👼🏻 🚿 👨🏻‍🌾 Sobre la relación de números primos e irracionales 🤦🏾 🧑🏾‍🤝‍🧑🏾 👨🏽‍🤝‍👨🏼

Después de algunas de mis investigaciones sobre números primos, encontré una conexión interesante con números irracionales. Esta conexión da una respuesta a la pregunta de por qué los números primos son tan "caóticos" y por qué son tan complejos. Debajo del corte hay una explicación de esta conexión y una variante del algoritmo RSA mejorado.

Introduccion

Considera el conjunto

l b r a c e 2 n + 3 m v e r t n, m i n m a t h b b N r b r a c e

$\ lbrace 2n + 3m \ vert n, m \ in \ mathbb {N} \ rbrace$ . Ahora intenta arreglarlo. Es decir, encuentre una manera de encontrar el siguiente par de números n y m, conociendo el anterior. Obviamente: 2 + 2 + 2 = 3 + 3 y 2 + 2> 3, 2 <3. Por lo tanto, los pares de números se distribuyen de la siguiente manera:

(1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (3,0), (2,1), (4,0), (3,1), (5 , 0) ...

Tenga en cuenta que el orden y, en consecuencia, el método para obtener el siguiente par de números se trazan claramente. No hay problemas y la tarea es trivial.
Ahora considera el conjunto

l b r a c e 2 n + p i m v e r t n, m i n m a t h b b N r b r a c e

$\ lbrace 2n + \ pi m \ vert n, m \ in \ mathbb {N} \ rbrace$ . Desafortunadamente o afortunadamente, pero este conjunto no se puede ordenar en el sentido que el anterior:

(1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (3,0), (0,2), (2,1), (4,0), (3 , 1), (0,3) ...

Si decide que ha encontrado el orden exacto, termine estos pares más y vea que está roto. El "caos" de estos pares de números está directamente relacionado con la irracionalidad del número.

p i

$\ pi$ probado por Johann Lambert en 1761. De hecho, para alinear pares en una fila, primero intentamos ajustar un segmento de longitud 2 en un segmento de longitud

p i

$\ pi$ . Estamos tratando de poner el saldo obtenido en un segmento de longitud 2. Se ajustará solo una vez. Esto significa que nuestro resto "jugará" su papel ya en un segmento de longitud

2 p i

$2 \ pi$ , donde cabrá no dos segmentos de longitud 2, sino tres. Al llevar a cabo una operación de este tipo, queda claro que tan pronto como tengamos la impresión de que hemos encontrado el orden, se romperá en un cierto número de pasos. Desde el último, aún no utilizado, el saldo tarde o temprano "jugará" su papel y el orden cambiará. Por lo tanto, la cuestión de encontrar un algoritmo "bueno" para este problema permanece abierta.

Algunas definiciones

Dejar

(m a t h b b R, +) s i m e q (m a t h b b R_{> 0}, o p l u s)

$(\ mathbb {R}, +) \ simeq (\ mathbb {R} _ {> 0}, \ oplus)$ donde

f

$f$ - un isomorfismo tal que:

f (x o p l u s y) = f (x) + f (y)

$f (x \ oplus y) = f (x) + f (y)$
Y, en consecuencia, para

g

$g$ - revertir a

f

$f$ :

g (x + y) = g (x) o p l u s g (y)

$g (x + y) = g (x) \ oplus g (y)$ .
Ahora definimos el conjunto de interés para nosotros:

W_{o p l u s} = l b r a c e a_{2} f (2) + a_{3} f (3) + d o t s + a_{n} f (n) + d o t s v e r t f o r a l l m i n m a t h b b N, a_{m} i n m a t h b b N r b r a c e s e t m i n u s l b r a c e 0 r b r a c e

$W _ {\ oplus} = \ lbrace a_ {2} f (2) + a_ {3} f (3) + \ dots + a_ {n} f (n) + \ dots \ vert \ forall m \ in \ mathbb {N}, a_ {m} \ in \ mathbb {N} \ rbrace \ setminus \ lbrace 0 \ rbrace$

R i g h t a r r o w W_{o p l u s} s u b s e t m a t h b b R_{> 0}

$\ Rightarrow W _ {\ oplus} \ subset \ mathbb {R} _ {> 0}$
Y dejar

F (x, y) = f (x) + f (y)

$F (x, y) = f (x) + f (y)$ . Entonces:

g (F (x, y)) = x o p l u s y

$g (F (x, y)) = x \ oplus y$
Y

m a t h b b T

$\ mathbb {T}$ - imagen del conjunto

W_{o p l u s}

$W _ {\ oplus}$ para mostrar

g

$g$ .
Y finalmente

m a t h b b P_{o p l u s} = l b r a c e p i n m a t h b b T v e r t f o r a l l w_{1}, w_{2} i n W_{o p l u s}, g (w_{1} + w_{2}) n e q p r b r a c e

$\ mathbb {P} _ {\ oplus} = \ lbrace p \ in \ mathbb {T} \ vert \ forall w_ {1}, w_ {2} \ in W _ {\ oplus}, g (w_ {1} + w_ {2}) \ neq p \ rbrace$ - muchos números primos para la operación

o p l u s

$\ oplus$ .
Ahora es fácil aclarar estas definiciones con un ejemplo familiar. Para la operación de multiplicación,

f (x) = l o g_{2} (x)

$f (x) = log_ {2} (x)$ . Mucho

W

$W$ Es eso

l o g_{2} (m a t h b b N)

$log_ {2} (\ mathbb {N})$ . Vale la pena detenerse y explicar por qué esto es importante.

La conexión en sí

De hecho, utilizando un isomorfismo, descubrimos que la complejidad de todos los problemas sobre los números primos es equivalente a los problemas sobre sumas de logaritmos que son irracionales. Es decir, como hemos visto en el ejemplo con un conjunto de números

p i

$\ pi$ y 2, es la irracionalidad lo que trae el caos. Entonces es aquí, la irracionalidad de los logaritmos distribuye números primos en una recta numérica de una manera casi caótica. Hay una dificultad para ordenar los pares n y m en un conjunto, por ejemplo,

l b r a c e n + m l o g_{2} 3 r b r a c e

$\ lbrace n + mlog_ {2} 3 \ rbrace$ . En otras palabras, la simplicidad de un número depende directamente de, por ejemplo, algún lugar decimal en el número

l o g_{2} 3

$log_ {2} 3$ . Pero hemos definido números primos no solo para la multiplicación, sino en general para una operación binaria arbitraria. Hice esto para demostrar que nuestros números primos no son únicos de ninguna manera.

RSA

Para la operación binaria x + xy + y:

m a t h b b P = l b r a c e 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46 . . . r b r a c e

$\ mathbb {P} = \ lbrace 2,4,6,10,12,16,18,22,28,30,36,40,42,46 ... \ rbrace$ .
La aleatoriedad de este conjunto se caracteriza por valores irracionales de isomorfismo en números naturales. Además, el isomorfismo no parece expresarse en términos de funciones elementales. Aquí, por operación, construimos otros números primos cuya distribución obviamente no depende de la distribución de números primos ordinarios. Esto nos permite construir RSA en una operación binaria arbitraria de modo que el isomorfismo sea irracional. Después de todo, la función del logaritmo es demasiado "buena" para los criptoanalistas. Y aquí se comporta de una manera absolutamente impredecible. Es posible, y viceversa, construir un isomorfismo mediante el cual se determinará una operación binaria conmutativa.

Tomando primos arbitrarios como base, cambiamos el problema de factorizar un número compuesto en el problema de descomponer un número irracional casi arbitrario en la suma de los otros dos de un conjunto dado. Algo me dice que esta tarea debería pertenecer a la clase NP.

En conclusión

La humanidad aún no ha resuelto muchos problemas sobre los números primos, ya que las matemáticas arrojan un número infinito de problemas similares. Naturalmente, se preguntará qué hacer al respecto. Mi sugerencia es considerar todos los teoremas de la teoría de números no para la suma y la multiplicación, sino para la suma y una operación binaria conmutativa arbitraria cerrada en números naturales. Entonces, cada enunciado sobre los números primos sería solo una consecuencia de ciertas propiedades de la operación. Por ejemplo, la infinidad de números primos sería una consecuencia de la monotonía de la operación y su crecimiento bastante rápido. Pero este es un tema para un artículo separado. Gracias por su atencion

Sobre la relación de números primos e irracionales

Introduccion

Algunas definiciones

La conexión en sí

RSA

En conclusión

More articles: