Quand la probabilité rencontre la réalité: trois problèmes sur la théorie des probabilités

Face à un choix difficile, vaut-il la peine de faire confiance à l'intuition ou de calculer soigneusement tous les risques associés?

Pour les personnes ayant un état d'esprit scientifique, il est naturel d'essayer des méthodes rationnelles pour évaluer les risques de la vie quotidienne. Par exemple, devriez-vous vous faire vacciner contre la grippe si vous avez moins de 40 ans et que vous êtes en bonne santé? Dois-je sauter d'un avion (avec un parachute)? Le noble objectif, appliquer la logique à l'évaluation des risques, se heurte cependant à deux obstacles. Premièrement, en l'absence de certitude, nous prenons généralement des décisions basées sur une combinaison d'intuition et d'opportunité, et assez souvent cela fonctionne . Deuxièmement, nous sommes constamment attaqués par de nombreux événements changeant au hasard tout le temps. « Comment le hasard gouverne notre vie » - une telle sous-position était dans un best-seller très instructif de Leonard Mlodinov. Ces coups de force aléatoires constants sont illustrés de façon colorée dans ce passage, paraphrasé d'un conte de fées pour enfants beaucoup plus long de 1964, intitulé " Heureusement " par Remy Charlip, qui a inspiré notre première tâche.

Tâche 1

L'homme est allé monter dans un avion.

Malheureusement, il est tombé.

Heureusement, il avait un parachute.

Malheureusement, le parachute ne s'est pas ouvert.

Heureusement, il y avait une botte de foin sous lui, juste à l'endroit où il était censé tomber.

Malheureusement, les fourches sortaient de sous la pile juste en dessous.

Heureusement, il n'a pas touché la fourche.

Malheureusement, il n'a pas touché la pile.

Il existe des preuves selon lesquelles les personnes tombées d'un avion ont réussi à survivre en tombant sur une botte de foin, ou même sur des arbres ou des buissons - de tels cas sont faciles à google. Alors, des cris successifs dans la tête de cet homme: "J'ai fini! / Je suis sauvé!" ne peuvent pas être appelés totaux tant que l'histoire n'est pas terminée. (Notre histoire se termine tragiquement, mais dans l'original, le héros survit grâce à de nombreux autres rebondissements du destin). Est-il judicieux d'appliquer des méthodes fondamentales d'évaluation des risques dans ce cas? Compte tenu des informations disponibles, évaluer les chances de survie après chaque ligne .

Cette histoire illustre clairement deux aspects importants des estimations probabilistes. Premièrement, les probabilités peuvent changer radicalement avec l'avènement de nouvelles connaissances. Deuxièmement, peu importe combien vous avez mis en place les chances en votre faveur, le résultat final se traduit par une chose - la vie ou la mort, oui ou non. Dans de rares cas, le résultat peut être indésirable. Comme pour l'effondrement de la fonction d'onde en mécanique quantique, démontré par la célèbre expérience mentale d'Erwin Schrödinger avec un chat dans une boîte qui peut s'avérer vivant ou mort, les probabilités perdent leur sens après que l'événement se soit produit. Quelle est donc la valeur de ces calculs? Examinons de plus près ce point.

La meilleure approche rationnelle du hasard et du risque dans la vie quotidienne serait peut-être la pensée bayésienne, du nom du statisticien du XVIIIe siècle Thomas Bayes. La pensée bayésienne est basée sur plusieurs principes importants. Premièrement, la probabilité est interprétée subjectivement comme un degré de confiance - une évaluation raisonnable d'un point de vue personnel sur la probabilité d'un événement. Deuxièmement, en présence de données fiables sur la fréquence de l'événement, ce degré de confiance doit être assimilé à la probabilité calculée objectivement. Troisièmement, toutes les connaissances objectives que vous avez associées à ce sujet doivent être prises en compte lors du calcul de l'évaluation initiale. Enfin, les probabilités doivent être mises à jour à mesure que de nouvelles informations arrivent. Si vous comptez toujours sur les estimations les plus fiables et objectives de la probabilité faites sur la base des données et suivez les inexactitudes possibles, la probabilité finale sera la meilleure de toutes.

Lorsque le célèbre mathématicien Timothy Gowers a été confronté à la nécessité de décider du traitement de sa fibrillation auriculaire avec une opération médicale risquée qui ne garantissait pas le succès, il a décidé de procéder à un calcul détaillé des risques et des avantages. Heureusement, pour Gowers, qui est également l'un des fondateurs du projet Polymath, tout s'est bien terminé. Mais la plupart des risques auxquels nous sommes confrontés ne sont pas si graves et l'ampleur du risque n'est pas si grande. Cependant, la tâche suivante illustre les avantages à long terme de l'utilisation de l'approche bayésienne.

Tâche 2

Le nombre de décès sur les vols commerciaux est d'environ 0,2 pour 10 milliards de milles de vol. Pour les voitures, ce nombre est de 150 morts pour 10 milliards de miles. Et bien que ce nombre soit 750 fois plus que pour les avions, nous [Américains / env. transl.] nous préférons toujours parcourir de longues distances, car en termes absolus les risques sont faibles. Mais nous allons mener une expérience de pensée avec deux hypothèses hypothétiques et, bien sûr, irréalistes: premièrement, votre durée de vie prévue est d'un million d'années (et vous vivez avec plaisir chaque année), et deuxièmement, les risques ci-dessus restent inchangés pendant tout ce temps. Imaginez maintenant que chaque année, vous pouvez soit parcourir 10 000 milles ou parcourir la même distance en voiture par de longs trajets. Le temps des voyages ne vous dérange pas - après tout, vous avez encore un million d'années à vivre! Dans ces conditions, combien et dans quelle proportion votre vie sera-t-elle raccourcie si vous conduisez tout le temps au lieu de voler? En quoi la réponse différera-t-elle pour une espérance de vie de 100 ans?

On peut en déduire que même si les calculs de probabilité perdent leur valeur après que l'événement s'est produit, à l'avenir, ils augmentent vos chances à long terme. Nous ne vivons pas un million d'années, mais tout au long de notre vie, nous prenons des dizaines de milliers de décisions concernant où et comment voyager, quoi manger, s'il faut s'entraîner au gymnase, etc. Et bien que l'impact probable de chacune de ces décisions sur notre durée de vie soit faible, leur effet combiné pourrait s'avérer important. Au moins pour les grandes décisions - telles que le choix d'une opération pour traiter une maladie grave, la prise en compte de détails qui dépassent l'intuition sera justifiée.

Et, bien sûr, il existe des situations bien décrites dans lesquelles notre intuition est erronée. C'est le squelette des manuels bayésiens standard. Un exemple est le test de «assez bon, mais pas parfait», qui mène à la troisième tâche.

Tâche 3

Considérons deux scénarios similaires dans lesquels il est nécessaire de donner une évaluation probabiliste de la situation. Avant de faire des calculs, écoutez votre intuition et notez la réponse.

Option A: dans une ville, il existe deux groupes ethniques, le premier et le deuxième. Les premiers représentent 80% de la population. L'hôpital local procède à un examen de routine pour une maladie rare qui est également courante dans les deux groupes. En conséquence, elle recueille 100 échantillons de sang et, bien sûr, 80% de ces échantillons ont été prélevés auprès du First. Avec un contrôle approfondi de la maladie, seul 1 échantillon sur 100 est positif. Un chercheur qui ne connaît pas les données sur l'ethnicité, effectue un certain test de cet échantillon et détermine qu'il a été prélevé sur des représentants du deuxième groupe. Cependant, la précision de ce test pour l'ethnicité n'est que de 75%. Quelle est la probabilité que l'échantillon ait bien été prélevé sur la seconde?

Option B: Dans cette option, les premiers et les seconds représentent 50% de la population, mais les premiers sont plus susceptibles de tomber malades. 100 échantillons de sang sont à nouveau prélevés, 80% provenant du premier et 20% du second. Les conditions restantes sont identiques. Quelle est la probabilité qu'un échantillon positif ait été prélevé de la seconde?

Dans lequel de ces cas votre intuition était-elle plus précise?

Nous savons que notre intuition nous fait souvent défaut lors de l'évaluation des probabilités, bien qu'au moment de prendre une décision, cela puisse sembler juste. Elle peut même échouer les experts - rappelez-vous juste le battage médiatique sur le « paradoxe de Monty Hall ». Le maître des articles avec devinettes et tâches, Martin Gardner , a dit un jour : "Dans aucun autre domaine des mathématiques, il n'est plus facile pour les experts de faire des erreurs aussi facilement que dans la théorie des probabilités." Notre troisième tâche est un exemple de tâches qui permettent aux psychologues de déterminer le raisonnement qu'une personne utilise pour prendre des décisions intuitives et ce qui la fait juger avec précision ou commettre des erreurs.

Nous partageons les réponses aux tâches dans les commentaires; les lecteurs sont également invités à expliquer comment ils ont utilisé le calcul des probabilités pour prendre des décisions dans leur vie réelle et quelle approche de ces calculs leur semble la meilleure.