Cómo las matemáticas de la red pueden ayudarte a hacer amigos

Examinar la estructura de las amistades existentes en su entorno puede ayudarlo a crear nuevas relaciones mientras crea un nuevo círculo de amigos.

Mudarse a una nueva escuela, un nuevo trabajo, mudarse a una nueva ciudad: ¿cómo hacer nuevos amigos? Puede abordar el problema activamente, formar relaciones estratégicamente útiles con personas populares. O puede dejar todo al azar, confiando en grupos y conexiones al azar. En cualquier enfoque, comprender la estructura de las amistades existentes en un nuevo entorno puede ayudarlo a formar las mejores relaciones nuevas, que finalmente determinarán su círculo de conocidos.

Imagine mudarse a una nueva ciudad inusual, Regularsk, en la que hay una regla extraña: cada persona no puede tener más de cuatro amigos, pero todos quieren maximizar el número de sus conexiones. ¿Cómo será la estructura de los enlaces Regularsk? Para estudiar esta pregunta, usamos un objeto matemático llamado red.

En pocas palabras, una red es una colección de objetos llamados "nodos" y las conexiones entre ellos. Las redes son un concepto matemáticamente flexible. Pueden denotar computadoras y cables que los conectan, los autores y sus asistentes, los estados del cubo de Rubik y las transformaciones que permiten la transición entre ellos, de hecho, cualquier tipo de conexión, real o abstracta. Para estudiar las amistades en Regularsk, crearemos una red en la que las personas serán nodos y amistades entre ellos.

Denotando la red, será útil representar los nodos en forma de puntos y las conexiones en forma de líneas, que también podemos llamar bordes. Tal diagrama de red puede ayudarnos a comprender su estructura. Entonces, ¿cómo será la red de amistad de Regularsk? En algún momento, puede verse así:



Cada persona intentará encontrar cuatro amigos, y las personas nuevas que vengan a la ciudad buscarán a aquellos que todavía tienen menos de cuatro amigos. Esta red crecerá con el tiempo y se expandirá constantemente con la adición de nuevos nodos. (Es posible formar grupos independientes, pero en este ejemplo los descuidamos).

Los diagramas de red pueden ayudar a comprenderlos, mostrando una estructura clara. Pero cuando las redes crecen, o no muestran una estructura tan regular como la red Regular, los diagramas pueden ser menos útiles. En este caso, es útil desarrollar varios métodos para analizar la estructura de la red. Una de ellas es evaluar la distribución de los grados de vértices.

En una red, el número de enlaces de un nodo particular se llama su grado. Un nodo está altamente asociado con muchos otros; un nodo con un bajo grado está asociado con menos otros nodos.


A la izquierda, un nodo con un grado de 8, a la derecha, con un grado de 3

El grado de nodos es una característica importante de la red, pero local: describe la estructura de la red solo dentro de un nodo. Pero si cubre los grados de todos los nodos a la vez, puede crear una herramienta útil para estudiar la estructura de la red global.

En nuestra red de amigos, el grado de cada nodo es el número de amigos de una persona. En Regularsk, la mayoría de las personas tienen cuatro amigos, por lo que la mayoría de los nodos tienen un grado de 4. Nadie tendrá más amigos, pero alguien tendrá menos, por lo que habrá nodos con grados 3, 2 o 1. Puede resumir la distribución de grados como sigue:



Este histograma transmite información importante sobre la estructura de nuestra red. En este simple ejemplo, puede que no nos transmita tanto como un diagrama de red completo, pero veremos cómo la distribución de grados puede ser muy útil para estudiar varias redes.

Movámonos a otra ciudad. En un lío, las citas comienzan al azar. Dado que el azar es algo complicado, describamos claramente el alcance: cada residente de la ciudad está designado por un nodo de red, y cada borde posible es una conexión amigable. Para crear una conexión aleatoria, elegiremos uno de estos posibles bordes de manera aleatoria y lo dibujaremos, creando así una conexión entre dos nodos y, por lo tanto, amistad entre dos personas.

¿Cómo será la red de desorden? Si suponemos que comenzamos con varios nodos y agregamos varios bordes al azar, la imagen puede ser la siguiente:



En dicho diagrama, es difícil ver la estructura. Sin embargo, mucho nos dirá la distribución de grados en esta red. Es difícil de calcular directamente, pero se puede representar usando varias propiedades importantes y un ejemplo simple.

Supongamos que eres uno de los diez residentes del desastre. ¿Cuántas amistades probables pueden existir en él? Cada uno de los diez residentes puede asociarse con otros nueve, por lo tanto, en principio, es posible dibujar 10 × 9 = 90 bordes. Pero tal cálculo tiene en cuenta cada conexión dos veces, una para cada uno de los dos amigos. Por lo tanto, de hecho, el número total de enlaces debe ser 90/2 = 45.

Ahora, supongamos que elegimos al azar una relación amistosa, es decir, uno de los 45 bordes posibles. ¿Qué posibilidades hay de que la costilla se conecte contigo? Nueve aristas pueden dejarlo a uno de los nueve nodos restantes. Dado que nueve de los 45 bordes posibles conducen a usted, la probabilidad de que un borde seleccionado al azar se conecte a usted es 9/45 = 1/5, o 20%.

Pero el mismo argumento se aplica al Desorden, por lo que cada nodo tendrá un 20% de posibilidades de conectarse a un borde seleccionado al azar. Con un aumento en el número de aristas y nodos, estas probabilidades cambiarán ligeramente, pero a la larga permanecerán aproximadamente en el mismo nivel. Es decir, las amistades se distribuirán aproximadamente por igual en todo el desastre. En algunos lugares se observarán pequeñas desviaciones, pero la probabilidad de que una persona tenga demasiadas o muy pocas amistades será pequeña. En el trastorno, la mayoría de los residentes probablemente tengan amigos cercanos con amigos promedio.

Estas características se relacionan con la " distribución binomial " de grados de una red aleatoria típica.



Al tener acceso solo a la distribución de grados en la red, ya podemos encontrar cierta uniformidad en ella: la mayoría de los nodos en términos de conectividad son promedio, y un número muy pequeño de nodos están en posiciones extremas. Esta información es útil para comprender la estructura de la red. Con la adición de nodos, es decir, con la llegada de nuevas personas a la ciudad, la distribución cambiará ligeramente, conservando las características principales.

Pero ninguno de estos ejemplos, no más de cuatro amigos en Regularsk o una amistad que aparece al azar en Disorder, es un modelo realista de lazos de amistad. Las personas pueden tener más de cuatro amigos, y la presencia de una gran cantidad de conocidos no es tan rara como en la distribución binomial. ¿Cuál será un modelo de amistad más realista?

Al establecer conexiones con amigos y amigos de amigos, la estructura de sus amistades probablemente se parecerá a otras redes del mundo real: redes alimentarias , interacciones proteína-proteína o Internet. Sus propiedades caracterizan las llamadas redes sin escala : este modelo de conectividad ha dominado la ciencia de las redes durante más de 20 años. Investigadores de matemáticas, física, economía, biología y ciencias sociales han observado signos característicos de la presencia de redes sin escala en sus áreas de investigación.


Red sofisticada de redes sociales sin escala

La estructura de una red sin escala depende del principio simple de "conexiones preferidas". La conexión preferida es la regla "los ricos se hacen ricos", que se refiere al crecimiento de la red. Un nodo con una gran cantidad de conexiones existentes es mucho más probable que obtenga nuevas conexiones que un nodo con una pequeña cantidad. Las nuevas conexiones muestran una tendencia hacia los nodos con una gran cantidad de conexiones.

¿Tiene sentido en el contexto de formar amistades? En principio, es razonable suponer que una persona con más amigos tiene más probabilidades de hacer nuevos. Como ya está asociado con un gran número de personas, la probabilidad de conocer gente nueva debido a las conexiones existentes es alta. Cuantos más amigos, más oportunidades de hacer nuevos amigos. Y el hecho de que ya tienen muchos amigos, dice que tienen algún tipo de oportunidad o inclinación por la amistad. Es más probable que esto atraiga a otros hacia ellos, al igual que los sitios populares atraen enlaces de otros sitios y blogs, y las ciudades desarrolladas están creando nuevos ferrocarriles y rutas aéreas.

Aunque varios factores influyen en el crecimiento de las redes sin escala, muchos consideran que las conexiones preferidas son las más importantes. También tiene un efecto sorprendente en la distribución de grados en la red.



Predice la aparición de una distribución de "cola gruesa". La mayoría de los nodos en la red tendrán un pequeño grado, pero también habrá nodos con grados crecientes. Esto es muy diferente de las redes amigables Regularsk y Disorder, en las que hay muy pocos o ningún nodo con grandes grados.

Estos nodos, con grandes grados, funcionan como centros de redes y son una característica crítica de las redes sin escala. Son mariposas sociales en redes de amigos, bancos en el centro de las economías, enrutadores centralizados que permiten la conexión regional a Internet, Kevinov Beykonov en el mundo de la actuación . Los centros pueden proporcionar una sensación de mundo apretado en una red enorme: por ejemplo, cualquiera de las dos personas seleccionadas al azar de cada 2 mil millones de usuarios de Facebook, en promedio, no están más separadas entre sí que en cuatro lazos amistosos . La cantidad y variedad de concentradores le da a las redes a gran escala resistencia a cierto tipo de discontinuidad. Por ejemplo, incluso con la falla de muchas conexiones a Internet, los mensajes aún podrán llegar, en particular porque todavía habrá muchas maneras de llegar a muchos centros a muchos otros centros.

Y aunque muchos coinciden en que las redes sin escala y sus propiedades son útiles, existen contradicciones en esta área de investigación. Las características matemáticas exactas de tal distribución de grados a veces son difíciles de interpretar. En Linked: The New Science of Networks, el pionero de la investigación de redes y físico Albert Lazlo Barabasi escribe que en las redes que demuestran conexiones preferidas, la distribución de grados seguirá una ley de poder. Las distribuciones de potencia a menudo se encuentran en muchas situaciones físicas, por ejemplo, en la ley de los cuadrados inversos para la gravedad o los campos eléctricos. Se pueden representar como funciones que tienen la forma

$$

$$f (x) = {{a} \ over {x ^ k}}$$

Sus gráficos generalmente se ven así:



Las distribuciones de energía tienen "colas gruesas". ¿Pero qué tan grueso? ¿Cuántos centros de cierto grado se deben encontrar en una red de este tipo? En un estudio publicado este año, se estudiaron más de 1000 redes reales, y se descubrió que solo un tercio de ellas puede tener una distribución de grado descrita por una ley de poder. Para muchas redes, la distribución de grados podría describirse con mayor precisión como exponencial o lognormal . Pueden tener propiedades de alto nivel de redes sin escala, pero ¿pueden considerarse como tales si los grados en ellas no se distribuyen como se esperaba? ¿Y eso importa?

Importa si queremos relacionar nuestras teorías con nuestros datos. ¿Es la comunicación preferida un factor importante en la construcción de redes sin escala? ¿Existen otros factores que juegan un papel importante y pueden llevar la distribución de grados al otro lado? Al responder estas preguntas y comprender qué preguntas se deben hacer a continuación, entenderemos mejor la naturaleza y la estructura de las redes, cómo se desarrollan y evolucionan.

Estas contradicciones también nos recuerdan que las matemáticas, como las redes, también son una colección de conexiones en evolución. La investigación actual desafía las hipótesis de hace 20 años en un área relativamente nueva de investigación de redes. Nuevas ideas, uniéndose a la red, nos conectan a todos con las matemáticas del pasado y del futuro. Entonces, en asuntos matemáticos, como en el campo de la amistad, será útil encontrar centros y maximizar su título.

Ejercicios

• ¿Cómo será una red de amigos si cada persona tiene exactamente dos amigos?
• En Regularsk, cada persona puede hacer hasta cuatro amigos. Pueden existir grupos separados en los que cada persona tiene exactamente cuatro amigos. ¿Cuántas personas se pueden incluir en ese grupo? (Sugerencia: la respuesta está relacionada con los poliedros regulares ).
• Nuestras redes se basan en el hecho de que la amistad es un concepto simétrico. Si A es amigo de B, entonces B es amigo de A. ¿Cómo podemos corregir nuestro modelo de red para que pueda incluir conexiones asimétricas en las que A pueda ser amigo de B y B no pueda ser amigo de A?
• En Friends, cada residente es amigo de todos los demás. Si hay n personas viviendo en Friends, ¿cuántos lazos de amistad se forman allí?