Antecedentes

La razón de esta publicación es un artículo ambiguo sobre el principio de acción mínima (IPA) , publicado en el recurso hace unos días. Es ambiguo porque su autor en una forma popular trata de transmitir al lector uno de los principios fundamentales de una descripción matemática de la naturaleza, y lo logra parcialmente. Si no fuera por uno sino al acecho al final de la publicación. Debajo del spoiler hay una cita completa de este pasaje


Entonces, ¿cuál es, en mi opinión, el problema?

El problema es que el autor, citando este ejemplo, cometió varios errores fundamentales. Se agrava por el hecho de que la segunda parte prevista, según el autor, se basará en estos errores. Guiado por el principio de llenar el recurso con información confiable, me veo obligado a presentar una explicación de mi posición sobre este tema con más detalle, y el formato de los comentarios para esto no es suficiente.

Este artículo hablará sobre cómo se construyen las mecánicas sobre la base de PND, y tratará de explicar al lector que falta el problema planteado por el autor de la publicación citada.

1. Definición de la acción de Hamilton. Principio de menor acción

La acción de Hamilton se llama funcional

$$

$$S = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \, L \ left (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ right) \, dt$$

donde

$$

$$L \ left (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ right) = T \ left (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ right) - \ Pi (\ mathbf q)$$

Es la función de Lagrange para algún sistema mecánico en el que (omitiendo los argumentos a continuación) T es la energía cinética del sistema; P - su energía potencial; q (t) es el vector de coordenadas generalizadas de este sistema, que es una función del tiempo. se cree que los instantes de tiempo t ₁ y t ₂ son fijos.

¿Por qué es funcionalidad, no función? Debido a que una función, por definición, es una regla según la cual un número del dominio de definición (argumento de función) está asociado con otro número del dominio de valores. Un funcional es diferente porque el argumento no es un número, sino una función completa. En este caso, esta es la ley de movimiento del sistema mecánico q (t), definida al menos durante el intervalo de tiempo entre t ₁ y t ₂ .

A largo plazo (¡y esto se dice con suavidad!) Los trabajos de científicos mecánicos (incluido el impresionante Leonard Euler) nos permitieron formular

Principio de acción mínima:

Un sistema mecánico para el que se especifica la función Lagrange $$$L \ left (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ right)$ , se mueve de tal manera que la ley de su movimiento q (t) entrega un mínimo a lo funcional

$$

$$S = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \, L \ left (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ right) \, dt \ to \ min$$

llamado la acción de Hamilton.

Ya desde la definición misma de PND se deduce el hecho de que este principio conduce a ecuaciones de movimiento solo para una clase limitada de sistemas mecánicos. Para que? Y vamos a resolverlo.

2. Los límites de aplicabilidad del principio de mínima acción. Algunas definiciones para los más pequeños.

Como se deduce de la definición, nuevamente, de la función de Lagrange, PND permite obtener ecuaciones de movimiento para sistemas mecánicos, cuya acción de fuerza está determinada únicamente por la energía potencial. Para averiguar de qué sistemas estamos hablando, daremos varias definiciones, que, para guardar el artículo, coloco debajo del spoiler

3. El concepto de variaciones de coordenadas generalizadas. Declaración del problema variacional

Entonces, ahora consideramos un sistema mecánico que se mueve bajo la acción de fuerzas potenciales, cuya posición está determinada únicamente por el vector de coordenadas generalizadas

$$

$$\ mathbf q = \ left [q_1, \, q_2, \, \ dots, \, q_s \ right] ^ T \ quad (4)$$

donde s es el número de grados de libertad de un sistema dado.

Real, pero aún desconocido para nosotros , la ley de movimiento de este sistema está determinada por la dependencia de las coordenadas generalizadas (4) en el tiempo. Considere una de las coordenadas generalizadas. $$$q_i = q_i (t)$ , suponiendo un razonamiento similar para todas las demás coordenadas.


Figura 1. Movimiento real y rotonda de un sistema mecánico.

En la figura, la dependencia $$$q_i (t)$ representado por una curva roja. Elegimos dos instantes arbitrarios de tiempo fijo t ₁ y t ₂ , configurando t ₂ > t ₁ . Posición del sistema $$$\ mathbf q_1 = \ mathbf q (t_1)$ acordamos llamar a la posición inicial del sistema, y $$$\ mathbf q_2 = \ mathbf q (t_2)$ - la posición final del sistema.

Sin embargo, una vez más insisto en que el siguiente texto se lea con cuidado. A pesar de que establecemos la posición inicial y final del sistema, ni la primera posición ni la segunda son desconocidas de antemano. ¡Así como la ley de movimiento desconocida del sistema! Estas disposiciones se consideran precisamente como la posición inicial y final, independientemente de los significados específicos.

Además, creemos que desde la posición inicial hasta el sistema final puede venir de diferentes maneras, es decir, la dependencia $$$\ mathbf q = \ mathbf q (t)$ puede ser cinemáticamente posible. El movimiento real del sistema existirá en una sola variante (curva roja), las variantes cinemáticamente posibles restantes se denominarán movimientos indirectos $$$\ mathbf q ^ {*} = \ mathbf q ^ {*} (t)$ (curva azul en la figura). Diferencia entre real y rotonda

$$

$$\ delta q_i (t) = q ^ {*} _ i (t) - q_i (t), \ quad \ forall i = \ overline {1, s} \ quad (5)$$

se llamarán variaciones isócronas de coordenadas generalizadas

En este contexto, las variaciones (5) deben entenderse como funciones infinitesimales que expresan la desviación de la rotonda de la real. El pequeño "delta" para la designación no fue elegido por casualidad y enfatiza la diferencia fundamental entre la variación y la función diferencial. El diferencial es la parte lineal principal del incremento de la función causada por el incremento del argumento. En el caso de variación, ¡un cambio en el valor de una función con un valor constante del argumento es causado por un cambio en la forma de la función misma! No variamos el argumento en el papel del tiempo; por lo tanto, la variación se llama isócrona. ¡Variamos la regla por la cual cada valor de tiempo se pone en correspondencia con un cierto valor de coordenadas generalizadas!

De hecho, variamos la ley del movimiento, según la cual el sistema desde el estado inicial se mueve hasta el estado final. El estado inicial y final están determinados por la ley de movimiento real, pero una vez más, enfatizo que no conocemos sus valores específicos y que podemos ser cinemáticamente posibles, ¡solo creemos que existen y que el sistema está garantizado para moverse de una posición a otra! En la posición inicial y final del sistema, no variamos la ley del movimiento, por lo tanto, las variaciones de las coordenadas generalizadas en la posición inicial y final son iguales a cero

$$

$$\ delta q_i (t_1) = \ delta q_i (t_2) = 0, \ quad \ forall i = \ overline {1, s} \ quad (6)$$

Basado en el principio de menor acción, el movimiento real del sistema debe ser tal que brinde un mínimo de funcionalidad de acción. Variar las coordenadas provoca un cambio en el funcionamiento de la acción. Una condición necesaria para que lo funcional alcance un valor extremo es la igualdad a cero de su variación.

$$

$$\ delta S = \ delta \ int \ limits_ {t_1} ^ {t2} \, L (q_1, \ dots, q_s, \, \ dot q_1, \ dots, \ dot q_s) \, dt = 0 \ quad ( 7)$$

4. La solución del problema variacional. Ecuaciones de Lagrange del segundo tipo.

Solucionemos nuestro problema variacional, para el cual calculamos la variación completa de la acción funcional y la equiparamos a cero

$$

$$\ begin {align} \ delta S = & \ int \ limits_ {t_1} ^ {t2} \, L (q_1 + \ delta q_1, \ dots, q_s + \ delta q_s, \, \ dot q_1 + \ delta \ dot q_1, \ dots, \ dot q_s + \ delta \ dot q_s) \, dt - \\ & - \ int \ limits_ {t_1} ^ {t2} \, L (q_1, \ dots, q_s, \, \ dot q_1, \ dots, \ dot q_s) \, dt = 0 \ end {align}$$

Empujemos todo bajo una integral, y dado que todas las operaciones en cantidades infinitesimales son válidas para variaciones, transformamos este cocodrilo a la forma

$$

$$\ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\ partial L} {\ partial q_i} \ delta q_i + \ sum \ limits_ {i = 1 } ^ s \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} \ delta \ dot q_i \ right] \, dt = 0 \ quad (8)$$

Basado en la definición de velocidad generalizada

$$

$$\ delta \ dot q_i = \ frac {d (\ delta q_i)} {dt}$$

Entonces la expresión (8) se transforma a la forma

$$

$$\ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\ partial L} {\ partial q_i} \ delta q_i \, dt + \ sum \ limits_ { i = 1} ^ s \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} d (\ delta q_i) \ right] = 0$$

El segundo término está integrado en partes.

$$

$$\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} \ delta q_i | _ {t_1} ^ {t_2} + \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\ partial L} {\ partial q_i} \ delta q_i - \ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} \ right) \ delta q_i \ right] \, dt = 0 \ quad (10)$$

Según la condición (7), tenemos

$$

$$\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} \ delta q_i | _ {t_1} ^ {t_2} = 0$$

entonces obtenemos la ecuación

$$

$$\ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ left (\ frac {\ partial L} {\ partial q_i} - \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} \ right) \ right) \, \ delta q_i \ right] \, dt = 0$$

Para límites de integración arbitrarios, la desaparición de una determinada integral está asegurada por la desaparición del integrando

$$

$$\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ left [\ frac {\ partial L} {\ partial q_i} - \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ partial L} {\ partial \ punto q_i} \ right) \ right] \, \ delta q_i = 0 \ quad (11)$$

Dado que las variaciones de las coordenadas generalizadas son independientes, (11) es válido solo si todos los coeficientes de las variaciones son iguales a cero, es decir.

$$

$$\ frac {\ partial L} {\ partial q_i} - \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} \ right) = 0, \ quad \ forall i = \ overline {1, s}$$

Nadie nos molesta en multiplicar cada una de las ecuaciones por (-1) y obtener una notación más familiar

$$

$$\ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} \ right) - \ frac {\ partial L} {\ partial q_i} = 0, \ quad \ forall i = \ overline {1, s} \ quad (12)$$

Las ecuaciones (12) son la solución al problema . Y en este punto, la atención vuelve a ser: resolver el problema variacional por el principio de acción mínima, esta no es una función que ofrezca un mínimo a la acción hamiltoniana, sino un sistema de ecuaciones diferenciales, al resolver qué función se puede encontrar . En este caso, esta es una ecuación diferencial de Lagrange de segundo orden escrita en términos de la función de Lagrange, es decir, en la formulación de sistemas mecánicos conservadores.

Y eso es todo, el principio de menor acción termina allí , y comienza la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias, que, en particular, establece que la solución a la ecuación (12) es una función vectorial de la forma

$$

$$\ mathbf q = \ mathbf q (t, C_1, C_2, \ dots, C_ {2s})$$

donde C ₁ , ..., C ₂ son constantes de integración arbitrarias.

De esta manera

PND es un principio fundamental que permite obtener las ecuaciones de movimiento de un sistema para el cual se define la función de Lagrange

Un punto! En los problemas de la mecánica analítica, ya no es necesario hacer los cálculos anteriores, es suficiente usar su resultado (12). Una función que satisface la ecuación (12) es la ley de movimiento de un sistema que satisface PND.

5. El problema con la pelota y la pared.

Ahora volvamos a la tarea con la que comenzó todo: sobre el movimiento unidimensional de una pelota cerca de una pared absolutamente elástica. Por supuesto, para este problema, se pueden obtener ecuaciones diferenciales de movimiento. Como estas son ecuaciones diferenciales de movimiento, cualquiera, enfatizo esto, cualquiera de sus soluciones ofrece un mínimo de acción funcional, lo que significa que se ejecuta PND. La solución general de las ecuaciones de movimiento de la pelota se puede representar en la forma del llamado retrato de fase del sistema mecánico en consideración. Esta fase retrato


Figura 2. Retrato de fase del sistema en el problema de la pelota.

La coordenada de la pelota se traza en el eje horizontal, y la proyección de la velocidad en el eje x en el eje vertical. Puede parecer extraño, pero este dibujo refleja todas las trayectorias de fase posibles de la pelota, bajo cualquier condición de límite inicial, o si lo desea. De hecho, hay infinitas líneas paralelas en el gráfico, el dibujo muestra algunas de ellas y la dirección del movimiento a lo largo de la trayectoria de la fase.

Esta es una solución general a la ecuación de movimiento de la pelota. Cada una de estas trayectorias de fase proporciona un mínimo de la acción funcional, que se deduce directamente de los cálculos realizados anteriormente.

¿Qué hace el autor de la tarea? Él dice: aquí la pelota está en reposo, y durante el período de tiempo de t _A a t _{B la} acción es cero. Si la pelota se empuja contra la pared, en el mismo período de tiempo la acción será mayor, ya que la pelota tiene una energía cinética distinta de cero y sin cambios. Pero, ¿por qué la pelota se mueve hacia la pared, porque en reposo la acción será menor? ¡Entonces PND está experimentando problemas y no funciona! Pero definitivamente resolveremos esto en el próximo artículo.

Lo que dice el autor no tiene sentido. Por qué ¡Sí, porque compara acciones en diferentes ramas de la misma trayectoria de fase real! Mientras tanto, al aplicar el PND, se compara la acción en la trayectoria real y en muchas trayectorias indirectas.Es decir, la acción en la trayectoria real se compara con la acción en aquellas trayectorias que no están en la naturaleza, ¡y nunca lo estarán!

No entiendo? Lo explicaré aún más inteligiblemente. Considere el estado de descanso. Se describe mediante una rama de un retrato de fase que coincide con el eje de abscisas. La coordenada no cambia con el tiempo. Este es un movimiento real. Y qué tipo de movimiento será indirecto. Cualquier otra cinemáticamente posible. Por ejemplo, pequeñas vibraciones de bola cerca de la posición de reposo que estamos considerando. ¿El problema permite que la bola oscile a lo largo del eje x? Asumimos, entonces ese movimiento es cinemáticamente posible y puede considerarse como una de las rotondas.

¿Por qué la pelota aún descansa? Sí, porque la acción en reposo, calculada durante un período de tiempo fijo de t _A a t_B , habrá menos acción, con pequeñas fluctuaciones en el mismo período de tiempo. Esto significa que la naturaleza prefiere la paz a las vibraciones y cualquier otra "agitación" de la pelota. En total conformidad con el IPA.

Digamos que empujamos la pelota hacia la pared. Vamos a empujarlo como el autor lo desee, a una velocidad seleccionada de las condiciones de contorno, de modo que en el momento t _{B la} pelota esté en la misma posición desde la que comenzó. La pelota, con una velocidad constante llega a la pared, rebota elásticamente y vuelve a su posición inicial en el tiempo t _B , nuevamente a una velocidad constante. Ok, este es un movimiento real. ¿Qué movimiento será una de las rotondas? Por ejemplo, si la pelota se mueve hacia y lejos de la pared a una velocidad que cambia con el tiempo. ¿Es tal movimiento cinemáticamente posible? Posiblemente¿Por qué no cambia el módulo de velocidad de bola? Sí, porque la acción en tal trayectoria de fase tendrá un valor mínimo, en comparación con cualquier otra opción, donde la velocidad depende del tiempo.

Eso es todoNada tan mágico sucede aquí. IPA funciona sin ningún problema.

Conclusiones y deseos.

PND es una ley fundamental de la naturaleza. De ella, en particular, se siguen las leyes de la mecánica, por ejemplo, ecuaciones diferenciales de movimiento (12). PND nos dice que la naturaleza está estructurada de modo que la ecuación de movimiento de un sistema mecánico conservador se ve exactamente como la expresión (12) y nada más. No se requiere más de él.

No es necesario inventar problemas donde no están.