Expériences de mathématiques transcendantales ou de folklore mathématique

Le 16 mars à 19h00 dans la boutique Bukvoed (Saint-Pétersbourg, Ligovsky pr., 10), une conférence interactive se tiendra dans le cadre du projet «La science n'est pas de la farine» pour la Journée mondiale Pi: «Expériences de mathématiques transcendantales ou de folklore mathématique ".

N'ayez pas peur si vous avez déjà oublié ce qu'est le logarithme et comment calculer l'intégrale, vous n'en aurez pas besoin. Les connaissances nécessaires pour la conférence sont le bon sens et la logique élémentaire.

Vous pouvez souvent entendre que les mathématiques sont incroyablement ennuyeuses et trop abstraites. Nous tenterons de prouver le contraire avec de nombreux exemples de folklore mathématique, et le point de départ de notre rencontre sera le livre d'Eduard Frenkel «Amour et mathématiques. Le cœur de la réalité cachée . " Le livre du célèbre scientifique tente de dissiper le mythe selon lequel les mathématiques sont une science ennuyeuse. Au cours de la conférence, vous apprendrez pourquoi tous les chevaux sont de la même couleur, pourquoi la lune est faite de fromage et comment attraper une mouche de l'autre côté de la lune.

Votre guide dans les labyrinthes mathématiques complexes sera Vitaly Filippovsky - mathématicien, étudiant diplômé de l'ITMO, principal mathématicien et programmeur Emoji Apps.

Ci-dessous, nous vous proposons de vous familiariser avec l'extrait de danse exquis du livre de Frenkel.

À l'automne 1990, je suis devenu un étudiant diplômé à Harvard. Cela était nécessaire pour changer le poste d'un professeur invité en quelque chose de plus permanent. Joseph Bernstein a accepté de devenir mon superviseur officiel. À ce moment-là, j'avais accumulé suffisamment de matériel pour ma thèse, et Arthur Jaffe a persuadé le doyen de la faculté comme exception de me permettre de réduire la durée des études de troisième cycle (qui prend généralement 4 ou 5 ans, et en tout cas au moins 2 ans, selon les règles) à un ans, pour que je puisse me défendre en un an. Grâce à cela, ma "rétrogradation" de professeur à étudiant diplômé a duré pas mal.

Ma thèse de doctorat portait sur un nouveau projet que je venais de terminer. Tout a commencé par une discussion avec Drinfeld du programme Langlands au printemps de la même année. Voici un exemple d'une de nos conversations, conçue comme un script.

ACTION 1
SCÈNE 1
BUREAU DE DRINFELD À HARVARD

Drinfeld arpente la pièce le long du mur sur lequel est accroché un tableau noir.
Edward, assis sur une chaise, prend des notes (sur la table à côté de lui est une tasse de thé).

Drinfeld
Ainsi, l'hypothèse Simura - Taniyama - Weil ouvre un lien entre les équations cubiques et les formes modulaires, mais Langlands est allé encore plus loin. Il a prédit l'existence d'une correspondance plus générale, dans laquelle le rôle des formes modulaires est joué par les représentations automorphes du groupe de Lie.

Edward
Qu'est-ce qu'une représentation automorphe?

Drinfeld (après une longue pause)
La définition exacte n'a plus d'importance pour nous maintenant. Dans tous les cas, vous pouvez le trouver dans le manuel. Il est important pour nous qu'il s'agisse d'une représentation du groupe de Lie G, par exemple, le groupe SO (3) de rotations d'une sphère.

Edward
Bon. Et à quoi sont liées ces représentations automorphes?

Drinfeld
C'est le plus intéressant. Langlands a prédit qu'ils devraient
être connecté avec les représentations d'un groupe de Galois dans un autre groupe de Lie.

Edward
Je vois. Voulez-vous dire que ce groupe de Lie n'est pas le même groupe G?

Drinfeld
Non! Il s'agit d'un autre groupe Lee appelé le groupe dual Langlands pour G. Drinfeld écrit le symbole LG sur le tableau.

Edward
La lettre L en l'honneur de Langlands?

Drinfeld (avec un léger sourire)
Au départ, Langlands était motivé par un désir de comprendre des objets appelés fonctions L, car il appelait ce groupe un groupe L ...

Edward
Autrement dit, pour chaque groupe de Lie G, il existe un autre groupe de Lie appelé LG, non?

Drinfeld
Oui Et elle est présente selon Langlands, qui ressemble schématiquement à ceci. Drinfeld dessine un diagramme sur un tableau noir



Edward
Je ne comprends pas ... du moins pour l'instant. Mais permettez-moi de poser une question plus simple: à quoi ressemblera, par exemple, le groupe dual de Langlands pour SO (3)?

Drinfeld
C'est assez simple - double revêtement SO (3). Avez-vous vu l'astuce avec la tasse?

Edward
Se concentrer avec une tasse? Oh oui, je me souviens ...

SCÈNE 2
Harvard Graduate Home Party

Une dizaine d'étudiants, un peu plus d'une vingtaine, discutent, boivent de la bière et du vin. Edward parle avec un étudiant diplômé.

Étudiant diplômé
Voici comment procéder.
Une étudiante diplômée prend une tasse de vin en plastique et la place sur la paume ouverte de sa main droite. Puis elle commence à tourner sa paume, tournant sa main comme dans une séquence de photographies
(ci-dessous). Elle fait une révolution complète (360 degrés) et son bras est renversé. Tenant toujours la tasse droite, elle continue de tourner, et après
un autre tour complet - surprise! - sa main et sa tasse reviennent à leur position normale d'origine.

Un autre étudiant diplômé
J'ai entendu dire qu'aux Philippines il y a une danse traditionnelle avec du vin dans laquelle ils exécutent ce tour à deux mains. Il prend deux verres de bière et essaie de tourner les deux paumes
en même temps. Mais il ne peut pas garder une trace de ses mains, et il renverse immédiatement de la bière des deux. Tout le monde rit.

SCÈNE 3
LE BUREAU DE DRINFELD DE NOUVEAU

Drinfeld
Cette focalisation illustre le fait que sur le groupe SO (3) il y a un chemin fermé non trivial, dont le double passage nous donne cependant un chemin trivial.

Edward
Oh, je comprends. La première rotation complète de la tasse fait tourner la main à un angle inhabituel - c'est l'analogue du chemin non trivial vers SO (3). Il prend une tasse de thé sur la table et fait la première partie du focus.

Edward
Il semblerait que le deuxième tour devrait vous faire tourner encore plus votre main, mais à la place, la main revient à sa position normale. Edward termine le mouvement.

Drinfeld
À droite

Edward
Mais qu'est-ce qui est commun entre cela et le groupe dual Langlands?

Drinfeld
Le double groupe de Langlands pour SO (3) est la double couverture de SO (3), donc ...


Edward
Ainsi, chaque élément du groupe SO (3) correspond à deux éléments du groupe dual Langlands.

Drinfeld
C'est pourquoi dans ce nouveau groupe il n'y a plus de chemins fermés non triviaux.

Edward
Autrement dit, la transition vers le groupe dual Langlands est un moyen de se débarrasser de cette dislocation?

Drinfeld
Oui. À première vue, il semble que la différence soit minime, mais en réalité les conséquences sont plus que significatives. Cela, par exemple, explique la différence de comportement des éléments constitutifs de la matière, tels que les électrons et les quarks, et les particules qui transportent
les interactions entre eux, comme les photons. Pour les groupes Lie plus généraux, la différence entre le groupe lui-même et son groupe dual Langlands est encore plus forte. En fait, dans de nombreux cas, il n'y a même pas de connexion visible entre deux groupes doubles.

Edward
Pourquoi le groupe dual apparaît-il généralement conformément aux Langlands? Une sorte de magie ...

Drinfeld
C'est inconnu.

La dualité de Langlands établit une relation de paire entre les groupes de Lie: pour chaque groupe de Lie G, il y a un double groupe de Lie Langlands LG et un double
à LG est le G.9 lui-même. Le fait que le programme Langlands relie des objets de deux types différents (un de la théorie des nombres et le second de l'analyse harmonique) est surprenant en soi, mais le fait que deux groupes doubles, G et LG, soient présents dans différents parties de cette correspondance - c'est tout simplement incompréhensible pour l'esprit!

Nous avons parlé de la façon dont le programme Langlands relie différents continents dans le monde des mathématiques. Continuons l'analogie: que ce soit l'Europe et l'Amérique du Nord et qu'il y ait un moyen
faire correspondre chaque personne en Europe à une personne d'Amérique du Nord et vice versa. De plus, supposons que cette correspondance implique la parfaite adéquation de divers attributs, tels que le poids, la taille et l'âge, à une exception près: chaque homme est associé à une femme, et vice versa. Cette situation est analogue au remplacement d'un groupe de Lie par son double groupe,
selon les prévisions prévues par le programme Langlands.

En effet, ce remplacement est l'un des aspects les plus mystérieux du programme Langlands. Nous connaissons plusieurs mécanismes qui décrivent comment les groupes doubles apparaissent, mais nous
ne comprends toujours pas pourquoi cela se produit. Cette ignorance est l'une des raisons pour lesquelles les scientifiques tentent d'étendre les idées du programme Langlands à d'autres domaines des mathématiques (à travers la pierre de Rosetta de Weil) et même à la physique quantique, comme nous l'apprendrons dans le chapitre suivant. Nous essayons de trouver plus d'exemples du phénomène dualisme de Langlands dans l'espoir que cela nous donnera des indices supplémentaires sur la raison pour laquelle ils surviennent et ce que cela signifie.

Concentrons notre attention sur la colonne de droite de la pierre Rosetta Weil, dédiée aux surfaces Riemann. Comme nous l'avons établi dans le chapitre précédent, dans la version de la correspondance de Langlands pertinente pour cette colonne, les acteurs sont des «faisceaux automorphes». Ils jouent le rôle de fonctions automorphes (ou représentations automorphes) associées au groupe de Lie G. Il s'avère que ces faisceaux automorphes «vivent» dans un certain espace attaché à la surface de Riemann X et au groupe G, qui est appelé l'espace des modules des faisceaux G sur X. Nous pour l'instant, peu importe ce que c'est. 10 Dans la partie opposée de la correspondance, comme nous l'avons vu au chapitre 9, le groupe fondamental d'une surface de Riemann donnée joue le rôle de groupes galoisiens. D'après le diagramme ci-dessus, il s'ensuit que la correspondance géométrique de Langlands devrait schématiquement ressembler à ceci:


Cela signifie que nous devrions être capables de mapper une gerbe automorphe à chaque représentation du groupe fondamental dans LG. Et Drinfeld avait une idée radicalement nouvelle sur la façon de procéder.

ACTION 2
SCÈNE 1
BUREAU DE DRINFELD À HARVARD

Drinfeld
Nous devons donc trouver une méthode pour construire ces faisceaux automorphes. Et il me semble que les représentations des algèbres Katz - Moody pourraient nous aider.

Edward
Pourquoi?

Drinfeld
Nous sommes maintenant dans le monde des surfaces Riemann. Une telle surface peut avoir une bordure constituée de boucles.

Drinfeld dessine une image au tableau.



Drinfeld
Au moyen de boucles, les surfaces de Riemann peuvent être associées à des groupes de boucles et, par conséquent, aux algèbres de Kac - Moody. Et cette connexion nous donne l'opportunité de transformer les idées
Kac - Algèbres de Moody en gerbes sur l'espace des modules des faisceaux G sur notre surface de Riemann. N'entrons pas dans les détails pour l'instant. Comme je m'y attends, schématiquement cela
devrait ressembler à ceci.

Drinfeld dessine un diagramme au tableau.



Drinfeld
La deuxième flèche est claire pour moi. La principale question est de savoir comment construire la première flèche. Feigin m'a parlé de votre travail sur les représentations des algèbres de Kac - Moody. Je pense qu'il faut juste l'appliquer ici.

Edward
Mais alors, les représentations de l'algèbre Katz - Moody pour G doivent en quelque sorte être «connues» au sujet du groupe dual de Langlands LG.

Drinfeld
C'est vrai.

Edward
Mais comment est-ce possible?

Drinfeld
Et c'est une question à laquelle vous devez répondre.

Rideau