Les mathématiciens mettent en lumière une hypothèse minimaliste

Sur cette tablette, originaire de Babylone, réalisée vers 1800 avant JC, les triplets de Pythagore sont répertoriés - les entiers a, b et c, satisfaisant l'équation polynomiale a ² + b ² = c ² . À ce jour, la recherche de solutions rationnelles et entières d'équations polynomiales reste un problème sérieux pour les mathématiciens.

Au Ve siècle avant JC Le mathématicien grec a fait une découverte qui a ébranlé les fondements des mathématiques et, selon la légende, lui a coûté la vie. Les historiens pensent que c'était Hippasus de Metapont , et il appartenait à l'école de mathématiques de Pythagore, dont le principal dogme était que tout phénomène physique peut être exprimé sous forme d'entiers et de leurs relations (ce que nous appelons les nombres rationnels). Mais cette hypothèse s'est effondrée lorsque, selon les historiens, Gippas a considéré les longueurs des côtés d'un triangle rectangle, qui devraient satisfaire le théorème de Pythagore - la fameuse relation a ² + b ² = c ² . On dit que Gippas a montré qu'avec la même longueur des jambes d'un triangle exprimée par un nombre rationnel, son hypoténuse ne peut pas être exprimée par un nombre rationnel.

Selon une version de l'histoire, Gippas a fait cette découverte en mer et ses collègues, choqués par cette découverte, l'ont jeté par-dessus bord.

Les mathématiciens modernes ne sont plus gênés, comme les anciens Grecs, par les nombres irrationnels (et en général ils ont découvert qu'il y a plus de nombres irrationnels que rationnels). Mais l'amour des Pythagoriciens pour les solutions d'équations rationnelles continue de nourrir les mathématiciens. Il sous-tend la théorie des nombres, la branche théorique traditionnelle des mathématiques, qui, à notre époque numérique, a trouvé de nombreuses applications de manière inattendue.

Maintenant, deux jeunes mathématiciens sont passés à la pointe de la science dans leur étude des solutions rationnelles des équations cubiques. Les équations polynomiales dans lesquelles les variables sont à certains degrés, telles que y = 3x ³ + 4 ou x ² + y ² = 1, font partie des objets fondamentaux étudiés par les mathématiciens et sont utilisées dans diverses applications pratiques ainsi que dans les branches des mathématiques .

Univers polynomial

Il est facile de voir qu'une équation polynomiale dans laquelle le degré des variables ne dépasse pas 1, comme y = 3x + 4, a un nombre infini de solutions rationnelles. Toute valeur rationnelle de x donne une valeur rationnelle de y et vice versa.

On sait depuis mille ans comment trouver des solutions rationnelles pour des polynômes de degré 2, tels que x ² + y ² = 1 ou y = 3x ³ + 2x - 7. Ils peuvent ne pas avoir de solution du tout ou avoir une infinité de solutions. Les graphiques de ces courbes sont des sections coniques - cercles, paraboles, ellipses et hyperboles. Si un point rationnel P est sur le graphique, il existe une belle façon de trouver tous les autres points rationnels. Il vous suffit de prendre toutes les lignes passant par P avec une pente rationnelle, et de calculer la deuxième intersection de cette ligne avec la section conique.

En 1983, Gerd Faltings, qui occupe désormais le poste de directeur de l'Institut de mathématiques. Max Planck à Bonn, a trouvé des équations polynomiales avec des degrés supérieurs à 3. Il a montré que la plupart d'entre elles ne peuvent avoir qu'un nombre fini de solutions rationnelles. Et il restait des équations cubiques, des déviateurs tenaces de l'univers des polynômes.

Les équations cubiques ont résisté aux efforts des mathématiciens pour classer leurs solutions. Des tentatives de classification des solutions rationnelles d'équations cubiques - plus précisément, une famille d'équations cubiques, connues sous le nom de courbes elliptiques, car ce sont elles, à l'exception de plusieurs autres, qui peuvent avoir des solutions rationnelles - ont été menées par tous les grands spécialistes de la théorie des nombres, à partir du mathématicien français du XVIIe siècle Pierre Fermat dit Benedict Gross de l'Université de Harvard.

Les équations cubiques elliptiques peuvent avoir un nombre nul, fini ou infini de solutions. Jusqu'à présent, les mathématiciens ont seulement pu deviner à quelle fréquence ces options se présentent.

Les courbes elliptiques ont une capacité inexplicable à apparaître dans des endroits inattendus, à la fois en mathématiques théoriques et appliquées. Leur compréhension est devenue un élément clé dans la preuve du théorème de Fermat à partir de 1995 , bien qu’il semble que les courbes elliptiques ne soient pas liées à sa formulation. Les opérations utilisant des courbes elliptiques sont devenues des composants centraux de nombreux protocoles cryptographiques codant les numéros de cartes bancaires dans les transactions en ligne. Les solutions rationnelles des courbes elliptiques sont au centre de divers problèmes géométriques du style pythagoricien, par exemple, la recherche de triangles rectangulaires avec des longueurs rationnelles de côtés et en même temps une aire rationnelle.

«Stimulation intelligente, excellente structure, applications pratiques - toutes ces courbes sont elliptiques», explique Manjul Bhargava de l'Université de Princeton.

Bargawa a 38 ans, son collègue Arul Shankar - 26 ans, ils travaillent à l'Institute for Advanced Studies de Princeton et ont déjà franchi l'une des plus grandes étapes de ces dernières décennies pour comprendre les solutions rationnelles des courbes elliptiques.

Dans leur travail, il n'y a pas de recette pour trouver des solutions rationnelles à une courbe elliptique particulière; elle explique plutôt quels sont les scénarios les plus probables pour des décisions rationnelles si la courbe est choisie au hasard.

Les découvertes de Bargava et Shankar "commencent à faire la lumière sur une grande partie de notre ignorance", a déclaré Gross. "Après leur travail, le monde entier a l'air différent."

Sécurité elliptique

Si nous prenons deux points rationnels sur une courbe elliptique, alors la ligne qui les traverse intersectera presque toujours la courbe en un autre point, également avec des coordonnées rationnelles. Il est très simple d'utiliser deux points rationnels différents pour générer le troisième, mais il est très difficile de faire le contraire - prendre un point rationnel et trouver deux autres points rationnels qui le généreraient. Cette propriété rend les courbes elliptiques utiles pour la cryptographie: la sécurité cryptographique est basée sur des opérations faciles à faire dans un sens et difficiles dans un autre.

"Les courbes elliptiques sont impliquées dans de nombreuses choses étonnantes", a déclaré Peter Sarnak de l'Université de Princeton. «Ils sont suffisamment complexes pour transporter une grande quantité d'informations, mais assez simples pour une étude approfondie.»

Balade amusante

Trouver des solutions rationnelles d'une courbe elliptique revient à trouver des points sur son graphique sur le plan xy, de sorte que leurs coordonnées x et y sont des nombres rationnels. Et souvent, c'est assez difficile à faire. Mais si vous trouvez plusieurs points rationnels, il devient possible d'en générer plus à l'aide de procédures simples, découvertes il y a deux millénaires par le mathématicien alexandrin Diophantus. Par exemple, si vous tracez une ligne passant par deux points rationnels, elle coupe généralement la courbe en exactement un point, également rationnel.

Ce processus est «une structure très complexe, il y a quelque chose de spécial dans les équations cubiques qui leur donne de la profondeur», a déclaré Bargava.

En 1922, Louis Mordell a prouvé quelque chose d'étonnant. Pour toute courbe elliptique, même ayant une infinité de points rationnels, vous pouvez générer tous les points rationnels, en commençant par un petit nombre d'entre eux, puis en les connectant ensemble. Si le nombre de points rationnels sur une courbe elliptique est infini, alors le nombre minimum de points nécessaires pour les générer tous est appelé le rang de la courbe. Lorsque le nombre de ces points est fini, le rang de la courbe est 0.



Des décennies de mathématiques ont réfléchi à une hypothèse minimaliste qui estime le rang des courbes elliptiques, avec des preuves mitigées. L'hypothèse dit que statistiquement, environ la moitié des courbes elliptiques ont un rang de 0 (c'est-à-dire qu'elles ont soit un nombre fini de points rationnels, soit zéro), et l'autre moitié a 1 (c'est-à-dire que leur nombre infini de points rationnels peut être généré à partir d'un ) Selon cette hypothèse, le nombre de tous les autres cas est extrêmement faible. Cela ne signifie pas qu'il n'y a pas d'exceptions, ni même qu'il existe un nombre fini d'entre elles - mais si nous prenons des collections toujours plus grandes de courbes elliptiques, alors les courbes qui tombent dans d'autres catégories deviendront de moins en moins de pourcentage, et leur nombre tendra à 0% .

Cette hypothèse a été formulée pour la première fois en 1979 par Dorian Goldfeld de l'Université Columbia, se référant à une classe particulière de courbes elliptiques. «Cela fait longtemps du folklore», explique Barry Mazur de l'Université Harvard.

Une hypothèse partiellement minimaliste est soutenue par la croyance répandue que les courbes elliptiques ne devraient pas avoir trop de points rationnels. En effet, une minorité est sur la droite numérique des nombres rationnels.

"Les points rationnels des courbes elliptiques sont des perles aléatoires des mathématiques, et il est très difficile d'imaginer qu'il y a trop d'accidents aussi précieux", a écrit Mazur et ses trois co-auteurs en 2007 pour la revue Bulletin de l'American Mathematical Society .

À première vue, cela suggère que la plupart des courbes elliptiques devraient avoir un rang de 0. Mais de nombreux mathématiciens croient en l'hypothèse de parité, qui suppose que les courbes elliptiques avec des rangs pairs et impairs correspondent à 50 à 50. Si vous combinez l'hypothèse de parité avec une rareté de points rationnels, alors nous obtenons une hypothèse minimaliste - divisant 50 par 50 entre les rangs les plus bas possibles, 0 et 1.

À l'appui de l'hypothèse minimaliste, les données expérimentales indiquent également qu'il est vraiment difficile pour les courbes elliptiques d'avoir des rangs élevés. Les spécialistes des courbes elliptiques ont utilisé des ordinateurs pour rechercher des courbes de haut rang. Le record actuel est fixé à environ 28 - mais il y a très peu de telles courbes et leurs coefficients sont gigantesques.

Mais d'autres estimations ne sont pas si inspirantes. Les mathématiciens ont calculé les rangs de centaines de milliers de courbes elliptiques et jusqu'à présent, 20% de toutes les courbes ont un rang 2. Pour un pourcentage de courbes petit mais pas très petit, le rang est 3. Selon l'hypothèse minimaliste, leur pourcentage devrait tendre à zéro si toutes les courbes elliptiques sont prises en compte. "Apparemment, les données sont opposées à l'hypothèse", a déclaré Mazur.

Habituellement, lorsque les données ne correspondent pas à l'hypothèse, elles seront correctement rejetées. Mais de nombreux mathématiciens s'accrochent à l'hypothèse minimaliste. Bien que les ordinateurs aient retravaillé de nombreux exemples, les mathématiciens soulignent que ces calculs ne sont que la pointe de l'iceberg. "Il peut également arriver que tant que nous ne prouverons pas les hypothèses, aucune donnée collectée par nous, même très solide en quantité, ne rassurera les théoriciens", écrit Mazur avec ses collègues.

Ils ont également ajouté qu'une assez grande partie des courbes elliptiques calculées avec un rang supérieur à 1 est similaire à la matière noire en physique. «Cette grande masse de points rationnels est clairement là. Nous n'en avons aucun doute. Nous ne savons que comment donner une explication satisfaisante du fait qu'ils sont là. »

En raison du conflit entre les données et la théorie, écrivent-ils, pendant des décennies, l'hypothèse minimaliste "a été rejetée ou tenue pour acquise".

De nouvelles méthodes

Jusqu'à récemment, Manjul Bargava, l'étoile montante du monde mathématique, était dans le camp des sceptiques. L'un des magazines Popular Science l'a classé parmi les "dix meilleurs génies" en 2002, et l'année suivante à 28 ans, il est devenu l'un des plus jeunes à recevoir le titre de professeur à l'Université de Princeton. Ses collègues admirent non seulement ses réalisations mathématiques, mais aussi son caractère aimable et créatif.


Manjul Bargava à 38 ans

"Manjul est un gars très inhabituel", a déclaré Gross. "Il regarde les choses d'une manière différente de la plupart des gens, et c'est en cela que consiste son génie."

Bargawa, spécialiste de la théorie des nombres, s'est intéressé au contraste clair entre les données calculées et l'hypothèse minimaliste. "Cela suggère que quelque chose d'intéressant se passe là-bas", a-t-il déclaré. «Je suis allé voir mon collègue, Peter Sarnak, et je lui ai demandé:« Comment pouvez-vous croire à cette hypothèse? », Se souvient Bargava. "Pour moi, ça avait l'air drôle."

Mais Sarnak croyait que les données en conséquence commenceront à pencher dans la direction opposée, quand il sera possible de calculer des courbes elliptiques avec des coefficients beaucoup plus grands. "Il était très confiant dans cette hypothèse", a déclaré Bargava.

Bargawa a décidé d'une manière ou d'une autre de découvrir quelque chose de spécifique sur l'hypothèse. «Le moment est venu de prouver quelque chose», dit-il. Il a commencé à étudier des ensembles d'algorithmes qui calculent les rangs des courbes elliptiques, provenant de la procédure introduite par Fermat au 17ème siècle. Il s'agit d'une famille d'algorithmes appelés algorithmes de descente - pour chaque entier supérieur à 2, il existe un algorithme - ils ont travaillé de manière experte et ont trouvé des courbes elliptiques avec des points rationnels. Mais malgré de nombreuses tentatives, personne n'a pu prouver que ces algorithmes fonctionneront toujours.

Bargawa a décidé d'essayer une approche différente. "J'ai eu l'idée d'essayer l'algorithme de descente pour toutes les courbes elliptiques en même temps, puis de prouver que dans la plupart des cas, cela fonctionnera", a déclaré Bargava. En effet, pour étudier l'hypothèse minimaliste, il n'est pas nécessaire de savoir à quoi ressemble chaque courbe elliptique - il suffit de savoir de quel type elles aspirent.

Une telle approche comprenait des travaux dans le domaine de la géométrie des nombres, engagés dans le comptage des nœuds de réseau sur diverses figures (le nœud de réseau est un point avec des coordonnées entières). Dans les formes les plus simples comme un cercle ou un carré, le nombre de nœuds de réseau correspond approximativement à l'aire de la figure. Mais la tâche de Bargawa concernait des figures plus complexes, et lorsqu'une figure a des caractéristiques complexes, telles que des tentacules, elle peut avoir beaucoup plus ou moins de nœuds de réseau que sa superficie ne le prédit.


Arul Shankar à 26 ans

Avant de se lancer dans de telles formes, Bargava a confié une tâche similaire mais simple à Arul Shankar, son étudiant diplômé. Souvent, les étudiants diplômés ont du mal avec les tâches des dissertations pendant des années, mais Shankar a apporté la solution en seulement trois mois. Par conséquent, dit Bargava, "je lui ai demandé s'il aimerait me rejoindre."

Bargava et Shankar ont développé un ensemble de nouvelles techniques dont l'importance est susceptible d'aller bien au-delà de la tâche initiale qu'ils sont en train de résoudre, dit Mazur. "La géométrie des nombres a toujours été une méthode profonde et puissante, et maintenant ils ont sérieusement augmenté sa puissance." Il a ajouté que le génie de leur technique "ouvre de nouvelles possibilités en théorie des nombres".

Ces nouvelles techniques «affecteront la théorie des nombres pendant encore de nombreuses années», convient Gross.

Motif clair

Si l'hypothèse minimaliste est vraie, alors le rang moyen des courbes elliptiques devrait être ½, mais avant les travaux de Bargava et Sankar, les mathématiciens ne pouvaient même pas prouver que la valeur moyenne serait finie. En utilisant un algorithme de descente sur 2 ordres, Bargava et Shankar ont pu montrer que le rang moyen pour toutes les courbes elliptiques ne dépasse pas 1,5. En utilisant les ordres 3, 4 et 5 pour certaines courbes qui n'ont pas été traitées à l'étape précédente, ils ont pu abaisser la barre supérieure à 0,88.

Et bien qu'il existe un écart entre cette valeur et la moyenne prédite par l'hypothèse minimaliste, la découverte de Bargava et Shankar représente un bond en avant. «Ce n'est que la première étape, mais déjà très grande», explique Sarnak. «C'est formidable de voir comment deux si jeunes avancent activement.»

De plus, ayant montré que le rang moyen est inférieur à 1, Bargava et Shankar ont prouvé qu'un morceau assez grand de courbes elliptiques - au moins 12% - a un rang 0 (car sinon la moyenne serait plus élevée). Ils ont utilisé cela pour montrer que la même partie des courbes satisfait à la célèbre hypothèse de Birch-Swinnerton-Dyer , la vieille question des courbes elliptiques, pour laquelle le Clay Institute of Mathematics a reçu une récompense d'un million de dollars .

Lors d'une conférence à Bargawa au Clay Institute, l'un des auditeurs a demandé en plaisantant si Bargava et Shankaru comptent désormais sur 12% du prix d'un million. "Les représentants de l'institut étaient à la conférence, et ils ont immédiatement dit que non, ils ne devraient pas", a déclaré Bargava tristement.

Les découvertes de Bargava et Shankar ont alarmé les spécialistes de la théorie des nombres, dont beaucoup ne s'attendaient pas à des progrès dans le domaine du rang moyen. «Vous me demandez un mois avant que Manjul me parle de son travail», dit Gross, «je vous répondrais que c'est sans espoir.» Maintenant, dit-il, l'hypothèse minimaliste semble de plus en plus prometteuse. "Je parierais de l'argent sur elle."

L'un des moyens possibles - qui nécessitera probablement l'injection de nouvelles idées, comme disent les mathématiciens - est d'essayer d'utiliser des algorithmes pour abaisser les ordres supérieurs à 5 afin d'affiner davantage les limites du rang intermédiaire. "Avec l'utilisation de descentes des 2e, 3e, 4e et 5e ordres, il y avait un schéma clair, et il est très probable qu'il continuera", a déclaré Bargava.

Bargava ne se considère pas comme le seul propriétaire des droits sur cette idée et espère que leurs travaux inciteront les jeunes mathématiciens à poursuivre leurs recherches dans le domaine des points rationnels des courbes elliptiques. "L'hypothèse minimaliste n'est pas une fin en soi", dit-il. - Chaque fois, en ouvrant la porte, il s'avère que vous devez ouvrir beaucoup plus de portes. Plus il y a de monde, plus nous pouvons ouvrir de portes. »