Por qué el teorema de incompletitud de Gödel es difícil de probar: el asunto está en las formulaciones, y no solo en esencia

Hablando en términos generales, el teorema de incompletitud de Gödel establece que hay afirmaciones matemáticas verdaderas que no se pueden probar. Cuando estaba en 11 ° grado, los tres junto con el maestro de geometría Sr. Olsen y mi amigo Uma Roy pasamos cinco semanas leyendo la prueba original de Gödel. ¿Por qué tanto tiempo? En parte porque todavía éramos escolares. En parte porque Gödel, de 24 años, no era el escritor más talentoso. Pero principalmente porque la evidencia es realmente bastante difícil.

Esto puede parecer sorprendente, porque toda la evidencia, de hecho, puede encajar en un párrafo. Gödel comienza construyendo un enunciado matemático esencialmente equivalente a una oración,

Esta afirmación no puede ser probada.

Godel luego considera lo que sucederá si esta afirmación es falsa. Es decir, si esta afirmación puede ser probada. Pero cualquier afirmación que pueda probarse debe ser cierta; esto es una contradicción. A partir de esto, Gödel concluye que la afirmación debe ser cierta. Pero, dado que la afirmación es verdadera, se deduce de esto que la afirmación no se puede probar. Tenga en cuenta que esta declaración final no es una contradicción. Por el contrario, esta es la prueba del teorema de Gödel.

Entonces, ¿por qué la evidencia real es tan complicada? El truco es que lo que puede sonar como una declaración matemática válida en inglés a menudo no lo es (especialmente cuando una oración se refiere a sí misma). Considere, por ejemplo, la siguiente oración:

Esta oración es falsa.

Una oración no tiene sentido: no puede ser falsa (porque la haría verdadera) y no puede ser verdadera (porque la haría falsa). Y, por supuesto, no se puede escribir en forma de una declaración matemática formal.

Aquí hay otro ejemplo (conocido como la paradoja de Berry):

Defina {x} como el entero positivo más pequeño que no se puede describir en menos de 100 palabras.

Esto puede parecer una definición matemática válida. Pero, de nuevo, no tiene sentido. Y, lo cual es importante para la cordura de las matemáticas, no se puede escribir formalmente una declaración similar, es decir, matemáticamente.

Incluso las declaraciones en el lenguaje de las matemáticas pueden no tener sentido:

$$

$$S = \ {A \ mid A \ not \ in A \}$$

(es decir $$$S$Es muchos sets $$$A$que no son elementos de sí mismos).

Esta es nuevamente una definición sin sentido (conocida como la paradoja de Russell). En particular, una vez que hemos identificado $$$S$podemos preguntar si $$$S$usted mismo Si es así, entonces $$$S$no puede ser miembro $$$S$- una contradicción; y si no, entonces $$$S$será un miembro $$$S$- De nuevo una contradicción.

El significado de estos tres ejemplos es que si desea probar teoremas sobre enunciados matemáticos, debe tener mucho cuidado con el hecho de que realmente está operando enunciados matemáticos. De hecho, desde 46 definiciones al principio hasta evidencia sorprendentemente sólida al final, el artículo original de Gödel no es más que un ejercicio masivo de precaución.