Eliminemos los cuaterniones de todos los motores 3D.

Los programadores de gráficos usan cuaterniones para grabar giros tridimensionales. Sin embargo, los cuaterniones son difíciles de entender porque se estudian superficialmente . Simplemente tomamos tablas de multiplicación extrañas y otras definiciones crípticas sobre la fe, y las usamos como "cajas negras" que rotan vectores según sea necesario. Porque $$$\ mathbf {i} ^ 2 = \ mathbf {j} ^ 2 = \ mathbf {k} ^ 2 = -1$ y $$$\ mathbf {i} \ mathbf {j} = \ mathbf {k}$ ? ¿Por qué tomamos un vector y lo convertimos en un vector "imaginario" para transformarlo, por ejemplo $$$\ mathbf {q} (x \ mathbf {i} + y \ mathbf {j} + z \ mathbf {k}) \ mathbf {q} ^ {*}$ ? Pero a quién le importa si todo funciona, ¿verdad?

Hay una manera de describir rotaciones llamada rotor , que se refiere al campo de los números complejos (en 2D) y los cuaterniones (en 3D), e incluso se generaliza a cualquier cantidad de dimensiones.

Podemos crear rotores casi por completo desde cero , en lugar de definir los cuaterniones de la nada y tratar de explicar cómo funcionan de manera retroactiva . Lleva más tiempo, pero me parece que vale la pena, ¡porque son mucho más fáciles de entender!

Además, para la visualización y comprensión de rotores tridimensionales, no es necesario utilizar la cuarta dimensión espacial.

Sería genial si comenzaran a suplantar el uso y el estudio de los cuaterniones, reemplazándolos por rotores. Reemplazarlos es muy simple, pero el código seguirá siendo casi el mismo . Todo lo que se puede hacer con cuaterniones, por ejemplo, interpolar y quitar bloqueos de eje (bloqueo de cardán), se puede hacer con rotores. Pero comenzamos a entender mucho más.

(En el artículo original, todos los gráficos son interactivos y al artículo le sigue un video. Al hacer clic en los botones de reproducción, puede comenzar la sección correspondiente del video. También puede hacer clic en el botón de transición debajo del video para ir a la sección correspondiente del artículo. Puede expandir la ventana para que haya más espacio para el video , o establezca un tamaño constante para ello).

1. Torneado de planos

1.1. Los giros se realizan en planos bidimensionales.

En el espacio tridimensional, generalmente percibimos giros que ocurren alrededor de los ejes, como una rueda que gira sobre un eje, pero en cambio sería más correcto representar el plano en el que se encuentra la rueda. Este plano es perpendicular al eje.


Esta anciana hace girar una rueda en el avión. $$$\ mathbf {xz}$ perpendicular al eje $$$\ mathbf {y}$ .

Esto sucede porque si dividimos el vector en dos partes, una de las cuales se encuentra en el plano ( $$$\ mathbf {v} _ \ parallel$ ), y el otro está afuera ( $$$\ mathbf {v} _ \ perp$ ), la rotación rota la parte interna y la externa permanece sin cambios.


Rotación en el plano $$$yx$ [ en el artículo original esta animación y la cámara se pueden mover ]

En el espacio bidimensional solo hay un plano en el que es posible la rotación ( no hay una parte externa ). Por lo tanto, asumir que las rotaciones ocurren alrededor del tercer eje (perpendicular al plano 2D) es estrictamente hablando incorrecto, porque para completar las rotaciones no debemos agregar otra dimensión.

Si le contamos al “propietario de terreno plano” bidimensional (que vive dentro del plano 2D y nunca salió del espacio bidimensional) sobre el eje de rotación perpendicular, entonces él preguntaría: “¿En qué dirección apunta este eje? ¡No puedo imaginarla! "

1.2. La dirección exacta de las curvas.

Además, cuando pensamos en la rotación alrededor de un eje, la dirección de rotación no está definida y, por lo tanto, debe determinarse mediante una regla (la llamada "regla de la mano derecha").

Sin embargo, si suponemos que los giros ocurren dentro de los planos, entonces la dirección se vuelve clara: rotación en el plano $$$\ mathbf {xy}$ significa una rotación que mueve un vector (unidad) $$$\ mathbf {x}$ al vector (unidad) $$$\ mathbf {y}$ dentro del avión se forman juntos. Rotación en el plano $$$\ mathbf {yx}$ Es una rotación en la dirección opuesta: mueve el vector $$$\ mathbf {y}$ al vector $$$\ mathbf {x}$ .

2. Bivectores

2.1. Trabajo externo

Para calcular el eje de rotación al girar un vector $$$\ mathbf {a}$ a otro vector $$$\ mathbf {b}$ Tomamos el producto vectorial de dos vectores para obtener un vector perpendicular a ambos. Pero, ¿por qué necesitamos "abandonar" el plano si la rotación es esencialmente una operación bidimensional?

En cambio, tomamos lo que se llama un producto externo (también conocido como producto vectorial bidimensional), dos vectores, creando un nuevo elemento llamado "bivector" (o 2-vector) $$$\ mathbf {B}$ representando el plano que dos vectores forman juntos. Si un producto vectorial crea un vector normal para el plano, entonces el producto externo crea el plano mismo . El cálculo de lo normal al plano es irrelevante.

$$

$$\ mathbf {B} = \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$$

$$$\ mathbf {B}$ se puede representar como un paralelogramo construido a partir de vectores $$$\ mathbf {a}$ y $$$\ mathbf {b}$ en el plano que juntos forman.

Al principio, la idea de un bivector puede parecer extraña, pero pronto veremos que son casi tan fundamentales como los propios vectores . Si el vector se puede comparar con una línea recta, entonces el bivector es similar a un plano ... Las propiedades de un producto externo capturan las propiedades importantes de los planos.

2.2. La base para bivectores

Los bivectores, como los vectores, tienen componentes. Pero se determinan sobre la base de planos , y no de líneas rectas , como los vectores.

Tres planos basales ortogonales son $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$ , $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}$ y $$$\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z}$ como vemos en la figura.

Pero primero, veamos un caso bidimensional más simple ...

2.3. Bivectores bidimensionales

En 2D, solo hay un plano, a saber $$$\ mathbf {xy}$ . Es decir, un bivector bidimensional tiene un solo componente. Para un bivector compuesto de vectores $$$\ mathbf {a}$ y $$$\ mathbf {b}$ es el numero $$$B_ {xy}$ igual al área (con un signo) del paralelogramo formado por dos vectores.

$$

$$\ mathbf {B} = \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} = B_ {xy} (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y})$$

En el artículo original con un bivector 2D, puede experimentar en el gráfico interactivo cambiando los vectores (únicos) de los que está compuesto:


Puede ver que cuando el ángulo entre los vectores cambia, el área del paralelogramo cambia (de acuerdo con el seno del ángulo).

Si los vectores son iguales o paralelos, entonces no forman un plano regular y el resultado será cero. Esta propiedad simple define qué es un bivector:

$$

$$\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {a} = 0$$

Mirando la suma de dos vectores, puede ver que la propiedad sigue:

$$

$$\ begin {eqnarray} (\ mathbf {a} + \ mathbf {b}) \ wedge (\ mathbf {a} + \ mathbf {b}) & = & 0 \\ \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf { a} + \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} + \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {b} & = & 0 \\ \ mathbf { b} \ wedge \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} & = & 0 \ end {eqnarray}$$

Por lo tanto:

$$

$$\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} = - \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {a}$$

Al igual que la dirección de rotación , el orden de los argumentos en el trabajo externo es importante. Reordenar los argumentos cambia el signo del resultado (esto se llama "antisimetría").

En el gráfico, el signo se indica con un color que cambia de azul a verde. El signo cambia cuando el turno de $$$\ mathbf {a}$ en $$$\ mathbf {b}$ se mueve de derecha a izquierda (es decir, si coincide con la dirección (de $$$\ mathbf {x}$ a $$$\ mathbf {y}$ ) o dirección (desde $$$\ mathbf {y}$ a $$$\ mathbf {x}$ )).

Puede ver que las propiedades del producto externo están organizadas de modo que transmitan las propiedades de planos y giros.

2.4. Bivectores bidimensionales de vectores no unitarios

Obviamente, los vectores no tienen que ser de longitud unitaria, y esta restricción se ha eliminado en este gráfico:


El área del paralelogramo con un signo es proporcional a las longitudes de ambos vectores: $$$B_ {xy} = sin (\ alpha) \ | a \ | \ | b \ |$ donde $$$\ alpha$ Es el ángulo entre $$$\ mathbf {a}$ y $$$\ mathbf {b}$ . Es decir, por ejemplo, al duplicar la longitud de un vector, el área se duplica.

Podemos obtener el verdadero valor sustituyendo los vectores como componentes:

$$

$$\ begin {eqnarray} \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} & = & (a_x \ mathbf {x} + a_y \ mathbf {y}) \ wedge (b_x \ mathbf {x} + b_y \ mathbf { y}) \\ & = & a_x b_x (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {x}) + a_x b_y (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) + a_y b_x (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {x}) + a_y b_y (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {y}) \\ & = & a_x b_y (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) + a_y b_x ( \ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {x}) \\ & = & a_x b_y (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) - a_y b_x (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} ) \\ & = & (a_x b_y - a_y b_x) (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) \ end {eqnarray}$$

$$

$$B_ {xy} = a_x b_y - b_x a_y$$

2.5. Bivectores 3D

Igual que las coordenadas vectoriales $$$\ mathbf {v}$ pueden considerarse proyecciones del vector en tres ejes básicos ortogonales ( $$$\ mathbf {x}$ , $$$\ mathbf {y}$ , $$$\ mathbf {z}$ ), las coordenadas del bivector $$$\ mathbf {B}$ Se pueden considerar proyecciones más pequeñas que un plano en tres planos basales ortogonales.

Las proyecciones del vector son las longitudes de este vector a lo largo de cada vector base, y las proyecciones del bivector son las áreas del plano en cada plano base.

Para el vector:

$$

$$\ mathbf {v} = \ bbox [5px, borde inferior: 2px rojo sólido] {v_x} \ mathbf {x} + \ bbox [5px, borde inferior: 2px verde sólido] {v_y} \ mathbf {y} + \ bbox [5px, borde inferior: 2px azul sólido] {v_z} \ mathbf {z}$$

Para bivector:

$$

$$\ mathbf {B} = \ bbox [5px, borde inferior: 2px coral sólido] {B_ {xy}} (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) + \ bbox [5px, borde inferior: 2px oro sólido] {B_ {xz}} (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}) + \ bbox [5px, borde inferior: 2px DarkViolet sólido] {B_ {yz}} (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z})$$

Donde $$$B_ {xy}$ , $$$B_ {xz}$ , $$$B_ {yz}$ Son solo números como $$$v_x$ , $$$v_y$ , $$$v_z$ (están subrayados por los colores correspondientes a los colores en el gráfico).

Los componentes de un bivector 3D son solo tres proyecciones 2D de un bivector en un plano 2D básico.

Usando el mismo método que antes, encontramos que los valores verdaderos de los componentes se parecen mucho al componente XY del caso bidimensional, pero se aplican a los tres planos:

$$

$$B_ {xy} = a_x b_y - b_x a_y$$

$$

$$B_ {xz} = a_x b_z - b_x a_z$$

$$

$$B_ {yz} = a_y b_z - b_y a_z$$

Puede experimentar con un bivector 3D en un gráfico interactivo en el artículo original:



Si dividimos el bivector por su norma, entonces reducimos las dos longitudes de los vectores y el valor (absoluto) del seno del ángulo, es decir, tendremos el bivector $$$\ hat {\ mathbf {B}}$ , que se construirá como si los dos vectores fueran inicialmente perpendiculares y tuvieran una longitud unitaria. Esta es una representación muy limpia de un plano que contiene ambos vectores. Entonces

$$

$$\ mathbf {B} = | \ mathbf {a} \ | \ | | mathbf {b} \ | \ mid sin (\ alpha) \ mid \ hat {\ mathbf {B}}$$

¿Algo te recuerda a un trabajo externo? En 3D, la definición de un trabajo externo es muy similar a la definición de un trabajo vectorial. De hecho, un vector en 3D obtenido de un producto vectorial (por ejemplo, un vector normal) tendrá tres componentes iguales a los componentes del bivector (los números serán los mismos, pero la base es diferente).

$$$$ display $$ \ begin {eqnarray} \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} & = & & (a_x b_y - b_x a_y) (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) \\ & & + & (a_x b_z - b_x a_z) (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}) \\ & & + & (a_y b_z - b_y a_z) (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z} ) \\ \\ \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} & = & & (a_x b_y - b_x a_y) \ \ mathbf {z} \\ & & - & (a_x b_z - b_x a_z) \ \ mathbf {y} \\ & & + & (a_y b_z - b_y a_z) \ \ mathbf {x} \ end {eqnarray} $$ display $$

La definición de un bivector tiene un significado geométrico y no aparece de la nada. Recuerdo que cuando estudié productos vectoriales, pensé: “¿Qué demonios devuelve un vector cuya longitud es igual al área del paralelogramo formado por estos dos vectores? Parece tan al azar. ¿Y por qué podemos convertir el área del paralelogramo en la longitud del vector?

2.6. Semántica de vectores y bivectores.

En 3D, el bivector tiene tres coordenadas, una por plano: ( $$$\ mathbf {xy}$ , $$$\ mathbf {xz}$ y $$$\ mathbf {yz}$ ) Los vectores también tienen tres coordenadas, una por eje ( $$$\ mathbf {x}$ , $$$\ mathbf {y}$ y $$$\ mathbf {z}$ ) Cada plano es perpendicular a un eje. Esta coincidencia surge solo en tres dimensiones (*) y es por eso que constantemente confundimos bivectores con vectores .


En programación, ambos tienen el mismo diseño de memoria, pero diferentes operaciones. Usar un vector 3D en lugar de un bivector 3D es similar a una "conversión de tipo" de un bivector.

Aquí hay un ejemplo: podría ver que los vectores normales se transforman de manera diferente a los vectores ordinarios utilizando la matriz de "transferencia inversa" $$$(\ mathbf {M} ^ {T}) ^ {- 1}$ , en lugar de la matriz misma. Esto se debe a que, de hecho, en realidad no son vectores, sino bivectores, que se convierten en vectores por "conversión de tipo". En física, hay un truco llamado "vector axial", que se introdujo para distinguir los vectores obtenidos por el producto vectorial de los vectores ordinarios. Un bivector es un verdadero "tipo" de un objeto y debe ser percibido y procesado en consecuencia.

3. El producto geométrico

3.1. Multiplicación de vectores entre sí

Producto geométrico $$$\ mathbf {a b}$ (denotado sin un símbolo) es otra operación que se puede realizar con vectores. El producto geométrico se define para que los vectores sean cantidades inversas (p. Ej. $$$\ mathbf {a} \ mathbf {a} ^ {- 1} = 1$ , donde 1 es solo el número 1!) y tiene propiedades convenientes, por ejemplo, asociatividad ( $$$\ mathbf {a} (\ mathbf {b} \ mathbf {c}) = (\ mathbf {a} \ mathbf {b}) \ mathbf {c}$ ) El propósito de esto es poder multiplicar vectores para que (como es el caso de las matrices) la multiplicación corresponda a operaciones geométricas.


Para definir un producto, primero notamos que es posible dividir un producto (o cualquier función que tome dos argumentos) en la suma de la parte que no cambia si intercambiamos los argumentos y la parte que cambia de la siguiente manera:

$$

$$\ begin {eqnarray} \ mathbf {a} \ mathbf {b} & = & \ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf {b} \ mathbf {a} - \ mathbf {b} \ mathbf {a}) \\ & = & \ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf { b} \ mathbf {a}) + \ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} - \ mathbf {b} \ mathbf {a}) \ end {eqnarray}$$

El primer término ya no depende del orden de los argumentos. $$$\ mathbf {a}$ y $$$\ mathbf {b}$ (se llama la parte "simétrica"), y el segundo término cambia de signo al cambiar los lugares de los argumentos (se llama la parte "antisimétrica").

El producto escalar de dos vectores (también llamado producto interno) es simétrico y es una medida de distancia ( $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} = \ | \ mathbf {a} \ | ^ 2$ ), por lo tanto, desde un punto de vista geométrico, parece útil que lo hagamos igual a la parte simétrica:

$$

$$\ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf {b} \ mathbf {a}) = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}$$

De manera similar, el producto externo de dos vectores es antisimétrico, por lo que sería útil equipararlo a la parte antisimétrica:

$$

$$\ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} - \ mathbf {b} \ mathbf {a}) = \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$$

Además, el producto escalar contiene el coseno del ángulo entre dos vectores ( $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ | \ mathbf {a} \ | \ | \ mathbf {b} \ | cos (\ alpha)$ ), mientras que el producto externo contiene el seno del ángulo. Juntos, describen completamente el ángulo entre los vectores, así como el plano que forman.


Es decir, el producto geométrico es igual a:

$$

$$\ mathbf {a} \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$$

Esto es extraño porque multiplicar dos vectores da la suma de dos cosas diferentes: un escalar y un bivector. Sin embargo, esto es similar a cómo un número complejo es la suma de un número escalar y un número "imaginario", por lo que ya podría acostumbrarse a él. Aquí, la parte bivector corresponde a la parte "imaginaria" del número complejo. Solo que este no es un valor "imaginario", ¡es solo un bivector que realmente podemos mostrar gráficamente!

De hecho, multiplicando dos vectores, calculamos sus propiedades útiles ("la longitud de sus proyecciones entre sí" / "coseno del ángulo" ( $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}$ ) y "el plano que forman juntos" / "el seno del ángulo" ( $$$\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$ )), que conectamos juntos con un signo más. Un producto geométrico también proporciona operaciones de "grupos de propiedades" que pueden aplicarse a ellos, y estas operaciones tienen interpretaciones geométricas (por ejemplo: rotación y reflexión de vectores). Esto lo veremos pronto.

Puede expresar el producto geométrico en términos de seno y coseno: $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b} = \ | \ mathbf {a} \ | \ | \ mathbf {b} \ | (cos (\ alpha) + sin (\ alpha) \ mathbf {B})$ donde $$$\ mathbf {B}$ Es un bivector de ambos vectores en el plano, compuesto por dos unidades de vectores perpendiculares.

3.2. Tabla de multiplicación

La tabla de multiplicación nos permite hacer que el producto sea más específico: veamos qué sucede si obtenemos los productos de los vectores base ( $$$\ mathbf {x}$ , $$$\ mathbf {y}$ , $$$\ mathbf {z}$ )

Para cualquier vector base, por ejemplo un eje $$$\ mathbf {x}$ , el resultado será igual $$$1$ :

$$

$$\ mathbf {x} \ mathbf {x} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x} + \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {x} = 1$$

Para cualquier par de vectores base, por ejemplo, ejes $$$\ mathbf {x}$ y $$$\ mathbf {y}$ , el resultado será un bivector, que juntos forman:

$$

$$\ mathbf {x} \ mathbf {y} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} + \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} = \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} $$$

(es decir, podemos nombrar $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$ solo $$$\ mathbf {x} \ mathbf {y}$ , ya que este es uno y el mismo!)

Esto nos da la siguiente tabla:

$$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$		$$$\ mathbf {b}$
		$$$\ mathbf {x}$	$$$\ mathbf {y}$	$$$\ mathbf {z}$
$$$\ mathbf {a}$	$$$\ mathbf {x}$	$$$1$	$$$\ mathbf {x} \ mathbf {y}$	$$$\ mathbf {x} \ mathbf {z}$
	$$$\ mathbf {y}$	$$$- \ mathbf {x} \ mathbf {y}$	$$$1$	$$$\ mathbf {y} \ mathbf {z}$
	$$$\ mathbf {z}$	$$$- \ mathbf {x} \ mathbf {z}$	$$$- \ mathbf {y} \ mathbf {z}$	$$$1$

De hecho, esta tabla es trivial, comparada, por ejemplo, con la tabla de cuaterniones.

3.3. Fórmula de reflexión (aspecto tradicional)

Reflexión sobre un vector [en el artículo original, cada vector se puede mover]

Si tenemos un vector unitario $$$\ mathbf {a}$ y vector $$$\ mathbf {v}$ podemos reflexionar $$$\ mathbf {v}$ a través de un plano perpendicular $$$\ mathbf {a}$ .

Esto se hace de la manera habitual: compartimos $$$\ mathbf {v}$ en la parte perpendicular al plano: $$$\ mathbf {v} _ \ perp = (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}$ , y la parte paralela al plano: $$$\ mathbf {v} _ \ parallel = \ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ \ perp = \ mathbf {v} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a} $$ .

Luego, para reflejar el vector, volteamos la parte perpendicular y dejamos la parte paralela sin cambios:

$$

$$\ begin {eqnarray} R _ {\ mathbf {a}} (\ mathbf {v}) & = & \ mathbf {v} _ \ parallel - \ mathbf {v} _ \ perp \\ & = & (\ mathbf { v} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}) - ((\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}) \\ & = & \ mathbf {v} - 2 (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a} \ end {eqnarray}$$

3.4. Fórmula de reflexión (vista para producto geométrico)

En esta etapa, podemos reemplazar el producto escalar $$$\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}$ en su versión en forma de producto geométrico $$$\ frac {1} {2} (\ mathbf {v} \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ mathbf {v})$ y obtén lo siguiente:

$$

$$\ begin {eqnarray} R _ {\ mathbf {a}} (\ mathbf {v}) & = & \ mathbf {v} - 2 (\ frac {1} {2} (\ mathbf {v} \ mathbf {a } + \ mathbf {a} \ mathbf {v})) \ mathbf {a} \\ & = & \ mathbf {v} - \ mathbf {v} \ mathbf {a} ^ 2 - \ mathbf {a} \ mathbf {v} \ mathbf {a} \\ & = & - \ mathbf {a} \ mathbf {v} \ mathbf {a} \ end {eqnarray}$$

( $$$\ mathbf {a} ^ 2 = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} = 1$ desde $$$\ mathbf {a}$ es un vector unitario)

Esto nos da exactamente lo mismo, pero en una entrada diferente. ¡Usar un registro en forma de un producto simple en lugar de una fórmula para codificar una operación tan fundamental como la reflexión será muy útil!

3.5. Dos reflexiones son un giro: la situación en 2D

Resulta que si aplicamos a $$$\ mathbf {v}$ dos reflexiones consecutivas (primero con un vector $$$\ mathbf {a}$ y luego con el vector $$$\ mathbf {b}$ ), entonces obtenemos una rotación al doble del ángulo entre los vectores $$$\ mathbf {a}$ y $$$\ mathbf {b}$ .

Podemos mostrar cada etapa posterior de reflexión en el siguiente gráfico:


También puede cambiar los vectores en el artículo original. $$$\ mathbf {a}$ , $$$\ mathbf {b}$ y $$$\ mathbf {v}$ , pero la configuración inicial de los vectores en el gráfico (haga clic en el botón "Restablecer posiciones de vectores") demuestra claramente por qué la rotación como resultado ocurre en un ángulo doble . Otra buena configuración es establecer como $$$\ mathbf {a}$ y $$$\ mathbf {b}$ hachas $$$\ mathbf {x}$ y $$$\ mathbf {y}$ .

3.6. Dos reflexiones es un giro: la situación en 3D

En el caso del vector 3D $$$\ mathbf {v}$ se puede dividir en dos partes, una de las cuales se encuentra en el plano dado $$$\ mathbf {a}$ y $$$\ mathbf {b}$ , y el otro se encuentra fuera del plano (perpendicular a él). Como se muestra en el gráfico a continuación, cuando el vector se refleja en cada uno de los planos, su parte exterior permanece igual. En cuanto al interior, estamos de vuelta en 2D, ¡y simplemente gira dos veces el ángulo!

3.7. Rotores

Desde el punto de vista del producto geométrico, dos reflexiones simplemente corresponden a lo siguiente:

$$

$$R _ {\ mathbf {b}} (R _ {\ mathbf {a}} (\ mathbf {v})) = - \ mathbf {b} (- \ mathbf {a} \ mathbf {v} \ mathbf {a} ) \ mathbf {b} = \ mathbf {b} \ mathbf {a} \: \ mathbf {v} \: \ mathbf {a} \ mathbf {b}$$

Llamamos $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$ rotor porque multiplicando por $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$ a ambos lados del vector, realizamos una rotación ( $$$\ mathbf {b} \ mathbf {a}$ Es lo mismo que $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$ , solo en el bivector parcial invertido).

Aplicación del rotor $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$ a ambos lados del vector gira este vector en el plano de los vectores $$$\ mathbf {a}$ y $$$\ mathbf {b}$ dos veces el ángulo entre $$$\ mathbf {a}$ y $$$\ mathbf {b}$ .

¡Y eso es todo!

Comparación de rotores 3D y cuaterniones.

Puedes ver que los rotores 3D se parecen mucho a los cuaterniones:

$$

$$a + B_ {xy} \ \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} + B_ {xz} \ \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z} + B_ {yz} \ \ mathbf {y} \ cuña \ mathbf {z}$$

$$

$$a + b \ \ mathbf {i} + c \ \ mathbf {j} + d \ \ mathbf {k}$$

De hecho, el código / matemáticas es más o menos lo mismo. La principal diferencia es que $$$\ mathbf {i}$ , $$$\ mathbf {j}$ y $$$\ mathbf {k}$ reemplazado por $$$\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z}$ , $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}$ y $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$ pero funcionan básicamente igual. La comparación de códigos se puede encontrar aquí . No implementé todo, por ejemplo log / exp para la interpolación, pero son bastante fáciles de crear.


Sin embargo, como hemos visto, los rotores 3D son un concepto tridimensional que no requiere el uso de "doble vuelta de cuatro dimensiones" o "proyección estereográfica" para la visualización. Intentar visualizar los cuaterniones 4D para explicar las rotaciones 3D es un poco como tratar de entender el movimiento planetario desde un punto de vista geocéntrico. Es decir Este enfoque es demasiado complicado porque lo vemos desde el punto de vista equivocado.

Como vimos, modelar rotaciones como ocurre dentro de planos, en lugar de alrededor de vectores, nos ayuda mucho. Por ejemplo, los cuadrados de los bivectores base dan $$$-1$ , al igual que los cuaterniones básicos ( $$$\ mathbf {i} ^ 2 = \ mathbf {j} ^ 2 = \ mathbf {k} ^ 2 = -1$ ):

$$

$$(\ mathbf {x} \ mathbf {y}) ^ 2 = (\ mathbf {x} \ mathbf {y}) (\ mathbf {x} \ mathbf {y}) = - (\ mathbf {y} \ mathbf {x}) (\ mathbf {x} \ mathbf {y}) = - \ mathbf {y} (\ mathbf {x} \ mathbf {x}) \ mathbf {y} = - \ mathbf {y} \ mathbf { y} = -1$$

Multiplicar dos bivectores entre sí da un tercer bivector, pero de hecho es trivial, y no necesitamos recordar que $$$\ mathbf {i} \ mathbf {j} = \ mathbf {k}$ :

$$

$$(\ mathbf {x} \ mathbf {y}) (\ mathbf {y} \ mathbf {z}) = \ mathbf {x} (\ mathbf {y} \ mathbf {y}) \ mathbf {z} = \ mathbf {x} \ mathbf {z}$$

(Tenga en cuenta que utilizamos $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} = \ mathbf {x} \ mathbf {y}$ )

¡Estas propiedades son el resultado de un producto geométrico y no surgen de la nada!

Lectura adicional

(Por cierto, en álgebra geométrica no solo hay rotores, ¡sino también otras cosas geniales!)

• Álgebra lineal y geométrica de Macdonald [ enlace a Amazon ]
  
  Una fuente excelente, muy clara y comprensible, porque estaba implícito que reemplazaría el libro de texto de álgebra lineal para los estudiantes.
• Álgebra Geométrica para Informática por Dorst et al. [ enlace a Amazon ]
  
  Una gran fuente, porque la programación a veces te permite comprender mejor el tema.

  Nota: en este libro, los autores dejan en claro que el álgebra geométrica es más lenta que los cuaterniones (y similares ...). De hecho, debe tener aproximadamente el mismo código (es decir, no debe escribir código para álgebra geométrica, creando una estructura generalizada que pueda contener todos los tipos posibles de k-vectores, simplemente escriba, si es necesario, una estructura para cada tipo de k-vectores Es decir, para reemplazar los cuaterniones, puede escribir una estructura Bivector y una estructura Rotor, que es Escalar + Bivector).