Operaciones de números complejos

Hola% username%!
Recibí bastantes comentarios sobre la primera parte e intenté tenerlos en cuenta.
En la primera parte escribí sobre la suma, resta, multiplicación y división de números complejos.
Si no sabes esto, date prisa y lee la primera parte :-)
El artículo está enmarcado, hay muy pocas historias aquí, en su mayoría fórmulas.
Que tengas una buena lectura!

Entonces, pasemos a operaciones más interesantes y un poco más complejas.
Hablaré sobre la forma exponencial del número complejo,
exponenciación, raíz cuadrada, módulo, y también sobre el seno y
coseno de un argumento complejo.
Creo que vale la pena comenzar con un módulo de números complejos.
El número complejo se puede representar en el eje de coordenadas.
Los números reales se ubicarán a lo largo de x, y los números imaginarios a lo largo de y.
Esto se llama plano complejo. Cualquier número complejo, por ejemplo

$$

$$z = 6 + 8i$$

obviamente se puede representar como un vector de radio:

La fórmula para calcular el módulo se verá así:

$$

$$r = | z | = \ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2)$$

Resulta que el módulo del número complejo z será igual a 10.
En la última parte, hablé sobre dos formas de escribir números complejos:
Algebraico y geométrico. También hay una forma indicativa de entrada:

$$

$$z = r \: e ^ {i \ phi}$$

Aquí r es el módulo de un número complejo,
y φ es arctg (y / x) si x> 0
Si x <0, y> 0 entonces

$$

$$φ = arctan (y / x) + \ pi$$

Si x <0, y <0, entonces

$$

$$φ = arctan (y / x) - \ pi$$

Hay una maravillosa fórmula de Moiré que te permite construir un número complejo en
Un grado completo. Fue descubierto por el matemático francés Abrach de Moire en 1707.
Se ve así:

$$

$$z ^ n = r ^ n {(cos (\ phi) + i * sin (\ phi))} ^ n$$

Como resultado, podemos elevar el número z a la potencia a:

$$

$$z.x = | z | ^ a * cos (a * arctg (y / x))$$

$$

$$z.y = | z | ^ a * sin (a * arctg (y / x))$$

Si su número complejo está escrito en forma exponencial, entonces
puedes usar la fórmula:

$$

$$z ^ k = r ^ ke ^ {ik \ phi}$$

Ahora, sabiendo cómo se encuentran el módulo del número complejo y la fórmula de Moire, podemos encontrar
n raíz del número complejo:

$$

$$\ sqrt [n] {z} = \ sqrt [n] {r} \; cos {\ frac {\ phi + 2 \ pi k} {n}} + i * sin {\ frac {\ phi + 2 \ pi k} {n}}$$

Aquí k son números del 0 al n-1
De esto podemos concluir que hay exactamente n raíces distintas del enésimo
grados de un número complejo.
Pasemos al seno y al coseno.
La famosa fórmula de Euler nos ayudará a calcularlos:

$$

$$e ^ {ix} = cos ({x}) + i * sin ({x})$$

Por cierto, todavía existe la identidad de Euler, que es un particular
El caso de la fórmula de Euler para x = π:

$$

$$e ^ {iπ} + 1 = 0$$

Obtenemos las fórmulas para calcular el seno y el coseno:

$$

$$sin \: z = \ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {{2i}}$$

$$

$$cos \: z = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {{2}}$$

Al final del artículo, uno no puede dejar de mencionar la aplicación práctica de la integración
números para que no haya duda

¿Se rindieron estos números complejos?
Respuesta: en algunas áreas de la ciencia no hay forma sin ellas.
En física, en mecánica cuántica existe una función de onda, que en sí misma tiene un valor complejo.
En ingeniería eléctrica, los números complejos se han encontrado como un reemplazo conveniente para las diferencias que surgen inevitablemente al resolver problemas con circuitos de CA lineales.
El teorema de Zhukovsky (elevación del ala) también usa números complejos.
Y también en biología, medicina, economía y muchos más lugares.
Espero que ahora puedas manejar números complejos y puedas
Póngalos en práctica.
Si algo en el artículo no está claro, escriba en los comentarios, le responderé.