Comprendre la physique des particules: 5) les ondes quantiques

1. Balle sur ressort, version newtonienne
2. Une boule quantique sur un ressort
3. Vagues, look classique
4. Les vagues, l'équation classique du mouvement
5. Ondes quantiques
6. Champs
7. Les particules sont des quanta
8. Comment les particules interagissent avec les champs

Rappel: boule quantique sur ressort

Dans le premier article de la série, nous avons étudié une boule de masse M sur un ressort de raideur K, et constaté que ses oscillations:

• Il y aura une formule $$$z (t) = z_0 + A cos [2 \ pi \ nu t]$.
• Énergie $$$E = 2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 M$.
• L'équation du mouvement $$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - K / M (z - z_0)$

Où l'équation du mouvement force ν = √ K / M / 2π, mais permet à l'amplitude A d'être de n'importe quelle valeur positive. Puis, dans le deuxième article, nous avons vu que la mécanique quantique, applicable aux oscillations, limite leur amplitude - elle ne peut plus en être. Au lieu de cela, il est quantifié; il doit prendre l'une d'un nombre infini de quantités discrètes.

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {2 n h} / \ nu M$$

Où n = 0, 1, 2, 3 ou 44, ou en général tout entier est supérieur ou égal à zéro. En particulier, A peut être égal à $$$(1/2 \ pi) \ sqrt {2 h} / \ nu M$, mais il ne peut pas être déjà moins - seulement zéro. On dit que n est le nombre de quanta d'oscillations de la balle. L'énergie de la balle est désormais également quantifiée:

$$

$$E = (n + 1/2) h \ nu$$

La chose la plus importante ici est que pour ajouter un quantum d'oscillations de la balle, une énergie de magnitude hν est nécessaire - nous pouvons dire que chaque quantum transfère l'énergie hν.

Onde quantique

Avec les vagues, tout est essentiellement le même. Pour une onde de fréquence ν et de longueur d'onde λ oscillant d'amplitude A autour de la position d'équilibre Z ₀ ,

• Équation de mouvement: $$$Z (x, t) = Z_0 + A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])$.
• Énergie par longueur d'onde: $$$2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 J_ \ lambda$.

(où J _λ est une constante dépendant, disons, d'une corde si on parle d'ondes sur une corde), plusieurs équations de mouvement possibles, dont nous en choisirons deux pour l'étude:

$$

$$Classe 0: d ^ 2Z / dt ^ 2 - cw ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = 0$$

$$

$$Classe 1: d ^ 2Z / dt ^ 2 - cw ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = - (2 \ pi \ mu) ^ 2 (Z - Z_0)$$

Et encore une fois, la mécanique quantique limite l'amplitude A à des valeurs discrètes. Tout comme pour les vibrations d'un ressort,

• Une onde simple d'une certaine fréquence et longueur est constituée de n quanta,
• Les valeurs autorisées de l'amplitude A sont proportionnelles à √n,
• Les valeurs d'énergie autorisées E sont proportionnelles à (n + 1/2).

Plus précisément, comme pour une balle sur un ressort,

• Valeurs énergétiques autorisées E = (n + 1/2) h ν
• Chaque vague quantique transfère de l'énergie de la valeur h ν

La formule pour exprimer A est assez compliquée, car nous devons savoir combien de temps la vague est et la formule exacte sera trop confuse - alors écrivons simplement une formule qui transmet l'idée correcte. Nous avons obtenu la plupart des formules en étudiant les ondes infinies, mais pour toute onde réelle dans la nature, la durée est finie. Si la longueur d'onde est approximativement égale à L et qu'elle a des arêtes L / λ, alors l'amplitude est approximativement égale

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {\ frac {2 n h \ lambda} {\ nu L J_ \ lambda}}$$

Ce qui est proportionnel $$$\ sqrt {n h / \ nu}$comme dans le cas d'un ressort, mais dépend de L. Plus l'onde est longue, plus son amplitude est petite - de sorte que pour chaque quantum de l'onde l'énergie est toujours égale à hν.

C'est tout - cela est illustré dans la figure ci-dessous.


À gauche, une image naïve d'ondes, où l'amplitude est proportionnelle à la racine carrée du nombre de quanta, et où d'autres amplitudes ne peuvent pas exister. À droite, une image légèrement moins naïve qui prend en compte les vibrations quantiques inhérentes au monde quantique. Même dans le cas n = 0, certaines oscillations existent.

Conséquence

Qu'est-ce que cela signifie pour nos vagues de classe 0 et de classe 1?

Comme les ondes de classe 0 peuvent être de n'importe quelle fréquence, elles peuvent avoir n'importe quelle énergie. Même pour une petite valeur de ε, on peut toujours faire un quantum d'une onde de classe 0 avec une fréquence ν = ε / h. Pour une si petite énergie, cette onde quantique aura une fréquence très basse et une longueur d'onde très longue, mais elle peut exister.

Les ondes satisfaisant une équation de classe 1 ne le sont pas. Puisque pour eux il y a une fréquence minimale ν _min = μ, pour eux il y a aussi un quantum d'énergie minimale:

$$

$$E_ {min} = h \ nu_ {min} = h \ mu$$

Si votre petite quantité d'énergie ε est inférieure à cela, un quantum d'une telle onde ne peut pas être fait. Pour tous les quanta d'onde de classe 1 avec une longueur d'onde finie et une fréquence plus élevée, E ≥ h μ.

Résumé

Avant de commencer à prendre en compte la mécanique quantique, l'amplitude des ondes, comme l'amplitude d'une balle sur un ressort, peut changer en continu; ils peuvent être rendus arbitrairement grands ou petits. Mais la mécanique quantique implique l'existence d'une amplitude d'onde non nulle minimale, comme dans le cas des oscillations de billes sur un ressort. Et généralement, l'amplitude ne peut prendre que des valeurs discrètes. Les amplitudes admissibles sont telles que pour les oscillations de la balle sur le ressort et pour les vagues de toute classe avec une certaine fréquence ν

• Pour ajouter un quantum de vibration, l'énergie h ν est requise
• Pour les oscillations de n quanta, l'énergie d'oscillation sera égale à (n + 1/2) h ν

Il est maintenant temps d'appliquer les connaissances acquises aux champs et de voir quand et comment les quanta d'ondes dans ces champs peuvent être interprétés comme ce que nous appelons les «particules» de la nature.