En memoria de mi maestro, el primer decano de la Facultad de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Novocherkassk, el jefe del Departamento de Mecánica Teórica, Alexander Nikolayevich Kabelkov

Introduccion

Agosto, el verano está llegando a su fin. La gente se precipitó furiosamente hacia los mares, y sí, no es sorprendente: la temporada en sí. Y en Habr, mientras tanto, la pseudociencia florece y huele a colores violentos . Si hablamos sobre el tema de este tema de "Modelado ...", entonces combinaremos negocios con placer: continuaremos el ciclo prometido y lucharemos un poco con esta pseudociencia para las mentes curiosas de la juventud moderna.


Pero la pregunta no es válida inactiva, desde los años escolares, solíamos creer que nuestro satélite más cercano en el espacio exterior, la Luna se mueve alrededor de la Tierra con un período de 29.5 días, especialmente sin entrar en detalles relacionados. De hecho, nuestro vecino es una especie de objeto astronómico único y, en cierta medida, cuyo movimiento alrededor de la Tierra no es tan simple como quisieran algunos de mis colegas del extranjero más cercano.

Entonces, dejando de lado la polémica, intentaremos desde diferentes lados, en la medida de nuestra competencia, considerar esta tarea incondicionalmente hermosa, interesante y muy reveladora.

1. La ley de la gravedad y qué conclusiones podemos sacar de ella.

Descubierto en la segunda mitad del siglo XVII por Sir Isaac Newton, la ley de la gravedad sugiere que la Luna es atraída hacia la Tierra (¡y la Tierra hacia la Luna!) Con una fuerza dirigida a lo largo de la línea que conecta los centros de los cuerpos celestes bajo consideración e igual magnitud.

$$

$$F_ {1,2} = G \, \ frac {m_1 \, m_2} {r_ {1,2} ^ 2}$$

donde m ₁ , m ₂ son las masas, respectivamente, de la Luna y la Tierra; G = 6.67e-11 m ³ / (kg * s ² ) - constante gravitacional; r _1,2 es la distancia entre los centros de la luna y la tierra. Si tomamos en cuenta solo esta fuerza, entonces, después de haber resuelto el problema del movimiento de la Luna como satélite de la Tierra y haber aprendido a calcular la posición de la Luna en el cielo contra el fondo de las estrellas, pronto nos convenceremos, mediante mediciones directas de las coordenadas ecuatoriales de la Luna, de que en nuestro invernadero no todo es tan suave como Me gustaria Y el punto aquí no es la ley de la gravitación universal (y en las primeras etapas del desarrollo de la mecánica celeste, tales pensamientos se expresaban con bastante frecuencia), sino la indignación no explicada del movimiento de la luna desde otros cuerpos. Cuales? Miramos al cielo y nuestra mirada se apoya inmediatamente en una gran masa de 1.99e30 kilogramos de bola de plasma justo debajo de nuestra nariz: el Sol. ¿La luna es atraída por el sol? Al igual que, con una fuerza igual en valor absoluto

$$

$$F_ {1,3} = G \, \ frac {m_1 \, m_3} {r_ {1,3} ^ 2}$$

donde m ₃ es la masa del sol; r _1.3 es la distancia de la luna al sol. Compare este poder con el anterior.

$$

$$\ frac {F_ {1,3}} {F_ {1,2}} = \ frac {G \, \ frac {m_1 \, m_3} {r_ {1,3} ^ 2}} {G \, \ frac {m_1 \, m_2} {r_ {1,2} ^ 2}} = \ frac {m_3} {m_2} \, \ left (\ frac {r_ {1,2}} {r_ {1,3}} \ right) ^ 2$$

Tomemos la posición de los cuerpos en los que la atracción de la Luna hacia el Sol será mínima: los tres cuerpos están en una línea recta y la Tierra se encuentra entre la Luna y el Sol. En este caso, nuestra fórmula tomará la forma:

$$

$$\ frac {F_ {1,3}} {F_ {1,2}} = \ frac {m_3} {m_2} \, \ left (\ frac {\ rho} {a + \ rho} \ right) ^ 2 $$$

donde $$$\ rho = 3,844 \ cdot 10 ^ {8}$ , m - la distancia promedio de la Tierra a la Luna; $$$a = 1,496 \ cdot10 ^ {11}$ , m - la distancia promedio de la Tierra al Sol. Sustituimos parámetros reales en esta fórmula

$$

$$\ frac {F_ {1,3}} {F_ {1,2}} = \ frac {1.99 \ cdot 10 ^ {30}} {5.98 \ cdot10 ^ {24}} \, \ left (\ frac {3.844 \ cdot10 ^ {8}} {1.496 \ cdot10 ^ {11} + 3.844 \ cdot10 ^ {8}} \ right) ^ 2 = $ 2.1$$

Este es el número! Resulta que la Luna es atraída hacia el Sol por una fuerza que es más del doble de su atracción hacia la Tierra.

Tal perturbación ya no se puede ignorar y definitivamente afectará la trayectoria final de la luna. Vayamos más allá, teniendo en cuenta que la órbita de la Tierra es circular con un radio a, encontramos el lugar geométrico de los puntos alrededor de la Tierra, donde la fuerza de atracción de cualquier objeto a la Tierra es igual a la fuerza de su atracción al Sol. Será una esfera con radio

$$

$$R = \ frac {a \, \ sqrt {\ gamma}} {1 - \ gamma}$$

desplazado a lo largo de la línea que conecta la Tierra y el Sol al lado opuesto a la dirección del Sol por una distancia

$$

$$l = R \, \ sqrt {\ gamma}$$

donde $$$\ gamma = m_2 / m_3$ - la relación entre la masa de la tierra y la masa del sol. Sustituyendo los valores numéricos de los parámetros, obtenemos las dimensiones reales de esta región: R = 259300 kilómetros, y l = 450 kilómetros. Esta esfera se llama la esfera de gravedad de la Tierra en relación con el Sol.

La órbita conocida de la luna se encuentra fuera de esta región. Es decir, en cualquier punto de la trayectoria, la Luna experimenta una atracción significativamente mayor desde el lado del Sol que desde el lado de la Tierra.

2. ¿Satélite o planeta? Alcance gravitacional

Esta información a menudo da lugar al debate de que la Luna no es un satélite de la Tierra, sino un planeta independiente del sistema solar, cuya órbita se ve perturbada por la atracción de una Tierra cercana.

Evaluemos la perturbación introducida por el Sol en la trayectoria de la Luna en relación con la Tierra, así como la perturbación introducida por la Tierra en la trayectoria de la Luna en relación con el Sol, utilizando el criterio propuesto por P. Laplace. Considere tres cuerpos: el Sol (S), la Tierra (E) y la Luna (M).
Suponemos que las órbitas de la tierra en relación con el sol y la luna en relación con la tierra son circulares.


Considere el movimiento de la luna en un marco de referencia inercial geocéntrico. La aceleración absoluta de la luna en el sistema de referencia heliocéntrico está determinada por las fuerzas de gravedad que actúan sobre ella y es igual a:

$$

$$\ vec a_1 = \ vec a_1 ^ {(3)} + \ vec a_1 ^ {(2)} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3} + \ frac {1} { m_1} \, \ vec F_ {1,2}$$

Por otro lado, según el teorema de Coriolis, la aceleración absoluta de la luna.

$$

$$\ vec a_1 = \ vec a_2 + \ vec a_ {1,2}$$

donde $$$\ vec a_2$ - aceleración portátil igual a la aceleración de la Tierra en relación con el Sol; $$$\ vec a_ {1,2}$ - Aceleración de la luna en relación con la Tierra. Aquí no habrá aceleración de Coriolis: el sistema de coordenadas elegido por nosotros se mueve progresivamente. A partir de aquí obtenemos la aceleración de la luna en relación con la tierra.

$$

$$\ vec a_ {1,2} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3} + \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,2} - \ vec a_2$$

Parte de esta aceleración igual a $$$\ vec a_1 ^ {(2)} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,2}$ debido a la atracción de la luna a la tierra y caracteriza su movimiento geocéntrico imperturbable. El resto de

$$

$$\ Delta \ vec a_ {1,3} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3} - \ vec a_2$$

Aceleración de la luna causada por la perturbación del sol.

Si consideramos el movimiento de la luna en un sistema de referencia inercial heliocéntrico, entonces todo es mucho más simple, la aceleración $$$\ vec a_1 ^ {(3)} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3}$ caracteriza el movimiento heliocéntrico sin perturbaciones de la luna y la aceleración $$$\ Delta \ vec a_ {1,2} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,2}$ - perturbación de este movimiento desde el lado de la Tierra.

Dados los parámetros de las órbitas de la Tierra y la Luna existentes en la época actual, la desigualdad

$$

$$\ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,3} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(2)} |} <\ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,2} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(3)} |} \ quad \ quad (1)$$

que se puede verificar por cálculo directo, pero me referiré a la fuente , para no saturar el artículo innecesariamente.

¿Qué significa la desigualdad (1)? Sí, el hecho de que, en términos relativos, el efecto de la perturbación de la Luna por el Sol (y muy significativamente) es menor que el efecto de la atracción de la Luna hacia la Tierra. Por el contrario, la indignación de la Tierra de la trayectoria geocéntrica de la Luna tiene una influencia decisiva en la naturaleza de su movimiento. La influencia de la gravedad de la Tierra en este caso es más significativa, lo que significa que la Luna "pertenece" a la Tierra por derecho y es su satélite.

Otra cosa es interesante: al convertir la desigualdad (1) en una ecuación, puede encontrar el lugar geométrico de los puntos donde los efectos de la perturbación de la Luna (y de cualquier otro cuerpo) son los mismos para la Tierra y el Sol. Desafortunadamente, esto no es tan simple como en el caso de la esfera de gravedad. Los cálculos muestran que esta superficie se describe mediante una ecuación de orden loco, pero está cerca de un elipsoide de revolución. Todo lo que podemos hacer sin problemas innecesarios es evaluar las dimensiones generales de esta superficie en relación con el centro de la Tierra. Resolviendo la ecuación numéricamente

$$

$$\ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,3} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(2)} |} = \ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,2} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(3)} |} \ quad \ quad (2)$$

En relación con la distancia desde el centro de la Tierra hasta la superficie deseada en un número suficiente de puntos, obtenemos la sección transversal de la superficie deseada por el plano eclíptico


Para mayor claridad, aquí se muestran la órbita geocéntrica de la luna y la esfera de gravedad de la tierra que hemos encontrado arriba en relación con el sol. Se puede ver en la figura que la esfera de influencia, o la esfera de la acción gravitacional de la Tierra en relación con el Sol, es la superficie de revolución en relación con el eje X, aplanada a lo largo de la línea recta que conecta la Tierra y el Sol (a lo largo del eje del eclipse). La órbita de la luna está profundamente dentro de esta superficie imaginaria.

Para cálculos prácticos, esta superficie se aproxima convenientemente por una esfera con un centro en el centro de la Tierra y un radio igual a

$$

$$r = a \, \ left (\ frac {m} {M} \ right) ^ {\ frac {2} {5}} \ quad \ quad (3)$$

donde m es la masa de un cuerpo celeste más pequeño; M es la masa de un cuerpo más grande en cuyo campo gravitacional se mueve un cuerpo más pequeño; a es la distancia entre los centros de los cuerpos. En nuestro caso

$$

$$r = a \, \ left (\ frac {m_2} {m_3} \ right) ^ {\ frac {2} {5}} = 1.496 \ cdot10 ^ {11} \, \ left (\ frac {5.98 \ cdot10 ^ {24}} {1.99 \ cdot10 ^ {30}} \ right) ^ {\ frac {2} {5}} = 925000, \, km$$

Este millón inacabado de kilómetros es el límite teórico más allá del cual el poder de la anciana de la Tierra no se extiende: su influencia en las trayectorias de los objetos astronómicos es tan pequeña que puede descuidarse. Esto significa que el lanzamiento de la Luna en una órbita circular a una distancia de 38,4 millones de kilómetros de la Tierra (como hacen algunos lingüistas) fallará, es físicamente imposible.

Esta esfera, para comparación, se muestra en la figura mediante una línea discontinua azul. En los cálculos evaluativos, se supone que un cuerpo dentro de esta esfera experimentará gravitación exclusivamente desde el lado de la Tierra. Si el cuerpo está fuera de esta esfera, consideramos que el cuerpo se mueve en el campo gravitacional del Sol. En la astronáutica práctica, se conoce el método de conjugar secciones cónicas, que permite calcular aproximadamente la trayectoria de una nave espacial utilizando una solución del problema de dos cuerpos. Además, todo el espacio que supera el aparato se divide en esferas de influencia similares.

Por ejemplo, ahora está claro que para tener la capacidad teórica de realizar maniobras para ingresar a la órbita cercana a la luna, la nave espacial debe caer dentro de la esfera de acción de la Luna en relación con la Tierra. Su radio se calcula fácilmente mediante la fórmula (3) y es de 66 mil kilómetros.

Por lo tanto, la Luna puede considerarse con razón un satélite de la Tierra. Sin embargo, debido a la influencia significativa del campo gravitacional del Sol, no se mueve en el campo gravitacional central, lo que significa que su trayectoria no es una sección cónica.

3. El problema de los tres cuerpos en la formulación clásica.

Por lo tanto, consideraremos un problema modelo en un entorno general, conocido en la mecánica celeste como el problema de los tres cuerpos. Consideremos tres cuerpos de masa arbitraria ubicados arbitrariamente en el espacio y que se mueven exclusivamente bajo la influencia de fuerzas de atracción gravitacional mutua.


Consideramos que los cuerpos son puntos materiales. La posición de los cuerpos se contará de forma arbitraria, con lo que se asocia el sistema de referencia inercial Oxyz . La posición de cada uno de los cuerpos se establece mediante el vector de radio, respectivamente. $$$\ vec r_1$ , $$$\ vec r_2$ y $$$\ vec r_3$ . La fuerza de atracción gravitacional del lado de otros dos cuerpos actúa sobre cada cuerpo, además, de acuerdo con el tercer axioma de la dinámica de los puntos (tercera ley de Newton)

$$

$$\ vec F_ {i, j} = - \ vec F_ {j, i} \ quad \ quad (4)$$

Escribimos las ecuaciones diferenciales de movimiento de cada punto en forma vectorial

$$

$$\ begin {align} & m_1 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ vec F_ {1,2} + \ vec F_ {1,3} \\ & m_2 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = \ vec F_ {2,1} + \ vec F_ {2,3} \\ & m_3 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} {dt ^ 2} = \ vec F_ {3,1} + \ vec F_ {3,2} \ end {align}$$

o teniendo en cuenta (4)

$$

$$\ begin {align} & m_1 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ vec F_ {1,2} + \ vec F_ {1,3} \\ & m_2 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = - \ vec F_ {1,2} + \ vec F_ {2,3} \\ & m_3 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} { dt ^ 2} = - \ vec F_ {1,3} - \ vec F_ {2,3} \ end {align}$$

De acuerdo con la ley de la gravitación universal, las fuerzas de interacción se dirigen a lo largo de los vectores.

$$

$$\ begin {align} & \ vec r_ {1,2} = \ vec r_2 - \ vec r_1 \\ & \ vec r_ {1,3} = \ vec r_3 - \ vec r_1 \\ & \ vec r_ {2 , 3} = \ vec r_3 - \ vec r_2 \\ \ end {align}$$

A lo largo de cada uno de estos vectores, emitimos un vector unitario correspondiente

$$

$$\ vec e_ {i, j} = \ frac {1} {r_ {i, j}} \, \ vec r_ {i, j}$$

entonces cada una de las fuerzas gravitacionales se calcula mediante la fórmula

$$

$$\ vec F_ {i, j} = G \, \ frac {m_i \, m_j} {r_ {i, j} ^ 2} \, \ vec e_ {i, j}$$

Dado todo esto, el sistema de ecuaciones de movimiento toma la forma

$$

$$\ begin {align} & \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ frac {G \, m_2} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2 } + \ frac {G \, m_3} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = - \ frac {G \, m_1} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2} + \ frac {G \, m_3} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ vec r_ {2,3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} {dt ^ 2} = - \ frac {G \, m_1} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} - \ frac {G \, m_2} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ vec r_ {2,3} \ end {align}$$

Introducimos la notación aceptada en la mecánica celeste.

$$

$$\ mu_i = G \, m_i$$

Es el parámetro gravitacional del centro de atracción. Entonces las ecuaciones de movimiento tomarán la forma vectorial final

$$

$$\ begin {align} & \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ frac {\ mu_2} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2} + \ frac {\ mu_3} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = - \ frac {\ mu_1} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2} + \ frac {\ mu_3} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ vec r_ {2,3} \ \ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} {dt ^ 2} = - \ frac {\ mu_1} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} - \ frac {\ mu_2} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ vec r_ {2,3} \ end {align}$$

4. Racionamiento de ecuaciones a variables adimensionales

Una técnica bastante popular en el modelado matemático es la reducción de ecuaciones diferenciales y otras relaciones que describen el proceso a coordenadas de fase adimensionales y tiempo adimensional. Otros parámetros también están normalizados. Esto nos permite considerar, aunque con el uso de modelos numéricos, pero en una forma bastante general, toda una clase de problemas típicos. Dejo la cuestión de qué tan justificado está esto en cada problema a resolver, pero estoy de acuerdo en que en este caso este enfoque es bastante justo.

Entonces, presentamos un cuerpo celeste abstracto con un parámetro gravitacional $$$\ mu$ , de modo que el período de rotación del satélite en una órbita elíptica con un semieje principal $$$a$ a su alrededor es igual $$$T$ . Todas estas cantidades, en virtud de las leyes de la mecánica, están relacionadas por la relación

$$

$$T = 2 \, \ pi \, \ left (\ frac {a ^ 3} {\ mu} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}$$

Introducimos el reemplazo de parámetros. Para la posición de los puntos de nuestro sistema

$$

$$\ vec r_i = a \, \ vec \ xi_i$$

donde $$$\ vec \ xi_i$ - vector de radio adimensional del i-ésimo punto;
para parámetros gravitacionales de cuerpos

$$

$$\ mu_i = \ varkappa_i \, \ mu$$

donde $$$\ varkappa_i$ - parámetro gravitacional adimensional del i-ésimo punto;
por tiempo

$$

$$t = T \, \ tau$$

donde $$$\ tau$ - tiempo adimensional.

Ahora, recalculamos los puntos de aceleración del sistema a través de estos parámetros adimensionales. Aplicamos la diferenciación directa de dos veces. Para velocidades

$$

$$\ vec v_i = \ frac {d \ vec r_i} {dt} = a \, \ frac {d \ vec \ xi_i} {dt} = \ frac {a} {T} \, \ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau} = \ frac {1} {2 \, \ pi} \, \ sqrt {\ frac {\ mu} {a}} \, \ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau }.$$

Para la aceleración

$$

$$\ vec a_i = \ frac {d \ vec v_i} {dt} = \ frac {1} {2 \, \ pi} \, \ sqrt {\ frac {\ mu} {a}} \, \ frac {1 } {dt} \ left (\ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau} \ right) = \ frac {1} {4 \, \ pi ^ 2} \, \ frac {\ mu} {a ^ 2} \, \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_i} {d \ tau ^ 2}$$

Al sustituir las relaciones obtenidas en las ecuaciones de movimiento, todo se derrumba elegantemente en bellas ecuaciones:

$$

$$\ begin {align} & \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_1} {d \ tau ^ 2} = 4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_2 \, \ frac {\ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} + 4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_3 \, \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_2} {d \ tau ^ 2} = -4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_1 \, \ frac {\ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} + 4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_3 \, \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2 | ^ 3} \ quad \ quad (5) \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_3} {d \ tau ^ 2} = -4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_1 \, \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} - 4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_2 \, \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2 | ^ 3} \ end {align}$$

Este sistema de ecuaciones todavía se considera no integrable en las funciones analíticas. ¿Por qué se considera y no se considera? Debido a que el éxito de la teoría de las funciones de una variable compleja condujo al hecho de que apareció una solución general al problema de los tres cuerpos en 1912, Karl Zundman encontró un algoritmo para encontrar los coeficientes para series infinitas con respecto a un parámetro complejo, que en teoría es una solución general al problema de los tres cuerpos. Pero ... para la aplicación de la serie Sundman en cálculos prácticos con la precisión requerida para ellos, se requiere obtener tal cantidad de miembros de esta serie que esta tarea excede con creces las capacidades de las computadoras incluso hoy en día.

Por lo tanto, la integración numérica es la única forma de analizar la solución de la ecuación (5)

5. Cálculo de condiciones iniciales: obtenemos los datos iniciales

Como escribí anteriormente , antes de comenzar la integración numérica, debe encargarse de calcular las condiciones iniciales para resolver el problema. En el problema en consideración, la búsqueda de las condiciones iniciales se convierte en un subproblema independiente, ya que el sistema (5) nos da nueve ecuaciones escalares de segundo orden, que, al pasar a la forma Cauchy normal, aumenta el orden del sistema en un factor de 2. Es decir, necesitamos calcular hasta 18 parámetros: las posiciones iniciales y los componentes de la velocidad inicial de todos los puntos del sistema. ¿Dónde obtenemos datos sobre la posición de los cuerpos celestes que nos interesan? Vivimos en un mundo donde una persona caminó en la luna; naturalmente, la humanidad debe tener información sobre cómo se mueve esta luna y dónde se encuentra.

Es decir, usted, amigo, nos está ofreciendo sacar gruesos libros astronómicos de los estantes, quitarles el polvo ... ¡No lo adivine! Sugiero ir a la NASA para aquellos que realmente caminaron en la Luna, es decir, el Laboratorio de Propulsión a Chorro, Pasadena, California. Aquí: interfaz web JPL Horizonts .

Aquí, después de pasar algún tiempo estudiando la interfaz, obtendremos todos los datos que necesitamos. Elija una fecha, por ejemplo, sí, no nos importa, pero que sea el 27 de julio de 2018 UT 20:21. Justo en este momento, se observó la fase completa del eclipse lunar. El programa nos dará una gran tela


Brrr, ¿qué es eso? Sin pánico, no hay nada que temer para alguien que ha estudiado astronomía, mecánica y matemáticas bien en la escuela. Entonces, lo más importante son las coordenadas finales buscadas y los componentes de velocidad de la luna.

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 1.537109094089627E-03 Y =-2.237488447258137E-03 Z = 5.112037386426180E-06 VX= 4.593816208618667E-04 VY= 3.187527302531735E-04 VZ=-5.183707711777675E-05 LT= 1.567825598846416E-05 RG= 2.714605874095336E-03 RR=-2.707898607099066E-06 $$EOE 

¡Sí, sí, son cartesianos! Si lees cuidadosamente todo el calzado, descubriremos que el origen de este sistema de coordenadas coincide con el centro de la tierra. El plano XY se encuentra en el plano de la órbita terrestre (plano eclíptico) para la era de J2000. El eje X se dirige a lo largo de la línea de intersección del plano ecuatorial de la Tierra y la eclíptica en el equinoccio vernal. El eje Z mira en la dirección del polo norte de la Tierra perpendicular al plano eclíptico. Bueno, el eje Y complementa toda esta felicidad a los tres vectores correctos. Por defecto, las unidades de coordenadas: unidades astronómicas (los smarties de la NASA también dan la magnitud de la unidad autónoma en kilómetros). Unidades de velocidad: unidades astronómicas por día, se supone que el día es de 86400 segundos. Relleno completo!

Podemos obtener información similar para la Tierra.


Aquí, el baricentro (centro de masa) del sistema solar se selecciona como origen. Datos que nos interesan

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 5.755663665315949E-01 Y =-8.298818915224488E-01 Z =-5.366994499016168E-05 VX= 1.388633512282171E-02 VY= 9.678934168415631E-03 VZ= 3.429889230737491E-07 LT= 5.832932117417083E-03 RG= 1.009940888883960E+00 RR=-3.947237246302148E-05 $$EOE 

Para la luna, necesitamos las coordenadas y la velocidad relativas al baricentro del sistema solar, podemos calcularlas o podemos pedirle a la NASA que nos brinde dichos datos.

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 5.771034756256845E-01 Y =-8.321193799697072E-01 Z =-4.855790760378579E-05 VX= 1.434571674368357E-02 VY= 9.997686898668805E-03 VZ=-5.149408819470315E-05 LT= 5.848610189172283E-03 RG= 1.012655462859054E+00 RR=-3.979984423450087E-05 $$EOE 

Maravilloso! Ahora necesita procesar ligeramente los datos recibidos con un archivo.

6.38 loros y un ala de loro

Para comenzar, determinaremos la escala, porque nuestras ecuaciones de movimiento (5) están escritas en forma adimensional. Los datos proporcionados por la propia NASA nos dicen que vale la pena tomar una unidad astronómica para la escala de coordenadas. En consecuencia, tomaremos al Sol como el cuerpo estándar al que normalizaremos las masas de otros cuerpos, y el período de la revolución de la Tierra alrededor del Sol como la escala de tiempo.

Todo esto, por supuesto, es muy bueno, pero no establecimos las condiciones iniciales para el Sol. "¿Por qué?" Un lingüista me preguntaría. Y respondería que el sol no está inmóvil, sino que también gira en su órbita alrededor del centro de masa del sistema solar. Esto se puede ver mirando los datos de la NASA para el Sol.

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 6.520050993518213E+04 Y = 1.049687363172734E+06 Z =-1.304404963058507E+04 VX=-1.265326939350981E-02 VY= 5.853475278436883E-03 VZ= 3.136673455633667E-04 LT= 3.508397935601254E+00 RG= 1.051791240756026E+06 RR= 5.053500842402456E-03 $$EOE 

Al observar el parámetro RG, vemos que el sol gira alrededor del baricentro del sistema solar, y el 27 de julio de 2018, el centro de la estrella está a un millón de kilómetros de distancia. El radio del Sol, como referencia: 696 mil kilómetros. Es decir, el baricentro del sistema solar se encuentra a medio millón de kilómetros de la superficie de la estrella. Por qué Sí, porque todos los demás cuerpos que interactúan con el Sol también le dan aceleración, principalmente, por supuesto, Júpiter pesado. En consecuencia, el Sol también tiene su propia órbita.

Por supuesto, podemos elegir estos datos como condiciones iniciales, pero no, estamos resolviendo el problema del modelo de tres cuerpos, y Júpiter y otros caracteres no están incluidos en él. Entonces, en detrimento del realismo, conociendo la posición y las velocidades de la Tierra y la Luna, recalculamos las condiciones iniciales para el Sol, de modo que el centro de masa del sistema Sol-Tierra-Luna esté en el origen. Para el centro de masa de nuestro sistema mecánico, la ecuación

$$

$$(m_1 + m_2 + m_3) \, \ vec r_C = m_1 \, \ vec r_1 + m_2 \, \ vec r_2 + m_3 \, \ vec r_3$$

Colocamos el centro de masa en el origen, es decir, preguntamos $$$\ vec r_C = 0$ entonces

$$

$$m_1 \, \ vec r_1 + m_2 \, \ vec r_2 + m_3 \, \ vec r_3 = 0$$

de donde

$$

$$\ begin {align} & m_3 \, \ vec r_3 = -m_1 \, \ vec r_1 - m_2 \, \ vec r_2 \\ & \ vec r_3 = - \ frac {m_1} {m_3} \ vec r_1 - \ frac {m_2} {m_3} \, \ vec r_2 \ end {align}$$

Pasemos a las coordenadas y parámetros adimensionales eligiendo $$$\ mu = \ mu_3$

$$

$$\ vec \ xi_3 = - \ varkappa_1 \ vec \ xi_1 - \ varkappa_2 \ vec \ xi_2 \ quad \ quad (6)$$

Diferenciando (6) con respecto al tiempo y pasando al tiempo adimensional, también obtenemos la relación para las velocidades

$$

$$\ vec u_3 = - \ varkappa_1 \, \ vec u_1 - \ varkappa_2 \, \ vec u_2$$

donde $$$\ vec u_i = \ cfrac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau}, \ forall i = \ overline {1,3}$

Ahora escribiremos un programa que formará las condiciones iniciales en nuestros "loros" elegidos. ¿Sobre qué escribiremos? ¡Por supuesto en Python! Después de todo, como saben, este es el mejor lenguaje para el modelado matemático.

Sin embargo, si nos alejamos del sarcasmo, entonces realmente intentaremos con Python para este propósito, ¿y por qué no? Definitivamente proporcionaré un enlace a todo el código en mi perfil de Github .


Programa de escape

    mu[0] = 4901783000000.0 mu[1] = 386326400000000.0 mu[2] = 1.326663e+20    xi[0] = 3.6948215183509304e-08 xi[1] = 2.912016088486677e-06 xi[2] = 1.0   T = 31563683.35432583   , ..: [ 5.77103476e-01 -8.32119380e-01 -4.85579076e-05]   , ..: [ 5.75566367e-01 -8.29881892e-01 -5.36699450e-05]   , ..: [-1.69738146e-06 2.44737475e-06 1.58081871e-10]   , /: [24838.98933473 17310.56333294 -89.15979106] -//- : [ 5.24078311 3.65235907 -0.01881184]   , /: [2.40435899e+04 1.67586567e+04 5.93870516e-01] -//- : [5.07296163e+00 3.53591219e+00 1.25300854e-04]   , /: [-7.09330769e-02 -4.94410725e-02 1.56493465e-06] -//- : [-1.49661835e-05 -1.04315813e-05 3.30185861e-10] 

7. Integración de ecuaciones de movimiento y análisis de resultados.

En realidad, la integración en sí se reduce a un procedimiento más o menos estándar para preparar un sistema de ecuaciones para SciPy: transformar el sistema ODE a la forma Cauchy y llamar a las funciones de resolución correspondientes. Para convertir el sistema a la forma Cauchy, recordamos que

$$

$$\ vec u_i = \ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau}, \ forall i = \ overline {1,3} \ quad \ quad (7)$$

Luego introduciendo el vector de estado del sistema

$$

$$\ vec y = \ left [\ vec \ xi_1, \ vec \ xi_2, \ vec \ xi_1, \ vec u_1, \ vec u_2, \ vec u_3 \ right] ^ T$$

reducimos (7) y (5) a una ecuación vectorial

$$

$$\ frac {d \ vec y} {d \ tau} = \ vec f (\ tau, \ vec y) \ quad \ quad (8)$$

Para integrar (8) con las condiciones iniciales existentes, escribimos un código muy pequeño.


Veamos que tenemos. La trayectoria espacial de la Luna durante los primeros 29 días desde nuestro punto de partida elegido


así como su proyección en el plano de la eclíptica.


"Oye tío, ¿qué nos estás dando?! ¡Este es el círculo!

En primer lugar, no es un círculo: se nota un cambio en la proyección de la trayectoria desde el origen hacia la derecha y hacia abajo. En segundo lugar, ¿no notas nada? No enserio?


Prometo preparar una justificación para el hecho (basado en el análisis de errores de cuenta y datos de la NASA) de que el desplazamiento de ruta obtenido no es consecuencia de errores de integración. Hasta ahora sugiero al lector que confíe en mi palabra: este desplazamiento es una consecuencia de la perturbación solar de la trayectoria lunar. Gira otro turno



A que hora Además, preste atención al hecho de que, según los datos iniciales del problema, el Sol se encuentra exactamente en el lado donde la trayectoria de la Luna cambia en cada revolución. ¡Sí, este insolente Sol nos roba a nuestro querido compañero! ¡Oh, es el sol!

Podemos concluir que la gravedad solar afecta la órbita de la luna de manera bastante significativa: la anciana no camina el cielo dos veces de la misma manera. Una imagen de medio año de movimiento permite (al menos cualitativamente) convencerse de esto (se puede hacer clic en la imagen)



Interesante? Por supuesto que lo harías. La astronomía es generalmente una ciencia divertida.

Postdata

En la universidad donde estudié y trabajé durante casi siete años, el Politécnico Novocherkassk, se celebró anualmente la Olimpiada zonal de estudiantes de mecánica teórica de las universidades del Cáucaso del Norte. Tres veces tomamos la Olimpiada de toda Rusia. En la apertura, nuestro principal "olímpico", el profesor A. Kondratenko, siempre decía: "El académico Krylov llamó a la mecánica la poesía de las ciencias exactas".

Amo la mecánica. Todo lo bueno que he logrado en mi vida y carrera ha sucedido gracias a esta ciencia y a mis maravillosos maestros. Respeto la mecánica.

Por lo tanto, nunca permitiré que nadie se burle de esta ciencia y la explote descaradamente para sus propios fines, incluso si es al menos tres veces un doctor en ciencias y cuatro veces un lingüista, y ha desarrollado al menos un millón de programas de estudio. Sinceramente, creo que escribir artículos sobre un recurso público popular debería proporcionar una revisión cuidadosa y un diseño normal (¡las fórmulas de LaTeX no son un capricho de los desarrolladores del recurso!) Y la ausencia de errores que conduzcan a resultados que violen las leyes de la naturaleza. Este último es generalmente imprescindible.

A menudo les digo a mis alumnos: "la computadora libera tus manos, pero esto no significa que también necesites apagar el cerebro".

Para apreciar y respetar la mecánica, les insto, mis queridos lectores. Contestaré con gusto cualquier pregunta y, como prometí, publico el código fuente de un ejemplo de resolución del problema de tres cuerpos en Python, publico Github en mi perfil .

Gracias por su atencion!