La raison de la traduction de l'article était que je cherchais un livre de l'auteur de «The Outer Limits of Reason» . Je n'ai pas pu cacher le livre, mais je suis tombé sur un article qui, d'une manière assez concise, montre l'opinion de l'auteur sur le problème.

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L'un des problèmes les plus intéressants de la philosophie des sciences est le lien entre les mathématiques et la réalité physique. Pourquoi les mathématiques décrivent-elles si bien ce qui se passe dans l'univers? En effet, de nombreux domaines des mathématiques ont été formés sans aucune implication de la physique, cependant, comme il s'est avéré, ils sont devenus la base de la description de certaines lois physiques. Comment expliquer cela?

Plus clairement, ce paradoxe peut être observé dans des situations où certains objets physiques ont d'abord été découverts mathématiquement, et ce n'est qu'ensuite que des preuves ont été trouvées de leur existence physique. L'exemple le plus célèbre est la découverte de Neptune. Urbain Le Verrier a fait cette découverte simplement en calculant l'orbite d'Uranus et en examinant les écarts de prédictions avec l'image réelle. D’autres exemples sont la prédiction de Dirac sur les positrons et la suggestion de Maxwell que les ondes dans un champ électrique ou magnétique devraient générer des ondes.

Plus surprenant encore, certains domaines des mathématiques existaient bien avant que les physiciens ne se rendent compte qu'ils convenaient pour expliquer certains aspects de l'univers. Les sections coniques étudiées par Apollonius dans la Grèce antique ont été utilisées par Kepler au début du XVIIe siècle pour décrire les orbites des planètes. Des nombres complexes ont été proposés plusieurs siècles avant que les physiciens ne commencent à les utiliser pour décrire la mécanique quantique. La géométrie non euclidienne a été créée des décennies avant la théorie de la relativité.

Pourquoi les mathématiques décrivent-elles si bien les phénomènes naturels? Pourquoi, de toutes les façons d'exprimer ses pensées, les mathématiques fonctionnent-elles le mieux? Pourquoi, par exemple, il est impossible de prédire la trajectoire exacte du mouvement des corps célestes dans le langage de la poésie? Pourquoi ne pouvons-nous pas exprimer la complexité du tableau périodique avec un morceau de musique? Pourquoi la méditation n'aide-t-elle pas beaucoup à prédire le résultat d'expériences en mécanique quantique?

Le prix Nobel Eugene Wigner, dans son article «L'efficacité déraisonnable des mathématiques dans les sciences naturelles», pose également ces questions. Wigner ne nous a pas donné de réponses précises, il a écrit que "l'incroyable efficacité des mathématiques dans les sciences naturelles est quelque chose de mystique et il n'y a pas d'explication rationnelle à cela".

Albert Einstein a écrit à ce sujet:

Comment les mathématiques, produit de l'esprit humain, indépendamment de l'expérience individuelle, peuvent-elles être une manière si appropriée de décrire des objets dans la réalité? L'esprit humain peut-il alors, par le pouvoir de la pensée, sans recourir à l'expérience, comprendre les propriétés de l'univers? [Einstein]

Soyons clairs. Le problème se pose vraiment lorsque nous percevons les mathématiques et la physique comme 2 domaines différents, parfaitement formés et objectifs. Si vous regardez la situation de ce point de vue, on ne sait vraiment pas pourquoi ces deux disciplines fonctionnent si bien ensemble. Pourquoi les lois ouvertes de la physique sont-elles si bien décrites par les mathématiques (déjà ouvertes)?

Cette question a été réfléchie par de nombreuses personnes, et ils ont donné de nombreuses solutions à ce problème. Les théologiens, par exemple, ont proposé un Être qui construit les lois de la nature, et utilise en même temps le langage des mathématiques. Cependant, l'introduction d'un tel Être ne fait que compliquer tout. Les platoniciens (et leurs cousins naturalistes) croient en l'existence d'un "monde d'idées" qui contient tous les objets mathématiques, les formes et aussi la vérité. Il existe également des lois physiques. Le problème avec les platoniciens est qu'ils introduisent un autre concept du monde platonicien, et maintenant nous devons expliquer la relation entre les trois mondes ( note du traducteur. Je n'ai toujours pas compris pourquoi le tiers monde, mais je l'ai laissé tel quel ). La question se pose également de savoir si les théorèmes imparfaits sont des formes idéales (objets du monde des idées). Qu'en est-il des lois physiques réfutées?

La version la plus populaire pour résoudre le problème posé de l'efficacité des mathématiques est que nous étudions les mathématiques en observant le monde physique. Nous avons compris certaines des propriétés d'addition et de multiplication en comptant les moutons et les pierres. Nous avons étudié la géométrie en observant des formes physiques. De ce point de vue, il n'est pas surprenant que la physique suive les mathématiques, car les mathématiques sont formées par une étude attentive du monde physique. Le principal problème de cette solution est que les mathématiques sont bien utilisées dans des domaines qui sont loin de la perception humaine. Pourquoi le monde caché des particules subatomiques est-il si bien décrit par les mathématiques, étudié en comptant les moutons et les pierres? pourquoi la théorie spéciale de la relativité, qui fonctionne avec des objets se déplaçant à des vitesses proches de la vitesse de la lumière, est bien décrite par les mathématiques,qui se forme en observant des objets se déplaçant à vitesse normale?

Dans deux articles ( un , deux ), Macr Zeltser et moi (Noson Janowski) ont formulé un nouveau regard sur la nature des mathématiques ( commentaire d'un traducteur. En général, les mêmes articles sont écrits dans ces articles comme ici, mais de manière beaucoup plus approfondie ). Nous avons montré que, comme en physique, la symétrie joue un rôle énorme en mathématiques. Une telle vision donne une solution assez originale au problème posé.

Qu'est-ce que la physique

Avant de considérer la raison de l'efficacité des mathématiques en physique, nous devons parler des lois physiques. Dire que les lois physiques décrivent des phénomènes physiques est quelque peu frivole. Pour commencer, nous pouvons dire que chaque loi décrit de nombreux phénomènes. Par exemple, la loi de la gravité nous dit ce qui se passera si je laisse tomber ma cuillère, elle décrit également la chute de ma cuillère demain, ou ce qui se passe si je laisse tomber une cuillère dans un mois sur Saturne. Les lois décrivent toute une série de phénomènes différents. Vous pouvez aller de l'autre côté. Un phénomène physique peut être observé de manières complètement différentes. Quelqu'un dira que l'objet est immobile, quelqu'un que l'objet se déplace à une vitesse constante. Une loi physique devrait décrire les deux cas de manière identique. Aussi, par exemple, la théorie de la gravité devrait décrire mon observation d'une cuillère qui tombe dans une voiture en mouvement,de mon point de vue, du point de vue de mon ami debout sur la route, du point de vue d'un gars debout sur la tête, à côté d'un trou noir, etc.

La question suivante se pose: comment classer les phénomènes physiques? Lesquelles devraient être regroupées et attribuées à une seule loi? Les physiciens utilisent pour cela le concept de symétrie. Dans le langage courant, le mot symétrie est utilisé pour les objets physiques. Nous disons qu'une pièce est symétrique si son côté gauche est similaire à la droite. En d'autres termes, si nous changeons de côté, la pièce aura exactement la même apparence. Les physiciens ont un peu élargi cette définition et l'appliquent aux lois physiques. Une loi physique est symétrique par rapport à la transformation si la loi décrit le phénomène transformé de la même manière. Par exemple, les lois physiques sont symétriques dans l'espace. Autrement dit, le phénomène observé à Pise peut également être observé à Princeton. Les lois physiques sont également symétriques dans le temps, c'est-à-dire une expériencemenée aujourd'hui devrait donner les mêmes résultats que si elle avait été réalisée demain. Une autre symétrie évidente est l'orientation spatiale.

Il existe de nombreux autres types de symétries auxquelles les lois physiques doivent se conformer. La relativité galiléenne exige que les lois physiques du mouvement restent inchangées, que l'objet soit stationnaire ou se déplace à une vitesse constante. La théorie spéciale de la relativité affirme que les lois du mouvement doivent rester les mêmes même si l'objet se déplace à une vitesse proche de la vitesse de la lumière. La théorie générale de la relativité dit que les lois restent les mêmes même si l'objet se déplace avec accélération.

Les physiciens ont généralisé le concept de symétrie de différentes manières: symétrie locale, symétrie globale, symétrie continue, symétrie discrète, etc. Victor Stanger a réuni plusieurs types de symétrie selon ce que nous appelons l'invariance du point de vue. Cela signifie que les lois de la physique doivent rester inchangées, peu importe qui les observe et comment. Il a montré combien de domaines de la physique moderne (mais pas tous) peuvent être réduits à des lois qui satisfont l'invariance par rapport à l'observateur. Cela signifie que les phénomènes liés à un phénomène sont liés, même s'ils peuvent être considérés de différentes manières.

La compréhension de la véritable importance de la symétrie est allée de pair avec la théorie de la relativité d'Einstein. Avant lui, les gens ont d'abord découvert une sorte de loi physique, puis y ont trouvé une propriété de symétrie. Einstein a utilisé la symétrie pour trouver la loi. Il a postulé que la loi devrait être la même pour un observateur immobile et pour un observateur se déplaçant à une vitesse proche de la lumière. Avec cette hypothèse, il a décrit les équations de la théorie spéciale de la relativité. Ce fut une révolution en physique. Einstein a réalisé que la symétrie est une caractéristique déterminante des lois de la nature. Ce n'est pas la loi qui satisfait la symétrie, mais la symétrie donne naissance à la loi.

En 1918, Emmy Noether a montré que la symétrie est un concept encore plus important en physique qu'on ne le pensait auparavant. Elle a démontré un théorème reliant les symétries aux lois de conservation. Le théorème a montré que chaque symétrie génère sa propre loi de conservation, et vice versa. Par exemple, l'invariance par rapport au déplacement dans l'espace donne naissance à la loi de conservation de la quantité de mouvement linéaire. L'invariance temporelle donne naissance à la loi de conservation de l'énergie. L'invariance d'orientation donne lieu à la loi de conservation du moment angulaire. Après cela, les physiciens ont commencé à rechercher de nouveaux types de symétries afin de trouver de nouvelles lois de la physique.

Ainsi, nous avons déterminé comment appeler une loi physique. De ce point de vue, il n'est pas surprenant que ces lois semblent objectives, intemporelles et indépendantes de l'homme. Puisqu'ils sont invariants en ce qui concerne le lieu, le temps et la vision que la personne a d'eux, il semble qu'ils existent «quelque part là-bas». Cependant, cela peut être vu d'une manière différente. Au lieu de dire que nous examinons de nombreuses conséquences différentes des lois externes, nous pouvons dire qu'une personne a distingué certains phénomènes physiques observables, y a trouvé quelque chose de similaire et les a combinés en une loi. Nous ne remarquons que ce que nous percevons, l'appelons loi et sautons tout le reste. Nous ne pouvons pas refuser le facteur humain dans la compréhension des lois de la nature.

Avant de poursuivre, nous devons mentionner une symétrie si évidente qu'elle est rarement mentionnée. La loi de la physique doit avoir une symétrie d'application (symétrie d'applicabilité). Autrement dit, si la loi fonctionne avec un objet d'un type, elle fonctionnera avec un autre objet du même type. Si la loi est vraie pour une particule chargée positivement se déplaçant à une vitesse proche de la vitesse de la lumière, alors elle fonctionnera pour une autre particule chargée positivement se déplaçant à une vitesse du même ordre. En revanche, la loi peut ne pas fonctionner pour les macro-objets à faible vitesse. Tous les objets similaires sont associés à une seule loi. Nous aurons besoin de ce type de symétrie lorsque nous discuterons du lien entre les mathématiques et la physique.

Qu'est-ce que les mathématiques

Passons un peu de temps à comprendre l'essence même des mathématiques. Nous allons voir 3 exemples.

Il y a longtemps, un agriculteur a découvert que si vous prenez neuf pommes et les combinez avec quatre pommes, vous vous retrouverez avec treize pommes. Quelque temps plus tard, il a découvert que si vous combinez neuf oranges avec quatre oranges, vous obtenez treize oranges. Cela signifie que s'il échange chaque pomme contre une orange, la quantité de fruits restera inchangée. À un certain moment, les mathématiciens ont acquis suffisamment d'expérience dans ces domaines et ont dérivé l'expression mathématique 9 + 4 = 13. Cette petite expression généralise tous les cas possibles de telles combinaisons. Autrement dit, c'est vrai pour tous les objets discrets qui peuvent être échangés contre des pommes.

Un exemple plus complexe. L'un des théorèmes les plus importants de la géométrie algébrique est le théorème de Hilbert zéro ( https://ru.wikipedia.org/wiki/Hilbert_Zero Theorem ). Il consiste en ce que pour chaque idéal J dans l'anneau polynomial il existe un ensemble algébrique correspondant V (J), et pour chaque ensemble algébrique S il existe un idéal I (S). La connexion de ces deux opérations s'exprime comme $I (V (J)) = \ sqrt J$ , où $\ sqrt J$ est le radical de l'idéal. Si nous remplaçons un alg. plusieurs à l'autre, nous obtenons un idéal différent. Si nous remplaçons un idéal par un autre, nous obtenons un autre alg. beaucoup

L'un des concepts de base de la topologie algébrique est l'homomorphisme de Gurevich. Pour chaque espace topologique X et k positif, il existe un groupe d'homomorphismes d'un groupe k-homotopique à un groupe k-homologique. $h _ {*}: \ pi_k (X) \ rightarrow H_k (X)$ . Cet homomorphisme a une propriété spéciale. Si l'espace X est remplacé par l'espace Y et $k$ remplacé par $k '$ , alors l'homomorphisme sera différent $\ pi_ {k '} (Y) \ rightarrow H_ {k'} (Y)$ . Comme dans l'exemple précédent, un cas particulier de cette affirmation n'a pas beaucoup d'importance pour les mathématiques. Mais si nous collectons tous les cas, nous obtenons alors le théorème.

Dans ces trois exemples, nous avons cherché à changer la sémantique des expressions mathématiques. Nous avons échangé des oranges contre des pommes, nous avons échangé une idée pour une autre, nous avons remplacé un espace topologique par un autre. L'essentiel dans cela est qu'en faisant le remplacement correct, l'énoncé mathématique reste vrai. Nous affirmons que cette propriété est la propriété principale des mathématiques. Nous appellerons donc l'énoncé mathématique si nous pouvons changer ce à quoi il se réfère, et l'énoncé reste vrai.

Maintenant, pour chaque énoncé mathématique, nous devrons attacher une portée. Lorsqu'un mathématicien dit «pour chaque entier n», «prenez l'espace de Hausdorff» ou «que C soit une houille de cocummutative, coassociative et involutive», il détermine la portée de sa déclaration. Si cette affirmation est vraie pour un élément du champ d'application, elle l'est pour tout le monde (à condition que ce champ d'application soit correctement sélectionné, environ Per. ).

Ce remplacement d'un élément par un autre peut être décrit comme l'une des propriétés de symétrie. Nous l'appelons la symétrie de la sémantique. Nous soutenons que cette symétrie est fondamentale, à la fois pour les mathématiques et pour la physique. De la même manière que les physiciens formulent leurs lois, les mathématiciens formulent leurs énoncés mathématiques, tout en déterminant dans quel domaine d'application l'énoncé maintient la symétrie de la sémantique (en d'autres termes, où fonctionne cet énoncé). Nous allons plus loin et disons qu'un énoncé mathématique est un énoncé qui satisfait la symétrie de la sémantique.

S'il y a des logiques parmi vous, alors le concept de symétrie de la sémantique leur sera tout à fait évident, car une affirmation logique est vraie si elle est vraie pour chaque interprétation d'une formule logique. Ici, nous disons ce tapis. l'instruction est vraie si elle est vraie pour chaque élément de la portée.

On pourrait soutenir qu'une telle définition des mathématiques est trop large et qu'une déclaration satisfaisant la symétrie de la sémantique n'est qu'une déclaration, pas nécessairement mathématique. Nous répondrons que, premièrement, les mathématiques sont fondamentalement assez larges. Les mathématiques ne parlent pas seulement des nombres, il s'agit des formulaires, des déclarations, des ensembles, des catégories, des micro-états, des macrostats, des propriétés, etc. Pour que tous ces objets soient mathématiques, la définition des mathématiques doit être large. Deuxièmement, il existe de nombreuses déclarations qui ne satisfont pas la symétrie de la sémantique. "Il fait froid à New York en janvier", "Les fleurs ne sont que rouges et vertes", "Les politiciens sont des gens honnêtes." Tous ces énoncés ne satisfont pas à la symétrie de la sémantique et ne sont donc pas mathématiques. S'il y a un contre-exemple de la portée,cette déclaration cesse automatiquement d'être mathématique.

Les énoncés mathématiques satisfont également à d'autres symétries, par exemple les symétries de syntaxe. Cela signifie que les mêmes objets mathématiques peuvent être représentés de différentes manières. Par exemple, le nombre 6 peut être représenté par «2 * 3», ou «2 + 2 + 2» ou «54/9». On peut aussi parler d'une «courbe auto-intersectée continue», d'une «courbe fermée simple», d'une «courbe de Jordan», et nous signifierons la même chose. En pratique, les mathématiciens essaient d'utiliser la syntaxe la plus simple (6 au lieu de 5 + 2-1).

Certaines des propriétés symétriques des mathématiques semblent si évidentes qu'elles ne sont pas du tout évoquées. Par exemple, la vérité mathématique est invariante par rapport au temps et à l'espace. Si la déclaration est vraie, elle le sera également demain dans une autre partie du monde. Et peu importe qui le prononce - la mère de Teresa ou Albert Einstein, et dans quelle langue.

Puisque les mathématiques satisfont tous ces types de symétrie, il est facile de comprendre pourquoi il nous semble que les mathématiques (comme la physique) sont objectives, fonctionnent hors du temps et sont indépendantes des observations humaines. Lorsque les formules mathématiques commencent à fonctionner pour des problèmes complètement différents, découverts indépendamment, parfois à différents siècles, il semble que les mathématiques existent «quelque part là-bas». Cependant, la symétrie de la sémantique (et c'est exactement ce qui se passe) est une partie fondamentale des mathématiques qui la définit. Au lieu de dire qu'il y a une vérité mathématique et que nous venons d'en trouver quelques cas, nous dirons qu'il existe de nombreux cas de faits mathématiques et que l'esprit humain les a combinés ensemble, créant une déclaration mathématique.

Pourquoi les mathématiques décrivent-elles bien la physique?

Eh bien, maintenant, nous pouvons nous demander pourquoi les mathématiques décrivent si bien la physique. Jetons un coup d'œil à 3 lois physiques.

Notre premier exemple est la gravité. La description d'un phénomène de gravité peut ressembler à "à New York, Brooklyn, Mine Street 5775, au deuxième étage à 21h17: 54, j'ai vu une cuillère de deux cents grammes qui est tombée et a touché le sol après 1,38 seconde." Même si nous sommes si précis dans nos dossiers, ils ne nous aideront pas beaucoup dans la description de tous les phénomènes de gravité (à savoir, c'est ce que la loi physique devrait faire). La seule bonne manière d'écrire cette loi est de l'écrire avec un énoncé mathématique, en lui attribuant tous les phénomènes de gravité observés. Nous pouvons le faire en écrivant la loi de Newton $F = G \ frac {m_1 m_2} {d ^ 2}$ . En substituant les masses et les distances, nous obtenons notre exemple spécifique d'un phénomène gravitationnel.

, , - $\ frac {\ partial L} {\ partial q} = \ frac {d} {dt} \ frac {\ partial L} {\ partial q '}$ . . , . , ( , ).

, , — $PV = nRT$ . .

Dans chacun des trois exemples cités, les lois physiques ne s'expriment naturellement que par des formules mathématiques. Tous les phénomènes physiques que nous voulons décrire se trouvent à l'intérieur de l'expression mathématique (plus précisément, dans des cas particuliers de cette expression). En termes de symétries, nous disons que la symétrie physique d'applicabilité est un cas particulier de symétrie mathématique de la sémantique. Plus précisément, de la symétrie d'applicabilité il s'ensuit que l'on peut remplacer un objet par un autre (de la même classe). Ainsi, l'expression mathématique qui décrit le phénomène doit avoir la même propriété (c'est-à-dire que sa portée doit être au moins pas moins).

En d'autres termes, nous voulons dire que les mathématiques fonctionnent si bien dans la description des phénomènes physiques, car la physique et les mathématiques ont été formées de la même manière. Les lois de la physique ne sont pas dans le monde platonicien et ne sont pas des idées centrales en mathématiques. Les physiciens et les mathématiciens choisissent leurs énoncés de telle manière qu'ils conviennent à de nombreux contextes. Il n'y a rien d'étrange à cela que les lois abstraites de la physique trouvent leur origine dans le langage abstrait des mathématiques. Comme dans le fait que certains énoncés mathématiques ont été formulés bien avant la découverte des lois correspondantes de la physique, car ils obéissent aux mêmes symétries.

Maintenant, nous avons complètement résolu le mystère de l'efficacité des mathématiques. Bien sûr, de nombreuses autres questions restent sans réponse. Par exemple, nous pouvons nous demander pourquoi les gens ont généralement la physique et les mathématiques. Pourquoi pouvons-nous remarquer des symétries autour de nous? Une partie de la réponse à cette question est qu'être vivant signifie montrer la propriété de l'homéostasie, donc les êtres vivants doivent se défendre. Mieux ils comprennent leur environnement, mieux ils survivent. Les objets non vivants, tels que les pierres et les bâtons, n'interagissent pas avec leur environnement. Les plantes, en revanche, se tournent vers le soleil et leurs racines s'étendent vers l'eau. Un animal plus complexe peut remarquer plus de choses dans son environnement. Les gens remarquent beaucoup de motifs autour d'eux. Les chimpanzés ou, par exemple, les dauphins ne peuvent pas faire cela. Les modèles de nos pensées que nous appelons mathématiques.Certains de ces modèles sont des modèles de phénomènes physiques qui nous entourent, et nous appelons ces modèles la physique.

On peut se demander pourquoi dans les phénomènes physiques en général il y a des régularités? Pourquoi une expérience menée à Moscou donnera-t-elle les mêmes résultats si elle est réalisée à Saint-Pétersbourg? Pourquoi la balle lâchée tombera-t-elle à la même vitesse, malgré le fait qu'elle ait été lâchée à un autre moment? Pourquoi une réaction chimique se déroulera-t-elle de la même manière, même si différentes personnes la regardent? Pour répondre à ces questions, nous pouvons nous tourner vers le principe anthropique. S'il n'y avait pas de modèles dans l'univers, nous n'existerions pas. La vie profite du fait que la nature a des phénomènes prévisibles. Si l'univers était complètement aléatoire, ou ressemblait à une sorte d'image psychédélique, alors aucune vie, au moins une vie intellectuelle, ne pourrait survivre. Le principe anthropique, d'une manière générale,ne résout pas le problème. Des questions telles que «Pourquoi l'univers existe-t-il», «Pourquoi y a-t-il quelque chose» et «Ce qui se passe ici du tout» sont toujours sans réponse.

Malgré le fait que nous n'ayons pas répondu à toutes les questions, nous avons montré que la présence de structure dans l'univers observable est tout naturellement décrite dans le langage des mathématiques.

Pourquoi les mathématiques décrivent-elles bien la réalité?

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Qu'est-ce que la physique

Qu'est-ce que les mathématiques

Pourquoi les mathématiques décrivent-elles bien la physique?

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