Teoría de la felicidad. La maldición del director y las impresoras malditas

Sigo familiarizando a los lectores de Habr con los capítulos de su libro "Teoría de la felicidad" con el subtítulo "Fundamentos matemáticos de las leyes de la maldad". Este libro de ciencia popular aún no se ha publicado, informa de manera muy informal acerca de cómo las matemáticas le permiten mirar el mundo y la vida de las personas con un nuevo grado de conciencia. Es para aquellos que están interesados ​​en la ciencia y para aquellos que están interesados ​​en la vida. Y dado que nuestra vida es compleja y, en general, impredecible, el énfasis en el libro se centra principalmente en la teoría de la probabilidad y las estadísticas matemáticas. Aquí no se prueban los teoremas y no se dan los fundamentos de la ciencia, de ninguna manera es un libro de texto, sino lo que se llama ciencia recreativa. Pero es precisamente un enfoque tan lúdico que nos permite desarrollar la intuición, alegrar las conferencias para los estudiantes con ejemplos vívidos y, por último, explicar a los no matemáticos y a nuestros hijos lo interesante que encontramos en nuestra ciencia seca.





Hablaremos sobre la presión del tiempo, los plazos y las impresoras no oportunas.

Estrategia tonta

En el capítulo anterior, hablamos sobre procesos aleatorios. Uno de los procesos más simples que requieren un mínimo de supuestos adicionales es el flujo de Poisson. Permítame recordarle que se puede implementar distribuyendo aleatoriamente un número conocido de eventos independientes durante un intervalo de tiempo. Buenos ejemplos incluyen golpes de gotas de lluvia en el techo, el flujo de autos privados en la carretera, fuertes terremotos, etc.

Pero, ¿qué obtenemos si los eventos dejan de ser independientes y forman una cadena ordenada? Decir en una cadena $$$\ {A, B, C \}$ acontecimiento $$$B$ solo puede ocurrir después del evento $$$A$ y antes del evento $$$C$ aunque los momentos en que ocurren estos eventos serán aleatorios. Veamos cómo encajan esas cadenas ordenadas en un intervalo de tiempo limitado. Organizaremos el primer evento en un punto arbitrario, el segundo también es aleatorio, pero siempre más tarde que el primero, el tercero después del segundo, y así sucesivamente. Quedará menos tiempo para cada etapa siguiente, de modo que se debe observar un aumento notable en la intensidad del proceso hacia el lado derecho del intervalo (antes de la fecha límite). Tarde o temprano, el tiempo para completar las tareas terminará y la cadena terminará. Llamamos al proceso que construimos una cadena estocástica con una fecha límite , y la estrategia desordenada seleccionada de hacer el trabajo es una estrategia tonta . La figura muestra un ejemplo de una cadena construida de esta manera desde $$$5$ etapas del trabajo que se lanzó $$$10$ días


Un ejemplo de una cadena estocástica con una fecha límite. En este caso, fue posible hacer cinco cosas, aún puede tener tiempo para hacer la sexta, pero siete veces no es suficiente.

Formulamos el problema, tomando como sujeto de prueba, por ejemplo, un director de teatro. Que el director y la compañía tengan a su disposición. $$$n$ días para organizar alguna acción. La preparación se divide en $$$k$ etapas de ensayo consecutivas, cada una de las cuales requiere un día para completarse. ¿Cuál es la probabilidad de no cumplir con la fecha límite al implementar el proceso de trabajo descrito por nosotros? Si la preparación del evento requiere la participación de diferentes personas y diversos procesos de producción, entonces son posibles las superposiciones, las enfermedades o simplemente el blues, todos los requisitos previos para la implementación de nuestra cadena de plazos estocástica.

Para empezar, recurrí al modelado de imitación para descubrir cómo se distribuye la longitud de las cadenas, que se puede realizar en un período de tiempo limitado de una longitud determinada, utilizando la estrategia tonta. Esto es lo que obtienes por $$$n = 10$ :


La función de probabilidad para la longitud de las cadenas que se puede hacer en el tiempo asignado.

Esta distribución no se encuentra en ningún libro de referencia sobre teoría de probabilidad y estadística matemática. Logré obtener una solución analítica para la función de probabilidad en la forma final:

$$

$$P_n (k) = \ genfrac {[} {]} {0pt} {} {n} {k} \ frac {1} {n!},$$

aqui $$$P_n (k)$ - la probabilidad de una longitud de cadena $$$k$ en $$$n$ períodos de tiempo, y el diseño $$$\ genfrac {[} {]} {0pt} {} {n} {k}$ denota los llamados números de Stirling del primer tipo , surgen en combinatoria al calcular permutaciones cíclicas. Por derecho de descubridor, llamaré a esta distribución el nombre de Stirling. Incluso fue posible obtener expresiones exactas para la expectativa matemática de la longitud de las cadenas y su dispersión:

$$

$$M [k] = H_ {n}, \ quad D [k] = H_ {n} -H_n ^ {(2)}.$$

Aqui $$$H_ {n}$ Es el número armónico: una suma parcial de las series armónicas divergentes $$$\ {1, \ frac12, \ frac13, ..., \ frac1n \}$ y $$$H_ {n} ^ {(2)}$ - importe parcial de la serie $$$\ {1, \ frac14, \ frac19, ..., \ frac1 {n ^ 2} \}$ . En realidad, para calcular estos valores, investigué la distribución resultante. La longitud promedio de las cadenas con crecimiento. $$$n$ crece muy lentamente, aunque de forma ilimitada. Sin mucho error, podemos decir que crece logarítmicamente. A su vez, la varianza no es muy diferente del promedio, y el coeficiente adicional $$$H_ {n} ^ {(2)}$ tiende a constante $$$\ pi ^ 2/6$ . Un poco más tarde, esta observación será útil.

Echemos otro vistazo a la distribución de longitudes de cadena. Es evidente que no hay absolutamente ninguna posibilidad de no tener tiempo para hacer una cosa: habrá tiempo para él. Las cadenas cortas de dos casos representan una décima parte del número total: son cadenas sin éxito que comenzaron el último día (de diez) y no dejaron tiempo para continuar. Se espera que la proporción de cadenas muy largas sea pequeña y disminuya con el aumento de la longitud, casi desapareciendo. Bueno, es casi imposible completar accidentalmente una cadena de diez casos: la probabilidad de tal resultado es $$$\ frac {1} {10!}$ .

A nuestra pregunta: ¿cuál es la probabilidad de no cumplir con el $$$n$ días teniendo delante de ti $$$k$ En las etapas sucesivas de la tarea, la función de distribución ayudará a responder: la curva acumulativa para la distribución de Stirling. Construimos tales curvas para $$$n = 7, \ 30, \ 365$ y $$$25,000$ correspondiente a la semana, mes, año y (por supuesto, condicionalmente) toda la vida.


La probabilidad de no tener tiempo para completar cadenas de varias longitudes en un momento u otro.

Estos gráficos muestran que la probabilidad de no cumplir un mes con una tarea que tiene $$$5$ los pasos exceden $$$80 \%$ . Y que es mejor no planear más de tres casos por semana para una teta no organizada, y no hará una docena de casos, con una probabilidad superior a $$$50 \%$ y para toda la vida! Estamos convencidos de que con un aumento en los plazos en varios órdenes de magnitud, el número de casos de fallas realizables aumenta de manera insignificante. ¡La vida es tan corta!

¡Más rápido, más rápido!

Examinemos ahora el fenómeno mismo de la presión del tiempo, sus propiedades agotadoras. Para hacer esto, construiremos varios miles de cadenas estocásticas y las promediaremos para obtener el ritmo de trabajo esperado.


Muchas cadenas de plazos estocásticas y el ritmo de trabajo esperado.

Preste atención al hecho de que el eje del gráfico se reduce al número total de casos y se asigna todo el tiempo. Esto, por un lado, nos permite comparar términos diferentes y cadenas de longitud diferentes, y por otro lado, nuevamente obtuvimos algo similar a la curva de Lorentz: una especie de reflejo formalizado de la injusticia.

El ritmo observado, por desgracia, es muy desigual: en la primera mitad del término, apenas $$$10 \%$ trabajo, y una buena mitad de todas las cosas tendrán que hacerse, teniendo a mi disposición $$$10 \%$ tiempo, pero la característica principal: ¡el ritmo, o más bien su pendiente, aumenta rápidamente cuando se acerca la fecha límite! Obtuvimos un modelo de ira o pánico de Año Nuevo en la víspera del informe anual, y también encontramos la ley de la mezquindad, familiar para cualquiera que tuviera que organizar un concierto, una noche de disfraces u otro evento:

¡No importa cuánto tiempo se haya asignado para la preparación del evento, la mayoría de los asuntos permanecerán en la última noche!

Excelentes ejemplos vivos de tales procesos se describen, por ejemplo, en las historias de Karel apek "Cómo hacer un periódico" y "Cómo se escenifica una obra de teatro" . ¿Es la razón de esta maldición solo en nuestra desorganización y descuido? Estas son, por supuesto, las razones principales, pero no somos tan culpables de ello que sería imposible tratar de justificarnos por cualquier ley matemática. La estrategia de los burros, por supuesto, parece tonta, ¡pero el aumento exponencial en el ritmo no es broma! ¿Hay alguna forma de lidiar con eso?

El ritmo de trabajo esperado se puede calcular con precisión. La fórmula no es demasiado elegante, pero cabe destacar que incluye la cantidad de días. $$$n$ y no incluye el número de casos programados:

$$

$$T_n (x) = - \ frac {\ log_2 \ left [1-x \ left (1-2 ^ {- H_n-1} \ right) \ right]} {H_n + 1}.$$

El logaritmo es una función lenta, a menos que se presione contra la pared. En los últimos días antes de la fecha límite, el ritmo ha estado creciendo catastróficamente, al mismo ritmo que el logaritmo cae al abismo cuando se acerca a cero. Sin embargo, aún depende de la cantidad de días asignados. Puede ver cómo se ve el ritmo esperado para la semana, mes y año:


La tasa más probable de finalización en un tiempo limitado. Curiosamente, un límite de tiempo ajustado tiene un efecto beneficioso. El nombre está en reserva solo una semana, lo más probable es que comencemos a hacer el trabajo de manera más uniforme (para la mitad de la fecha límite, un tercio del trabajo estará listo), y si todo el año está por venir, podemos relajarnos, bien, y luego arrepentirnos.

Para un artista perfeccionista ideal que hace el trabajo de manera absolutamente uniforme, el ritmo de ejecución debe tender hacia la diagonal (línea discontinua azul en la figura). Esto es similar a la curva de igualdad en el diagrama de Lorentz, que significa justicia. Del mismo modo que calculamos el coeficiente de Gini para el diagrama de Lorentz, podemos, en base al área entre la curva del ritmo de trabajo y la curva ideal, calcular un cierto coeficiente de significancia, que mostrará cuán lejos estamos del ideal. Depende de la duración del plazo asignado y aumenta lentamente con el crecimiento $$$n$ . En los ejemplos que hemos dado para la semana, mes y año, el coeficiente de significancia es, respectivamente $$$0.25$ , $$$0.44$ y $$$0.65$ .

¿Cómo lidiar con la creciente ola de preocupaciones y la presión del tiempo? Puedes, por ejemplo, recuperarte. Una persona con un excelente síndrome estudiantil puede intentar hacer lo siguiente lo antes posible, por supuesto, por supuesto. Un modelo plausible será la elección del momento para la siguiente tarea, siguiendo una distribución exponencial con una densidad inversamente proporcional al tiempo restante. Esto no descartará cierta incertidumbre inherente a nuestras vidas, pero expresará buenas intenciones de hacer todas las cosas lo antes posible. Llamamos a esta estrategia una estrategia de buenas intenciones . Aquí están las distribuciones de probabilidad de completar las tareas a tiempo para los adherentes a esta estrategia, quienes en la mitad de los casos harán lo siguiente en el primer trimestre del tiempo restante:


La distribución de probabilidad no llega a tiempo para una estrategia bien intencionada.

Significativamente mejor! Dentro de una semana, es probable que tenga tiempo para hacer cinco cosas y dejarse dos días libres. Pero, sin embargo, durante grandes períodos, el aumento de oportunidades no es revolucionario. El problema radica en el hecho de que el número esperado de casos completados con éxito sigue siendo proporcional al logaritmo del tiempo asignado, ¡y el logaritmo crece extremadamente lento! Por lo tanto, al planificar mucho, debe tener en cuenta que la intensidad del proceso aumentará inevitablemente y, lo más probable, no habrá suficiente tiempo para anticipar la fecha límite. En cualquier caso, es necesario recordar que la vida es corta y para tener tiempo de realizar el plan, ¡debe actuar ahora mismo!

Admiramos el ritmo de un excelente estudiante bien intencionado.


El ritmo esperado del trabajo de una persona metódica que intenta pasar a la siguiente etapa de trabajo lo antes posible. Los gráficos muestran los resultados de promediar decenas de miles de experimentos numéricos que modelan una tarea con un número fijo de etapas. La línea roja indica el límite de velocidad para una gran cantidad de tareas.

Nuestro excelente especialista logró distribuir el trabajo de manera más uniforme y hacer mucho más trabajo, pero todavía está esperando la presión del tiempo. Dicha persona realizará cadenas cortas con un cumplimiento excesivo significativo del plan, y una cadena de siete casos será casi perfecta. Sin embargo, a medida que aumenta el número de casos, ¡el ritmo esperado tiende rápidamente al ritmo teórico obtenido usando la estrategia boob! El rendimiento general ha aumentado, pero el estacionamiento antes de la fecha límite no ha desaparecido. Por lo tanto, la carga es posible terminar y el orificio real!

Sin embargo, hay otra forma ampliamente conocida de disciplinar sustancialmente la ejecución del trabajo: en lugar de una fecha límite, debe hacer muchas de ellas. Dividamos el plazo en dos partes iguales y cumplamos con este nuevo plazo, considerándolo, digamos, un informe provisional. Para cada una de estas partes, podemos construir una curva del ritmo de trabajo esperado, como se muestra en la figura.

Dividir el tiempo que lleva completar el trabajo en varios períodos de informes intermedios le permite hacer el trabajo de manera más uniforme, pero agrega estrés a medida que se acerca cada nuevo informe.

A pesar de la molestia con un informe provisional, logramos nuestro objetivo: el área bajo la curva de tasa de ejecución general disminuyó y la relación de significancia disminuyó de $$$0.65$ antes $$$0.3$ . Además, la reducción del término (junto con la reducción en el número de casos, por supuesto) acerca el ritmo de trabajo esperado al ideal, por lo que la razón de significancia se ha más que reducido a la mitad. Agregar dos más, por ejemplo, informes trimestrales, lo reducirá a $$$0.13$ ¡Pero al hacer esto, llevaremos a nuestros artistas a cuatro períodos estresantes a la vez y todavía comenzarán a sufrir en voz alta, quejándose del destino y los jefes! Bueno, podemos mostrarles a nuestros empleados nuestros cálculos y demostrar que al presentar informes trimestrales, redujeron la tasa de maldad de sus vidas en cinco veces, si esto, por supuesto, les consuela.

Además, como la cantidad de plazos intermedios tiende a la cantidad de días permitidos para trabajar, el ritmo de trabajo se acercará a un ritmo ideal, pero muy aburrido.

Bueno aqui! Además, ¡la impresora está rota!

Agregue algunas palabras sobre la estrategia ficticia y la distribución de Stirling. La distribución obtenida por nosotros muestra la probabilidad de obtener un número dado de eventos en un determinado intervalo de tiempo. Contando eventos en una corriente de Poisson real con intensidad $$$\ lambda$ llegamos a la famosa distribución de Poisson:

$$

$$P (k) = e ^ {- \ lambda} \ frac {\ lambda ^ k} {k!},$$

describiendo la confianza para obtener exactamente $$$k$ eventos en un solo intervalo de tiempo. La expresión para los números de Stirling tiene una expansión asintótica, que para grandes $$$n$ reduce la distribución de longitudes de cadenas con una fecha límite a una distribución de Poisson desplazada con intensidad $$$\ lambda = H_n-1$ . Por lo tanto, desde el punto de vista estadístico, nuestro proceso de fecha límite estocástico puede considerarse como un proceso de Poisson en una cuadrícula de tiempo de condensación, o como un proceso de Poisson no homogéneo, cuya intensidad está creciendo de manera monótona y rápida. Y aunque, estrictamente hablando, nuestro proceso no es Poisson, ya que los eventos en él no son independientes, sin embargo, las propiedades estadísticas que necesitamos son similares. Su similitud también se indica por la proximidad del valor promedio y la varianza de la distribución de Stirling, que es característica de la distribución de Poisson.

Esta conclusión nos permite hacer una pregunta: ¿qué pasa si agregamos al proceso de hacer la cadena de asuntos que hemos generado problemas raros independientes de nosotros: tormenta de nieve, terrible embotellamiento, moqueo, avería de la impresora o un feriado nacional?

Para el proceso de Poisson, se define un proceso de diezmado aleatorio , que consiste en el hecho de que, con cierta probabilidad, comenzaremos a eliminar eventos de la secuencia. Posibilidad de adelgazamiento con probabilidad $$$(1-p)$ deja el proceso de Poisson, pero su intensidad disminuye, multiplicando por $$$p$ . Los eventos correspondientes a la coincidencia de problemas y cualquier etapa del trabajo en sí forman el proceso de Poisson, con una intensidad significativamente menor, pero en nuestro caso, también de forma monótona y de rápido crecimiento. Tan rápido que no importa cuán pequeña sea la probabilidad de problemas, para un número suficientemente grande de casos (o el tiempo asignado para el trabajo), más cerca de la fecha límite, aumentará a uno completamente observable. ¡Y la impresora lo hará bien en la víspera del curso!

No se sorprenda si el autobús se rompe justo cuando ya llega tarde. El autobús no te desea daño. Simplemente, si eres una niña, entonces la secuencia de cosas: elige un vestido, come dulces, lávate, ponte el vestido elegido, ponte maquillaje, ponte una cadena, cambia las cosas de tu bolso a un bolso de mano, limpia zapatos y todo y todo lo demás va a la fecha límite más importante y emocionante: una fecha ! Y el ritmo al que vuelas hacia el destino ya es tan loco que comienzan a ocurrir los milagros más improbables.

Al final, ¡qué es un milagro, si no la realización de lo increíble!