Dos matemáticos afirman haber encontrado un agujero en el corazón de la evidencia que ha sacudido a la comunidad matemática durante seis años.
En un
informe publicado en septiembre de 2018 en Internet,
Peter Scholze de la Universidad de Bonn y
Jacob Styx de la Universidad de Goethe en Frankfurt describieron lo que Styx llama la "brecha seria e irremplazable" en una
enorme serie de obras voluminosas de Shinichi Motizuki , el famoso genio matemático de la Universidad de Kyoto. . Los trabajos de Motizuki publicados en Internet en 2012 supuestamente prueban la
hipótesis abc , uno de los problemas de mayor alcance en la
teoría de números .
A pesar de las numerosas conferencias que intentaron explicar la prueba de Motizuki, los expertos en teoría de números lucharon para hacer frente a las ideas que se encuentran detrás. Su serie de trabajos con un volumen total de más de 500 páginas está escrita en un estilo oscuro, y se refiere a su trabajo anterior de aproximadamente 500 páginas, lo que lleva a la aparición de un "sentido de regresión sin fin", como
lo expresó el matemático
Brian Conrad de la Universidad de Stanford.
De los matemáticos que estudiaron la prueba, de 12 a 18 personas creen en su corrección, como me escribió
Ivan Fesenko, de la Universidad de Nottingham, por correo electrónico. Pero, como Konrad
comentó sobre la situación en la discusión de la evidencia en un blog en diciembre pasado, solo los matemáticos del "círculo íntimo de Motizuki" avalaron la prueba. "Ya no hay nadie que quiera declarar, aunque sea informalmente, que confía en la integridad de la evidencia".
Sin embargo, como
Frank Kalegari de la Universidad de Chicago
escribió en su blog en diciembre, "los matemáticos son reacios a informar problemas con la prueba de Motizuki, porque no pueden señalar un error específico".
Ahora todo ha cambiado. En su informe, Scholze y Styx argumentan que la línea de razonamiento más cercana al final de la prueba del "Corolario 3.12" en la tercera de las cuatro obras de Motizuki es fundamentalmente errónea. Y este corolario es necesario para su prueba de la hipótesis abc.
"Me parece que el problema con la hipótesis ABC sigue abierto", dijo Scholze. "Y cualquier persona tiene la oportunidad de probarlo".
Peter ScholzeLas conclusiones de Scholze y Styx se basan no solo en su propio estudio del trabajo, sino también en la visita semanal que hicieron Motizuki y su colega, Yuchiro Hoshi, en marzo en la Universidad de Kyoto para discutir esta evidencia. Scholze dice que esta visita lo ayudó mucho a él y a Styx a llegar al fondo de sus objeciones. Como resultado, un par de científicos "llegaron a la conclusión de que no hay evidencia", escribieron en el informe.
Sin embargo, esta reunión terminó con la insatisfacción de las partes. Motizuki no pudo convencer a Scholze y Styx de que su prueba era correcta, y no pudieron convencerlo de que estaba equivocada. Motizuki ya ha publicado el informe de Scholze y Styx en su sitio web, y ha agregado
algunas de sus objeciones a ellos.
En ellos, Motizuki atribuye las críticas de Scholze y Styx a "ciertas interpretaciones erróneas fundamentales" de su trabajo. Su "actitud negativa", escribe, "no significa que haya fallas" en su teoría.
Así como la seria reputación de Motizuki hizo que los matemáticos vieran su trabajo como un intento serio de probar una hipótesis, la reputación de Scholze y Styx asegura que los matemáticos presten atención a lo que quieren decir. Scholze, aunque solo tenía 30 años, rápidamente subió a la cima en su campo. En agosto, recibió el
Premio Fields , el premio más alto en matemáticas. Styx es un experto en el estudio de Mochizuki, geometría anabeliana.
"Peter y Jacob son matemáticos extremadamente cuidadosos y atentos", dijo Conrad. "Si tienen alguna inquietud, realmente deberían aclararse".
Escollo
La hipótesis abc, que Conrad llamó "una de las hipótesis más prominentes en la teoría de números", comienza con una de las ecuaciones más simples que generalmente se pueden representar: a + b = c. Los tres números a, byc son enteros positivos que no tienen divisores primos comunes. Es decir, podemos considerar la ecuación 8 + 9 = 17 o 5 + 16 = 21, pero no 6 + 9 = 15, ya que los números 6, 9 y 15 se dividen entre 3.
Tomando tal ecuación, podemos considerar todos los primos en los que se divide cualquiera de los tres números que participan en la ecuación; por ejemplo, en el caso de la ecuación 5 + 16 = 21, estos primos serán 2, 3, 5 y 7. Su producto será 210 , y es mucho más grande que cualquiera de los números involucrados en la ecuación. Y viceversa, en la ecuación 5 + 27 = 32 participan los primos 2, 3 y 5, cuyo producto es 30, y este es menor que el número 32 involucrado en la ecuación. El producto es muy pequeño, porque los números 27 y 32 tienen divisores simples muy pequeños (3 y 2), que simplemente se repiten muchas veces para obtener estos números.
Si comienza a jugar con otros triples abc, es posible que esta segunda opción sea extremadamente rara. Por ejemplo, entre 3044 triples diferentes para los cuales los términos ayb son menores que 100, solo hay siete donde el producto de los divisores primos es menor que c. La hipótesis ABC, formulada en la década de 1980, formaliza una idea intuitiva de la rareza de tales triples.
Volviendo al ejemplo 5 + 27 = 32. 32 es más de 30, pero no mucho. Esto es menos de 30
2 , o 30
1.5 , o incluso 30
1.02 , igual a 32.11. La hipótesis abc dice que si elige cualquier grado mayor que 1, entonces solo habrá un número finito de triples abc, para lo cual c será más que el producto de divisores primos elevados al grado elegido.
"La hipótesis ABC es una declaración muy simple con respecto a la multiplicación y la división", dijo
Minyun Kim de la Universidad de Oxford. Dijo que con esta declaración, "existe la sensación de que está revelando una estructura muy fundamental de sistemas numéricos que no ha visto antes".
La simplicidad de la ecuación a + b = c significa que una amplia gama de otros problemas están bajo su influencia. Por ejemplo,
el gran teorema de Fermat está conectado con ecuaciones de la forma x
n + y
n = z
n , y la
hipótesis catalana , que establece que 8 y 9 son los únicos dos grados perfectos consecutivos [números expresados como un número entero en un grado entero / aprox. transl.] (ya que 8 = 2
3 y 9 = 3
2 ), habla de una ecuación de la forma x
m + 1 = y
n . La hipótesis abc (en cierta forma) daría nuevas pruebas a estos dos teoremas y resolvería una montaña completa de problemas abiertos relacionados con él.
Jacob StyxEsta hipótesis "parece estar siempre en el límite entre lo conocido y lo desconocido",
escribió Dorian Goldfeld de la Universidad de Columbia.
La escala de las consecuencias de probar la hipótesis convenció a los expertos en teoría de números de que sería muy difícil demostrarlo. Por lo tanto, cuando en 2012 se informó que Motizuki presentó la evidencia, muchos matemáticos estaban encantados de sumergirse en su trabajo, pero solo se detuvieron debido a un lenguaje desconocido y a la presentación inusual de información. Las definiciones abarcaron varias páginas, seguidas de teoremas con las mismas declaraciones largas, y sus pruebas se describieron en frases como "se deduce inmediatamente de la definición".
"Cada vez que escucho sobre el análisis del trabajo de Mochizuki por parte de un experto (no oficial), su reseña es escandalosamente familiar: amplios campos de cosas triviales, seguidos de enormes montañas de conclusiones injustificadas
" ,
escribió Kalegari en su blog en diciembre.
Scholze fue uno de los primeros lectores de la obra. Es conocido por ser capaz de absorber rápidamente las matemáticas, profundizando en ellas, por lo que avanzó más allá de muchos teóricos y terminó lo que llamó una "lectura aproximada" de las cuatro obras principales poco después de su aparición. Scholze estaba confundido por largos teoremas con pruebas cortas, lo que le parecía cierto, pero infundado. Más tarde
escribió que en dos trabajos intermedios, "poco está sucediendo".
Entonces Scholze llegó al Corolario 3.12 en su tercer trabajo. Los matemáticos usualmente usan la palabra "consecuencia" para denotar un teorema que es secundario al anterior, más importante. Pero en el caso del Corolario 3.12 de Motizuki, los matemáticos coinciden en que este es el teorema principal para probar la hipótesis abc. Sin ella, "no hay evidencia
" ,
escribió Calegari. "Este es un paso crítico".
Este corolario es el único teorema en dos trabajos intermedios, cuya prueba toma más de unas pocas líneas: se extiende nueve páginas. Al atravesarlos, Scholze llegó al punto en el que ya no podía seguir la lógica.
En ese momento solo tenía 24 años y consideraba que la prueba era incorrecta. Pero prácticamente no entró en la discusión de obras, a menos que se le preguntara directamente sobre ellas. Después de todo, al final, pensó, es probable que otros matemáticos encuentren en estos trabajos ideas significativas que se perdió. O tal vez eventualmente llegarán a la misma conclusión que él. Creía que de una forma u otra, la comunidad matemática será capaz de resolverlo.
Escalera de Escher
Mientras tanto, otros matemáticos lucharon para hacer frente al trabajo infranqueable. Muchos tenían grandes esperanzas de una
reunión dedicada al trabajo de Motizuki, programada para finales de 2015 en la Universidad de Oxford. Pero cuando varios colegas de Motizuki trataron de explicar las ideas clave de la prueba, una "nube de niebla" cayó sobre la audiencia, como Konrad escribió en el informe poco después de la reunión. "Las personas que entendieron este trabajo necesitaban explicar con más éxito a los especialistas en geometría aritmética lo que estaba en su núcleo
" ,
escribió .
Pocos días después de su publicación, Conrad recibió cartas inesperadas de tres matemáticos (uno de los cuales era Scholze), describiendo lo mismo: podían leer y comprender el trabajo hasta llegar a un cierto punto. "Cada uno de los tres fue detenido por la evidencia 3.12",
escribió Conrad más tarde.
Kim escuchó comentarios similares sobre el Corolario 3.12 de otro matemático, Teruhisa Koshikawa, que trabaja en la Universidad de Kyoto. Styx también tropezó en este lugar. Gradualmente, muchos expertos en teoría de números aprendieron que esta consecuencia se convirtió en un obstáculo, pero no estaba claro si había un agujero en su prueba, o Motizuki solo necesitaba explicar mejor su razonamiento.
Luego, en 2017, para horror de muchos teóricos, corrieron rumores de que las obras de Mochizuki fueron aceptadas para su publicación. El propio Mochizuki fue el editor en jefe de esta revista,
Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences . Kalegari calificó esta situación de "
mala apariencia " (aunque los editores en tales situaciones generalmente están excluidos de tomar una decisión). Pero la mayoría de los matemáticos estaban preocupados de que el trabajo aún fuera ilegible.
Shinichi Motizuki en video llamada en la conferencia de 2015 sobre su prueba"Ningún experto que afirme comprender la evidencia ha podido explicarla a ninguno de los muchos expertos que siguen confundidos",
escribió Matthew Emerton, de la Universidad de Chicago.
Calegari
escribió un artículo describiendo esta situación como "
fracaso total "
, y destacados teóricos recogieron su punto de vista. "Tenemos una situación ridícula en la que ABC se considera un teorema en Kyoto y una hipótesis en todos los demás lugares", escribió Kalegari.
La revista PRIMS pronto respondió a las solicitudes de prensa con una declaración en la que explicaba que el trabajo no fue aceptado para su publicación. Sin embargo, incluso antes de esto, Scholze decidió declarar públicamente lo que había dicho durante mucho tiempo en conversaciones privadas con muchos teóricos. Decidió que toda esta discusión sobre la evidencia se había vuelto "demasiado social". "Todos dijeron que esta evidencia no parece ser así, pero nadie dijo:" Hay un lugar donde nadie entendió la evidencia ".
En los comentarios en el registro, Kalegari Scholze escribió que "no podía seguir la lógica después de la fig. 3.8 en la prueba del Corolario 3.12 ". Agregó que los matemáticos, "que afirman comprender la prueba, no quieren admitir que hay que agregar algo allí".
Shigefumi Mori , un colega de Motizuki de la Universidad de Kyoto, ganador del Premio Fields, escribió a Scholze con una propuesta para organizar una reunión con Motizuki. Scholze, a su vez, contactó a Styx, y en marzo la pareja viajó a Kyoto para discutir el obstáculo como evidencia con Mochizuki y Hoshi.
El enfoque de Mochizuki a la hipótesis abc lleva el problema al dominio de
las curvas elípticas , un tipo especial de ecuación cúbica con dos variables, x e y. Esta transición, conocida incluso antes de Mochizuki, es simple: debe conectar cada ecuación abc con una curva elíptica cuya gráfica intersecta el eje x en los puntos a, by el origen; sin embargo, permite a los matemáticos usar la rica estructura de curvas elípticas que combinan la teoría de números con geometría, notación integral y otras áreas. (El mismo pasaje está en el centro de la prueba del Gran Teorema de Fermat de 1994 por
Andrew Wiles ).
Como resultado, la hipótesis abc se reduce a probar la desigualdad entre dos cantidades asociadas con curvas elípticas. El trabajo de Motizuki traduce esta desigualdad en otra forma más, que, como dijo Styx, puede representarse como una comparación de los volúmenes de dos conjuntos. En el Corolario 3.12, ofrece su prueba de esta desigualdad, que, de ser cierta, probaría la hipótesis abc.
En la prueba, como describen Scholze y Styx, los volúmenes de dos conjuntos se consideran como si estuvieran dentro de dos copias diferentes de números reales, presentados como parte de un círculo de seis copias diferentes de números reales, y se da un marcado para explicar cómo se relaciona cada copia con Su vecino en un círculo. Para rastrear la relación entre los volúmenes de conjuntos entre sí, debe comprender cómo las mediciones de volumen en una copia están relacionadas con las mediciones en otras copias, como dijo Styx.
"Si tienes una desigualdad de dos objetos, pero al mismo tiempo la regla de medición se comprime varias veces, lo que está fuera de tu control, entonces pierdes el control sobre lo que significa la desigualdad", dijo Styx.
Scholze y Styx creen que es en este momento crítico de evidencia que todo se derrumba. En las marcas Mochizuki, las líneas de medición son lógicamente compatibles entre sí. Pero cuando das la vuelta al círculo, dijo Styx, tienes una regla que no es como la que tendrás si vas al revés. Esta situación, dijo, se asemeja a la escalera cerrada del famoso
Escher , donde puedes subir y luego encontrarte en el mismo lugar [más correctamente, esta es la
escalera de Penrose , en base a la cual Escher hizo un famoso
dibujo / nota. transl.].
Scholze y Styx concluyeron que esta incompatibilidad de las mediciones de volumen significa que se comparan valores incorrectos en la desigualdad resultante. Y si ajusta todo para que los volúmenes se vuelvan comparables, la desigualdad deja de tener sentido, dicen.
Scholze y Styx "encontraron una razón específica por la cual la evidencia no funciona", dijo Kieran Kedlaya, matemático de la Universidad de California en San Diego, quien estudió en detalle el trabajo de Motizuki. "Entonces, si la prueba es cierta, debe funcionar con algo más, con algo menos obvio" que lo que describen Scholze y Styx.
Mochizuki afirma que esto es precisamente la presencia de algo menos obvio. Él escribe que Scholze y Styx se equivocan al equiparar arbitrariamente objetos matemáticos que deberían considerarse diferentes. Cuando les contó a sus colegas sobre la esencia de las objeciones de Scholze y Styx, escribió, su descripción "fue recibida con una sorpresa notablemente universal e incluso desconfianza (y luego fue ridiculizada) de que podría surgir un malentendido tan increíble".
Ahora, los matemáticos necesitarán digerir los argumentos de Scholze y Styx y la respuesta de Mochizuki. Scholze espera que, a diferencia de la situación con los trabajos iniciales de Motizuki, este proceso no dure mucho, ya que su naturaleza con el Styx de las objeciones no es tan técnicamente complicada. Otros teóricos "deberían poder seguir la línea de nuestra discusión con Motizuki sin ningún problema", dijo.
Mochizuki todo parece estar completamente equivocado. Desde su punto de vista, la crítica de Scholze y Styx proviene de la "falta de tiempo para comprender adecuadamente las matemáticas discutidas", que probablemente se deba a "un sentimiento de profunda incomodidad o falta de familiaridad con una nueva forma de pensar sobre objetos matemáticos familiares".
Los matemáticos, incluso escépticos de la prueba de Motizuki, bien pueden decidir que el informe de Scholze y Styx ponga fin a esta historia, dijo Kim. Otros querrán estudiar los informes por su cuenta, y esto, cree Kim, ya ha comenzado. "No creo que pueda evitar la necesidad de verificar todo por mi cuenta antes de decidir algo por mí mismo", escribió por correo.
En los últimos años, muchos expertos en teoría de números han dejado de tratar de entender el trabajo de Motizuki. Pero si Mochizuki o sus seguidores pueden proporcionar una explicación detallada y coherente de por qué la imagen de Scholze y Styx es demasiado simplificada (si es así), "puede hacer mucho para eliminar la fatiga asociada con este problema e inspirar a las personas a hacer nuevos intentos". - dijo Kedlaya
Mientras tanto, Scholze dice: "Creo que esto no puede tomarse como evidencia hasta que Mochizuki realice una alteración grave y explique mucho mejor el paso clave". Él mismo, en sus palabras, "no ve una idea clave que pueda acercarnos a la prueba de la hipótesis ABC".
Independientemente del resultado de la discusión, una clara designación de un lugar particular de evidencia para Mochizuki debería aclarar todo muy bien, dijo Kim. "Lo que hicieron Jacob y Peter es un servicio muy importante para la comunidad", dijo. "Pase lo que pase, estoy seguro de que estos informes se convertirán en un cierto tipo de progreso".