Nous comprenons la physique des particules: 4) les ondes, l'équation classique du mouvement

1. Balle sur ressort, version newtonienne
2. Une boule quantique sur un ressort
3. Vagues, look classique
4. Les vagues, l'équation classique du mouvement
5. Ondes quantiques
6. Champs
7. Les particules sont des quanta
8. Comment les particules interagissent avec les champs

Revenons à l'équation des oscillations d'une balle sur un ressort

Dans l' un des premiers articles du cycle, nous avons d'abord dérivé une formule pour le mouvement oscillatoire d'une balle

$$

$$z (t) = z_0 + A cos [2 \ pi \ nu t]$$

Et puis ils ont trouvé l'équation du mouvement pour laquelle cette formule était une solution

$$

$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - K / M (z - z_0)$$

Ici
• d ² z / dt ² désigne un changement de temps par rapport à un changement de temps z (t).
• K est la force du ressort, M est la masse de la balle, z ₀ est la position d'équilibre.
• ν = √ K / M / 2π

L'étape clé pour obtenir la dernière équation de fréquence exprimée en termes de K et M a été le calcul de d ² z / dt ² pour le mouvement oscillatoire de la balle z (t) = z ₀ + A cos [2 π ν t]. Nous avons constaté que

$$

$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - (2 \ pi \ nu) ^ 2 (z - z_0)$$

Équation d'onde

Maintenant, nous voulons faire de même pour les vagues. Nous avons trouvé une formule pour la forme et le mouvement d'une onde qui oscille à la fois dans l'espace et dans le temps.

$$

$$Z (x, t) = Z_0 + A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda]) = Z_0 + A cos (2 \ pi [t / T - x / \ lambda])$$

Parmi les solutions dont l'équation du mouvement est une telle formule? Vous pouvez imaginer la réponse. De toute évidence, cela comprend:

1. d ² Z / dt ² , changement de temps, changement de temps Z (x, t).
2. d ² Z / dx ² , un changement dans l'espace d'un changement dans l'espace Z (x, t).

Naturellement, nous pouvons deviner que l'équation devrait ressembler à ceci:

$$

$$C_t d ^ 2Z / dt ^ 2 + C_x d ^ 2Z / dx ^ 2 = C_0 (Z - Z_0)$$

Où C _t , C _x et C ₀ sont des constantes. Je note que si Où C _t = 1, C _x = 0 et C ₀ = -K / M, on reviendra à l'équation d'oscillation de la balle sur le ressort. Quelles sont ces constantes dans notre cas?

Nous pouvons toujours mettre C _t = 1. Si vous voulez, disons, mettre C _t = 5, je vous demanderais simplement de diviser l'équation entière par 5, ce qui vous donnerait l'équivalent de l'option dans laquelle C _t = 1, juste avec d'autres valeurs d'autres constantes.

Après cela, il s'avère que les valeurs de C _x et C ₀ s'avèrent différentes dans différents systèmes physiques. Nous étudierons deux classes d'ondes différentes avec des constantes différentes.

Pour les deux classes, C _x sera négatif, $$$C_x = -c_w ^ 2$ (ici c _w désigne la vitesse de déplacement des ondes haute fréquence).

Ces classes différeront en ce que la première classe, Classe 1, C ₀ sera négative, et sera - (2 π μ) 2, et la seconde, Classe 0, C ₀ sera nulle.

Nous étudions maintenant les propriétés des ondes de ces deux classes d'équations. Mais avant cela, nous devons effectuer un autre calcul, ce que nous avons déjà fait plus tôt.

Décompte rapide

Pour notre vague sans fin

$$

$$Z (x, t) = Z_0 + A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda]) = Z_0 + A cos (2 \ pi [t / T - x / \ lambda])$$

Nous aurons besoin de connaître d ² Z / dt ² et d ² Z / dx ² . Dans l'article précédent, nous avons déjà montré que pour une balle sur un ressort se déplaçant selon z (t) = z ₀ + A cos [2 π ν t], il s'avère que $$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - (2 \ pi \ nu) ^ 2 (z - z_0)$ . Un changement dans le temps nous donne un facteur de 2 π ν, et un changement dans le temps nous donne un facteur de deux facteurs. De plus, il y a un signe moins commun. Par conséquent, vous ne serez pas surpris que:

• $$$d ^ 2Z / dt ^ 2 = - (2 \ pi \ nu) ^ 2 (Z - Z_0)$
• $$$d ^ 2Z / dx ^ 2 = - (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z_0)$

Chaque changement dans le temps nous donne le facteur ν = 1 / T (plus la période est longue, plus le changement dans le temps est lent), et chaque changement dans l'espace nous donne le facteur 1 / λ (plus l'onde est longue, plus le changement dans l'espace est lent).

Preuve

Pour une onde infinie, nous avons l'équation de base

$$

$$Z (x, t) = Z_0 + A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda]) = Z_0 + A cos (2 \ pi [t / T - x / \ lambda])$$

Et nous voulons montrer que

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 = - (2 \ pi \ nu) ^ 2 (Z - Z_0)$$

$$

$$d ^ 2Z / dx ^ 2 = - (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z_0)$$

Quelques faits:

• Z - Z ₀ = A cos (2π [ν t - x / λ]) (juste dans l'équation principale, ils ont déplacé Z ₀ vers la gauche)
• Puisque Z ₀ est une constante indépendante du temps et de l'espace, dZ ₀ / dt = 0 et dZ ₀ / dx = 0.
• d (cos t) / dt = - sin t, et d (sin t) / dt = + cos t
• d (F [at + bx]) / dt = ad (F [at + bx]) / d (a t + bx), où a et b sont des constantes et F est une fonction de (at + bx).
• d [A f (t)] / dt = A d [f (t)] / dt, où f (t) est n'importe quelle fonction de t et A est une constante

Ensemble, cela signifie que:

$$

$$dZ / dt = d [A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / dt = cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / dt \\ = A (2 \ pi \ nu) d [cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / d (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda]) = - ( 2 \ pi \ nu) Un péché (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])$$

et

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 = d [- (2 \ pi \ nu) Un péché (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / dt = \\ - (2 \ pi \ nu) A d [sin (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / dt = \\ - (2 \ pi \ nu) ^ 2 A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda ]) = - (2 \ pi \ nu) ^ 2 (Z - Z_0)$$

Comme la formule de base de l'onde ne change pas lorsque (ν t) est remplacé par (-x / λ), le calcul de d ² Z / dx ² ne diffère pas du calcul de d ² Z / dt ² , juste au lieu de d / dt donnant le facteur (2π ν ), nous aurons d / dx donnant le facteur (- 2π / λ). Mais, comme il y a deux de ces facteurs dans la réponse, nous remplaçons simplement (2π ν) ² par (- 2π / λ) ² = (+ 2π / λ) ² ; le moins n'a pas d'importance (l'addition globale du moins reste). Comme nous devions le prouver

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 = - (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z_0)$$

Petits caractères: tous les dérivés ci-dessus sont en fait des dérivés partiels.

Classe 0: ondes de toutes fréquences et vitesses égales

Dans cette classe d'ondes, l'équation du mouvement sera:

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 - c_w ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = 0$$

Après avoir connecté la formule Z (x, t) pour une onde infinie et en utilisant les calculs que nous venons de faire, nous constatons que:

$$

$$- (2 \ pi \ nu) ^ 2 (Z - Z_0) - (-c_w ^ 2) (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z_0) = 0$$

Divisez l'équation par $$$- (2 \ pi) ^ 2 (Z - Z_0)$ nous obtenons

$$

$$\ nu ^ 2 - c_w ^ 2 / \ lambda ^ 2 = 0$$

Comme les fréquences, les vitesses et les longueurs d'onde sont positives, nous pouvons extraire la racine et obtenir

ν = c _w / λ, ou, si vous le souhaitez, λ = c _w / ν = c _w T

De cette formule, nous apprenons que:

• Initialement, notre onde, telle que nous l'avons enregistrée, pouvait avoir n'importe quelle fréquence et n'importe quelle longueur d'onde. Mais l'équation du mouvement les fait dépendre les uns des autres. Pour les ondes de classe 0, vous pouvez choisir n'importe quelle fréquence, mais après cela, la longueur d'onde est déterminée par λ = c _w / ν.
• Toutes les vagues de classe 0, quelle que soit leur fréquence, se déplacent à la vitesse c _w . Cela découle de la formule λ = c _w T et de la Fig. 3 de l' article précédent . Observez comment l'onde traverse un cycle d'oscillations pendant une période de T. Que se passe-t-il? L'onde est exactement la même après T, mais chaque crête s'est déplacée vers l'endroit où se trouvait son voisin - à une distance λ. Cela signifie que la crête se déplace d'une distance λ dans le temps T - une longueur d'onde dans une période d'oscillation - et signifie que les crêtes se déplacent à une vitesse de λ / T = c _w . Cela est vrai pour toutes les fréquences et leurs périodes, et toutes les longueurs d'onde!
• Comme dans le cas d'une balle sur ressort, l'amplitude A de ces ondes peut être quelconque, arbitrairement grande ou petite. Et c'est le cas pour toutes les fréquences.

Classe 1: ondes avec une fréquence supérieure au minimum, avec des vitesses différentes

Pour cette classe d'ondes, notre équation de mouvement sera:

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 - cw ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = - (2 \ pi \ mu) ^ 2 (Z - Z_0)$$

En substituant la formule Z (x, t) à une onde infinie et en utilisant le calcul rapide indiqué ci-dessus, nous constatons que

$$

$$- (2 \ pi \ nu) ^ 2 (Z - Z_0) - (-cw ^ 2) (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z_0) = - (2 \ pi \ mu) ^ 2 ( Z - Z_0)$$

Diviser l'équation par $$$- (2 \ pi) ^ 2 (Z - Z_0)$ nous obtenons

$$

$$\ nu ^ 2 - cw ^ 2 / \ lambda ^ 2 = \ mu ^ 2$$

Comme les fréquences, les vitesses et les longueurs d'onde sont positives, nous pouvons extraire la racine carrée et obtenir

$$

$$\ nu = [(cw / \ lambda) ^ 2 + \ mu ^ 2] ^ {1/2}$$

Permettez-moi de vous rappeler que y ^1/2 est identique à √y.

Cette formule est très différente de la formule des ondes de classe 0, tout comme les conséquences de son application.

Premièrement, l'équation du mouvement indique la présence de la fréquence minimale autorisée. Puisque (cw / λ) ^{2 est} toujours positif,

$$

$$\ nu = [(cw / \ lambda) ^ 2 + \ mu ^ 2] ^ {1/2} ≥ \ mu$$

Pour se rapprocher de ν = μ, il faut augmenter λ. Pour les très grandes longueurs d'onde, la fréquence s'approche de μ, mais elle ne peut pas devenir plus petite. Pour les vagues de classe 0, ce n'était pas le cas. Ils avaient ν = cw / λ, donc pour eux, plus vous en faites λ, plus ν se rapproche de zéro. Pour les ondes de classe 1, toute valeur de ν supérieure à μ est possible.

Deuxièmement, nous avons trouvé des preuves que toutes les vagues de classe 0 ont la même vitesse, mais cela ne fonctionne pas pour les vagues de classe 1. La seule option dans laquelle cela peut fonctionner si nous prenons ν est beaucoup plus grande que μ; pour cela, nous devons rendre λ très petit (et, par conséquent, 1 / λ très grand). Dans ce cas

$$

$$\ nu = [(cw / \ lambda) ^ 2 + \ mu ^ 2] ^ {1/2} ≈ cw / \ lambda$$

Autrement dit, à de très grandes fréquences et de petites longueurs d'onde, les ondes de classe 1 auront approximativement le même rapport entre la fréquence et la longueur d'onde que les ondes de classe 0, donc, pour les mêmes raisons que les ondes de classe 0, ces ondes se déplaceront à une vitesse , (approximativement) égal à cw.

Ce qui est vrai pour les ondes des deux classes, c'est que l'amplitude A peut être quelconque, arbitrairement petite ou grande, et ne dépend pas de la fréquence.


Fig. 1. Pour les ondes de classe 0 et 1, l'équation du mouvement donne une relation entre la fréquence ou la période et la longueur d'onde ou 1 / la longueur d'onde. Chacun des graphiques montre la relation de ces valeurs en fonction de l'équation du mouvement. Trois graphiques montrent la même chose, mais ils sont construits sur des variables différentes. Les lignes bleues se réfèrent aux ondes de classe 0. Le rouge indique les ondes de classe 1, dont la vitesse est la même à des fréquences très élevées et à des longueurs d'onde courtes, lorsqu'elles coïncident avec les lignes bleues. Mais à la fréquence minimale μ (et avec une période maximale de 1 / μ), marquée en vert, les deux courbes divergent avec des longueurs d'onde croissantes.

Petits caractères: vous avez peut-être remarqué que j'ai un peu triché. Je n'ai pas calculé la vitesse des vagues de classe 1. Le fait est qu'une prise très délicate se cachait ici. Pour les vagues de classe 0, j'ai compté leur vitesse, en suivant les mouvements des crêtes. Cela fonctionne car en classe 0, les ondes de toutes fréquences voyagent à la même vitesse. Mais en classe 1, ou dans toute autre, où des ondes de fréquences différentes se déplacent à des vitesses différentes, la vitesse d'une onde réelle n'est pas déterminée par la vitesse de déplacement de ses crêtes! Il s'avère que les crêtes se déplacent plus rapidement que cw, mais la vitesse des vagues est inférieure à cw. Pour comprendre cela, il faut utiliser une logique très non évidente et la différence entre la vitesse "groupe" et "phase". Je contournerai cette astuce; Je voulais juste attirer votre attention sur son existence afin que vous ne vous trompiez pas.

Commentaires finaux sur les vagues classiques

Vous pouvez trouver de nombreux exemples familiers d'ondes de classe 0, y compris le son dans l'air, l'eau ou le métal (où cw est la vitesse des ondes sonores dans un matériau), la lumière et d'autres ondes électromagnétiques (où cw = c dans le vide), et les ondes sur des cordes ou des cordes, comme sur la fig. 2 dans l'article précédent. Par conséquent, les ondes de classe 0 sont enseignées dans les cours de physique élémentaire. Je ne peux pas donner un exemple des vagues de classe 1 dans la vie quotidienne, mais nous verrons bientôt que ces vagues sont également importantes pour l'Univers.

Nous avons une formule pratique E = 2 π ² ν ² A ² M pour l'énergie d'une boule de masse M sur un ressort. Les formules des autres oscillateurs dépendent de leur nature, mais leur forme est à peu près la même. Mais dans le cas des vagues, nous n'avons pas mentionné leur énergie. En particulier, parce que nous avons étudié les vagues avec un nombre infini de crêtes pour simplifier les mathématiques. Intuitivement, une sorte d'énergie doit être stockée dans le mouvement et la forme de chaque crête et creux, et avec un nombre infini de crêtes et de creux, la quantité d'énergie dans la vague sera infinie. Il y a deux façons de contourner cela. Les formules exactes dépendent du type de vague, mais regardons les vagues de classe 0 sur une corde.

• La quantité d'énergie par longueur d'onde (stockée entre le point x et le point x + λ) est bien sûr égale à 2 π ² ν ² A ² M _λ , où M _λ est la masse du segment de corde de longueur λ.
• En réalité, les vagues ne sont pas infinies. Comme impulsion de plusieurs crêtes et dépressions, illustrées à la Fig. 2 dans le dernier article, toute vague sera finie, elle aura un nombre fini de crêtes et de dépressions. S'il s'étire sur une longueur L, c'est-à-dire qu'il aura des crêtes L / λ, alors l'énergie qui lui sera transférée sera 2 π ² ν ² A ² M _L , où M _L est la masse d'un morceau de corde de longueur L.C'est juste L / λ, multiplié par l'énergie par une longueur d'onde.

Pour les ondes se propageant hors des cordes, les détails des équations seront différents, mais l'énergie par longueur d'onde d'un système oscillatoire simple sera toujours proportionnelle à ν ² A ² .

En classe 1, il y a une onde très intéressante, qui n'existe pas en classe 0. C'est le cas lorsque ν = μ, la valeur minimale, et λ = infini. Dans ce cas, l'onde prend la forme

$$

$$Z (x, t) = Z_0 + A cos (2 \ pi \ mu t)$$

Cette onde ne dépend à aucun moment de x, c'est-à-dire que Z (x, t) sera une constante sur tout l'espace, et Z oscille dans le temps comme une boule sur un ressort de fréquence μ. Une telle onde stationnaire, représentée sur la Fig. 2, sera très important pour d'autres considérations.


Fig. 2

Ondes quantiques

Pour une balle sur un ressort, la différence entre les systèmes classique et quantique était que dans le premier cas, l'amplitude pouvait prendre des valeurs arbitraires, comme l'énergie, et dans le cas quantique, l'amplitude et l'énergie étaient quantifiées. Pour tout système oscillatoire similaire, cela fonctionne de la même manière. On devine peut-être que c'est aussi vrai pour les vagues ...