¿Te imaginas algo más grande que el Universo, pero al mismo tiempo colocado en silencio en tu cabeza? Que es esto Infinito! Eugenia Cheng nos envía en un sorprendente viaje matemático para comprender las abstracciones matemáticas más misteriosas. ¿Por qué algunos números son imposibles de contar? ¿Por qué infinito + 1 no es lo mismo que 1+ infinito? Aprenderemos sobre la paradoja del Gran Hotel, podremos alimentar a 7 mil millones de personas usando un tablero de ajedrez e incluso obtener un número infinito de galletas de una pequeña (final) pieza de masa. Todo esto nos permitirá comprender y amar una matemática abstracta tan extraña y misteriosa. El increíble libro sobre el vasto e infinito Universo es fascinante e intrigante, y muestra cómo un pequeño símbolo matemático contiene una gran idea.
Extracto Infinitamente pequeño
Una de las pocas cosas que puedo ver frente a mí en este momento no tiene nada que ver con el análisis matemático: este es mi escritorio. La tabla existía mucho antes del advenimiento del análisis matemático, pero esta tabla en particular se hizo en la fábrica de Ikea, que utiliza con absoluta precisión el análisis matemático en su producción. Quiero decir que el estudio del infinito puede parecer algo abstracto y fuera de nuestro mundo, literal y figurativamente ("figurativamente" como a uno de mis amigos le gusta bromear), pero en última instancia también nos lleva al análisis matemático, que Es una parte integral de nuestra vida.
El punto de partida para todo esto es la reflexión sobre objetos que están "infinitamente cerca uno del otro". Cuando dibujamos un círculo en la computadora o escribimos la letra O, se ven suaves y uniformes. Pero si miramos más de cerca las imágenes, se vuelven pixeladas. Esta es la letra O a mayor escala en la pantalla de mi computadora.
Vemos un número finito de pequeños cuadrados disfrazados de círculo. Mi computadora cuidadosamente forjó un círculo; agregó algunos puntos grises. Una computadora no puede hacer lo contrario, porque es capaz de percibir y procesar solo puntos individuales en una cantidad finita y un tamaño fijo.
¿Qué hay de nuestro cerebro? El significado del análisis matemático es que nuestro cerebro, en principio, es capaz de más: podemos percibir y procesar un número infinitamente grande de objetos, incluso si son infinitamente pequeños. Este es el tema que estudiaremos ahora.
Una vez ayudé con las matemáticas en una escuela primaria de Cambridge en Park Street. Tuve que explicar la simetría a dos niños de seis años. Al principio les pedí que dibujaran líneas de simetría en varios triángulos, luego en un cuadrado, luego en un pentágono, luego en un hexágono. Lo más divertido fue cuando uno de los niños dijo: "Sé que un octaedro tiene ocho lados, porque la palabra" octaedro "se parece a un PULPO". Al final, les di un círculo. Uno de los chicos dibujó esa línea en un círculo:
Además se volvió aún más divertido. El primer niño exclamó: "¡Hay cientos de ellos!", Y el segundo dijo: "¡Hay un millón!", Después de lo cual el primero comentó: "¡Puedes dibujar estas líneas toda tu vida y nunca terminar!", Luego hubo una pausa, después de lo cual el segundo niño levantó lápiz, pintado sobre todo el círculo con ellos y dijo: "¡Mira! ¡Ya terminé!
Estaba confundido, pero me vi obligado a admitir que ambos tenían razón. Puedes pasar toda tu vida dibujando líneas de simetría en un círculo y nunca terminar, porque hay un número infinito de ellas. De hecho, son innumerables sin fin. Podemos verificar esto. Imagine que determinamos dónde corre la línea de simetría, estableciendo el ángulo que se forma con la horizontal.
Podemos tomar cualquier ángulo, de 0 a 180 ° o en radianes, cualquiera de 0 a π. Si el ángulo es mayor, la línea repetirá uno de los ya dibujados:
Tome cualquier número real de 0 a 180, y no tiene que ser un número entero o racional. Ya sabemos que hay innumerables números reales del 0 al 180.
Tendremos innumerables líneas de simetría en el círculo, pero si pintas sobre todo el círculo, en realidad pintarás sobre todas ellas. Quizás ahora pensaste que era como una estafa, porque las líneas reales de simetría deberían cruzarse infinitamente muchas veces en el centro del círculo, y en nuestro centro hay infinitas capas de lápiz. Pero si no prestamos atención al centro, sino que simplemente intentamos marcar los puntos a lo largo del borde del círculo que son tocados por las líneas de simetría, entonces será suficiente dibujar un lápiz a lo largo del borde del círculo. ¿Dibujaremos un número infinitamente grande de puntos de esta manera? ¿Habrá un número infinitamente grande de puntos en esta línea?
Si es así, ¿a qué distancia están ubicados? Y si hay un número finito de ellos, ¿cuántos?
División por infinito
Si dividimos la línea en más y más segmentos, los segmentos se vuelven cada vez más pequeños. ¿Podemos así dividir la línea en un número infinitamente grande de segmentos? Quiero decir si podemos hacer algo infinitamente pequeño dividiéndolo en infinito.
Imagine una lotería en la que todos los números reales pueden caerse. El tambor de lotería tendrá un número infinito de bolas, pero cada una de ellas indicará un cierto número finito. En este caso, la probabilidad de ganar será bastante extraña. Por lo general, en una lotería en el Reino Unido se caen 6 de 59 bolas. Hay aproximadamente 45 millones de combinaciones, y todas estas combinaciones son igualmente probables. Su oportunidad de ganar es 1: 45 millones. Este es un número muy pequeño (aproximadamente 0.00000002), pero no 0; aunque me parece que está tan cerca de 0 que en realidad puede considerarse 0. Si lo multiplica de nuevo por el número total de combinaciones posibles (45 millones), obtiene 1, lo cual es absolutamente cierto, porque será la probabilidad de ganar si compra Todos los boletos de lotería.
La lotería infinita tiene un número infinito de combinaciones, por lo que su oportunidad de ganar será "1 al infinito". ¿Cómo expresarlo con una fracción? La respuesta no puede ser más que 0, porque si fuera más que 0, entonces, multiplicándola nuevamente por el número total de resultados posibles (infinito), obtenemos un número mayor que 1. ¿Esto significa que la probabilidad de ganar es 0? Pero alguien realmente puede ganar cada vez. Puede notar con razón que en la práctica tal lotería es imposible, pero este argumento suyo no cancela esta paradoja. Todo es exactamente igual que con el Hotel Hilbert: el hecho de que tal hotel no pueda existir no cancela la paradoja.
Nuevamente volvimos a uno de nuestros primeros intentos de encontrar el infinito, argumentando que
Sabemos que tal ecuación da lugar a una contradicción si intentamos multiplicar ambos lados por 0. Pero ahora queremos decir que la división por infinito da 0 o
Ahora ya sabemos más sobre el infinito e inmediatamente vemos que algo está mal con esta ecuación. El problema aquí es que la forma en que tratamos de encontrar el infinito, es decir, usando un conjunto infinito de objetos, no implicaba división por infinito. La respuesta matemática correcta en este caso debería ser: “¡Bien, intentemos! Si aún no lo hemos hecho, esto no significa que sea imposible ".
Tratemos de hacer exactamente lo mismo que hicimos con la resta. Volvamos a la idea de que todo a su alrededor es una multitud de objetos. Es como contar con palos de conteo: no se puede partir un palo de contar por la mitad (para consternación de muchos niños). Si tomamos muchos números naturales, entonces no podemos reducirlos parcialmente.
Recuerde, cuando tratamos de expresar la resta hasta el infinito, recordamos el razonamiento de los niños: 6 - 3 significa "cuánto debo contar desde 3 para volver a 6". En otras palabras, resolvimos esta ecuación: 3 + x = 6.
Ahora tomemos 6: 3. Podemos ver 6: 3 de dos maneras diferentes.
- ¿Cuántas veces cabe 3 en 6? En otras palabras, ¿cuántas veces tengo que sumar 3 para obtener 6? Es lo mismo que resolver esta ecuación: 3 × x = 6.
- ¿Qué número corresponde a 6 exactamente tres veces? En otras palabras, ¿qué número puedo agregarme tres veces para obtener 6? Es lo mismo que resolver esta ecuación: x × 3 = 6.
En ambos casos, la respuesta será 2, porque estas formulaciones no importan si estamos hablando de números finitos. Pero ya sabemos que con el infinito no es tan simple. Por ejemplo, sumar 3 un número infinito de veces no es lo mismo que sumar tres veces al
infinito . Es decir, 3 × ω ≠ ω × 3.
Hagámonos la pregunta: "¿Cuántas veces tengo que sumar 3 para obtener ω?" Respuesta: ω. Imagine que nuevamente se convirtió en una persona que distribuye boletos de corte en una cola. Las personas vienen en grupos de 3 personas. ¿Cuántos grupos de 3 personas deberían venir para finalizar su paquete interminable de boletos? Respuesta: ω. Simplemente continuará emitiendo 3 boletos para cada grupo.
Si miramos por otro lado: “¿Qué número puedo agregarme 3 veces para obtener ω?”, Entonces en este caso no hay respuesta posible. Si suma 3 números finitos, la respuesta siempre será finita. Si suma 3 números infinitos, cada uno de ellos será al menos igual a ω (porque ω es el infinito más pequeño), y juntos serán aún más grandes, es como "infinito y un día más". Nuevamente podemos considerar esto con el ejemplo de los boletos de corte. Si llega un autobús infinitamente lleno, entonces gastará todo su paquete interminable de boletos para arrancar (al menos) en sus pasajeros. Si después de esto viene otro autobús infinitamente lleno, entonces se verá obligado a tomar un paquete con boletos de un color diferente.
Ambas preguntas fueron intentos de "dividir el infinito en 3", pero nos dieron diferentes respuestas. Esto prueba que la división, al igual que la multiplicación, no es la mejor solución cuando se trata de infinito, incluso si es solo división por un pequeño número finito. Si en cambio tratamos de dividir algo en infinito, entonces todo se volverá aún peor. Supongamos que queremos hacer lo siguiente:
. Entonces tendremos dos opciones. Primero: ¿cuántas veces tenemos que agregar ω a nosotros mismos para obtener 1? Esto es obviamente imposible, ya que ω es demasiado. La segunda opción: ¿qué número podemos sumarnos ω número de veces para obtener 1? Y de nuevo, será absolutamente imposible.
A pesar de todo lo anterior, realmente parece que 1 dividido por el infinito debería ser igual a 0. ¿Puede esta afirmación ser una respuesta razonable a las preguntas formuladas anteriormente? Si agregamos ω a nosotros mismos 0 veces, no obtenemos nada, por lo que no tiene sentido esta acción. Será como con 0 autobuses infinitamente llenos, para ellos generalmente no necesita boletos de corte. En cuanto a la segunda pregunta: "¿Podemos sumar 0 a nosotros mismos ω veces para obtener 1?", Entonces todo será como en el caso de 0 personas que se colocan en fila un número infinito de veces. De nuevo, no necesitará ningún boleto de corte para ellos.
Aquí podríamos rendirnos y decir: "Bien, entonces
"Esto no es cero". O intente actuar como matemáticos y decir: "Todo esto realmente parece razonable, ¿tal vez podamos darle algún otro significado matemático si nuestro razonamiento no se basa en conjuntos infinitos?" Una de las tareas de las matemáticas es tomar lo que intuitivamente parece ser cierto y darle una explicación lógica precisa. ¡No debemos rendirnos tan fácilmente!
La otra cara del infinito
Quizás ahora te estés haciendo la pregunta de por qué no podemos inventar algo infinitamente pequeño y no igual a 0, porque antes dije que podemos crear cosas abstractas simplemente pensando en ellas. Los matemáticos ya han tratado de usar este método, aunque parece inútil (como la idea misma de infinito, que también parece inútil hasta que comienzas a estudiarlo con suficiente intensidad). Es como la otra cara del infinito. El infinito es mayor que cualquier número, y un valor infinitesimal es menor que cualquier número. Si se agrega infinito a sí mismo, recibirá infinito, y si se agrega un valor infinitesimal a sí mismo, nuevamente recibirá un valor infinitesimal. Y si multiplica el infinito por una cantidad infinitesimal, obtendrá 1, como en el ejemplo sobre la probabilidad de ganar la lotería.
Tal enfoque da lugar a los mismos problemas que nuestro infinito "inventado" anterior. Aquí es necesario actuar con una precisión especial o más bien una habilidad técnica, como lo hicimos antes, cuando queríamos formular una definición clara del concepto de "infinito", pero como los problemas surgen con demasiada frecuencia, será más elegante tratar de sortearlos. Si durante una caminata en su camino atrapó un gran charco sucio, entonces lo pisa con la esperanza de que los zapatos no se mojen o intenta evitarlo. (Por supuesto, algunas personas, especialmente los niños, adoran pisar justo en el centro del charco. En matemáticas esto también sucede).
Aquí se explica cómo sortear cuidadosamente el problema de la división por infinito. Imagine que necesita dividir un pastel de chocolate en varias personas. Si lo divide en dos, entonces todos obtienen mucho. Si divide entre tres, entonces todos obtienen mucho, pero menos que en el primer caso. Si se trata de cuatro personas, recibirán aún menos. Cuanta más gente, menos pastel obtiene cada uno de ellos. Si el número de personas se vuelve realmente enorme, será una tontería tratar de compartir un pastel infeliz para todos. ¿Alguna vez has tratado de dividir un pastel en cien personas? (Los pasteles de boda generalmente consisten en varios niveles, que son esencialmente pasteles separados). ¿Qué pasa con mil personas? ¿Y un millón? En algún momento, cuando haya demasiada gente, todos obtendrán una pieza tan pequeña que será prácticamente una cantidad insignificante, es decir, casi nada.
Si tenemos un millón de personas y solo un pastel, técnicamente todos obtendrán su propia pieza, probablemente, miles de millones de moléculas de pastel. Pero externamente, la cantidad de pastel será casi igual a 0, y con un aumento en el número de personas, tenderá cada vez más a 0. Entonces le dimos un significado matemático a la idea de que la división por infinito da 0. De hecho, nunca dividimos por infinito (por lo tanto que no hay sentido común). Volvamos al ejemplo que mencionamos en el capítulo 11 cuando algo tiende al infinito. Intentamos dividir por lo que tiende al infinito, y descubrimos que la respuesta también tenderá a 0. Quizás algunos expertos ahora traigan un microscopio y digan que todavía ven algo de pastel en un plato. Pero siempre podemos compartirlo un poco más, y el pastel no volverá a ser visible. Esto no significa que 1, dividido por el infinito, sea 0, pero estos argumentos dieron a nuestras suposiciones intuitivas una explicación matemática, y este fue el comienzo de todo el análisis matemático moderno.
Las paradojas de Zenón
El análisis matemático tiene sus raíces en la antigüedad. El filósofo griego Zenon hizo la pregunta de cómo algo puede consistir en un número infinito de partes infinitesimales hace más de 2.500 años. Al igual que Hilbert miles de años después, Zeno estudió paradojas que demuestran que un número infinito de objetos debe manejarse con mucho cuidado.
Una de las paradojas de Zeno es similar a la de un niño pensando en un pastel de chocolate: si como la mitad de lo que queda, luego la mitad de lo que queda, y así sucesivamente, comeré solo la mitad de lo que queda, y eso significa ¿Es que el pastel se volverá interminable?
Zenón formula esta paradoja de la siguiente manera: si quieres llegar del punto A al punto B, primero debes superar la mitad de la distancia. Luego debes recorrer la mitad de la distancia restante. Después de lo cual tendrá que recorrer la mitad de la nueva distancia restante, y así sucesivamente. Constantemente vas solo la mitad de la distancia restante.
Después de cada etapa, siempre hay la mitad de la distancia, y siempre puedes recorrer solo la mitad de lo que queda. ¿Esto significa que nunca llegarás al lugar?
Los matemáticos son muy aficionados a crear nuevos conceptos a partir de los antiguos que ya han sido estudiados. Volvamos también al infinito de números naturales ya pasado. Dijimos que necesitamos superar la mitad de la distancia completa, luego un cuarto, luego un octavo, un dieciseisavo, y así sucesivamente "sin fin". Como ya sabemos, los números naturales continúan sin cesar. Supongamos que necesitamos caminar una milla. Entonces podemos distinguir las siguientes etapas del camino:
Tenemos un número infinito de n, lo que significa que tendremos un número infinito de etapas en el camino. No podemos especificar la duración de cada etapa, pero podemos escribirla de forma general: para esto aplicamos una fórmula con la variable n. Pero si no podemos registrar la duración de cada etapa, ¿podemos terminar cada una de ellas? La respuesta debería ser: sí, porque terminar el camino es bastante normal para cada uno de nosotros. Por lo general, terminamos nuestros caminos, incluso los más cortos, y lo hacemos todos los días. (No salgo de mi casa todos los días, pero a veces me las arreglo para ir al refrigerador varias veces en una hora).
En una paradoja similar, también formulada por Zenón, estamos hablando de Aquiles y la tortuga, que corren desde el punto A hasta el punto B. La tortuga puede comenzar a moverse primero, digamos, en el punto A1, ¡pero se mueve muy lentamente, porque es una tortuga! Y Aquiles primero debe correr hacia el lugar donde comienza la tortuga. Durante este tiempo, la tortuga va un poco más lejos, por ejemplo, al punto A2. Ahora Aquiles debe llegar a este punto; Mientras hace esto, la tortuga pasa un poco más, por ejemplo, al punto A3. Ahora Aquiles ya debería llegar a A3, y durante este tiempo la tortuga se arrastra hacia el punto A4. Cada vez que Aquiles llega al lugar donde estaba la tortuga en el momento en que verificamos por última vez el estado de la raza, la tortuga va un poco más allá. ¿Significa esto que la tortuga ganará la carrera?
Ambas paradojas se basan en evidencia completamente lógica que lleva a una conclusión absurda. Por lo general, somos bastante capaces de llegar a nuestro destino. Y es obvio que si Usain Bolt corre una carrera con una tortuga, ganará la carrera. El significado de estas paradojas no es detectar errores en nuestra realidad, sino detectar errores en la lógica de nuestros argumentos.
Esta paradoja difiere de la paradoja del hotel Hilbert, que, aunque puede estar llena, aún puede acomodar a los recién llegados. En él, la conclusión suena absurda, porque nuestras ideas intuitivas sobre hoteles interminables no son del todo correctas.
Paradojas como la paradoja del Hotel Hilbert se llaman verdaderas paradojas; argumentos sólidos en ellos llevan a una conclusión que parece contradictoria, pero en realidad no lo es. , , , , , .
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