Théorème d'incomplétude de Gödel en 20 minutes

, , . . , - . — , , «, ». ( ), -, «, , ». , , , , . , , , , , , , .

, ? « » . , , . , ( , -, ), - .

— , — . , , « ». , , « » /, 15-20 .

, , . .

, , . - . , : «$$$\forall x \; (x-1)(x-2)-2=x(x-3)$» (, $$$\forall$ « » « »). , , , :

1. $$$\forall x \; (x-1)(x-2)-2=x(x-3)$
2. $$$\forall x \; x^2-3x+2-2=x^2-3x$
3. $$$\forall x \; x^2-3x–x^2+3x=0$
4. $$$\forall x \; 0 = 0$

. 4- 5- , , , — . , , . — - . . ( ), ( ) .

. , - , , $$$S$ — , . , $$$P$, $$$S$ : ( $$$B$ ).

— $$$S$ $$$P$ $$$S$ $$$B$ — « ». , . , « !» , , , .

. — . : «» — («»), . — - , . , — , , .

: $$$P$ « » (, , «»), , , ? : ? , , , — . , .

, . . -, , « $$$X$ » « $$$X$». , , . (, ), — . , , :

• $$$x, y, z$ $$$n>2$, $$$x^n+ y^n = z^n$.

( ). . , , ( ) .

. , - ( ) . ? , . , . — . — . . , . , - . — , — . , . , : « , » — .

« » , , . - , , .

, , , «» ( « » « » — ). , , , $$$\sin x$ , . , , — , . , , , — , , , .

« ». , , ( ), , , , , $$$\exists$ («») $$$\forall$ (« ») , , - ( ). , (, «$$$12 = + \forall x>$» — ). ( , ) .

:

• $$$1=1$
• $$$2\times2=5$
• $$$\exists x \; x>3$
• $$$\forall y \; \forall z \; y\times z>y+z$

.. « » () , , . ( $$$x$):

• $$$x=0$
• $$$2\times2=x$
• $$$\exists y \; x+y>x$

.. , .

$$$F$. , (, , — ..; , ). , $$$k$ , $$$F_k$.

:

• .

.

, , . $$$A$, $$$k$ :

1. $$$k$- $$$F$.
2. $$$k$ .
   
3. ( , ), .
4. .

, , .

, .

, , , $$$F$ , , – . :

• : , , - $$$F$.

, , , , . , , . , , , , , Brainfuck, , , , . , — , , .

, .

, $$$A$. , , . - $$$F$ — , $$$n$. , $$$F_n(n)$? . , $$$A$ ( , $$$F_n$), , $$$n$ $$$F_n$ — . : $$$F_n(n)=$ $$$F_n(n)=$. , , . , . .

(. ), , , , — , . ( « ») : « ». , , .

, . , , (, , ?). . , .

, , . , . , :

• "Toute phrase dans la langue chinoise est une vraie déclaration si elle est contenue dans la citation du camarade Mao Zedong, et est incorrecte si elle ne l'est pas."

Ensuite, l'algorithme de démonstration complet et cohérent correspondant (il peut être appelé "déduction dogmatique") ressemble à ceci:

• «Faites défiler la citation du camarade Mao Zedong jusqu'à ce que vous trouviez la déclaration que vous recherchez. Si elle est trouvée, alors c'est vrai, et si le livre des citations est terminé et que la déclaration n'est pas trouvée, alors c'est incorrect. »

Ici, nous sommes sauvés par le fait que tout livre de devis est évidemment fini, donc le processus de "preuve" se terminera inévitablement. Ainsi, TGN n'est pas applicable au langage des énoncés dogmatiques. Mais nous parlions de langues complexes, non?