inicialmente se acercan entre sí. Todos los depósitos están inicialmente separados uno del otro.

Esta situación puede cambiar debido a las fuerzas existentes. Sin embargo, podemos escribir ecuaciones que se cumplirán al menos hasta que aparezcan las intersecciones de los depósitos. Si las conchas se cruzan, estas ecuaciones deben ser válidas hasta el momento de la intersección de las conchas. Por lo tanto, las ecuaciones deben mostrar que las conchas se intersectarán. Las conchas no pueden comenzar a cruzarse en contra de las ecuaciones de movimiento. Veremos que de acuerdo con nuestras ecuaciones, no habrá intersecciones de los depósitos.

Entonces, escribimos las ecuaciones que son válidas hasta que no haya intersecciones de las conchas. Mientras no haya intersecciones de los depósitos, la masa total dentro de cualquier depósito no depende del tiempo. Estas son solo otras conchas dentro. Por lo tanto, en la carcasa con un radio inicial $$$r_i$ , actúa la fuerza creada por la masa dentro del caparazón. Podemos escribir la fórmula para la masa dentro del caparazón. Masa dentro del caparazón con un radio inicial $$$r_i$ igual al volumen inicial de la concha multiplicado por la densidad de masa inicial, $$$ρ_i$

$$

$$M (r_i) = \ frac {4π} 3 {r_i} ^ 3ρ_i$$

Componemos una ecuación diferencial
La ley de Newton determina la aceleración de una partícula arbitraria en nuestro sistema. La ley de Newton establece que la aceleración se dirige en la dirección opuesta desde un vector de radio unitario a una partícula y es igual a la constante de Newton multiplicada por la masa dentro de la esfera dividida por el cuadrado de la distancia de la cáscara desde el origen. Esta distancia es igual a la función. $$$r (r_i, t)$ . Este es el radio de la concha en un punto particular en el tiempo.

$$

$$\ vec g = - \ frac {GM (r_i)} {r ^ 2 (r_i, t)} \ hat r$$

Esto es cierto para cualquier shell denotado por una variable. $$$r_i$ .

Esta es una ecuación realmente importante. Todo lo demás se sigue de ello. Refleja el teorema de Newton de que si la masa se distribuye esféricamente simétrica, entonces la masa de cualquier capa de un radio mayor que la distancia a la partícula no contribuye a la aceleración de la partícula. La aceleración está determinada solo por la masa de conchas de radios más pequeños.

Sabemos que todos los movimientos ocurren a lo largo de los radios. Todo lo que tenemos que hacer es descubrir cómo $$$r$ cambia con el tiempo. Podemos escribir esto como una ecuación diferencial ordinaria para $$$r$ , sin ningún vector.

$$

$$\ ddot r = - \ frac {4π} 3 \ frac {Gr ^ 3_iρ_i} {r ^ 2}$$

$$$\ ddot r$ Es la aceleración. Enmarcamos $$$M (r_i)$ de la fórmula anterior. $$$r$ Es una función de $$$r_i$ y $$$t$ . Ya no voy a indicar esto.

Al expandir el sistema $$$r_i$ es solo una constante, diferente para cada shell, pero constante en el tiempo. Imagine que estamos resolviendo un problema para un shell específico. $$$ρ_i$ - Esto también es una constante. Es igual a la densidad en el momento inicial y conserva su valor.

Tenemos una ecuación diferencial en la que solo cambia el tiempo $$$r$ Y nada más. Esta es una ecuación diferencial de segundo orden para $$$r$ .

Condiciones iniciales

Hay una cosa que todos deben recordar al trabajar con ecuaciones diferenciales de segundo orden. Para tener una solución única, necesitamos condiciones iniciales. Si se trata de una ecuación de segundo orden, y generalmente se obtienen las ecuaciones de Newton, debemos indicar la posición inicial y la velocidad inicial para que la ecuación de segundo orden dé una respuesta única.

Estableceremos el valor inicial de la posición. $$$r$ y valor inicial de velocidad $$$\ dot r$ partículas Obtendremos un sistema que podemos dar a las matemáticas. Si el matemático es lo suficientemente inteligente, puede resolverlo.

Entonces, queremos establecer el valor inicial $$$r$ , medios iniciales en el momento $$$t_i$ . Obviamente es igual $$$r_i$ .

$$

$$r (r_i, t_i) = r_i$$

Si queremos tener una solución única para esta ecuación, también debemos establecer el valor inicial de la velocidad $$$\ dot r$ . Inicial significa nuevamente durante $$$t_i$ . Está determinado por la constante de Hubble. Cada velocidad de partícula inicial es igual al valor inicial de la constante de Hubble multiplicada por el radio.

$$

$$\ dot r = H_ir_i$$

Esta es la extensión de Hubble que introdujimos originalmente en el sistema. Tenemos un sistema puramente matemático. Tenemos una ecuación diferencial de segundo orden y condiciones iniciales para $$$r$ y $$$\ dot r$ . Proporciona una solución única. Esto es pura matemática. No se necesita más física, al menos en esta etapa.

Uniformidad

Uno puede notar interesantes características matemáticas de este sistema de ecuaciones. Veremos que estas ecuaciones preservan milagrosamente la homogeneidad de nuestro sistema. Está integrado en las ecuaciones. La característica clave de estas ecuaciones es que puede deshacerse de $$$r_i$ cambiando las variables

Definamos una nueva función $$$u$ . Elegí arbitrariamente una carta para designar, puedes tomar cualquiera.

$$

$$u (r_i, t) = \ frac {r (r_i, t)} {r_i}$$

Para cualquier función $$$r (r_i, t)$ siempre puede definir una nueva función que sea igual a la función original dividida por $$$r_i$ .

Ahora veamos qué pasa con nuestras ecuaciones. Yo afirmo que $$$r_i$ desaparecerá Veamos cómo sucede esto:

$$$$ display $$ \ ddot u = \ frac {\ ddot r} {r_i} = - \ frac {4π} 3 \ frac {Gr ^ 3_iρ_i} {r_ir ^ 2} = - \ frac {4π} 3 \ frac { Gr ^ 3_iρ_i} {u ^ 2r ^ 3_i} = - \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {u ^ 2} $$ display $$

La ecuación muestra cómo se produce la contracción. $$$r_i$ . $$$r_i$ en un cubo en el numerador es proporcional al volumen de la esfera. En el denominador $$$r_i$ También se encuentra en un cubo. Uno $$$r_i$ apareció debido al reemplazo de variables, pero $$$r ^ 2_i$ apareció debido a la ley de los cuadrados inversos.

Reduciendo así $$$r_i$ aparece si la potencia disminuye a medida que $$$1 / r ^ 2$ . Si la fuerza disminuyó de acuerdo con otra ley, si solo fuera un poco diferente de $$$1 / r ^ 2$ entonces $$$r_i$ no se abreviaría en la fórmula. Es una reduccion $$$r_i$ Es fundamental para garantizar la uniformidad en la evolución del sistema. Si, según Newton, la fuerza disminuye, como $$$1 / r ^ 2$ al cuadrado, el sistema permanece homogéneo. De lo contrario, no. Este es un hecho muy interesante.

Entonces $$$r_i$ hemos rechazado Ahora tenemos una ecuación simple para $$$\ ddot u$ mas sin $$$r_i$ en la ecuación Esto significa que $$$u$ da una solución para cualquier $$$r_i$ . Ya no tenemos diferentes soluciones para diferentes valores. $$$r_i$ . $$$r_i$ desaparece de la tarea Tenemos la única solución independiente de $$$r_i$ . Es justo para todos. $$$r_i$ .

¿Qué olvidé mencionar? Condiciones iniciales Para obtener una solución única, no solo debemos tener una ecuación diferencial independiente de $$$r_i$ . No tendremos una solución única si no verificamos las condiciones iniciales, que tampoco deberían depender de $$$r_i$ . Y no son dependientes.

Valor inicial $$$u (r_i, t_i)$ igual al valor inicial $$$r$ dividido por $$$r_i$ . Pero el significado inicial $$$r$ es igual $$$r_i$ . Para cualquier $$$r_i$ obtenemos:

$$

$$u (r_i, t_i) = \ frac {r_i} {r_i} = 1$$

Ahora considere el valor inicial $$$\ dot u$ . Es igual

$$

$$\ dot u (r_i, t_i) = \ frac {\ dot r} {r_i} = \ frac {H_ir_i} {r_i} = H_i$$

Interpretación de variables

Si observa de cerca, puede comprender la interpretación física de la cantidad. $$$u$ . $$$u$ no es más que un factor a gran escala, del que hablamos anteriormente.

Probamos que teníamos un sistema de expansión uniforme. Inicialmente, tuvimos una expansión uniforme, pero no supimos hasta que consideramos la ecuación de movimiento si el universo continuaría expandiéndose uniformemente. Sin embargo, esto es así. Esto significa que la expansión se puede describir utilizando un factor de escala.

Descubrimos que $$$u$ está completamente determinado por ecuaciones en las que no hay $$$r_i$ . De esta manera $$$u$ independiente de $$$r_i$ y puede considerarse solo una función del tiempo $$$t$ . También podemos cambiar su nombre a $$$a (t)$ Establecer identidad con un factor de escala:

$$

$$u (r_i, t) = u (t) \ equiv a (t)$$

También se ve que

$$

$$r (r_i, t) = u (t) r_i = a (t) r_i$$

¿Qué significa esto? $$$r_i$ es la coordenada compañera. Marcamos cada caparazón de acuerdo con su posición inicial, $$$r_i$ . A medida que se expande, para cada etiqueta de shell $$$r_i$ guardado Marca partículas sin importar dónde se muevan. Un $$$r$ Es la distancia física, en este caso desde el origen, igual al factor de escala multiplicado por la distancia asociada.

Es útil escribir estas ecuaciones en una forma diferente. La ecuación diferencial anterior utilizada $$$ρ_i$ . Esto es muy conveniente porque $$$ρ_i$ Es una constante. No cambia con el tiempo. Sin embargo, también es útil escribir una ecuación diferencial usando el valor $$$ρ$ , que cambia con el tiempo para ver la relación entre cantidades físicas en un punto dado en el tiempo. Esto no es difícil de hacer, porque conocemos la densidad en un momento dado.

Para cualquier caparazón, podemos calcular la densidad como la masa total dentro de la capa dividida por el volumen. Sabemos que la densidad permanece uniforme, ya que en nuestro caso todas las distancias son simplemente proporcionales al factor de escala general. Por lo tanto, la densidad será uniforme.

Podemos calcular la densidad dentro del caparazón tomando $$$M (r_i)$ , para el cual ya tenemos una fórmula, y que no depende del tiempo, y dividirla por el volumen dentro de la carcasa.

$$$$ display $$ ρ (t) = \ frac {M (r_I)} {\ frac {4π} 3r ^ 3} = \ frac {\ frac {4π} 3r ^ 3_iρ_i} {\ frac {4π} 3a ^ 3r ^ 3_i} = \ frac {ρ_i} {a ^ 3} $$ display $$

Este es el resultado esperado. La densidad es igual a la densidad inicial dividida por el cubo del factor de escala. El factor de escala es 1 en el momento inicial, de acuerdo con nuestras definiciones. Por lo tanto, la ecuación da la relación de factores de escala en el cubo. A medida que el universo se expande, la densidad cae inversamente con el factor de escala en el cubo.

Ahora podemos reescribir la ecuación para $$$\ ddot a$ utilizando la densidad de masa actual.

$$$$ display $$ \ ddot a = \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {a ^ 2} = \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {a ^ 2} \ frac aa = \ frac {4π } 3Gρ (t) una pantalla $$ $$

Esta ecuación da una desaceleración de nuestro universo modelo dependiendo de la densidad de masa actual. Tenga en cuenta que realmente depende solo de la densidad de masa. Determina la relación. $$$\ ddot a / a$ . Debería ser así, porque recordamos que $$$a$ medido en divisiones por metro. Al mismo tiempo, se reducen las divisiones. Obtenemos la respuesta en unidades físicas.

Dije al principio que cuando terminemos, tomaremos el límite cuando el radio máximo inicial $$$R_ {max, i}$ tiende al infinito $$$R_ {max, i}$ no aparece en ninguna de estas ecuaciones. Por lo tanto, cuando se esfuerza $$$R_ {max, i}$ Hasta el infinito, nada sucede realmente. Esto significa que la respuesta que recibimos no depende de qué tan grande sea la pelota si todo lo que consideramos está dentro de la pelota. Agregar material adicional desde el exterior no cambia nada. Por lo tanto, en el límite, agregamos una cantidad infinita de materia afuera. Ir al límite $$$R_ {max, i}$ tendiendo al infinito, no hay que hacer nada.

En última instancia, queremos obtener diferentes soluciones a esta ecuación y entender cómo se ven. Hoy quiero dar otro paso en esta dirección, reescribiendo la ecuación de manera un poco diferente, lo que nos ayudará a descubrir cómo son las soluciones. Quiero encontrar la primera integral de esta ecuación.

La primera integral y la ley de conservación de la energía.

Para encontrar la primera integral, quiero volver a la ecuación donde se usa $$$ρ_i$ pero no $$$ρ (t)$ . Su ventaja es que $$$ρ_i$ No depende del tiempo. En $$$ρ$ Hay una dependencia del tiempo que no quiero tener en cuenta ahora. Por lo tanto, si uso una fórmula que usa $$$ρ_i$ , solo el factor de escala tendrá una dependencia del tiempo.

Estoy usando la ecuación anterior, pero reemplazaré $$$u$ en $$$a$ porque cambiamos el nombre $$$u$ en $$$a$ . También transferiré a todos los miembros en una dirección. Resulta

$$

$$\ ddot a + \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {a ^ 2} = 0$$

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden que es muy común en la mecánica newtoniana, esta ecuación define $$$\ ddot a$ aceleración $$$a$ a través de valores $$$a$ .

En la mecánica newtoniana, a menudo se puede usar la ley de conservación de la energía. En este caso, no sé si debería llamarse conservación de energía. Más adelante hablaremos sobre el significado físico que tiene el resultado que tenemos. Pero, por supuesto, como técnica matemática, podemos usar el mismo método que se usa en la mecánica newtoniana para obtener la ley de conservación de la energía.

Para obtener la ley de conservación de energía correspondiente a esta ecuación, multiplicamos la ecuación por un factor integrador, $$$\ dot a$ . Después de eso, toda la expresión se convertirá en una derivada completa. Esta ecuación es equivalente

$$

$$\ frac {dE} {dt} = 0, \: \: \: where \; E = \ frac 12 \ dot a ^ 2 - \ frac {4π} 3 \ frac {G ρ_i} a$$

Esto se puede verificar fácilmente. Si diferencio $$$E$ , Obtengo exactamente esta ecuación. Entonces son equivalentes. De esta manera $$$E$ Es una cantidad conservada.

Ahora si queremos atar $$$E$ con cualquier energía, hay varias formas de hacer esto. Una forma es multiplicar $$$E$ en $$$mr ^ 2_i$ y considere esto como la energía de una partícula de prueba en la superficie de una esfera. $$$m$ Es la masa de la partícula de prueba. $$$r_i$ - el radio inicial de la partícula de prueba.

De esta manera $$$E_ {phis}$ , o la energía física de una partícula de prueba hipotética será igual a

$$

$$E_ {phys} = mr ^ 2_iE = \ frac 12 m (\ dot a r_i) ^ 2- \ frac {GmM (r_i)} {ar_i} = \ frac 12 mv ^ 2- \ frac {GmM (r_i)} r$$

Si consideramos eso para una partícula de prueba $$$r_i$ Es eso $$$R_ {max, i}$ , es decir, estamos hablando del borde de nuestra esfera, entonces está claro lo que se conserva aquí. Resulta que la energía cinética más la energía potencial, donde la energía potencial es negativa, de una partícula puntual en el límite de la esfera.

Si queremos aplicar esta ecuación a una partícula dentro de una esfera, será un poco más difícil encontrar la interpretación correcta. Si la partícula está dentro de la esfera, si $$$r_i$ no es igual al radio máximo de la esfera, entonces $$$E_ {phis}$ , de hecho, no es la energía potencial de una partícula.

Para calcular la energía potencial de una partícula, es necesario calcular qué trabajo habrá que hacer para tomar la partícula en el infinito y colocarla en su lugar. En este caso, se tiene en cuenta la contribución de la masa ubicada dentro de la esfera en la que se encuentra la partícula, que determina la fuerza en este punto. Pero también tenemos una contribución de la materia fuera de la esfera con la partícula.

Al calcular la energía potencial, no solo obtengo $$$Gm$ veces la masa dentro de la esfera dividida por la distancia desde el centro. Obtendré una expresión mucho más compleja. De hecho, la energía que obtengo no se conserva. ¿Por qué no se guarda?

No se conserva, por lo tanto, en presencia de masas en movimiento no hay razón para su conservación.Se conserva la energía de una partícula puntual que se mueve en un campo de masas estáticas. Esto es lo que sabes de los cursos relevantes. Si se mueven otras partículas, se conserva la energía total de todo el sistema. Pero la energía potencial de una partícula particular que se mueve en el campo gravitacional de otras partículas puede no conservarse.

Además de la energía de las partículas, la energía total del sistema también se almacena en el límite. Ella estará asociada con$$E es otra constante de proporcionalidad y se conservará por una razón obvia. Aquí debe tener cuidado para comprender qué se guarda, por qué y cómo usarlo.$E$