Lo que las matemáticas nos pueden decir sobre cómo encontrar el orden en el caos de la vida
¿Fue accidental la reunión con tu persona más querida o hubo algún tipo de razón oculta para esto? ¿Y qué hay del extraño sueño de ayer? ¿Fue solo un lanzamiento aleatorio de sinapsis del cerebro o reveló algo profundo sobre tu subconsciente? Quizás el sueño era intentar contarte algo sobre tu futuro. Quizás no. ¿El hecho de que su pariente cercano esté enfermo con un tipo peligroso de cáncer tiene algún significado profundo, o son solo las consecuencias de mutaciones aleatorias de ADN?
En nuestra vida, a menudo pensamos en los patrones de eventos que ocurren a nuestro alrededor. Nos preguntamos si nuestras vidas son aleatorias o si tienen algún tipo de significado, únicamente verdadero y profundo. Como matemático, a menudo recurro a números y teoremas para obtener ideas sobre tales temas. Y sucedió que aprendí algo sobre la búsqueda de significado en las leyes de la vida gracias a uno de los teoremas más profundos de la lógica matemática. Este teorema, en pocas palabras, demuestra que, en principio, es imposible saber si la explicación de la ley es la más profunda o interesante de todas las explicaciones. Al igual que en la vida, la búsqueda de significado en matemáticas es ilimitada.
Un pequeño preludio. Considere las siguientes tres líneas de caracteres.
1.100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100
2.2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
3.38386274868783254735796801834682918987459817087106701409581980418.
¿Cómo podemos describirlos? Por ejemplo, podemos hacer esto fácilmente simplemente escribiéndolos, tal como lo acabamos de hacer. Sin embargo, queda claro de inmediato que las dos primeras líneas pueden describirse en breve. El primero es solo una secuencia de repetir "100s". El segundo es una lista de los primeros números primos. ¿Qué hay del tercero? Se puede describir simplemente mostrando la línea completa. ¿Pero hay una descripción mejor y más corta para ella?
A principios de la década de 1960, el adolescente estadounidense
Gregory Haitin , el matemático ruso [y soviético] de fama mundial
Andrei Nikolaevich Kolmogorov , y el pionero de la informática
Ray Solomonov formularon independientemente una forma de medir la complejidad de las secuencias de los personajes. Sus ideas comenzaron a llamarse
teoría de la complejidad de Kolmogorov o teoría de la información algorítmica . Postulan que la complejidad de una cadena está determinada por la longitud del programa de computadora más corto que pueda producirla. Es decir, tome una línea y busque el programa de computadora más corto que lo produce. Un programa es un tipo de descripción de línea. Si el más corto de estos programas resulta ser muy corto, entonces hay un patrón simple en la línea, y no es muy complejo. Decimos que en esa línea hay poco contenido algorítmico. Por el contrario, si se requiere un programa largo para producir una cadena, entonces la cadena es compleja y su contenido algorítmico es mayor. Para cualquier línea, debe buscar el programa más corto que produzca dicha línea. La longitud de dicho programa se llama complejidad de cadena de Kolmogorov.
Volvamos a las primeras tres líneas. Las primeras dos líneas se pueden describir utilizando programas de computadora relativamente cortos:
1. Imprima "100" 30 veces.
2. Imprima los primeros 25 primos.
La complejidad de Kolmogorov de la primera línea es menor que la complejidad de Kolmogorov de la segunda línea, ya que el primer programa es más corto que el segundo. ¿Qué hay del tercero? Esta línea no tiene patrones obvios. Sin embargo, puede escribir un programa estúpido que muestre esta secuencia:
3. Salida "38386274868783254735796801834682918987459817087106701409581980418"
Tal programa hace frente a la tarea, pero insatisfactoriamente. Quizás haya un programa más corto que demuestre la presencia de patrones en esta línea. Cuando el programa más corto que produce una cadena es el programa "imprime una cadena", decimos que esta cadena es muy compleja y no contiene ningún patrón conocido. Una cadena sin patrones se llama aleatoria. Pero aunque no hemos visto patrones, puede existir. En matemáticas, como en la vida, nos enfrentamos a muchos patrones que parecen aleatorios.
Podríamos intentar usar las increíbles capacidades de las computadoras modernas para encontrar el patrón y el programa más corto. ¿No sería genial si hubiera una computadora capaz de calcular simplemente la complejidad de Kolmogorov de cualquier cadena? Dicha computadora aceptaría una cadena como entrada y generaría la longitud del programa más corto capaz de generar esta cadena. Por supuesto, con todas estas cosas novedosas como IA, aprendizaje profundo, big data, computación cuántica, etc., debería ser fácil crear una computadora de este tipo.
¡Ay, tal computadora es imposible de crear! Aunque las computadoras modernas son muy poderosas, esta tarea es imposible. Tal es el contenido de uno de los teoremas más profundos de la lógica matemática. El teorema, de hecho, dice que la complejidad de Kolmogorov de una cadena no se puede calcular. No hay ningún dispositivo mecánico que determine el tamaño del programa más pequeño que produce una cadena dada. El punto no es que nuestro nivel actual de tecnología informática no esté a la altura de la tarea, o que no seamos lo suficientemente inteligentes como para escribir dicho algoritmo. Se demostró que la idea misma de descripción y cálculo demuestra que la computadora, en principio, no puede realizar dicha tarea para ninguna línea. Y si la computadora es capaz de buscar ciertos patrones en la cadena, no puede encontrar el mejor patrón. Podemos encontrar un programa corto que muestre una secuencia determinada, pero siempre puede existir una secuencia aún más corta. Nunca lo sabremos.
La prueba misma de la no computabilidad de la complejidad de Kolmogorov para una secuencia es bastante formal. Pero esto es una prueba de contradicción, y podemos imaginar aproximadamente cómo funciona mirando un par de pequeñas y dulces paradojas.
La paradoja de los números interesantes está relacionada con la afirmación de que todos los números naturales son interesantes. 1 es el primer número, y es interesante. 2 es el primer número par. 3 es el primer número impar. 4 es un número interesante porque 4 = 2 × 2 y 4 = 2 + 2. De esta manera, puede continuar más y encontrar propiedades interesantes de muchos números. En algún momento, podemos encontrar un número sin propiedades interesantes. Y podemos llamar a este número el primer número sin interés, pero esto en sí mismo ya es una propiedad interesante. Como resultado, ¡los números poco interesantes también son interesantes!
Las ideas contenidas en la prueba de Kolmogorov son similares a las ideas de
la paradoja de
Berry sobre la descripción de grandes números. Tenga en cuenta que cuantas más palabras usemos, mayor será el número que podemos describir. Por ejemplo, en tres palabras puede describir "trillion trillion" y cinco: "trillion trillion trillion trillion trillion", que es un número mucho mayor. Ahora considere el número descrito por la siguiente frase:
El número más pequeño que no se puede describir en menos de 15 palabras]
Se necesitan 15, 16 o incluso más palabras para describir el número. No se puede describir en 12, 13 o 14 palabras. Sin embargo, este es el problema: la frase anterior describe este número con 10 palabras [
12 palabras / aprox. perev. ] Nuestra descripción del número contradice la descripción del número: aquí está la paradoja.
En la paradoja de los números interesantes y en la paradoja de Berry, llegamos a contradicciones, sugiriendo la existencia de una forma exacta de describir algo. Del mismo modo, la prueba de la no computabilidad de la complejidad de Kolmogorov se deriva del hecho de que si fuera computable, llegaríamos a una contradicción.
El hecho de que la complejidad de Kolmogorov no sea computable es el resultado de la matemática pura, y no debemos confundir este mundo ideal con una realidad mucho más compleja y desordenada. Sin embargo, hay algunos puntos generales relacionados con la complejidad de Kolmogorov que podemos aportar al mundo real.
Muchas veces nos encontramos con lo que nos parecía completamente caótico. La aleatoriedad nos pone nerviosos, y estamos buscando patrones que eliminen parcialmente el caos. Si encontramos un patrón, no queda claro si es el mejor patrón que explica nuestras observaciones. Podemos preguntarnos si hay un patrón más profundo que dé una mejor explicación. La teoría de la complejidad de Kolmogorov nos enseña que en un nivel básico no hay forma garantizada de determinar el mejor patrón. Simplemente nunca sabremos si el patrón que encontramos es el mejor.
Pero esto es exactamente lo que hace que la búsqueda sea infinitamente interesante. Por definición, algo es interesante si requiere un pensamiento adicional. Un hecho obvio y completamente comprendido no requiere más reflexión. El hecho de que seis será cuarenta y siete es completamente comprensible y poco interesante. Solo cuando no estamos seguros de las ideas necesitamos confirmarlas y reflexionar sobre ellas. La búsqueda de patrones mejorados siempre será interesante.
El mundo real agrega complejidad. Si no hay errores en el mundo de las cadenas y los programas de computadora, puede cometer un error en el mundo real. Podemos averiguar fácilmente si un programa en particular muestra una cadena o no. Y aunque probablemente no podamos determinar el programa óptimo para generar una línea específica, podemos determinar si muestra la línea deseada. Y el mundo real, en contraste, es mucho más complejo. Puede parecernos que vemos una secuencia cuando, de hecho, no está allí.
Nuestra comprensión de nuestra búsqueda de significado comienza a tomar forma. Despreciamos el azar y adoramos los patrones. Estamos biológicamente programados para encontrar patrones que expliquen lo que vemos. Pero no podemos estar seguros de que el patrón que encontramos sea correcto. Incluso si de alguna manera pudiéramos garantizar la ausencia de un error y lograr la perfección similar a una computadora, en algún lugar todavía podría haber una verdad aún más profunda. Esta tensión alimenta nuestro amor por la literatura, el teatro y el cine. Cuando leemos una novela o vemos una obra de teatro, el autor o director nos presenta una secuencia de eventos con un tema, patrón o moral común. La literatura, las obras de teatro y el cine nos ofrecen una excelente manera de escapar del caos generalmente incomprensible y sin sentido que encontramos en el mundo que nos rodea. Muy buena literatura va más allá y nos deja con muchas interpretaciones. Nos enfrentamos a la incalculabilidad de la complejidad de Kolmogorov.
Esta tensión también determina cómo vivimos nuestras vidas. Viajando a través de eventos supuestamente aleatorios, buscamos patrones y estructura. La vida está llena de altibajos. Existe la alegría de enamorarse, divertirse con los niños, la sensación de grandes logros al final del trabajo difícil. Existe el dolor de una relación rota, la agonía del fracaso después de los intentos activos de completar una tarea, la tragedia de la muerte de un ser querido. Estamos tratando de buscar significado en todo esto. Despreciamos el sentimiento de oportunidad total y la idea de que simplemente seguimos las leyes caóticas y sin complicaciones de la física. Queremos saber si hay algún significado, propósito, importancia en el mundo circundante. Necesitamos una historia mágica de la vida, y nos contamos historias.
Algunas veces estas historias son simplemente falsas. A veces nos engañamos a nosotros mismos y a los demás. Y a veces identificamos correctamente los patrones. Pero incluso cuando la historia es cierta, no será necesariamente la mejor. Nunca estaremos seguros de que en las profundidades no se encuentra una historia aún más básica y precisa. Envejeciendo y cayendo en la angustia, adquirimos ciertas ideas sobre el Universo, inaccesibles para nosotros antes. Encontramos patrones mejorados. Quizás estamos empezando a ver las cosas más claras. O no Nunca lo sabremos Pero sabemos que la búsqueda está garantizada para no terminar.
Nozon Janowski - Doctor en Ciencias en Matemáticas, trabaja en el Centro Educativo de la Universidad de la Ciudad de Nueva York, profesor de informática en el Brooklyn College de la misma universidad.