Transmission d'énergie sans fil via des bobines inductives couplées magnétiquement

Présentation

Je pense que de nombreux lecteurs ont vu au moins un clip vidéo sur des services vidéo populaires, où l'électricité est transmise à travers un espace vide à l'aide de bobines inductives.

Dans cet article, nous voulons aborder les principes de base du processus de transfert d'énergie sans fil à l'aide d'un champ magnétique. En commençant par considérer la bobine inductive la plus simple et en calculant son inductance, nous passerons progressivement à la théorie des circuits électriques, dans laquelle nous montrerons et justifierons la méthode de transmission de la puissance maximale, toutes choses étant égales par ailleurs. Commençons donc.

Champ magnétique à un tour avec courant

Considérez le champ magnétique d'une seule bobine avec du courant. Trouvez le champ magnétique de la bobine à n'importe quel point de l'espace. Pourquoi une telle considération est-elle nécessaire? Parce que dans presque tous les livres, du moins dans ceux que l'auteur de l'article a réussi à trouver, la solution à ce problème se limite à trouver une seule composante du champ magnétique et uniquement le long de l'axe du virage -$$ $ en ligne $ B_z (z) $ en ligne $ tandis que nous trouvons la loi du champ magnétique dans tout l'espace.


Illustration de la loi de Bio Savara Laplace

Pour trouver le champ magnétique, nous utilisons la loi de Bio-Savard-Laplace (voir Wikipedia - Loi de Bio-Savard-Laplace ). La figure montre que le centre du système de coordonnées$$ $ en ligne $ O $ en ligne $ coïncide avec le centre de la boucle. La circonférence de la boucle est indiquée comme$$ $ en ligne $ C $ en ligne $ et le rayon du cercle est comme$$ $ inline $ a $ inline $ Le courant circule dans la boucle$$ $ en ligne $ I $ en ligne $ .$$ $ inline $ \ vec {r} $ inline $ Est un vecteur à rayon variable de l'origine à un point arbitraire du virage.$$ $ inline $ \ vec {r} _0 $ inline $ Est le vecteur de rayon au point d'observation. Nous avons également besoin d'un angle polaire$$ $ inline $ \ varphi $ inline $ Est l'angle entre le vecteur de rayon$$ $ inline $ \ vec {r} $ inline $ et axe$$ $ inline $ OX $ inline $ . La distance entre l'axe du virage et le point d'observation est indiquée par$$ $ inline $ \ rho $ inline $ . Et enfin$$ $ inline $ \ mathrm {d} \ vec {r} $ inline $ - incrément élémentaire du vecteur rayon$$ $ inline $ \ vec {r} $ inline $ .

Selon la loi de Bio-Savard-Laplace, l'élément de circuit avec courant$$ $ inline $ \ mathrm {d} \ vec {r} $ inline $ crée une contribution élémentaire au champ magnétique, qui est donnée par la formule

$$$$ afficher $$ \ mathrm {d} \ vec {B} (\ vec {r} _0) = \ frac {\ mu_0 I} {4 \ pi} \ cdot \ frac {[\, \ mathrm {d} \ vec {r} \ times (\ vec {r} _0- \ vec {r})]} {| \ vec {r} _0- \ vec {r} | ^ 3} $$ display $$

Nous nous attardons maintenant plus en détail sur les variables et expressions incluses dans la formule. Étant donné la symétrie axiale du problème, nous pouvons écrire

$$$$ afficher $$ \ vec {r} _0 = (\ rho \ cos {\ varphi}, \ rho \ sin {\ varphi}, z) \ overset {\ varphi = 0} {\ rightarrow} (\ rho, 0 , z) $$ afficher $$

$$$$ afficher $$ \ vec {r} = (a \ cos {\ varphi}, a \ sin {\ varphi}, 0) $$ afficher $$

$$$$ afficher $$ \ mathrm {d} \ vec {r} = (-a \ sin {\ varphi}, a \ cos {\ varphi}, 0) \, \ mathrm {d} \ varphi $$ afficher $$

$$$$ afficher $$ \ vec {r} _0- \ vec {r} = (\ rho -a \ cos {\ varphi}, -a \ sin {\ varphi}, z) $$ afficher $$

$$$$ afficher $$ [\ mathrm {d} \ vec {r} \ fois (\ vec {r} _0- \ vec {r})] = \ begin {vmatrix} \ vec {e} _x & \ vec {e} _y & \ vec {e} _z \\ -a \ sin {\ varphi} \, \ mathrm {d} \ varphi & a \ cos {\ varphi} \, \ mathrm {d} \ varphi & 0 \\ \ rho -a \ cos {\ varphi} & -a \ sin {\ varphi} & z \ end {vmatrix} = (az \ cos {\ varphi}, az \ sin {\ varphi}, a ^ 2 -a \ rho \ cos {\ varphi}) \, \ mathrm {d} \ varphi $$ display $$

$$$$ afficher $$ | \ vec {r} _0- \ vec {r} | ^ 3 = \ left (\ rho ^ 2 + a ^ 2 + z ^ 2 -2 \ rho a \ cos {\ varphi} \ right ) ^ {\ frac {3} {2}} $$ display $$

Afin de trouver le champ magnétique résultant, il est nécessaire d'intégrer sur tout le contour de la boucle, c'est-à-dire

$$$$ afficher $$ \ vec {B} (\ vec {r} _0) = \ int_C {\, \ mathrm {d} \ vec {B} (\ vec {r} _0)} $$ afficher $$

Après avoir substitué toutes les expressions et certaines transformations identiques, nous obtenons les expressions pour les composantes axiale et radiale du champ magnétique, respectivement

$$$$ affiche $$ B_z (\ rho, z) = \ frac {\ mu_0 I} {4 \ pi} \ int_0 ^ {2 \ pi} {\ frac {\ left (a ^ 2 - \ rho a \ cos { \ varphi} \ right) \, \ mathrm {d} \ varphi} {\ left (\ rho ^ 2 + a ^ 2 + z ^ 2 -2 \ rho a \ cos {\ varphi} \ right) ^ {\ frac {3} {2}}}} $$ display $$

$$$$ afficher $$ B_r (\ rho, z) = \ frac {\ mu_0 I} {4 \ pi} \ int_0 ^ {2 \ pi} {\ frac {a \, z \, \ cos {\ varphi} \ , \ mathrm {d} \ varphi} {\ left (\ rho ^ 2 + a ^ 2 + z ^ 2 -2 \ rho a \ cos {\ varphi} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} }} $$ afficher $$

Pour trouver la valeur absolue du champ magnétique, il faut additionner les composantes par le théorème de Pythagore$$ $ inline $ B = \ sqrt {B_r ^ 2 + B_z ^ 2} $ inline $ .

Montrons la solution obtenue comme exemple d'une bobine de rayon$$ $ en ligne $ a = 0,1 $ en ligne $ (m) et$$ $ en ligne $ I = 1 $ en ligne $ (A).


L'amplitude de la composante axiale du champ magnétique


L'amplitude de la composante radiale du champ magnétique


L'amplitude absolue du champ magnétique

Notez que pour une boucle de forme arbitraire, à de grandes distances$$ $ inline $ z \ gg a $ inline $ , c'est-à-dire beaucoup plus grande que la taille caractéristique de la bobine, le comportement du champ magnétique tendra à la solution trouvée.

Inductance Bobines couplées magnétiquement

Maintenant que nous connaissons la solution pour le champ magnétique d'un tour, nous pouvons trouver l'inductance de la bobine, composée de$$ $ en ligne $ n $ en ligne $ tourne. Par définition, l'inductance est le coefficient de proportionnalité entre le courant dans la bobine et le flux magnétique à travers la zone de section transversale de la bobine. Nous utilisons ici le modèle de bobine idéal, qui est sans dimension dans la direction de son axe de symétrie. Bien sûr, dans la pratique, cela ne se produit pas. Cependant, comme approximatives, les formules résultantes seront assez bonnes. Bien que les bobines soient considérées comme sans dimension le long$$ $ en ligne $ oz $ en ligne $ , vous devez définir un rayon non nul de la section de fil. Laisse le$$ $ inline $ \ delta $ inline $ , et un exemple égal à$$ $ inline $ \ delta = 0.1 $ inline $ (mm). Sinon, lors de l'intégration du flux magnétique, l'intégrande se tournera vers l'infini.


Bobines couplées par induction

La figure montre deux bobines magnétiquement couplées. Laissez la première bobine avoir un rayon$$ $ inline $ a_1 $ inline $ et contient$$ $ en ligne $ n_1 $ en ligne $ tourne, et le second -$$ $ inline $ a_2 $ inline $ et$$ $ inline $ n_2 $ inline $ en conséquence. Ensuite, pour trouver les inductances intrinsèques, il est nécessaire de calculer le flux magnétique de chaque bobine à travers sa propre section efficace.

$$$$ afficher $$ \ Phi = \ iint_S {\ vec {B} \ cdot \ vec {\, \ mathrm {d} S}} = \ int_0 ^ {2 \ pi} {\ int_0 ^ {a- \ delta} {B_z (\ rho, z) \ rho \, \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi}} = 2 \ pi \ int_0 ^ {a- \ delta} {B_z (\ rho, z ) \ rho \, \ mathrm {d} \ rho} $$ afficher $$

Puisqu'il y a beaucoup de tours dans la bobine, nous trouvons une valeur appelée liaison de flux, multipliant deux fois par le nombre de tours

$$$$ afficher $$ \ Psi = \ frac {1} {2} n ^ 2 \ mu_0 I \ int_0 ^ {a- \ delta} {\ int_0 ^ {2 \ pi} {\ frac {\ left (a ^ 2 - \ rho a \ cos {\ varphi} \ right) \, \ mathrm {d} \ varphi} {\ left (\ rho ^ 2 + a ^ 2 + z ^ 2 -2 \ rho a \ cos {\ varphi} \ droite) ^ {\ frac {3} {2}}}} \ rho \, \ mathrm {d} \ rho} $$ display $$

Par définition, l'inductance est un coefficient de proportionnalité$$ $ en ligne $ L $ en ligne $ dans la formule$$ $ inline $ \ Psi = LI $ inline $ . Ainsi, nous obtenons les inductances intrinsèques des bobines

$$$$ afficher $$ L_1 = \ frac {1} {2} n_1 ^ 2 \ mu_0 \ int_0 ^ {a_1- \ delta} {\ int_0 ^ {2 \ pi} {\ frac {\ left (a_1 ^ 2 - \ rho a_1 \ cos {\ varphi} \ right) \, \ mathrm {d} \ varphi} {\ left (\ rho ^ 2 + a_1 ^ 2 -2 \ rho a_1 \ cos {\ varphi} \ right) ^ {\ frac {3} {2}}}} \ rho \, \ mathrm {d} \ rho} $$ display $$

$$$$ afficher $$ L_2 = \ frac {1} {2} n_2 ^ 2 \ mu_0 \ int_0 ^ {a_2- \ delta} {\ int_0 ^ {2 \ pi} {\ frac {\ left (a_2 ^ 2 - \ rho a_2 \ cos {\ varphi} \ right) \, \ mathrm {d} \ varphi} {\ left (\ rho ^ 2 + a_2 ^ 2 -2 \ rho a_2 \ cos {\ varphi} \ right) ^ {\ frac {3} {2}}}} \ rho \, \ mathrm {d} \ rho} $$ display $$

Que les centres des bobines soient séparés par la distance$$ $ en ligne $ d $ en ligne $ se trouvent sur un axe, et leur plan de spires est orienté en parallèle. Pour trouver l'inductance mutuelle, il est nécessaire de calculer la liaison de flux formée par une bobine à travers la section transversale de l'autre, c'est-à-dire

$$$$ afficher $$ \ Psi_ {12} = \ frac {1} {2} n_1 n_2 \ mu_0 I \ int_0 ^ {a_2- \ delta} {\ int_0 ^ {2 \ pi} {\ frac {\ left (a_1 ^ 2 - \ rho a_1 \ cos {\ varphi} \ right) \, \ mathrm {d} \ varphi} {\ left (\ rho ^ 2 + a_1 ^ 2 + z ^ 2 -2 \ rho a_1 \ cos {\ varphi} \ droite) ^ {\ frac {3} {2}}}} \ rho \, \ mathrm {d} \ rho} $$ display $$

L'inductance mutuelle des bobines est alors donnée par

$$$$ afficher $$ M_ {12} = \ frac {1} {2} n_1 n_2 \ mu_0 \ int_0 ^ {a_2- \ delta} {\ int_0 ^ {2 \ pi} {\ frac {\ left (a_1 ^ 2 - \ rho a_1 \ cos {\ varphi} \ right) \, \ mathrm {d} \ varphi} {\ left (\ rho ^ 2 + a_1 ^ 2 + d ^ 2 -2 \ rho a_1 \ cos {\ varphi} \ droite) ^ {\ frac {3} {2}}}} \ rho \, \ mathrm {d} \ rho} $$ display $$

À la connaissance de l'auteur, ces intégrales ne peuvent être prises que numériquement.
Notez qu'en règle générale$$ $ inline $ \ Psi_ {12} = \ Psi_ {21} $ inline $ et$$ $ en ligne $ M_ {12} = M_ {21} = M $ en ligne $ . Le coefficient de couplage de la bobine est appelé la valeur

$$$$ afficher $$ k = \ frac {M} {\ sqrt {L_1L_2}} $$ afficher $$

Nous étudions la dépendance du coefficient de couplage des bobines sur la distance. Pour ce faire, considérons deux bobines identiques avec un rayon de spires$$ $ en ligne $ a_1 = a_2 = 0,1 $ en ligne $ (m) et le nombre de tours$$ $ en ligne $ n_1 = n_2 = 100 $ en ligne $ . Dans ce cas, l'inductance de chaque bobine est$$ $ en ligne $ L_1 = L_2 = 8,775 $ en ligne $ (mH).


Coefficient de couplage des bobines à partir de la distance entre elles

L'horaire ne changera pas si le nombre de tours dans les deux bobines est le même ou si le rayon des deux bobines est le même. Le coefficient de couplage est commodément exprimé en pourcentage. Le graphique montre que même avec une distance entre les bobines de 1 (mm), le coefficient de couplage est inférieur à 100%. Le coefficient tombe à 10% à une distance d'environ 60 (mm), et à 1% à 250 (mm).

Transmission d'énergie sans fil

Nous connaissons donc l'inductance et le coefficient de couplage. Nous utilisons maintenant la théorie des circuits électriques à courant alternatif pour trouver les paramètres optimaux auxquels la puissance transmise serait maximale. Pour comprendre ce paragraphe, le lecteur doit connaître le concept d'impédance électrique, ainsi que les lois de Kirchhoff et la loi d'Ohm. Comme on le sait d'après la théorie des circuits, deux bobines à couplage inductif forment un transformateur d'air. Pour l'analyse des transformateurs, un circuit équivalent en forme de T est pratique.


Transformateur d'air et son circuit équivalent

La bobine émettrice de gauche sera conventionnellement appelée «émetteur», et la bobine réceptrice de droite sera appelée «récepteur». Coefficient de couplage entre bobines$$ $ en ligne $ k $ en ligne $ . Du côté du récepteur, le consommateur est représenté par la charge$$ $ inline $ z_L $ inline $ . La charge peut généralement être complexe. Tension d'entrée de l'émetteur$$ $ inline $ u_1 $ inline $ et le courant d'entrée est$$ $ inline $ i_1 $ inline $ . La tension transmise au récepteur est$$ $ inline $ u_2 $ inline $ , et le courant transmis$$ $ inline $ i_2 $ inline $ . L'impédance totale côté émetteur est indiquée par$$ $ inline $ z_1 $ inline $ et la pleine impédance côté récepteur$$ $ inline $ z_2 $ inline $ .

On suppose qu'une tension sinusoïdale est appliquée à l'entrée du circuit$$ $ inline $ u_1 = u_ {1m} \ sin {\ omega t} $ inline $ .

Nous dénotons$$ $ en ligne $ R_ {bobine \, 1}, R_ {bobine \, 2}, L_ {bobine \, 1}, L_ {bobine \, 2}, M $ en ligne $ - résistance et inductance des bobines (deux propres et une mutuelle), respectivement. Ensuite, selon la théorie des transformateurs

$$$$ afficher $$ z_1 = R_ {bobine \, 1} + j \ oméga (L_ {bobine \, 1} - M) $$ afficher $$

$$$$ affichage $$ z_2 = R_ {bobine \, 2} + j \ oméga (L_ {bobine \, 2} - M) + R_ {charge} + j X_ {charge} $$ affichage $$

Par contre, selon notre notation

$$$$ afficher $$ z_1 = r_1 + j x_1 $$ afficher $$

$$$$ afficher $$ z_2 = r_2 + j x_2 $$ afficher $$

où$$ $ inline $ r_1, r_2 $ inline $ Impédances complètes sur le côté de l'émetteur et du récepteur, respectivement, et$$ $ en ligne $ x_1, x_2 $ en ligne $ - pleine réactance .

L'impédance de communication est$$ $ inline $ z_3 = j \ omega M = j x_3 $ inline $ .

Trouver le courant d'entrée du circuit

$$$$ afficher $$ i_1 = \ frac {u_1} {z_1 + z_2 || z_3} $$ afficher $$

où est le signe$$ $ inline $ || $ inline $ désigne une connexion parallèle de résistances. Ensuite, la tension transmise au récepteur

$$$$ afficher $$ u_2 = u_1 - i_1 z_1 = u_1 \ gauche (1 - \ frac {z_1} {z_1 + z_2 || z_3} \ droite) $$ afficher $$

Et le courant induit

$$$$ display $$ i_2 = \ frac {u_2} {z_2} = \ frac {u_1} {z_2} \ left (1 - \ frac {z_1} {z_1 + z_2 || z_3} \ right) $$ display $$

On retrouve la puissance intégrée transmise au récepteur

$$$$ afficher $$ s_2 = u_2 i_2 ^ * = p_2 + jq_2 $$ afficher $$

Ainsi, nous avons l'expression de puissance complexe

$$$$ afficher $$ s_2 = | u_1 | ^ 2 z_2 \ gauche | \ frac {z_3} {z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3} \ droite | ^ 2 $$ afficher $$

Expression pour la composante de puissance active

$$$$ afficher $$ p_2 = | u_1 | ^ 2 r_2 \ gauche | \ frac {z_3} {z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3} \ droite | ^ 2 $$ afficher $$

Expression pour la composante de puissance réactive

$$$$ afficher $$ q_2 = | u_1 | ^ 2 x_2 \ gauche | \ frac {z_3} {z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3} \ droite | ^ 2 $$ afficher $$

Dans la plupart des tâches pratiques, il est nécessaire de transférer la puissance active maximale, donc

$$$$ affichage $$ p_2 \ rightarrow \ mathrm {max} \ Rightarrow \ left | \ frac {z_3} {z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3} \ right | ^ 2 \ rightarrow \ mathrm {max} $$ display $$

Ou c'est pareil

$$$$ afficher $$ \ gauche | z_1 + z_2 + \ frac {z_1z_2} {z_3} \ droite | ^ 2 \ rightarrow \ mathrm {min} $$ afficher $$

$$$$ afficher $$ \ gauche | r_1 + jx_1 + r_2 + jx_2 + \ frac {(r_1 + jx_1) (r_2 + jx_2)} {jx_3} \ droite | ^ 2 \ rightarrow \ mathrm {min} $$ afficher $$

$$$$ afficher $$ \ frac {1} {x_3 ^ 2} | (r_1x_3 + r_2x_3 + r_1x_2 + r_2x_1) + j (x_1x_3 + x_2x_3 + x_1x_2 - r_1r_2) | ^ 2 \ rightarrow \ mathrm {min} $$ afficher $ $

Pour plus de commodité, nous introduisons la fonction

$$$$ affichage $$ f (x_1, x_2) = (r_1x_3 + r_2x_3 + r_1x_2 + r_2x_1) + j (x_1x_3 + x_2x_3 + x_1x_2 - r_1r_2) $$ affichage $$

et l'examiner pour les extrêmes

$$$$ afficher $$ | f (x_1, x_2) | ^ 2 \ rightarrow \ mathrm {min} $$ afficher $$

Où obtient-on le système de deux équations

$$$$ afficher $$ \ frac {\ partial | f | ^ 2} {\ partial x_1} = 2 \ mathbb {Re} (f) r_2 + 2 \ mathbb {Im} (f) (x_2 + x_3) = 0 $ $ afficher $$

$$$$ afficher $$ \ frac {\ partial | f | ^ 2} {\ partial x_2} = 2 \ mathbb {Re} (f) r_1 + 2 \ mathbb {Im} (f) (x_1 + x_3) = 0 $ $ afficher $$

Ce système a cinq solutions, dont deux sont non physiques, car elles conduisent à des valeurs imaginaires de quantités censées être réelles. Trois autres solutions physiques sont répertoriées ci-dessous avec les formules de puissance correspondantes
Solution 1

$$$$ afficher $$ x_1 = -x_3, \ quad x_2 = -x_3 $$ afficher $$

Puissance

$$$$ afficher $$ p_2 = \ frac {| u_1 | ^ 2 \, x_3 ^ 2 \, r_2} {\ gauche (r_1r_2 + x_3 ^ 2 \ droite) ^ 2}, \ quad q_2 = - \ frac {| u_1 | ^ 2 \, x_3 ^ 3} {\ gauche (r_1r_2 + x_3 ^ 2 \ droite) ^ 2} $$ afficher $$

Décision 2 et 3

$$$$ afficher $$ x_1 = \ frac {1} {r_2} \ gauche (\ sqrt {r_1r_2 \ gauche (x_3 ^ 2-r_1r_2 \ droite)} - r_2x_3 \ droite), \ quad x_2 = \ frac {1} { r_1} \ left (\ sqrt {r_1r_2 \ left (x_3 ^ 2-r_1r_2 \ right)} - ​​r_1x_3 \ right) $$ display $$

$$$$ afficher $$ x_1 = - \ frac {1} {r_2} \ gauche (\ sqrt {r_1r_2 \ gauche (x_3 ^ 2-r_1r_2 \ droite)} + r_2x_3 \ droite), \ quad x_2 = - \ frac {1 } {r_1} \ left (\ sqrt {r_1r_2 \ left (x_3 ^ 2-r_1r_2 \ right)} + r_1x_3 \ right) $$ display $$

Puissance pour les solutions 2 et 3

$$$$ afficher $$ p_2 = \ frac {| u_1 | ^ 2} {4 \, r_1}, \ quad q_2 = \ frac {| u_1 | ^ 2 \, x_2} {4 \, r_1 \, r_2} $$ afficher $$

Les solutions 2 et 3 doivent être utilisées lorsque la réactance du couplage est suffisamment grande

$$$$ afficher $$ x_3 ^ 2> r_1r_2 $$ afficher $$

Dans le cas contraire, vous devez utiliser la solution 1. Le plus souvent dans des situations réelles$$ $ en ligne $ x_3 $ en ligne $ s'avérera être petit, par conséquent, nous considérons la solution 1 plus en détail.
Solution 1:$$ $ en ligne $ x_1 = -x_3, \ quad x_2 = -x_3 $ en ligne $ . Et la puissance active correspondante est donnée par la formule

$$$$ afficher $$ p_2 = \ frac {| u_1 | ^ 2 \, x_3 ^ 2 \, r_2} {\ gauche (r_1r_2 + x_3 ^ 2 \ droite) ^ 2} $$ afficher $$

La formule de puissance montre que la puissance dépend de la réactance de la connexion$$ $ inline $ x_3 = 2 \ pi \, f \, k \, \ sqrt {L_ {coil \, 1} L_ {coil \, 2}} $ inline $ , et donc la fréquence de transmission$$ $ en ligne $ f $ en ligne $ , et à partir de la géométrie de l'arrangement mutuel des bobines, qui est prise en compte par le coefficient de couplage$$ $ en ligne $ k $ en ligne $ .

Comme l'ont observé les lecteurs attentifs, la dépendance$$ $ en ligne $ p_2 (x_3) $ en ligne $ - non linéaire. Fonction$$ $ en ligne $ p_2 (x_3) $ en ligne $ atteint un maximum à$$ $ inline $ x_3 = \ sqrt {r_1r_2} $ inline $ .


Étude de formule de puissance$$ $ en ligne $ p_2 (x_3) $ en ligne $ aux extrêmes

Puissance active maximale à$$ $ inline $ x_3 = \ sqrt {r_1r_2} $ inline $ est égal à

$$$$ afficher $$ p_2 = \ frac {| u_1 | ^ 2} {4 \, r_1} $$ afficher $$

Ainsi, la formule ci-dessus représente la limite théorique absolue de la puissance active transmise dans toutes les conditions. De plus, pour la puissance réactive transmise au récepteur, nous avons

$$$$ afficher $$ q_2 = \ frac {| u_1 | ^ 2} {\ sqrt {r_1r_2}} $$ afficher $$

Simulation numérique

Vous pouvez démontrer le travail de la théorie ci-dessus en effectuant une simulation du modèle SPICE de notre appareil à partir de deux bobines connectées.


Modèle SPICE de deux bobines à couplage inductif

Simulation effectuée pour le coefficient de couplage$$ $ en ligne $ k = 1 $ en ligne $ %, ce qui correspond à 25 cm de retrait entre les bobines. Les paramètres des bobines sont les mêmes que dans le paragraphe précédent, adoptés pour le traçage$$ $ en ligne $ k $ en ligne $ .

Il s'avère que la réactance de chacune des bobines doit être compensée par des condensateurs$$ $ en ligne $ C_1 $ en ligne $ et$$ $ en ligne $ C_2 $ en ligne $ . C'est-à-dire, configurer chacun des circuits (émission et réception) en résonance à une fréquence donnée. Si nous supposons que la valeur de charge est réelle, les valeurs de capacité peuvent être trouvées à partir des formules

$$$$ afficher $$ C_1 = \ frac {1} {\ omega ^ 2 L_1}, \ quad C_2 = \ frac {1} {\ omega ^ 2 L_2} $$ afficher $$

Voici deux graphiques pour la tension transmise et la puissance transmise dans le temps à une fréquence$$ $ en ligne $ f = 10 $ en ligne $ (kHz).


Tension transmise


Puissance transmise

On peut voir sur les figures qu'à une distance de 25 (cm), la tension transmise était environ 2,5 fois inférieure à l'entrée, et la puissance de crête transmise était environ 4 fois inférieure à la puissance consommée de l'entrée, ce qui est conforme aux formules obtenues .

En conclusion, nous décrivons quelles mesures peuvent être prises pour augmenter la puissance transmise:

1. augmenter le nombre de tours dans les bobines$$ $ en ligne $ n_1, n_2 $ en ligne $
2. augmenter le rayon des virages$$ $ en ligne $ a_1, a_2 $ en ligne $
3. augmenter la fréquence de transmission$$ $ en ligne $ f $ en ligne $
4. réduire la distance entre les bobines$$ $ en ligne $ d $ en ligne $
5. introduire un noyau magnétique appartenant aux deux bobines (fermé ou ouvert)
6. insérer un noyau magnétique ouvert appartenant uniquement à la bobine réceptrice

La rédaction de cet article impose peut-être à l'auteur l'obligation de fabriquer et de tester un tel système de deux bobines dans des conditions de laboratoire, mais c'est une tout autre histoire. Merci de votre attention.

Littérature

1. Sivukhin, D. V. «Cours général de physique. T. 3: Électricité et magnétisme. ” (1990).
2. Bessonov, Lev Alekseevich. Fondements théoriques du génie électrique. Champ électromagnétique. Maison d'édition URIGHT, 2012.
3. Lavrentiev, M.A., et B.V. Shabat. "Théorie des fonctions d'une variable complexe." (1972).