¿Cuál es la importancia de 196 884 = 196 883 + 1? ¿Cómo explicarlo con los dedos?

Respuesta de Quora por Michael Griffin, postdoc matemático

Senia Scheidwasser dio una muy buena y simple respuesta a esta pregunta. Recomiendo leer esta versión corta. Pero hay una historia mucho más sorprendente de la hipótesis Monstrous Moonshine mezclada con la ecuación de Mackay: del whisky de Jack Daniel a los agujeros negros y la gravedad cuántica.

En esta historia, a menudo se mencionan las simetrías y los "grupos" matemáticos, así que comencemos con lo que significa un grupo en matemáticas. Un grupo puede representarse como una forma de reordenar un conjunto de objetos mientras se mantiene una determinada estructura. Las operaciones en el grupo deben seguir ciertas reglas, por ejemplo, siempre debe existir la posibilidad de cancelar la operación, y si realiza una operación y luego otra, obtiene la tercera operación en el grupo .


Cuatro opciones de rotación y cuatro ejes de simetría del cuadrado. Fuente de imagen

Si desea representar figuras, entonces un ejemplo simple de un grupo es la simetría de un cuadrado. Se puede girar de tres maneras: 90 ° a la derecha (en sentido horario), 180 ° y 90 ° a la izquierda (en sentido antihorario); hay cuatro simetrías: vertical, horizontal y dos ejes diagonales); y hay una simetría de identidad cuando nada cambia. Si gira el cuadrado 90 ° hacia la derecha y luego lo gira a lo largo del eje vertical, obtendrá una simetría diferente. En particular, el resultado será el mismo que si se reflejara inmediatamente en el eje diagonal desde la parte superior izquierda a la inferior derecha. Este es un tipo de tabla de multiplicar para elementos de grupo. De hecho, podemos escribir una tabla de multiplicar para comprender mejor la estructura del grupo. Lo hice aquí mismo. El símbolo "i" en la tabla es la simetría de la identidad cuando nada cambia. “R” y “L”: rotación de 90 ° hacia la derecha y hacia la izquierda, respectivamente. "F" es una rotación de 180 °, y cada línea es un reflejo a lo largo del eje en la dirección de esta línea.



Algunos grupos se pueden dividir en partes más pequeñas. Por ejemplo, si tiene dos cuadrados, entonces puede haber dos copias de las mismas operaciones de simetría, cada una de las cuales actúa en un cuadrado independientemente de la otra. Los grupos simples no se pueden dividir en grupos independientes más pequeños, por lo que son algo primordial en la teoría de grupos. Pero los grupos primos finitos son un poco más difíciles de clasificar que los números primos. Durante la segunda mitad del siglo pasado, se han logrado avances significativos en los intentos de clasificar completamente a todos los grupos simples finitos. La mayoría de los grupos simples encajan en familias perfectamente organizadas. Por ejemplo, una familia contiene todas las simetrías de los N-gones regulares (como un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono regular, etc.). Pero no todos los grupos encajan en algún tipo de familia normal. Hay exactamente 26 grupos "esporádicos" que son huérfanos. Por lo general, son un poco más difíciles de definir, pero muchos de ellos pueden construirse a partir de simetrías de celosía en varias dimensiones. El más grande de los grupos esporádicos simples es el Monstruo .

En 1973, Fisher y Griss encontraron por primera vez (de forma independiente) evidencia de que puede existir un grupo simple muy grande si satisface ciertas propiedades. Pero solo una década después, fue posible demostrar que estas propiedades son estables y que el grupo realmente existe. Griss llamó a este esquivo grupo hipotético el Gigante Amistoso (Gigante Amistoso, las iniciales de F.G para Fischer-Griss). Pero Conway, el matemático más famoso, la llamó el Monstruo, y ese nombre fue arreglado. Por cierto, este Conway juega un papel importante en nuestra historia, pero lo más probable es que hayas oído hablar de él antes. Este es el mismo Conway que inventó el juego "Vida" y demostró el teorema del libre albedrío. Si no lo recuerdas, ¡léelo!

En 1975, dos matemáticos, Augg y Tits, se reunieron en una conferencia en París. Los pezones calcularon que si el Monstruo existe, entonces su tamaño será así:

2 ^ 46 · 3 ^ 20 · 5 ^ 9 · 7 ^ 6 · 11 ^ 2 · 13 ^ 3 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
≈ 8 × 10 ^ 53

Este es un número muy grande. Muy, muy, muy grande. Este es el número aproximado de átomos en Saturno y Júpiter combinados. Pero la atención de Augg no fue atraída por el tamaño, sino por la simple factorización.

Augg estaba en ese momento estudiando piezas llamadas curvas modulares. Si N es un número entero positivo, entonces hay una superficie, llamémosla X (N), que captura información aritmética importante sobre el número N (si recuerda números complejos de la escuela, entonces dicha superficie se puede obtener al "rodar" o "doblar" el complejo plano usando una serie de simetrías, dependiendo del número N). Augg preguntó algo como esto: si N es un primo, entonces, ¿en qué caso esta superficie (o curva modular) se verá como una bola, y no una rosquilla con uno o más mangos (es decir, "agujeros" en la rosquilla)? Descubrió que solo si N pertenece al conjunto

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, 71}

¡Estos son los mismos números primos que se usan para calcular las Tetas para el tamaño de Monstruo! Pero no hay absolutamente ninguna conexión obvia entre estos dos cálculos. Augg estaba tan abrumado por esta obvia coincidencia que le ofreció a Jack Daniel's una botella de whisky a cualquiera que pudiera explicarlo.

Por razones obvias, compilar una tabla de multiplicar no ayudará a estudiar el Monstruo. Si escribimos la tabla de multiplicación por átomos de hidrógeno, no cabe en nuestra galaxia. En cambio, los matemáticos lograron compilar una tabla de personajes Monster . Sí, parece una guía de juego de Dungeons & Dragons, y tal vez esta no sea una mala forma de presentar una mesa. Este es un tipo de Necronomicon para el Monstruo; una tabla de números de 194 × 194 que ofrece a los matemáticos una idea del monstruo astronómicamente enorme. La primera columna enumera los "tamaños de representaciones irreducibles" del Monstruo. Estas son palabras extrañas, pero la esencia de nuestra historia es que los dos primeros significados en la primera columna son los números 1 y 196.883 . Aquí es donde aparece la ecuación de Mackay.

Mackay señaló a Conway que

196884 = 1 + 196883

Conway encontró la hipótesis de McKay tan absurda que la llamó fantasía o sinsentido (luz de luna). En esta ecuación, 196884 es el primer coeficiente de una función importante llamada función J , que los matemáticos han estudiado durante mucho tiempo. Aquí nuevamente comenzamos a regresar a Augg y su pregunta sobre la botella de "Jack Daniels".

Una función J es una función modular, es decir, toma un punto con una curva modular, como las estudiadas por Ogg, y proporciona un número (nuevamente, si está familiarizado con los números complejos, puede representar la función modular como una función en números complejos ordinarios, pero con una obscena cantidad de simetría). Es difícil explicar con mayor claridad qué es una función modular, pero no te detengas en esto.


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Además, la función J es la función modular más básica para la curva modular más simple X (1). Esta es la función más "básica" en el sentido de que cualquier otra función modular para X (1) puede escribirse como un polinomio o la relación de polinomios en una función J. Algunas otras curvas modulares, como X (2), tienen una función modular básica diferente. Llamémoslo J_2. De hecho, X (N) tiene una función modular básica J_N de este tipo precisamente cuando la forma X (N) es una bola (sin "asas" o "agujeros"), exactamente la misma que la de Ogg.

Otro matemático Thompson se dio cuenta de que la observación de Mackay podría desarrollarse. Señaló que los siguientes coeficientes de la función J original también se pueden escribir como la suma de los valores de la primera columna de la tabla de caracteres Monster. Además, puede escribir varios coeficientes de otras funciones J_N como sumas de otros valores de la tabla. En ese momento, Thompson todavía estaba trabajando con una tabla de caracteres incompleta. No fue sino hasta 1979 que Fisher, Livingston y Thorne completaron el cálculo de la tabla de símbolos, y más tarde ese año Conway y Norton convirtieron las observaciones de Thompson en una hipótesis exacta. Argumentaron que hay una manera de escribir cualquier coeficiente de la función J como la suma de las dimensiones de las representaciones irreducibles de Monster (es decir, registros de la primera columna de la tabla de símbolos de Monster). Además, esto puede hacerse de tal manera que si intercambiamos entradas de la primera columna con entradas de otra columna de la tabla de símbolos, obtenemos los coeficientes de una de las otras funciones J_N! Por ejemplo, aquí están los primeros tres coeficientes de la función J original (en el lado izquierdo de las ecuaciones):

196884 = 1 + 196883,

21493760 = 1 + 196883 + 21296876, y

864299970 = 2 × 1 + 2 × 196883 + 21296876 + 842609326,

donde 1 , 196883 , 21296876 y 842609326 son los primeros cuatro valores en la primera columna de la tabla de caracteres Monster. Y aquí están los primeros tres coeficientes de la función J_2 (nuevamente, en el lado izquierdo de las ecuaciones):

4372 = 1 + 4371

96256 = 1 + 4371 + 91884 y

1240002 = 2 × 1 + 2 × 4371 + 91884 + 1139374,

donde 1 , 4371 , 91884 y 1139374 son los primeros cuatro valores en la segunda columna de la tabla de caracteres Monster. Y así sucesivamente: cada columna de la tabla de símbolos proporciona los coeficientes de la función modular básica para algunas curvas modulares. Conway y Norton llamaron a su hipótesis un sinsentido monstruoso (Monstrous Moonshine).

Hace aproximadamente un año tuve la oportunidad de hablar con Conway sobre cómo apareció esta hipótesis. Dijo que miró los nuevos valores en la tabla de símbolos de Monster, que tomó mucho esfuerzo calcular, y luego bajó a la biblioteca de matemáticas y abrió un libro escrito décadas antes con tablas de coeficientes de funciones modulares. Y describió este sentimiento de profundo horror cuando los mismos números o sus combinaciones obvias lo miraron desde las páginas de un libro viejo.

En 1982, Griss finalmente mostró cómo construir un Monstruo. Por primera vez, los matemáticos pudieron deshacerse de la cláusula "si el Monstruo existe". Diez años después, Borcherds, un ex alumno de Conway, probó la hipótesis utilizando la teoría de las "álgebras de operadores de vértices", que creó específicamente para este propósito. Esta teoría fue creada sobre la base de la antigua teoría física de la década de 1960. Borcherds recibió la Medalla Fields de 1998 de muchas maneras por esta evidencia. Este es un tipo de Premio Nobel de matemática, con la excepción de que por alguna razón inexplicable, debe tener menos de 40 años para recibirlo. Según escuché, Augg satisfizo la respuesta de Borcherds a su pregunta, pero Borcherds no bebe, por lo que la botella de Jack Daniels permanece sin reclamar. Por otro lado, aunque Conway está muy satisfecho con el trabajo de Borcherds, todavía ve en él solo un cheque, pero no una explicación. Sí, ahora sabemos que los coeficientes de las funciones modulares son la suma de los valores de los personajes de Monster, pero, Conway cree que todavía no tenemos una imagen clara, ¿CÓMO PUEDES ESPERAR ESTO?

La historia no termina ahí. En 2007, Witten trabajó en la resolución de conflictos en gravedad cuántica. La mecánica cuántica y la relatividad general no son muy compatibles. Witten trabajó en una pregunta simplificada, eliminando todo, excepto la gravedad, de la teoría de la relatividad. Encontró razones para creer que el VOA de la hipótesis es la clave de la teoría de la gravedad en esta construcción simplificada. En esta teoría, la función J se convierte en una función de corte que cuenta varios estados de energía. Aquí aparecen varios símbolos de Monstruos que corresponden a los estados del agujero negro. Witten preguntó si algunos de estos estados de agujeros negros son más comunes que otros. Volviendo a Monster, básicamente se trata de la pregunta: ¿cuántas unidades esperamos ver cuando desglosamos un coeficiente dado de una función J? ¿O cuántas veces 196.883? ¿Son raras las unidades ? ¿O hay en su mayoría unidades con algunos significados interesantes dispersos aquí y allá? Creo que muchas personas tienen esta pregunta cuando se encuentran por primera vez con la hipótesis de tonterías monstruosas. Si todo se redujera principalmente a unidades , esto haría que la teoría fuera mucho menos interesante. Pero no te preocupes por eso. A pesar del hecho de que vemos unidades desde el principio, se vuelven muy raras cuando nos movemos a coeficientes más grandes, y los símbolos más grandes comienzan a hacerse cargo. Después del coeficiente 200, los símbolos aparecen principalmente en proporción al tamaño de su medición. Una relación de 1 a todos los demás caracteres es aproximadamente 1 en 5.8 × 10 ^ 27. Esta es aproximadamente la proporción de la masa del clip y la masa de la Tierra. El segundo símbolo más grande aparece 196883 veces más seguido, el tercero - 21296876 veces más seguido, etc. Volviendo a la configuración de Witten, esto significa que los estados de energía más grandes para un agujero negro son más comunes, mientras que el estado de vacío trivial ( 1 ) prácticamente no existe.

Hay muchos más estudios sobre este tema. Nosotros (los matemáticos) observamos (y en algunos casos probamos) un fenómeno para otros grupos fuera del Monstruo. Los expertos en teoría de cuerdas continúan observando nuestro trabajo, con la esperanza de convertir estas nuevas variaciones en nuevas teorías de la gravedad.

Para lectores más expertos en tecnología que estén interesados ​​en los detalles, recomiendo el libro de Terry Gannon "Nonsense Beyond the Monster" o este artículo científico (disponible públicamente).