Nous comprenons la physique des particules: 2) une boule quantique sur un ressort

1. Balle sur ressort, version newtonienne
2. Une boule quantique sur un ressort
3. Vagues, look classique
4. Les vagues, l'équation classique du mouvement
5. Ondes quantiques
6. Champs
7. Les particules sont des quanta
8. Comment les particules interagissent avec les champs

Le résultat clé de l' article précédent était que le mouvement oscillatoire d'une balle sur un ressort en physique pré-quantique de Newton et ses amis prend la forme

$$

$$z (t) = z_0 + A cos [2 \ pi \ nu t]$$

Où:
• z est la position de la balle en fonction du temps t,
• z ₀ est la position d'équilibre de la balle (où elle resterait si elle n'avait pas fluctué),
• A - amplitude de vibration (que l'on peut choisir arbitrairement grande ou petite),
• ν [nude] - fréquence de vibration (en fonction uniquement de la force du ressort K et de la masse de la balle M, et non en fonction de A).

De plus, l'énergie totale stockée dans l'oscillation est

$$

$$E = 2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 M$$

En changeant A, nous pouvons garder n'importe quelle quantité d'énergie en oscillation.

En mécanique quantique, tout change. À première vue (et nous n'avons besoin de rien d'autre), une seule chose change - l'affirmation selon laquelle nous pouvons choisir l'amplitude des oscillations aussi grandes ou petites que nous le souhaitons. Il s'avère que ce n'est pas le cas. En conséquence, l'énergie stockée dans l'oscillation ne peut pas être choisie arbitrairement.


Fig. 1

Quantification de l'amplitude d'oscillation

Max Planck, le célèbre physicien du début du 20e siècle, a découvert qu'il y avait quelque chose de quantique dans l'Univers et a introduit une nouvelle constante de la nature, qui est appelée la constante de Planck, h. Chaque fois que vous rencontrez quelque chose en mécanique quantique, vous verrez h. Quantitativement

$$

$$h = 6,626068 \ fois 10 ^ {- 34} m ^ 2 kg / s$$

- une très petite valeur pour la vie humaine ordinaire. Et voici ce qui en ressort:

Une boule quantique sur un ressort ne peut osciller qu'avec des amplitudes

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {2 n h / \ nu M}$$

Où n est un entier, par exemple 0, 1, 2, 1798 ou 2 348 979. Les oscillations ne sont pas arbitraires, mais quantifiées: on peut appeler n le quantum des vibrations. Définition: on dit qu'une boule oscillant avec le quantum n est dans le nième état excité. Si le quantum est nul, nous disons qu'il est à l'état fondamental.

Pour vous faire comprendre ce que cela signifie, les cinq premiers états excités et l'état fondamental sont présentés (plutôt naïvement - ne prenez pas l'image trop au sérieux) sur la Fig. 1. La plus petite oscillation possible se produit dans l'état n = 1. Il s'agit d'un quantum de vibrations; il n'y a pas de fraction d'un quantum. Une balle ne peut pas moins osciller, sauf si elle est dans un état sans oscillations, lorsque n = 0.

Tout le reste, à première vue, est le même. Mais en réalité, l'histoire de la mécanique quantique est beaucoup plus compliquée! Mais pour l'instant, nous pouvons nous éloigner de cette confusion et utiliser presque 100% de physique correcte.

Pourquoi ne pouvons-nous pas dire que les oscillations sont quantifiées en fonction de notre expérience? Parce que dans les systèmes de tous les jours, la quantification est trop petite. Prenez une vraie balle et un ressort - par exemple, une balle pèse 50 grammes et sa fréquence d'oscillation est une fois par seconde. Ensuite, l'amplitude pour un quantum, n = 1, correspondra à l'amplitude

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {2 n h / \ nu M} = 1,8 \ fois 10 ^ {- 16} m$$

C'est quelques dizaines de millièmes de millionième de millionième de mètre, soit 10 fois moins qu'un proton! Un quantum de vibrations ne bougera même pas la balle d'une distance de l'ordre de la taille du noyau atomique! Pas étonnant que nous ne voyions aucune quantification! Si la balle se déplace à une distance visible, elle contient un grand nombre de quanta - et pour un si grand n, de notre point de vue, nous pouvons faire n'importe quel A, voir Fig. 2. Nous ne pouvons pas mesurer A avec suffisamment de précision pour remarquer de telles limitations subtiles de son ampleur.


Fig. 2. L'amplitude des oscillations A pour l'état n. Pour les petits n, les valeurs individuelles de A sont éloignées les unes des autres, mais déjà pour n = 100, les valeurs autorisées de A sont si proches que la discrétion est déjà très difficile à remarquer. Dans les situations quotidiennes, les valeurs de n sont si grandes que la discrétion est impossible à remarquer.

A noter notamment que de telles valeurs sont obtenues du fait de la grande masse de la balle. Si la balle était composée de 100 atomes de fer et avait un rayon d'un millième de millionième de mètre, son amplitude minimale serait d'un millionième de mètre, c'est-à-dire qu'elle serait mille fois son rayon. Et c'est une valeur suffisamment grande pour pouvoir être vue au microscope. Mais une si petite boule serait exposée à des forces opérant à l'échelle atomique et oscillerait beaucoup plus rapidement qu'une fois par seconde - et une grande fréquence correspond à de petites amplitudes. Donc, même avec une petite balle, il est assez difficile de remarquer la quantification de la nature.

Quantification de l'énergie vibrationnelle

Prenez maintenant la quantification de l'amplitude, et placez-la dans la formule de l'énergie vibratoire, que nous avons déjà mentionnée au début de l'article, $$$E = 2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 M$. En y substituant les valeurs autorisées pour A, nous obtenons un résultat étonnant:

$$

$$E = n h \ nu$$

Réponse étonnamment simple! L'énergie stockée dans une boule quantique sur un ressort (naïvement parlant) est proportionnelle à n, au nombre de quanta de vibration, à la constante de Planck h et à la fréquence de vibration ν. Encore plus surprenant, cette formule simple est en fait presque précise! Que montre-t-elle bien?

• L'énergie nécessaire pour augmenter le nombre de quanta en oscillations par unité (n → n + 1) est égale à h ν.
• Dans tout oscillateur rencontré dans la vie de tous les jours, l'énergie d'un quantum sera si petite que nous ne connaîtrons jamais sa quantification.

Vérifiez-le. Pour une boule avec un ressort, oscillant une fois par seconde, un quantum d'énergie sera égal à 6,6 × 10 ^-34 J, soit 0,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 66 Joules. Et le Joule est l'énergie que vous dépensez pour soulever une pomme du sol au niveau de la ceinture - pas si grosse! C'est donc une quantité d'énergie incroyablement petite. Ce n'est que dans les petites molécules et les systèmes encore plus petits que la fréquence de vibration peut être si grande que la quantification d'énergie peut être détectée.

Il s'avère que la formule de l'énergie n'est pas entièrement vraie. Après avoir effectué ces calculs pour la mécanique quantique, vous constaterez que la bonne formule pour l'énergie est:

$$

$$E = (n + 1/2) h \ nu$$

Souvent, nous n'avons pas à prêter attention à ce petit décalage de n de 1/2. Cependant, c'est très intéressant - c'est de lui que commence tout l'enchevêtrement de la mécanique quantique. N'est-ce pas curieux? Même si l'oscillateur n'a pas du tout de quanta d'oscillation, lorsque n = 0, il contient toujours une petite quantité d'énergie. Elle s'appelle l'énergie de zéro vibration, ou énergie nulle, et est tirée du tremblement de base, de l'imprévisibilité de base, vivant au cœur même de la mécanique quantique. Regardez la photo. 3, qui, inévitablement de manière schématique et inexacte, tente de démontrer comment la gigue est responsable de l'énergie nulle. La balle se déplace de façon aléatoire, même à l'état fondamental. À l'avenir, nous reviendrons à l'énergie nulle, car elle nous conduira aux problèmes les plus profonds de toute la physique.


Fig. 3. L'imprévisibilité fondamentale de la mécanique quantique peut être imaginée comme une gigue aléatoire modifiant la position de la balle. Il se déplace de manière aléatoire même à l'état fondamental, et affecte également les excités, bien qu'avec l'augmentation de n, son influence ne soit plus aussi perceptible. Le dessin est sommaire et ne doit pas être pris trop au sérieux.