Équation de Poisson et distribution de Boltzmann (partie 2.1)

Distribution Boltzmann (partie 1)

Avant d'aborder la conclusion de la distribution de Boltzmann et de comprendre le sens physique, il est nécessaire de donner des informations préliminaires sur la théorie élémentaire des probabilités. Le fait est que les macrosystèmes que nous observons consistent, comme vous le savez, en un grand nombre de particules plus petites, par exemple, toute substance est constituée d'atomes, et ces derniers, à leur tour, sont divisés en noyaux et électrons, le noyau d'un atome est divisé en protons et neutrons ainsi de suite. Dans un système matériel qui contient un grand nombre de particules (dans le soi-disant microsystème), il est inutile de considérer chaque particule séparément, premièrement parce que personne ne peut jamais décrire chaque particule (même les superordinateurs modernes), et deuxièmement, cela ne nous donnera rien, en principe, car le comportement du macrosystème est décrit par des paramètres moyennés, comme nous le verrons plus loin. Avec un si grand nombre de particules, il est logique de s'intéresser aux probabilités qu'un paramètre se trouve dans une plage particulière de valeurs.

Nous procédons donc à quelques définitions de la théorie des probabilités, puis, après avoir nécessairement expliqué la distribution de Maxwell, nous aborderons l'analyse de la distribution de Boltzmann.

Dans la théorie des probabilités, il existe une chose telle qu'un événement aléatoire - c'est un phénomène qui, dans une certaine expérience, a lieu ou non. Par exemple, considérons une boîte fermée contenant la molécule A et un certain volume alloué $$$\ Delta \ tau$ dans cette boîte (voir. Fig. 1).





Fig. 1

Ainsi, un événement aléatoire frappera la molécule A dans le volume alloué $$$\ Delta \ tau$ , ou l'absence de cette molécule dans ce volume (car la molécule bouge, et à tout moment elle existe ou non dans un certain volume).

La probabilité d' un événement aléatoire est comprise comme le rapport du nombre d'essais m, auquel cet événement a eu lieu, au nombre total d'essais M, et le nombre total d'essais doit être important. Nous ne pouvons pas parler de la probabilité d'un événement dans un procès. Plus il y a d'essais, plus la probabilité de l'événement est précise.

Dans notre cas, la probabilité que la molécule A soit en volume $$$\ Delta \ tau$ est égal à:

$$

$$W (A) = \ frac {m} {M}, ou W (A) = \ lim_ {M \ à \ infty} m / M$$

Considérons maintenant dans la même case deux volumes alloués $$$\ Delta \ tau_1$ et $$$\ Delta \ tau_2$ (voir fig.2)


Fig.2

Si ces deux volumes ne se croisent pas (voir figure 2a), alors la molécule A peut à un certain moment t être soit en volume $$$\ Delta \ tau_1$ ou en volume $$$\ Delta \ tau_2$ . En même temps, une molécule ne peut pas se trouver à deux endroits différents. Ainsi, nous arrivons au concept d' événements incompatibles lorsque la mise en œuvre d'un événement exclut la mise en œuvre d'un autre événement. Dans le cas où les volumes $$$\ Delta \ tau_1$ et $$$\ Delta \ tau_2$ intersection (voir fig.2b), c'est-à-dire la probabilité que la molécule puisse tomber dans la région d'intersection, puis deux événements sont compatibles .

La probabilité que la molécule A tombe dans le volume $$$\ Delta \ tau_1$ est égal à:

$$

$$W (1) = m_1 / M$$

où $$$m_1$ - le nombre de tests lorsque la molécule était en volume $$$\ Delta \ tau_1$ . De même, la probabilité que la molécule A tombe dans le volume $$$\ Delta \ tau_2$ est égal à:

$$

$$W (2) = m_2 / M$$

De plus, l'événement où la molécule tombe dans au moins l'un des deux volumes a été réalisé $$$m_1 + m_2$ fois. La probabilité de cet événement est donc:

$$

$$W = \ frac {m_1 + m_2} {M} = \ frac {m_1} {M} + \ frac {m_2} {M} = W (1) + W (2)$$

Ainsi, nous pouvons conclure que la probabilité d'un des événements incompatibles est égale à la somme des probabilités de chacun d'eux.

Un groupe complet d' événements incompatibles est une telle combinaison d'événements dont la mise en œuvre est fiable, c'est-à-dire la probabilité d'un des événements est de 1.

Les événements sont appelés également possibles si la probabilité que l'un d'entre eux ait la même valeur, c'est-à-dire les probabilités de tous les événements sont les mêmes.

Considérez le dernier exemple et introduisez le concept d' événements indépendants . Soit le premier événement que la molécule A au temps t soit en volume $$$\ Delta \ tau_1$ , et le deuxième événement - qu'une autre molécule B tombe dans le volume $$$\ Delta \ tau_2$ . Si la probabilité que la molécule B entre dans le volume $$$\ Delta \ tau_2$ Cela ne dépend pas de la présence ou non de la molécule A $$$\ Delta \ tau_1$ ou non, ces événements sont appelés indépendants.

Supposons que nous ayons effectué un total de n tests et constaté que la molécule A était $$$m_1$ fois en volume $$$\ Delta \ tau_1$ et la molécule B - $$$m_2$ fois en volume $$$\ Delta \ tau_2$ , alors les probabilités de ces événements sont égales à:

$$

$$W (A) = \ frac {m_1} {n}, W (B) = \ frac {m_2} {n}$$

Nous prendrons des tests $$$m_1$ pour lequel A est tombé dans $$$\ Delta \ tau_1$ le nombre de tests dans lesquels B est également tombé dans $$$\ Delta \ tau_2$ . De toute évidence, ce nombre d'essais sélectionnés est $$$m_1 (\ frac {m_2} {n})$ . La probabilité de mise en œuvre conjointe des événements A et B est donc égale à:

$$

$$W (AB) = \ frac {m_1 (\ frac {m_2} {n})} {n} = \ frac {m_1} {n} \ frac {m_2} {n} = W (A) W (B)$$

C'est-à-dire la probabilité d'événements indépendants dans la mise en œuvre conjointe est égale au produit des probabilités de chaque événement séparément.

Si nous mesurons une certaine quantité, par exemple, la vitesse d'une molécule ou l'énergie d'une seule molécule, alors la valeur peut prendre n'importe quelle valeur réelle sur l'axe numérique (y compris les valeurs négatives), c'est-à-dire cette quantité est continue , contrairement à ce que nous avons considéré ci-dessus (les quantités dites discrètes). Ces quantités sont appelées variables aléatoires . Pour une variable aléatoire continue, il est faux de s'intéresser à la probabilité d'une valeur donnée. La formulation correcte de la question consiste à déterminer la probabilité que cette quantité soit comprise entre, disons x et x + dx. Cette probabilité est mathématiquement égale à:

$$

$$dW = w (x) dx$$

Ici w (x) est une fonction appelée densité de probabilité. Sa dimension est l'inverse de la dimension de la variable aléatoire x.

Et enfin, il faut encore dire une chose assez évidente, que la probabilité d'un événement fiable, ou la somme de toutes les probabilités d'un groupe complet d'événements incompatibles est égale à un.
En principe, ces définitions nous suffisent pour montrer la dérivation de la distribution de Maxwell, puis de la distribution de Boltzmann.

Nous considérerons donc un gaz idéal (il peut aussi s'agir d'un gaz d'électrons si raréfié que l'interaction des électrons peut être négligée). Chaque particule de ce gaz a une vitesse v ou une impulsion $$$p = m_0v$ et toutes ces vitesses et impulsions peuvent être n'importe quoi. Ces paramètres sont donc des variables aléatoires et nous nous intéresserons à la densité de probabilité $$$w_p$ .

En outre, il est commode d'introduire le concept de l'espace des impulsions. Nous reportons les composantes de la quantité de mouvement des particules le long des axes du système de coordonnées (voir Fig. 3)


Fig. 3

Nous devons découvrir quelle est la probabilité que chaque composante de l'impulsion se situe dans les plages:

$$

$$p_x \ div (p_x + dp_x); p_y \ div (p_y + dp_y); p_z \ div (p_z + dp_z)$$

Autrement dit, la fin du vecteur p est dans le volume rectangulaire dΩ:

$$

$$d \ Omega = dp_xdp_ydp_z$$

Maxwell a mis deux postulats, sur la base desquels il a dérivé la distribution des impulsions. Il a suggéré:

A) Toutes les directions dans l'espace sont égales et cette propriété est appelée isotropie, en particulier l'isotropie de densité de probabilité $$$w_p$ .

B) Le mouvement des particules le long de trois axes mutuellement perpendiculaires est indépendant, c'est-à-dire valeur d'impulsion $$$p_x$ ne dépend pas de la valeur de ses autres composants $$$p_y$ et $$$p_z$ .

Les particules se déplacent dans différentes directions, à la fois dans le sens positif et dans le négatif. C'est-à-dire, par exemple, le long de l'axe x, la valeur d'impulsion peut prendre la valeur comme $$$p_x$ donc et $$$-p_x$ . Mais la densité de probabilité est une fonction paire (c'est-à-dire que pour les valeurs négatives de l'argument, la fonction est positive), elle dépend donc du carré $$$p_x$ :

$$

$$w_ {px} = \ phi (p_x ^ 2)$$

Des propriétés de l'isotropie (voir ci-dessus), il s'ensuit que les densités de probabilité des deux autres composantes s'expriment de manière similaire:

$$

$$w_ {py} = \ phi (p_y ^ 2); w_ {pz} = \ phi (p_z ^ 2)$$

Par définition, la probabilité que l'impulsion p entre dans le volume dΩ est égale à:

$$

$$dW = w_pd \ Omega$$

Rappelons que nous avons découvert plus haut que pour des événements indépendants cette probabilité peut être exprimée par le produit des probabilités des événements de chaque composante:

$$

$$w_pd \ Omega = w_ {px} dp_xw_ {py} dp_yw_ {pz} dp_z = \ phi (p_x ^ 2) \ phi (p_y ^ 2) \ phi (p_z ^ 2) dp_xdp_ydp_z$$

Par conséquent:

$$

$$w_p = \ psi (p ^ 2) = \ phi (p_x ^ 2) \ phi (p_y ^ 2) \ phi (p_z ^ 2)$$

Logarithmesons cette expression et obtenons:

$$

$$ln \ psi = ln \ phi (p_x ^ 2) + ln \ phi (p_y ^ 2) + ln \ phi (p_z ^ 2)$$

Ensuite, nous différencions cette identité par rapport à $$$p_x$ :

$$

$$\ frac {\ psi ^ {'}} {\ psi} 2p_x = \ frac {\ phi ^ {'}} {\ phi} 2p_x$$

, où le premier désigne la dérivée de la fonction correspondante par rapport à son argument complexe.

Après la réduction de cette expression à $$$2p_x$ nous obtenons:

$$

$$\ frac {\ psi ^ {'} (p ^ 2)} {\ psi (p ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_x ^ 2)} {\ phi (p_x ^ 2)}$$

Il en va de même pour les autres composantes des impulsions, respectivement, on obtient:

$$

$$\ frac {\ psi ^ {'} (p ^ 2)} {\ psi (p ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_y ^ 2)} {\ phi (p_y ^ 2)} ; \ frac {\ psi ^ {'} (p ^ 2)} {\ psi (p ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_z ^ 2)} {\ phi (p_z ^ 2)}$$

Cela implique des relations importantes:

$$

$$\ frac {\ phi ^ {'} (p_x ^ 2)} {\ phi (p_x ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_y ^ 2)} {\ phi (p_y ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_z ^ 2)} {\ phi (p_z ^ 2)}$$

D'après ces expressions, il est clair que les relations de la dérivée de la fonction par rapport à la fonction de l'une ou l'autre composante de l'impulsion sont respectivement une constante, nous pouvons écrire comme suit (nous désignons la constante comme $$$- \ beta$ ):

$$

$$\ frac {\ phi ^ {'} (p_x ^ 2)} {\ phi (p_x ^ 2)} = - \ beta$$

En résolvant cette équation différentielle, nous obtenons (comment ces équations sont résolues dans n'importe quel manuel sur les équations différentielles ordinaires):

$$

$$\ phi (p_x ^ 2) = Ce ^ {- \ beta p_x ^ 2}$$

Où C et β sont des constantes que nous n'avons pas encore dérivées (dans le prochain article). Ainsi, de la condition d'isotropie et d'indépendance de mouvement le long des axes de coordonnées, il s'ensuit que la probabilité $$$dW_ {px}$ de cette composante de l'élan $$$p_x$ sera dans l'intervalle $$$dp_x$ déterminé par le rapport:

$$

$$dW_ {px} = Ce ^ {- \ beta p_x ^ 2} dp_x$$

, et la probabilité dW que l'impulsion sera dans le volume dΩ est (rappelez-vous le produit des probabilités d'événements indépendants):

$$

$$dW = C ^ 3e ^ {- \ beta p ^ 2} d \ Omega$$

Dans le prochain article, nous allons compléter la dérivation de la distribution de Maxwell, découvrir la signification physique de cette distribution et passer directement à la dérivation de la distribution de Boltzmann.