El principio de menor acción. Parte 1

Cuando supe por primera vez sobre este principio, tuve la sensación de algún tipo de misticismo. Parece que la naturaleza recorre misteriosamente todos los caminos posibles del sistema y selecciona el mejor de ellos.

Hoy quiero hablar un poco sobre uno de los principios físicos más notables: el principio de menor acción.

Antecedentes

Desde los días de Galileo, se sabía que los cuerpos que no se ven afectados por ninguna fuerza se mueven en línea recta, es decir, a lo largo del camino más corto. Los rayos de luz se propagan en línea recta.

Cuando se refleja, la luz también se mueve de tal manera que llega de un punto a otro de la manera más corta. En la imagen, el camino más corto será el camino verde en el que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Cualquier otro camino, como el rojo, será más largo.


Esto es fácil de demostrar simplemente reflejando los caminos de los rayos hacia el lado opuesto del espejo. En la imagen se muestran con una línea punteada.


Se puede ver que el camino verde del ACB se convierte en un ACB directo '. Y el camino rojo se convierte en una línea discontinua ADB ', que, por supuesto, es más larga que la verde.

En 1662, Pierre Fermat sugirió que la velocidad de la luz en una sustancia densa, por ejemplo, en el vidrio, es menor que en el aire. Antes de esto, había una versión generalmente aceptada de Descartes, según la cual la velocidad de la luz en la materia debería ser mayor que en el aire para obtener la ley correcta de refracción. Para Fermat, la suposición de que la luz puede moverse en un medio más denso más rápido que en un enrarecido no parecía natural. Por lo tanto, sugirió que todo era exactamente lo contrario y demostró ser algo sorprendente: bajo esta suposición, la luz se refracta para llegar a su destino en el menor tiempo posible.


En la figura nuevamente, el color verde muestra el camino a lo largo del cual se mueve el haz de luz. El camino marcado en rojo es el más corto, pero no el más rápido, porque la luz tiene un camino más grande para atravesar el vidrio y su velocidad es más lenta. El más rápido es el camino real del haz de luz.

Todos estos hechos sugieren que la naturaleza actúa de manera racional, que la luz y los cuerpos se mueven de manera óptima, gastando el menor esfuerzo posible. Pero qué tipo de esfuerzo fue y cómo contarlo siguió siendo un misterio.

En 1744, Maupertuis introdujo el concepto de "acción" y formuló el principio según el cual la verdadera trayectoria de una partícula difiere de cualquier otra en que la acción para ella es mínima. Sin embargo, el propio Maupertuis no pudo dar una definición clara de a qué equivale esta acción. La formulación matemática estricta del principio de menor acción ya fue desarrollada por otros matemáticos, Euler, Lagrange, y finalmente fue dada por William Hamilton:


En lenguaje matemático, el principio de menor acción se formula de manera bastante breve, pero no todos los lectores pueden entender el significado de la notación utilizada. Quiero tratar de explicar este principio más claramente y en palabras simples.

Cuerpo libre

Así que imagina que estás sentado en un auto en un punto $$ y a la vez $$ Se te ha asignado una tarea simple: para cuando $$ necesitas llegar al punto en coche $$ .


El combustible para el automóvil es costoso y, por supuesto, desea gastarlo lo menos posible. Su automóvil está fabricado con las últimas súper tecnologías y puede acelerar o frenar tan rápido como lo desee. Sin embargo, está diseñado de modo que cuanto más rápido va, más combustible consume. Además, el consumo de combustible es proporcional al cuadrado de la velocidad. Si conduce el doble de rápido, durante el mismo período de tiempo consume 4 veces más combustible. Además de la velocidad, la masa del automóvil también afecta el consumo de combustible. Cuanto más pesado es nuestro automóvil, más combustible consume. El consumo de combustible de nuestro automóvil en cualquier momento es $$ es decir exactamente la energía cinética del automóvil.

Entonces, ¿cómo necesitas ir para llegar al punto? $$ al tiempo exacto designado y usar el combustible lo menos posible? Está claro que debe ir en línea recta. Con un aumento en la distancia de conducción, el combustible se consumirá exactamente no menos. Y luego puedes elegir diferentes tácticas. Por ejemplo, puedes llegar rápidamente al punto $$ de antemano y solo siéntate, espera, cuando llegue el momento $$ . La velocidad de conducción, y por lo tanto el consumo de combustible en cualquier momento dado, resultará ser grande, pero el tiempo de conducción también se reducirá. Quizás el consumo total de combustible en este caso no sea tan grande. O puede conducir de manera uniforme, a la misma velocidad, de modo que, sin apresurarse, llegue a la hora $$ . O parte del camino para conducir rápido y parte más lento. ¿Qué mejor manera de ir?

Resulta que la forma más óptima y económica de conducir es conducir a una velocidad constante, como estar en un punto $$ a la hora exacta $$ . Con cualquier otra opción, el combustible se consumirá más. Puede verificarlo usted mismo con algunos ejemplos. La razón es que el consumo de combustible aumenta en proporción al cuadrado de la velocidad. Por lo tanto, a medida que aumenta la velocidad, el consumo de combustible aumenta más rápido que el tiempo de conducción, y el consumo general de combustible también aumenta.

Entonces, descubrimos que si un automóvil en un momento dado consume combustible en proporción a su energía cinética, entonces la forma más económica de llegar desde un punto $$ hasta el punto $$ Un momento determinado con precisión es conducir de manera uniforme y rectilínea, tal como un cuerpo se mueve en ausencia de fuerzas que actúen sobre él. Cualquier otra forma de conducir resultará en un mayor consumo general de combustible.

En gravedad

Ahora mejoremos un poco nuestro auto. Adjuntemos motores a reacción para que pueda volar libremente en cualquier dirección. En general, el diseño se mantuvo igual, por lo que el consumo de combustible volvió a ser estrictamente proporcional a la energía cinética del automóvil. Si ahora se le da la tarea de volar fuera del punto $$ a tiempo $$ y volar al punto $$ por tiempo $$ , entonces la forma más económica, como antes, por supuesto, volará de manera uniforme y rectilínea, para estar en un punto $$ a la hora exacta $$ . Esto nuevamente corresponde al libre movimiento del cuerpo en el espacio tridimensional.


Sin embargo, se instaló un dispositivo inusual en el último modelo de automóvil. Esta unidad puede producir combustible literalmente de la nada. Pero el diseño es tal que cuanto más alto es el automóvil, más combustible genera el dispositivo en cada momento. La producción de combustible es directamente proporcional a la altura. $$ en el que se encuentra actualmente el automóvil. Además, cuanto más pesado es el automóvil, más potente es el dispositivo instalado en él y más combustible produce, y el rendimiento es directamente proporcional a la masa del automóvil $$ . El dispositivo resultó para que la producción de combustible sea exactamente igual $$ (donde $$ - aceleración de la gravedad), es decir Energía potencial del automóvil.

El consumo de combustible en cada momento es igual a la energía cinética menos la energía potencial del automóvil (menos la energía potencial, porque el dispositivo instalado genera combustible y no gasta). Ahora nuestra tarea es el movimiento de automóviles más económico entre puntos $$ y $$ cada vez más difícil El movimiento uniforme rectilíneo en este caso no es el más efectivo. Resulta que es más óptimo ganar un poco de altitud, permanecer allí por un tiempo, haber desarrollado más combustible y luego ir al grano. $$ . Con la ruta de vuelo correcta, la producción total de combustible debido al ascenso bloqueará el consumo de combustible adicional al aumentar la longitud de la ruta y aumentar la velocidad. Si calcula cuidadosamente, entonces, de la manera más económica para un automóvil, volará a lo largo de una parábola, exactamente a lo largo de esa trayectoria y exactamente a la misma velocidad que volaría una piedra en el campo de gravedad de la Tierra.


Vale la pena hacer una explicación aquí. Por supuesto que puedes desde el punto $$ tirar una piedra de muchas maneras diferentes para que llegue a un punto $$ . Pero debes lanzarlo para que salga volando $$ a tiempo $$ golpear el punto $$ exactamente a la hora $$ . Este movimiento será el más económico para nuestro automóvil.

Función de Lagrange y principio de mínima acción.

Ahora podemos transferir esta analogía a cuerpos físicos reales. Un análogo de la intensidad del consumo de combustible para los cuerpos se llama función Lagrange o Lagrangiana (en honor a Lagrange) y se denota por la letra $$ . Lagrangian muestra cuánto "combustible" consume el cuerpo en un momento dado. Para un cuerpo que se mueve en un campo potencial, el lagrangiano es igual a su energía cinética menos la energía potencial.

Un análogo de la cantidad total de combustible consumido durante todo el tiempo de movimiento, es decir El valor de los lagrangianos acumulados durante todo el tiempo de movimiento se denomina "acción".

El principio de menor acción es que el cuerpo se mueve de tal manera que la acción (que depende de la trayectoria del movimiento) es mínima. Al mismo tiempo, no se debe olvidar que se especifican las condiciones iniciales y finales, es decir. donde el cuerpo está en un punto en el tiempo $$ y a la vez $$ .

Además, el cuerpo no tiene que moverse en un campo gravitacional uniforme, que consideramos para nuestro automóvil. Puedes considerar situaciones completamente diferentes. El cuerpo puede oscilar sobre una banda elástica, balancearse sobre un péndulo o volar alrededor del Sol, en todos estos casos se mueve de tal manera que minimiza el "consumo total de combustible", es decir acción

Si el sistema consta de varios cuerpos, entonces el lagrangiano de dicho sistema será igual a la energía cinética total de todos los cuerpos menos la energía potencial total de todos los cuerpos. Y nuevamente, todos los cuerpos se moverán de manera coordinada para que la acción de todo el sistema con tal movimiento sea mínima.

No tan simple

De hecho, hice un poco de trampa al decir que los cuerpos siempre se mueven de tal manera que minimizan la acción. Aunque en muchos casos esto es cierto, puede llegar a situaciones en las que la acción claramente no es mínima.

Por ejemplo, tome una pelota y colóquela en un espacio vacío. A cierta distancia, colocamos una pared elástica. Supongamos que queremos que la pelota esté en el mismo lugar después de un tiempo. Bajo tales condiciones, la pelota puede moverse de dos maneras diferentes. En primer lugar, puede permanecer en su lugar. En segundo lugar, se puede empujar hacia la pared. La pelota volará hacia la pared, rebotará y regresará. Está claro que puedes empujarlo tan rápido que regrese exactamente en el momento adecuado.


Ambas variantes del movimiento de la pelota son posibles, pero la acción en el segundo caso resultará más, porque todo este tiempo la pelota se moverá con una energía cinética distinta de cero.

¿Cómo salvar el principio de menor acción para que sea justo en tales situaciones? Hablaremos de esto la próxima vez .