Dans le quatrième livre,
"Beginnings" of Euclid, un texte sur la géométrie avec un âge de 2 300 ans, il y a une indication pour construire un polygone à 15 côtés à l'intérieur d'un cercle. La première étape est bien connue des étudiants en géométrie: construire un triangle équilatéral et un pentagone régulier de sorte que leurs sommets reposent sur un cercle et que les deux figures aient un sommet commun. En plus des indications textuelles, les
"Débuts" contenaient des dessins illustrant la méthode.
Dans la copie intégrale la plus ancienne de The Beginnings , un manuscrit du IXe siècle conservé à la Bibliothèque du Vatican, des sections de lignes ont été dessinées et effacées. Image du catalogue en ligne de la Bibliothèque du Congrès, Division des tirages et photographies.Il est impossible de découvrir à quoi ressemblaient les schémas originaux d'Euclide lui-même, mais dans les manuscrits survivants, des variations étonnantes sont révélées dans l'affichage de figures géométriques telles que le pentagone. De telles variations semblent être des erreurs pour l'observateur moderne: dans certaines versions médiévales du texte, les segments de ligne ont la mauvaise longueur. Dans le manuscrit du IXe siècle, la plus ancienne copie de
The Beginning , qui est conservée à la Bibliothèque du Vatican, des sections ont été dessinées et effacées. Dans un autre texte du neuvième siècle tenu à l'Université d'Oxford, les côtés du pentagone à l'intérieur du cercle sont courbes et désordonnés, pas droits. Les courbes sont également utilisées dans la copie parisienne du XIIe siècle, mais elles sont légèrement moins sinueuses que dans l'ancienne version d'Oxford. Le texte du XIe ou du XIIe siècle est stocké à Vienne, dans lequel les lignes originales étaient de la bonne longueur et droites, mais plus tard, quelqu'un leur a ajouté des segments courbes (1).
Les débuts sont d'un grand intérêt, mais ce n'est pas le seul texte scientifique historique à avoir des problèmes dans les dessins. Il s'avère qu'ils se trouvent dans des copies des œuvres d'Ibn al-Khaysam, d'Archimède, d'Aristote et de Ptolémée. Parmi les variations figurent des lignes parallèles qui ne sont pas réellement parallèles, des formes incorrectement marquées, des segments égaux ou des angles dessinés inégaux, ou des angles inégaux qui peuvent sembler égaux. Par exemple, dans le manuscrit du Palimpseste d'Archimède du Xe siècle, un triangle isocèle est utilisé pour indiquer la parabota. Cela peut sembler de simples bizarreries historiques, mais certains chercheurs trouvent parmi les dessins des indices intrigants sur la façon dont les mathématiques ont évolué au cours du millénaire.
Visualisation
Les chercheurs commencent à étudier ces variations afin de découvrir comment les idées mathématiques se propagent et de comprendre comment différentes personnes ont abordé ce sujet. Traditionnellement, les historiens des mathématiques qui étudient les textes grecs anciens se concentrent sur les mots et les nombres et sautent les dessins comme simples illustrations pour le texte. Selon l'historien des sciences Nathan Sidoli de l'Université Waseda à Tokyo et son collègue Ken Saito de l'Université de la préfecture d'Osaka, qui ont remarqué des changements schématiques dans l'octogone et d'autres preuves dans l'essai de 2012, en raison de cette concentration sur le texte, nous sautons une partie de l'histoire (1).
Les mathématiques sont riches en abstractions, et au fil du temps, les gens ont découvert de nombreuses façons de visualiser ces abstractions. «Dès notre jeunesse, nous apprenons à comprendre les concepts communs de certaines manières visuelles», explique Sidoli. «En regardant ces œuvres, nous pouvons nous rappeler que ce n'est pas une façon universelle de voir.»
Les dessins et les diagrammes faisaient partie des mathématiques de milliers d'années d'histoire humaine. Les Babyloniens ont calculé les racines carrées et ont connu le principe du théorème de Pythagore un millier d'années avant Pythagore ou Euclide. Une tablette d'argile datée du XVIIe siècle avant JC, sur laquelle est dessiné un dessin d'un carré et de ses diagonales avec les numéros correspondants, peut servir de preuve. Edward Tufty, pionnier de la visualisation des données, professeur de sciences politiques, d'informatique et de statistiques à Yale, qualifie la tablette de «témoin graphique» de la connaissance des Babyloniens.
Certains chercheurs pensent que les dessins eux-mêmes peuvent faire partie intégrante des mathématiques et être porteurs d'informations entre les siècles, malgré toutes ses lacunes. Si l'erreur qui est apparue dans une copie s'est propagée aux versions suivantes, cela indique que les recenseurs n'ont pas compris les mathématiques ou n'ont pas apprécié l'exactitude. D'autre part, certains experts ont utilisé des plans pour compléter les connaissances énoncées dans
les principes . Par exemple, où Euclide n'a décrit que les propriétés d'un angle aigu, les scribes ultérieurs pourraient ajouter des propriétés similaires pour les angles obtus et droits.
Ce fragment de «débuts» faisait partie du papyrus d'Oxirinh, un groupe de manuscrits découvert en 1897 dans une ancienne décharge près de la ville d'Oxirinh en Égypte. Un texte d'environ 2000 ans fait référence au cinquième théorème du deuxième volume du commencement . Image reproduite avec l'aimable autorisation de Bill Casselman (Université de la Colombie-Britannique, Vancouver).Intervention du lecteur
The Beginnings , composé de treize volumes, a été publié dans au moins des centaines de publications et, jusqu'au siècle dernier, il était le deuxième livre en importance au monde en termes de ventes. (Le premier est la Bible.) Mais tout dans
les Principes n'a pas été déduit par Euclide. Les volumes contiennent une collection de connaissances mathématiques connues des anciens Grecs de cette époque. Le physicien Stephen Hawking a qualifié Euclide de «plus grand encyclopédiste des mathématiques de tous les temps» et l'a comparé à Noah Webster, qui a compilé le premier dictionnaire anglais (2).
Les «débuts» ont été traduits du grec ancien, de l'arabe, du latin, de l'hébreu et d'autres langues. Le tract en cours de croissance et de migration a évolué, ainsi que les dessins qu'il contient. Les lecteurs ont laissé des notes dans les marges et apporté des modifications. Les lecteurs et traducteurs suivants ont vu à la fois le manuscrit et les annexes, et ont édité le travail selon ce qui correspondait à leur époque. De telles interactions sont enregistrées dans les traductions de preuves et de dessins des
débuts , et l'acte de copier est devenu, selon les mots de l'étudiant diplômé de l'Université de Stanford Yensu Lee, qui étudie l'évolution des dessins des
débuts , un acte de transformation.
«Nous pouvons facilement manquer le rôle des lecteurs dans la création de dessins», explique Lee, soulignant qu'ils pouvaient intervenir et contribuer en prenant des notes dans le manuscrit. Les scribes ont ensuite pris note de ces notes. «S'ils croyaient que les dessins de marge étaient plus importants que les plans principaux», explique Lee, «les plans marginaux se sont transformés en plans principaux par les générations suivantes.» Ces changements visuels ont transmis des idées mathématiques d'une manière qui ne peut être transmise par le texte.
Appeler de tels changements des erreurs serait trop banal. Certains des changements étaient censés être des améliorations; d'autres sont nés de pratiques culturelles. Par exemple, le texte arabe est lu de droite à gauche, donc dans les premières versions arabes des
"Débuts", l' orientation des dessins était souvent reflétée - les coins qui étaient ouverts à gauche dans les manuscrits grecs antiques étaient révélés à droite dans les versions arabes. Cependant, lorsque ces versions arabes ont été traduites en latin, certains scribes n'ont pas inversé les dessins.
Le mathématicien Robin Hartshorn, qui travaillait auparavant à l'Université de Californie à Berkeley, affirme même qu'il n'est pas toujours juste de voir un changement dans les dessins comme un processus d'édition. Même avec toutes ces courbes et ces virages, les dessins des pentagones ont donné le sens souhaité. Le timbre
«Débuts» avec des dessins précis reflète les valeurs de l'époque, dit-il, mais cette pratique est déloyale envers les versions précédentes. «J'appellerais cela une refonte des dessins au goût des mathématiciens modernes cherchant à voir la précision métrique», explique Hartshorn.
«Il s'agissait de plans dessinés à la main pour des concepts qui ne sont pas toujours faciles à écrire par écrit», ajoute l'historienne des sciences Courtney Roby, qui étudie les textes scientifiques anciens à l'Université Cornell. «Les dessins sont les créations d'auteurs et de scribes spécifiques, leur créativité, leurs expériences et leurs changements.»
L'évolution a commencé
Lee s'est engagé dans les manuscrits du IXe siècle jusqu'à la première version imprimée de
The Beginnings , parue en 1482 après l'invention de l'imprimerie. Depuis lors, selon Lee, les
débuts sont devenus le manuel standard dans de nombreuses universités européennes et leurs dessins sont devenus un outil pédagogique. En conséquence, "à l'ère de la culture de l'imprimé, nous observons des types de dessins complètement différents", explique Lee, qui numérise une collection d'au moins cinq papyrus, 32 manuscrits grecs anciens, 92 manuscrits traduits et 32 gravures de Nachal.
Jusqu'au XIXe siècle, le traité euclidien était considéré comme un modèle de preuve mathématique rigoureuse et structurée. Pour avoir un sens, ces épreuves nécessitent des dessins. «Ils sont inutiles sans plans», explique le philosophe John Mumma de l'Université de Californie, faisant valoir que
les plans de
Beginnings ne sont pas seulement un outil d'enseignement visuel, ils sont également importants pour prouver les déclarations elles-mêmes (3)
À la fin du XIXe et au début du XXe siècle, les mathématiciens ont remis en question la supériorité des
débuts et en partie la raison de cette dépendance d'Euclide vis-à-vis des dessins. En particulier, le mathématicien allemand David Hilbert a appelé à une approche plus formelle des mathématiques, utilisant uniquement la logique et n'exigeant pas de dessins pour les preuves, qu'il considérait comme une sorte de "béquille" des mathématiques.
«Ils ont rejeté les« débuts »d'Euclide parce qu'ils ne semblaient pas très stricts», explique John Mumma. "On pensait qu'il utilisait les dessins de manière intuitive et trop lâche."
Par exemple, dans
«Débuts», il y avait un dessin montrant un point sur une ligne entre deux autres points. Hilbert avait besoin d'une description analytique de ce qu'il appelait «l'intermédiation», sans utiliser de dessins. Le philosophe et logicien britannique Bertrand Russell a également critiqué l'approche d'Euclide: il a remarqué que de nombreuses preuves grecques anciennes sont faibles, car elles tirent la puissance de leur raisonnement des dessins, et pas exclusivement de la logique. «Les vraies preuves doivent rester valables même en l'absence de chiffres tirés, mais de nombreuses preuves euclidiennes ne réussissent pas ce test», écrit Russell en 1902 (4). (La première preuve dans
les débuts montre comment construire un triangle isocèle en utilisant deux cercles qui se croisent. Cependant, le point d'intersection est justifié par le dessin, son existence n'est pas prouvée strictement.)
Cependant, de nombreux historiens des mathématiques modernes perçoivent l'approche d'Euclide comme une autre façon de voir les mathématiques - et elle n'est pas nécessairement faible simplement parce qu'elle utilise des dessins. Ces chercheurs soutiennent que le dessin est une preuve et qu'il n'y a pas de façon universelle de comprendre les mathématiques. «Nous pouvons réellement tout comprendre en utilisant exactement les informations du dessin comme preuve», explique Mumma. "Ce n'est pas seulement une illustration."
La recherche moderne s'est principalement concentrée sur les dessins depuis les années 1990, lorsque Revil Netz de l'Université de Stanford et Kenneth Manders de l'Université de Pittsburgh ont déclaré que les anciens dessins mathématiques méritaient d'être vus sous un angle différent. Netz dit que le domaine de recherche se concentre sur deux aspects: la représentation la plus graphique et la façon dont les gens utilisent les dessins (5, 6). Il soutient que le travail de Lee de l'Université de Stanford en comparant des dessins de différents siècles combine ces deux aspects, vous permettant d'élargir le domaine d'étude.
Netz dit que le travail de Lee aidera les historiens à comprendre comment «la science est passée de la géométrie théorique des anciens Grecs à ... une utilisation plus appliquée et physique de la géométrie pour le monde réel».
Après
The Beginnings, Lee souhaite analyser les plans d’Euclid
’s Optics , un des premiers travaux sur la physique de la lumière, puis se concentrer sur les travaux de Ptolémée et d’Archimède. Il espère que ses recherches susciteront l'intérêt des historiens, des philosophes et des mathématiciens pour analyser comment les gens ont utilisé (et continuent d'utiliser) des dessins pour étudier des idées mathématiques approfondies. «Nous avons tendance à nous débarrasser des plans», dit-il. «Mais certaines idées ne peuvent pas être véhiculées dans le texte. Ils doivent être transmis graphiquement. »
Les références
- Saito K, Sidoli N (2012) Diagrammes et arguments en mathématiques du grec ancien: leçons tirées de la comparaison des diagrammes manuscrits avec ceux des éditions critiques modernes. The History of Mathematical Proof in Ancient Traditions, ed Chemla K (Cambridge Univ Press, Cambridge, Royaume-Uni), pp 135-162. Google scholar
- Hawking S, éd. (2002) On the Shoulders of Giants (Running Press, Philadelphie). Google scholar
- Mumma J (2010) Épreuves, photos et Euclide. Synthese 175: 255-287. CrossRef Web of Science Google Scholar
- Russell B (1902) L'enseignement d'Euclide. Math Gaz 2: 165-167. Google scholar
- Netz R (1998) Diagrammes mathématiques grecs: leur utilisation et leur signification. Apprenez Math 18: 33–39. Google scholar
- Manders K (1995) Pratique géométrique basée sur des diagrammes. The Philosophy of Mathematical Practice, ed Mancosu P (Oxford Univ Press, Oxford), pp 65–79. Google scholar