Premier univers 3. Effet Doppler et théorie spéciale de la relativité

Sur le site de conférences gratuites MIT OpenCourseWare a posté un cours de conférences sur la cosmologie d' Alan Gus, l'un des créateurs du modèle inflationniste de l'univers.

Votre attention est invitée à la traduction de la troisième conférence: "L'effet Doppler et la théorie spéciale de la relativité".


Décalage Doppler non relativiste

À la fin de la dernière conférence, nous avons commencé à discuter du décalage Doppler et introduit la notation. Ce fut le cas lorsque l'observateur est immobile, et la source se déplace avec vitesse $$$v$ . Nous avons considéré les ondes sonores qui avaient une vitesse fixe par rapport à un médium.


La vitesse de l'onde par rapport au milieu est notée $$$u$ , $$$v$ signifie le taux de suppression de la source comme indiqué $$$Δt_s$ - l'intervalle de temps entre les crêtes d'ondes émises par la source, c'est-à-dire la période de l'onde à la source. $$$Δt_o$ indique la période de l'onde chez l'observateur. Nous devons calculer la relation entre $$$Δt_o$ et $$$Δt_s$ .

La figure montre les différentes étapes de ce processus. Au premier stade, la source se déplace vers la droite et émet la première crête de l'onde. Jusqu'à présent, rien de particulièrement intéressant.

Dans un deuxième temps, la source émet une seconde crête d'onde. Mais pendant ce temps la source s'est déplacée, ce mouvement est surligné en jaune. Le temps entre l'émission des crêtes de la vague est $$$Δt_s$ . Par conséquent, la distance parcourue par la source pendant cette période est $$$vΔt_s$ . Appelez cette distance $$$Δl$ .
C'est une étape vraiment importante, elle explique le décalage Doppler. On voit que la deuxième crête de la vague devrait passer un peu plus que la première crête, en $$$Δl$ .
La troisième étape - l'onde a dépassé la distance entre l'observateur et la source. A ce stade, la première crête vient de frapper l'observateur. La quatrième étape - la deuxième crête a frappé l'observateur.

Pour comprendre à quoi correspond le décalage Doppler, il convient de noter que si les deux objets étaient immobiles, il n'y aurait pas de différence dans la période de l'onde entre l'observateur et la source. Chaque crête de l'onde frapperait l'observateur avec un certain retard égal au temps pendant lequel l'onde sonore parcourt la distance de la source à l'observateur. Mais, en l'absence de mouvement, ce délai est le même pour chaque crête. Ainsi, si la source ne bouge pas $$$Δt_o$ = $$$Δt_s$ .
Mais en raison du mouvement de la source, la deuxième crête devra parcourir une distance supérieure à $$$Δl$ . La différence entre les périodes sera égale au temps nécessaire à l'onde pour parcourir cette distance.

$$

$$Δt_o = Δt_s + \ frac {Δl} u$$

Nous savons ce qui est égal $$$Δl$ . $$$Δl$ - c'est juste $$$vΔt_s$ . En remplaçant dans notre équation, nous obtenons:

$$

$$Δt_o = Δt_s + \ frac {vΔt_s} u$$

Cette équation montre la relation entre $$$Δt_o$ et $$$Δt_s$ . Vous pouvez trouver la relation $$$Δt_o$ et $$$Δt_s$ .

$$

$$\ frac {Δt_o} {Δt_s} = 1+ \ frac vu$$

Ce rapport est également le rapport de la longueur d'onde de l'observateur $$$λ_o$ et à la source $$$λ_s$ , car la longueur d'onde est simplement égale à la vitesse de l'onde multipliée par sa période $$$Δt$ .
Il existe une définition standard pour décrire le Doppler ou le décalage vers le rouge.

$$$$ afficher $$ \ frac {λ_®} {λ_s} = 1 + z $$ afficher $$

$$$z$ appelé le Doppler ou redshift. Les astronomes soustraient un du rapport de longueur d'onde de sorte que lorsque les deux objets sont immobiles, $$$z$ il s'est avéré être 0. Ce cas correspond à l'absence de décalage vers le rouge et signifie que la longueur d'onde est la même à la source et à l'observateur.

$$$$ afficher $$ \ frac {λ_} {λ_s} = \ frac {Δt_o} {Δt_s} = 1+ \ frac vu = 1 + z $$ afficher $$

Ainsi, nous obtenons le décalage vers le rouge pour le mouvement non relativiste, ou onde sonore, dans le cas où la source se déplace:

$$

$$z = \ frac vu$$

Nous passons maintenant à un autre cas simple, lorsque l'observateur se déplace et que la source est stationnaire. La source est toujours à droite, et l'observateur est à gauche. Mais cette fois, l'observateur se déplace à une vitesse $$$v$ . Dans les deux cas $$$v$ Est la vitesse relative entre la source et l'observateur.


La première étape est encore assez simple. La source émet la première crête de l'onde. Étape deux - la deuxième crête de l'onde est émise par la source. Étape numéro trois - la première crête de l'onde atteint l'observateur. Quatrième étape - la deuxième crête de l'onde atteint l'observateur.

Entre le moment où la première crête arrive à l'observateur et le moment où la deuxième crête arrive à l'observateur, c'est-à-dire le temps entre le troisième et le quatrième étage, l'observateur s'est déplacé. Il a parcouru une distance égale à $$$v$ fois le temps entre ces étapes. Le temps entre ces étapes est juste le temps qui s'écoule entre la réception de deux crêtes par l'observateur. C'est ce que nous avons désigné $$$Δt_o$ Est la période des vagues mesurée par l'observateur. La distance parcourue est facile $$$vΔt_o$ . Tout ce qui est nécessaire pour obtenir une réponse se produit à l'intérieur du rectangle jaune à la dernière étape.

Vous pouvez écrire les équations pour ce cas. Cette fois, c'est un peu plus compliqué. Commençons par la même idée. $$$Δt_o$ serait égal $$$Δt_s$ s'il n'y avait pas de mouvement. Mais $$$Δt_o$ il devient un peu plus grand en raison de la distance supplémentaire que va parcourir la deuxième crête. Cette distance supplémentaire est appelée à nouveau $$$Δl$ . Le délai sera à nouveau $$$Δl$ divisé par $$$u$ , vitesse des vagues.

Mais cette fois, nous avons une formule différente pour $$$Δl$ . Cette fois $$$Δl$ est égal à $$$vΔt_o$ mais pas $$$vΔt_s$ comme dans le cas précédent.

$$$$ afficher $$ Δt_o = Δt_s + \ frac {Δl} u = Δt_s + \ frac {vΔt_o} u $$ afficher $$

L'équation devient un peu plus compliquée car $$$Δt_o$ apparaît des deux côtés de l'équation. Cependant, c'est une équation avec une inconnue, à partir de laquelle il est facile de trouver $$$Δt_o$ . Après de simples transformations algébriques on obtient:

$$

$$\ frac {Δt_o} {Δt_s} = (1- \ frac vu) ^ {- 1}$$

En soustrayant l'unité, nous obtenons l'équation finale pour $$$z$ , encore une fois pour le cas non relativiste où l'observateur se déplace:

$$

$$z = \ frac {Δt_o} {Δt_s} -1 = (1- \ frac vu) ^ {- 1} - 1 = \ frac {v / u} {1-v / u}$$

Il convient de noter que lorsque la vitesse $$$v$ petite par rapport à la vitesse des ondes, ce qui se produit souvent si l'on considère une onde lumineuse, mais se produit également dans le cas de la propagation du son, alors les deux formules pour $$$z$ sont presque les mêmes. Ils sont tous deux proportionnels $$$v / u$ si $$$v / u$ pas assez. La seule différence est le dénominateur.

Dans le deuxième cas, nous avons le dénominateur $$$1-v / u$ . Dans le premier cas $$$z$ juste égal $$$v / u$ et il n'y a pas de dénominateur. Si $$$v / u$ est petit, le dénominateur dans le second cas est proche de 1. Ainsi, les deux formules seront presque les mêmes. Vous pouvez décrire cela un peu plus précisément en calculant la différence entre z dans les deux cas. Après avoir fait des calculs simples, nous obtenons:

$$

$$z_ {source \ _moves} - z_ {observer \ _moves} = \ frac {(v / u) ^ 2} {1- \ frac vu}$$

La formule montre clairement que la différence entre $$$z$ proportionnelle $$$(v / u) ^ 2$ pas seulement $$$v / u$ . Si $$$v / u$ égal à un millième, la différence sera d'un millionième. Par conséquent, pour des vitesses lentes, peu importe que la source se déplace ou que l'observateur se déplace. Mais les réponses, bien sûr, seront très différentes si la vitesse $$$v$ comparable à $$$u$ .
ÉTUDIANT: Est-ce que cela viole le principe de relativité de Galileo?

ENSEIGNANT: En fait non. Pour nos calculs, l'air dans lequel se déplace l'onde sonore est critique. Dans les deux cas, l'air est au repos par rapport au motif. Si les transformations de Galileo sont faites d'une image à une autre, alors après la transformation, l'air se déplacera et l'image ne sera pas exactement la même.

Par conséquent, tout est conforme à la théorie galiléenne de la relativité. Il ne faut pas oublier que l'air joue ici un rôle décisif. Lorsque nous disons que l'observateur ou la source est au repos, cela signifie en réalité qu'il est au repos par rapport au milieu dans lequel l'onde se déplace.

ÉTUDIANT: J'ai remarqué que si $$$v$ plus $$$u$ , alors dans le premier cas la réponse est toujours positive, tout est en ordre. Mais si $$$v$ plus $$$u$ dans le second cas, une réponse négative est obtenue. Cela me semble étrange.

ENSEIGNANT: Oui, si $$$v$ plus $$$u$ , puis en cas de mouvement d'observation, la réponse devient négative. Cela signifie que la vague n'atteindra jamais l'observateur. Si l'observateur se déplace plus vite que la vitesse de la vague, la vague ne le rattrapera jamais. Par conséquent, nous obtenons une réponse si inhabituelle. Si la source se déplace plus vite que la vitesse de l'onde, l'onde atteint toujours l'observateur. Par conséquent, dans le premier cas, nous obtenons la bonne réponse.

Dilatation temporelle relativiste
Passons maintenant au cas relativiste. Nous avons besoin de quelques faits de la théorie de la relativité. Puisqu'il existe des cours spécialisés sur la théorie de la relativité, je ne veux pas que nos conférences deviennent un tel cours. Cependant, je veux que notre cours soit pleinement compris par des gens qui n'ont pas terminé la théorie de la relativité. La connaissance de la théorie spéciale de la relativité n'est pas une condition préalable à notre cours. Par conséquent, mon objectif sera de vous en dire assez sur la théorie spéciale de la relativité pour que vous puissiez comprendre ce qui suit. Je ne produirai pas les résultats; leur conclusion peut être trouvée dans d'autres cours. Si vous ne voulez pas leur rendre visite, alors ça va aussi. Mais je veux que mon cours soit logiquement cohérent.

Ainsi, nous considérerons les conséquences de la théorie spéciale de la relativité, sans chercher à les relier directement aux idées fondamentales de la théorie spéciale de la relativité. Cependant, je me souviens d'où venait la théorie spéciale de la relativité. Elle est née dans la tête d'Albert Einstein lorsqu'il a examiné la théorie galiléenne de la relativité, qui a été posée il y a une minute. La théorie galiléenne de la relativité dit que si vous regardez un processus physique dans un cadre de référence qui se déplace à une vitesse uniforme par rapport à un autre cadre de référence, alors dans les deux systèmes de rapport, les lois de la physique doivent être décrites de la même manière.

La théorie de la relativité de Galileo a joué un rôle très important dans l'histoire de la physique. La question clé à l'époque de Galilée était de savoir si la Terre se déplaçait autour du Soleil ou le Soleil autour de la Terre. Galileo a pris une part active à ce différend. L'un des arguments prouvant que le Soleil devrait se déplacer autour de la Terre, et non l'inverse, était tel que si la Terre se déplace autour du Soleil, cela signifie que nous nous déplaçons avec la Terre à une vitesse très élevée. La vitesse de la terre autour du soleil est élevée par rapport aux normes conventionnelles. À cette époque, les gens pensaient qu’un tel mouvement devait manifestement se faire sentir. C'était la preuve que la terre était immobile et que le soleil bougeait. Parce que sinon, l'effet du mouvement rapide de la Terre se ferait sentir.

Pour le point de vue de Galileo selon lequel la Terre bouge, il est crucial que nous ne remarquions pas un tel mouvement. Si nous nous déplaçons de manière uniforme, les lois de la physique restent exactement les mêmes qu'elles le seraient si nous restions seuls. C'est l'essence de la théorie de la relativité de Galileo. Cela a été très clairement indiqué par Galilée dans ses écrits.

Tout cela était vrai pour les phénomènes mécaniques. Cependant, dans les années 1860, Maxwell a dérivé ses équations. Ou plutôt, il a terminé leur conclusion, la plupart de ces équations existaient déjà. Il résulte des équations de Maxwell que la lumière doit se déplacer à une vitesse fixe, qui peut être exprimée en termes de constantes électriques et magnétiques $$$ε_0$ et $$$µ_0$ . Cette vitesse que nous désignons $$$c$ . Imaginez maintenant que vous heurtez un vaisseau spatial qui se déplace à une vitesse égale, disons, à la moitié $$$c$ , et pourchassé un rayon de lumière. Selon la physique, qui était connue à l'époque, il s'est avéré que du point de vue d'un vaisseau spatial se déplaçant à une vitesse $$$c / 2$ , l'impulsion lumineuse s'éloignera de tout cela à une vitesse $$$c / 2$ . Mais cela signifie que dans le cadre de référence d'un engin spatial aussi rapide, les lois de la physique doivent en quelque sorte différer. Les équations de Maxwell doivent différer du formulaire standard.

Il y avait une certaine tension entre la physique de Maxwell et la physique de Newton. Tension, mais pas une contradiction. Il est possible d'imaginer qu'il existe un système de référence fixe dans lequel les équations de Maxwell ont une forme simple. Mais les équations de Newton ont la même forme dans tous les référentiels inertiels. Pour expliquer pourquoi cela se produit, les physiciens ont inventé l'idée de l'éther, c'est-à-dire un environnement dans lequel les ondes lumineuses se propagent, comme l'air dans lequel les ondes sonores se propagent. Le cadre de référence dans lequel les équations de Maxwell sont de forme simple est le cadre de référence dans lequel l'éther est au repos. Si nous nous déplaçons par rapport à l'éther, alors les équations deviennent différentes. C'est ce que les gens pensaient en 1904. C'était un point de vue cohérent, mais cela signifiait qu'il y avait une dualité entre l'électromagnétisme et la mécanique.

Einstein pensait que la physique n'était peut-être pas si illogique. Peut-être existe-t-il une manière plus élégante de tout expliquer. Il a réalisé que si vous modifiez les équations utilisées pour convertir entre différents cadres de référence, vous pouvez rendre les équations de Maxwell invariantes. Vous pouvez rendre les équations de Maxwell valides dans tous les cadres de référence. Revenons à notre exemple d'un navire poursuivant un faisceau lumineux. Selon les nouvelles équations de transformation qu'Einstein a proposées, il s'avère, bien que cela contredit l'intuition que l'impulsion lumineuse s'éloigne du navire à une vitesse $$$s$ . Bien que le navire lui-même se déplace à une vitesse $$$c / 2$ essayant d'attraper une impulsion lumineuse.

Ce n'est pas évident comment cela peut être. Mais il se trouve que c'est exactement ce qui se passe. Fondamentalement, c'était l'intuition d'Einstein. Il a suggéré qu'il n'y a pas d'éther, que les lois de la physique, de l'électromagnétisme et de la mécanique sont les mêmes dans tous les référentiels. Pour que cela se révèle, les équations de transformation entre différents systèmes de référence doivent être différentes de celles utilisées par Galileo.

Ces transformations sont appelées transformations de Lorentz. Dans cette conférence, nous ne les écrirons pas. Dans cette conférence, nous parlerons de trois effets physiques qui découlent des transformations de Lorentz. L'un de ces effets est la dilatation du temps. Un peu plus tard, nous discuterons de deux autres effets principaux qui sont nécessaires pour comprendre la théorie spéciale de la relativité et expliquer comment il se peut que la vitesse de la lumière soit la même pour tous les observateurs, même pour ceux qui se déplacent.


Ralentir le temps, c'est que si vous regardez une horloge en mouvement, celle-ci «semble» fonctionner plus lentement. Je note que j'ai mis le mot «look» entre guillemets. Nous y reviendrons et discuterons en détail de ce que l'on entend par le mot «regarder». Néanmoins, une horloge mobile se penchera dans mon cadre de référence toujours plus lentement dans un nombre de fois absolument prévisible. Ce nombre est une expression bien connue dans la théorie spéciale de la relativité. $$$γ$ :

$$

$$γ = \ frac 1 {\ sqrt {1-β ^ 2}}$$

où $$$β$ Est juste une désignation pour $$$v / c$ est la vitesse de l'horloge divisée par la vitesse de la lumière. Si $$$v / c$ petit, le ralentissement est également faible, $$$γ$ presque égal à 1. La dilatation du temps par 1 temps signifie que le temps ne ralentit pas du tout. Si $$$γ$ proche de 1, alors l'effet sera négligeable. Mais une horloge en mouvement ira toujours plus lentement.

Revenons au mot «regarde». Il y a de la subtilité. L'année dernière, le PBS a sorti un film en quatre parties , Space Fabric, de Brian Green. Il a essayé d'illustrer la dilatation du temps. Il a montré un homme assis sur une chaise et un homme marchant vers lui et portant une montre au-dessus de sa tête. La caméra a montré qu'une personne assise dans un fauteuil verrait l'horloge commencer à bouger plus lentement lorsqu'elle bouge. Ce n'est pas vrai. Ce n'est pas ce qu'il voit réellement. Et c'est le problème clé du mot «regardez».

Quand nous disons qu'une horloge en mouvement est plus lente, nous ne voulons pas dire que l'observateur la voit vraiment. La complexité de la situation est que lorsque vous regardez quelque chose, vous enregistrez des impulsions lumineuses qui viennent à vos yeux à un moment donné. Étant donné que la lumière se déplace dans le temps fini, cela signifie que vous voyez différentes choses à différents moments. Par exemple, s'il y a un objet, disons, un pointeur laser volant vers moi, je verrai sa partie arrière là où elle était plus tôt que la partie avant. Parce que la lumière émise par l'arrière met plus de temps à atteindre mon œil que la lumière émise par l'avant du pointeur.

Par conséquent, lorsqu'un objet s'approche de moi, je vais voir ses différentes parties à différents moments dans le temps. Tout cela complique. Ce que je vais voir, en tenant compte de la théorie spéciale de la relativité, est assez difficile. Il peut être calculé, mais il n'y a pas d'expression simple pour cela. Il est nécessaire de calculer pas à pas ce que je verrai à un instant donné. Ce n'est absolument pas comme une simple image.

Ainsi, l'affirmation selon laquelle l'horloge ralentit $$$γ$ fois, n'est pas basé sur ce que l'observateur voit réellement. Il est basé sur ce que le cadre de référence verra, pas sur une personne spécifique. Cela conduit finalement à une image plus simple. Le système de référence peut être représenté comme un ensemble de règles connectées les unes aux autres, de sorte qu'elles forment une grille de coordonnées, et un ensemble d'horloges situées partout à l'intérieur de cette grille.

De plus, toutes les observations sont faites localement. Autrement dit, si nous voulons mesurer le temps dans une sorte de système de référence, nous n'utilisons pas l'horloge centrale, en attendant que l'impulsion lumineuse atteigne cette horloge centrale. Au lieu de cela, le système de référence est rempli de montres qui ont été synchronisées les unes avec les autres dès le début. Si nous voulons savoir à quelle heure un événement s'est produit, nous regardons l'horloge à côté. Cette montre montre quand cet événement s'est produit.

En règle générale, c'est ainsi que nous travaillons avec différents systèmes de coordonnées. Si nous voulons comprendre ce qu'un observateur particulier voit, alors l'image est compliquée. Nous devons tenir compte de la vitesse de la lumière. Ce n'est qu'en excluant le temps de propagation de la lumière et en calculant ce que l'horloge locale montrera, que nous verrons la dilatation du temps sous une forme simple, que les horloges en mouvement vont toujours plus lentement.

En particulier, dans l'exemple d'une personne assise sur une chaise, et une horloge s'approchant de lui. Une personne fera l'expérience de ce dont nous discutons dans cette conférence - Doppler shift. À l'approche de l'horloge, il subira un décalage bleu, pas rouge. Il verra que l'horloge va plus vite, pas plus lentement, exactement le contraire de ce qui a été montré dans le programme télévisé. Il lui semblera que l'horloge se déplace plus rapidement du fait que chaque impulsion lumineuse suivante parcourt une distance plus courte à mesure que l'horloge s'approche de l'observateur. Cet effet apporte une contribution plus importante que l'effet de ralentissement d'une horloge mobile par rapport à une horloge fixe située directement à côté d'elle.

ÉTUDIANT: Si une montre vole très vite devant nous, pourrions-nous la voir ralentir lorsqu'elle est strictement perpendiculaire à nous?

ENSEIGNANT: Oui, vous avez absolument raison. Lorsque l'horloge passe devant l'observateur et est strictement en face de lui, la vitesse de l'horloge dans son repère est perpendiculaire à la vitesse des photons qu'il voit. En même temps, il verra le pur effet de la dilatation du temps.

Je veux ajouter que moi et plusieurs autres personnes du MIT avons participé à la création du film de Brian Green. Nous avons longuement discuté de ce problème avec Brian Green par e-mail. Nous avons tous dit que c'était faux. Cependant, Brian Green a soutenu que cela avait été fait intentionnellement, qu'il essayait d'illustrer l'effet de la dilatation du temps, sans discuter du décalage Doppler. Comme il ne voulait pas parler de décalage Doppler, il a simplement ignoré le fait de son existence. Nous pensions tous que c'était faux d'un point de vue pédagogique. Mais nous n'avons pas pu convaincre Brian de cela.

Décalage Doppler relativiste

Maintenant, nous calculons à nouveau le décalage Doppler, cette fois en considérant que l'horloge mobile est plus lente$$$γ$fois. Nous traiterons du cas relativiste où l'onde est une onde lumineuse. Et les vitesses peuvent être comparables à la vitesse de la lumière. Cette fois, l'effet de la dilatation temporelle est suffisamment important pour en tenir compte.

Cette fois, les deux réponses devraient être les mêmes. Si les réponses sont différentes, il s'avère que notre image du monde est fausse, contradictoire. Peu importe que la source bouge ou que l'observateur bouge. Auparavant, cela importait et nous l'attribuions au fait que l'air était impliqué dans le processus. Si nous faisons une transformation pour passer d'un cas à l'autre, du cas où la source se déplace, au cas où l'observateur se déplace, l'air aura des vitesses différentes dans des cas différents. Dans un cas, il sera immobile; dans l'autre cas, il bougera. Par conséquent, nous n'avions pas l'intention d'obtenir la même réponse.

Mais maintenant, lorsque nous passons du cas où la source se déplace, au cas où l'observateur se déplace, l'éther doit se déplacer à une vitesse différente. Mais l'axiome principal de la théorie spéciale de la relativité est qu'il n'y a pas d'éther, au moins il n'y a pas d'effets physiques provenant de l'éther. Vous pouvez donc prétendre qu'elle n'existe pas. Par conséquent, dans la théorie spéciale de la relativité, nous devons obtenir la même réponse, que ce soit une source en mouvement ou un observateur en mouvement. Il s'agit en fait de la même situation, prise en compte uniquement à partir de différents référentiels. La théorie spéciale de la relativité prétend que peu importe dans quel cadre de référence nous effectuons les calculs. Nous utiliserons les mêmes chiffres, mais cette fois-ci, nous tiendrons compte du fait que les horloges en mouvement ralentissent$$$γ$ fois.


Pour commencer, réfléchissons à quelle étape il est important pour nous de ralentir le temps d'une horloge en mouvement? Le deuxième. C'est à ce stade que la source mesure la période entre l'émission de deux crêtes de l'onde avec une horloge mobile. On peut simplement imaginer que la source émet une série d'impulsions, où chaque impulsion est une crête d'onde. Pour moi, cela semble un peu plus simple car vous n'avez pas besoin de penser à l'onde sinusoïdale que la source crée réellement.

Le temps entre ces impulsions, mesuré par l'horloge de la source, est ce que nous avons désigné comme$$$Δt_s$ .La source se déplace dans notre image. Nous effectuerons tous les calculs dans notre cadre de référence. Ceci est très important, car les transformations entre les systèmes de référence sont un peu compliquées dans la théorie spéciale de la relativité. Lorsque vous résolvez un problème, il est très important de choisir un cadre de référence que vous utiliserez pour décrire le problème et y adhérer. Si un élément a été initialement décrit dans un autre cadre de référence, vous devez comprendre à quoi il ressemble dans votre cadre de référence. Pour ensuite corréler cela avec d'autres événements qui sont décrits dans votre cadre de référence.

Pour notre tâche, notre référentiel sera un référentiel pour l'image, un référentiel au repos par rapport à l'observateur. Vous pouvez également l'appeler le système de référence de l'observateur. Concernant ce référentiel, la source se déplace. La source émet un train d'impulsions. On peut imaginer que la source n'est qu'une horloge. Tout phénomène qui se répète à intervalles réguliers est une horloge. Ainsi, la source est une horloge mobile qui tourne plus lentement dans$$$γ$fois.

Sinon, rien ne change. L'observateur a également une montre qu'il utilise pour mesurer le temps entre les crêtes. Mais la montre de l'observateur repose dans notre cadre de référence. Ainsi, il n'y a pas de dilatation temporelle associée à la montre de l'observateur, seulement une dilatation temporelle associée à l'horloge de la source. Et encore une fois, tout ce qui est important est représenté à l'intérieur du rectangle jaune. Maintenant, vous devez regarder les équations et voir comment elles changent.

La dernière fois, l'intervalle de temps mesuré par l'observateur était la somme de deux membres. Comme le premier membre était$$$Δt_s$, il serait le seul membre si la source était au repos. Cela est également vrai dans notre cas. Mais le temps à la source est plus lent$$$γ$fois. Autrement dit, si vous ne tenez pas compte des changements dans la longueur du trajet - nous prendrons ces changements en compte dans le prochain terme - alors la période mesurée par l'observateur sera différente de la période mesurée par la source dans$$$γ$fois. Mais vous devez savoir si$$$γ$se tenir au numérateur ou au dénominateur. Un exemple mental peut aider.

Ainsi, l'horloge source ralentit. Supposons que nous parlons d'un intervalle de temps d'une seconde. Si l'horloge de la source ralentit, cela signifie qu'il faut plus de temps pour passer une seconde à la source. Disons que l'horloge tourne deux fois plus lentement. Cela signifie que la source n'aura qu'une seconde toutes les deux secondes. Cela signifie que la période que nous verrons sera plus longue que$$$Δt_s$ dans $$$γ$fois. Ainsi, devant le premier terme, nous mettons un facteur$$$γ$ . Le deuxième mandat est toujours égal $$$Δl/u$ .

$$

$$Δt_o = γΔt_s + \frac{Δl}u$$

Mais l'expression de $$$Δl$ également en train de changer. $$$Δl$Est l'intervalle de temps nécessaire à une impulsion lumineuse pour parcourir une distance supplémentaire. La distance supplémentaire est proportionnelle au temps entre les impulsions. Cette heure change en raison du ralentissement de l'horloge source. Donc, le deuxième terme augmente également$$$γ$ fois.

$$

$$Δt_o = γΔt_s + \frac{Δl}u = γΔt_s + \frac{vγΔt_s}u = γ(1+\frac vu)Δt_s$$

Donc, toute la réponse augmente $$$γ$fois. Étant donné que

$$

$$γ = \sqrt{\frac 1{1-{(\frac vu)}^2}}$$

et

$$

$$1-{(\frac vu)}^2 = (1-\frac vu)(1+\frac vu)$$

après les transformations algébriques, nous obtenons

$$

$$Δt_o = \sqrt \frac {1+β}{1-β}Δt_s$$

Nous avons donc obtenu une réponse qui prend en compte la théorie spéciale de la relativité dans le cas du mouvement de la source. Compte tenu de la théorie de la relativité, notre réponse a augmenté$$$γ$fois. Nous nous attendons à ce que la réponse ne dépende pas du fait que la source ou l'observateur se déplace, mais, bien sûr, cela doit être vérifié à l'aide de calculs.


Comme base, nous prenons le calcul que nous avons déjà fait pour le cas non relativiste, avec un observateur en mouvement. Nous allons essayer de calculer le cas relativiste. Maintenant, l'horloge de l'observateur est plus lente. Ils vont plus lentement par rapport à nous, par rapport à notre référentiel, où notre référentiel, par définition, est le référentiel de notre image.

La chose la plus importante se produit à nouveau dans le rectangle jaune. La source est stationnaire, donc$$$Δt_s$ - c'est juste la période des vagues mesurée par notre montre. Mais la période mesurée par l'observateur $$$Δt_o$ sera différent. Par conséquent, nous allons écrire notre équation d'une manière différente, en remplaçant l'expression de $$$Δl$ . Pour $$$Δl$ au lieu de $$$vΔt_o$ nous écrirons $$$vΔt '$ .

$$$Δt '$ pas égal $$$Δt_o$ . $$$Δt '$ - c'est le temps écoulé entre les troisième et quatrième étages, c'est-à-dire le temps écoulé entre l'arrivée de deux crêtes de vagues adjacentes à l'observateur, mesuré dans notre référentiel. Nous décrivons tout du point de vue de notre référentiel. $$$Δt '$ différent de $$$Δt_o$ dans $$$γ$ fois, car par rapport à nous, l’horloge de l’observateur est plus lente $$$γ$ fois.

Encore une fois, vous devez réfléchir un peu où être $$$γ$ , au numérateur ou au dénominateur. Nous savons que l’horloge de l’observateur est plus lente que la nôtre. Cela signifie que le temps qu'il faut à un observateur pour passer une seconde devrait prendre plus d'une seconde. Par conséquent $$$Δt '$ = $$$γΔt_o$ . Par exemple, pendant que la montre de l'observateur passe une seconde, deux secondes passent.

Nous allons répéter le calcul que nous avons fait pour le cas non relativiste lorsque l'observateur se déplaçait. Mais dans le calcul, nous ajouterons une dilatation temporelle qui rendra ce calcul vrai. Tout d'abord, nous écrivons les équations, à quoi elles ressemblent dans notre cadre de référence, c'est-à-dire qu'elles utilisent l'intervalle $$$Δt '$ :

$$

$$Δt '= Δt_s + \ frac {vΔt'} c$$

Maintenant, nous pouvons effectuer des transformations similaires à celles que nous avons effectuées pour le cas non relativiste et obtenir l'expression de $$$Δt '$ :

$$

$$Δt '= (1- \ frac vc) ^ {- 1} Δt_s$$

Substitution d'une expression pour $$$Δt_o$ nous obtenons:

$$$$ afficher $$ Δt_o = \ frac 1γΔt '= \ sqrt {(1 + β) (1-β)} \ frac 1 {1-β} Δt_s $$ afficher $$

ou:

$$$$ afficher $$ Δt_o = \ sqrt \ frac {1 + β} {1-β} Δt_s $$ afficher $$

Cette expression est vraie à la fois dans le cas du mouvement de la source et dans le cas du mouvement de l'observateur.

Redshift $$$z$ dans le cas relativiste, il s'avère:

$$$$ afficher $$ z = \ frac {Δt_o} {Δt_s} -1 = \ sqrt \ frac {1 + β} {1-β} -1 $$ afficher $$

Nous avons donc obtenu ce que nous attendions. Que le résultat soit conforme aux principes de la théorie de la relativité. Notre réponse ne dépend pas du fait que la source ou l'observateur se déplace, car peu importe dans quel cadre de référence nous effectuons les calculs.

Autres effets de la relativité restreinte

Je veux maintenant parler de deux autres effets cinématiques de la théorie spéciale de la relativité, à savoir la contraction de Lorentz et le changement dans le concept de simultanéité. Mais avant d'aborder ces effets, il y a une autre question dont nous devons discuter. Il s'agit d'une montre qui bouge avec accélération.

La théorie spéciale de la relativité décrit les cadres de référence inertiels et les transformations qui sont effectuées pendant la transition d'un système inertiel à un autre. Si nous savons comment va l'horloge, qui est au repos dans un cadre de référence, la théorie spéciale de la relativité décrit pleinement comment l'horloge ira dans le cadre de référence, se déplaçant à une vitesse uniforme par rapport au cadre de référence d'origine. Ou, en d'autres termes, elle décrit comment ira l'horloge si elle se déplace à une vitesse constante.

Cependant, dans le monde réel, nous avons très peu d'heures qui peuvent être considérées comme inertielles. Toute horloge que nous voyons autour de nous - l'horloge sur le mur qui bouge avec la Terre, ou ma montre, est constamment accélérée. Nous voulons pouvoir travailler avec des horloges qui accélèrent et se déplacent à des vitesses relativistes. Cela se produit, par exemple, dans les satellites. Le système GPS, comme vous le savez probablement, ne fonctionnera pas si les calculs ne prennent pas en compte les effets de la théorie spéciale de la relativité et même de la théorie générale de la relativité. Ainsi, étudier le comportement d'une montre en mouvement est un enjeu technologique critique.

Que dire d'une horloge accélératrice? Il existe un mythe commun selon lequel une théorie générale de la relativité est nécessaire pour décrire l'accélération. Par conséquent, nous devons reporter la conversation sur l'accélération des heures jusqu'à ce que nous suivions un cours de théorie générale de la relativité. En fait, ce n'est pas le cas. La théorie générale de la relativité est la théorie de la gravité, qui prétend que la gravité et l'accélération sont étroitement liées. Dans ce contexte, l'accélération apparaît dans la théorie générale de la relativité.

Cependant, la théorie spéciale de la relativité est suffisante pour décrire tout système décrit par des équations compatibles avec la théorie spéciale de la relativité. La relativité restreinte ne décrit pas la gravité. Par conséquent, dans une situation où la gravité est importante, la théorie spéciale de la relativité n'est pas en mesure de donner les bons résultats. Mais alors que la gravité est absente, alors que nous ne traitons que des forces électromagnétiques, personne ne nous dérange en utilisant les équations de la théorie spéciale de la relativité.

Nous devons utiliser les équations de la dynamique en relativité restreinte, qui montrent comment les corps réagissent aux forces. Chaque fois qu'une force est appliquée, une accélération apparaît. De telles équations existent. Nous pouvons combiner, par exemple, l'électromagnétisme avec la mécanique relativiste pour décrire un système de particules qui interagissent en utilisant des forces électromagnétiques, en pleine conformité avec la théorie spéciale de la relativité. Et, malgré le fait que ces particules accélèrent, nous pouvons calculer pour elles tout ce que nous voulons.

En particulier, s'il existe des montres fabriquées à partir de pièces dont nous comprenons la physique, la théorie spéciale de la relativité peut nous dire comment ces montres vont se comporter, même lorsqu'elles accélèrent. Cependant, ce calcul peut être très, très compliqué. Parce que la physique de toute vraie montre, par exemple, ma montre, est très compliquée. Mais nous n'avons pas besoin d'écrire les équations décrivant ma montre pour comprendre comment elles se comporteront pendant l'accélération.

Je note que beaucoup d'entre vous ont déjà beaucoup d'expérience avec les montres à accélération, car beaucoup d'entre vous portent des montres qui accélèrent constamment. Et ils fonctionnent généralement. Nous supposons généralement que bien que la montre accélère, elle est suffisamment bien faite pour résister à l'accélération que votre poignet leur donne et afficher l'heure exacte.

D'un autre côté, on peut imaginer la situation inverse. Si vous prenez une horloge mécanique et la jetez dans un mur, ils s'écraseront contre le mur et s'arrêteront. Lorsqu'ils s'écrasent contre un mur, ils subissent une très grande accélération. Si l'accélération est suffisamment importante, nous pouvons prédire ce qui arrivera à la montre, même s'il s'agit d'une interaction complexe. Si l'accélération est suffisamment grande, elle casse simplement le chronomètre et elle s'arrête. C'est l'un des effets possibles que l'accélération peut avoir sur la montre.

D'autres effets sont similaires à celui-ci. Si le mouvement de ma main affecte le travail de la montre, il s'agit d'un effet mécanique qui peut être calculé en comprenant la mécanique de la montre, et non en utilisant les principes de la théorie générale de la relativité. La différence avec la théorie spéciale de la relativité ici est que la théorie spéciale de la relativité peut faire une prédiction précise du comportement de l'horloge si elle se déplace à une vitesse constante, même sans rien savoir de la structure de cette horloge. Une relativité restreinte peut faire une telle prédiction, car il existe une symétrie, la symétrie de Lorentz, qui relie une horloge mobile et une horloge au repos. Telle est la symétrie exacte de la nature. Indépendamment de la composition de la montre, si elle se déplace à une vitesse constante, la théorie spéciale de la relativité prétend qu'elle ira plus lentement $$$γ$ fois.

En revanche, ni dans la théorie spéciale de la relativité, ni dans la théorie générale de la relativité, il n'y a un principe similaire concernant l'accélération. La façon dont l'accélération agit sur la montre, bien sûr, dépend de l'ampleur de l'accélération, de la façon dont l'horloge est organisée et de la façon dont l'accélération affecte les différentes parties internes de l'horloge. L'essentiel est que lorsque nous parlons d'une horloge accélératrice, nous supposons toujours que l'horloge est suffisamment bien faite pour que l'accélération n'affecte pas sa vitesse. Nous supposons que ce sont des montres parfaites, qu'elles sont parfaitement faites. Lorsque nous disons que l'accélération n'affecte pas la vitesse de la montre, nous voulons dire qu'à chaque instant, l'horloge tourne exactement à la même vitesse que les autres horloges qui se déplacent simultanément avec notre montre à la même vitesse, mais sans accélération .

À tout moment, ma montre aura une certaine vitesse. Le rythme de leur progression sera très légèrement affecté $$$γ$ , qui dans notre cas sera très proche de 1. Si nous considérons ma montre comme une montre idéale, alors nous supposons qu'à un moment donné, ils vont à la même vitesse que la montre, qui n'accélère pas, mais qui se déplace avec la même la vitesse, comme une montre. Donc, le facteur $$$γ$ restera, mais il n'y aura pas d'effet d'accélération. La vitesse de la montre ne sera déterminée que par sa vitesse par rapport à notre système de référence.

Maintenant, je veux parler un peu des autres conséquences de la théorie spéciale de la relativité. Un peu plus tard, nous parlerons des conséquences dynamiques de la théorie spéciale de la relativité, qui incluent des équations bien connues, telles que $$$e = mc ^ 2$ . Mais avant de parler de quantités dynamiques, telles que l'énergie et la quantité de mouvement, nous terminons par une réflexion sur les effets cinématiques de la théorie spéciale de la relativité. Par cinématique, j'entends les conséquences d'une théorie spéciale de la relativité pour mesurer le temps et la distance.

Si nous nous limitons aux conséquences de la mesure du temps et des distances, des effets cinématiques, alors il y a exactement trois conséquences de la théorie spéciale de la relativité. La théorie spéciale de la relativité tout entière, en un sens, s'incarne dans ces trois effets. Le ralentissement du temps en est un exemple.


La deuxième conséquence est un autre effet connu de la théorie spéciale de la relativité, la contraction de Lorentz, ou parfois appelée contraction de Lorentz-Fitzgerald. Dans sa description, le mot «regarde» réapparaîtra. J'écrirai toujours ce mot entre guillemets pour vous rappeler que ce n'est pas tout à fait ce que voit l'observateur. Toute canne qui bouge avec vitesse $$$v$ sur sa longueur par rapport à un référentiel donné, il "cherchera" un observateur dans ce référentiel plus court que sa longueur en $$$γ$ fois. La longueur de la tige, qui se déplace perpendiculairement à sa longueur, ne change pas. Tout cela est illustré sur la figure.

C'est une conséquence très célèbre de la théorie spéciale de la relativité. Cela signifie que la fusée devient de plus en plus courte à mesure qu'elle se déplace de plus en plus vite. Encore une fois, rappelez-vous que ce n'est pas ce que vous verrez réellement. C'est ce qui se passe si des mesures sont effectuées par des observateurs locaux, puis la longueur de la fusée est calculée sur la base de ces mesures.


Le troisième et dernier effet est un peu plus difficile à décrire. Mais c'est un effet très important. Les deux premiers effets ne seraient pas cohérents s'il n'y avait pas de troisième effet. Le troisième effet est un changement dans le concept de simultanéité, ou la relativité de la simultanéité.

Supposons que nous ayons un système composé de deux heures synchronisées dans leur référentiel par rapport auquel elles reposent. Qu'ils soient également reliés par une tige, qui a une certaine longueur dans leur cadre de référence, que nous appellerons $$$l_0$ . Si l'ensemble du système se déplace par rapport à nous à une vitesse $$$v$ le long de la tige, pour nous, cette montre n'a pas l'air synchronisée, malgré le fait qu'elles soient synchronisées dans leur référentiel.

En particulier, la montre arrière aura un peu d'avance $$$βl_0 / c$ . Permettez-moi de vous rappeler que $$$β = v / c$ . $$$l_0$ - la distance entre les horloges mesurée dans le système de référence d'horloge. $$$c$ - c'est bien sûr la vitesse de la lumière. D'un autre côté, si l'horloge se déplace dans une direction perpendiculaire à la ligne qui les relie, alors l'horloge semble synchronisée.

Cet effet est très important pour l'intégrité de l'image entière. Nous ne prouverons pas que la théorie spéciale est cohérente. Nous pourrions très bien le faire, mais nous ne traiterons pas de cela, puisque notre cours n'est pas consacré à une étude détaillée de la théorie spéciale de la relativité. Cependant, il peut sembler qu'il existe un écart assez évident entre les conséquences de la théorie spéciale de la relativité - que les horloges en mouvement sont plus lentes, et le postulat que les mêmes lois de la physique sont vraies pour tous les observateurs inertiels. Cela signifie que si vous vous déplacez par rapport à moi, votre montre est plus lente pour moi. Mais en même temps, pour toi, ma montre est plus lente. Parce que, de votre point de vue, vous êtes au repos, et je me dirige vers vous. De votre point de vue, ma montre bouge. Et ma montre devrait ralentir.

Il me semble que votre montre tourne plus lentement. Il vous semble que ma montre tourne plus lentement. Cela semble être une contradiction. Que se passe-t-il si nous mettons simplement l'horloge l'une à côté de l'autre et comparons son fonctionnement? Quelle montre ira plus vite? Comment pouvons-nous nous mettre d'accord là-dessus? Bien sûr, nous ne pouvons pas garder l'horloge côte à côte, et en même temps la déplacer l'une par rapport à l'autre. C'est l'une des raisons pour résoudre la contradiction. Rappelez-vous que je veux dire quand je dis que votre montre tourne plus lentement. Je fais toutes mes mesures sans observer directement votre montre, car alors il y a l'effet d'un retard dans la propagation du signal, ce qui complique l'image. Je prends toutes mes mesures avec l'aide de nombreux observateurs locaux qui sont autour de moi et sont au repos par rapport à moi. Ils me transmettent leurs résultats. Ce n'est qu'après avoir reçu et combiné leurs résultats que j'obtiens une seule image de ce qui s'est passé, où et quand.

Par conséquent, quand je dis que votre montre est lente, je veux dire que j'ai beaucoup de montres au repos par rapport à moi. Lorsque votre montre passe devant moi, les observateurs locaux comparent votre montre avec leur montre. Ensuite, ils me transmettent les résultats. Si votre montre tourne plus lentement, disons deux fois, cela signifie que lorsque votre montre passe devant la montre de mon observateur et que sa montre affiche une seconde, votre montre n'affichera qu'une demi-seconde. Lorsqu'elles survolent les horloges les plus éloignées de mon cadre de référence et que les horloges de mon cadre de référence affichent deux secondes, votre montre affiche une seconde, et ainsi de suite. En ce sens, votre montre tourne plus lentement.

Cela devrait être compatible avec le fait que selon votre point de vue, ma montre fonctionne également plus lentement. Si vous supposez que l'horloge de mon système de référence est synchronisée, alors vous arrivez à la conclusion que mon horloge est plus rapide. Parce que lorsque votre montre montre une demi-seconde, ma montre montre une seconde. Lorsque votre montre affiche une seconde, ma montre affiche deux secondes. D'après cette comparaison directe, il s'avère que ma montre est plus rapide.

Mais en même temps, nous savons que ce n'est pas vrai. Vous devriez obtenir le même résultat que moi. Si nous évoluons les uns par rapport aux autres, vous devriez penser que ma montre se déplace plus lentement. La sortie de cette situation difficile est la relativité de la simultanéité. De votre point de vue, la séquence des horloges de mon système de référence, lorsqu'elles volent devant vous, montre vraiment un temps plus long que votre montre. Cependant, de votre point de vue, ma montre n'est pas synchronisée entre elles. Par conséquent, vous ne pouvez pas déterminer la vitesse de ma montre en mesurant le temps sur différentes montres.

Si vous voulez savoir à quelle vitesse ma montre va, vous devez garder une trace de l'une de mes montres et regarder comment les lectures changent au fil du temps. Vous ne devez pas comparer les lectures de différentes montres, car mes montres ne sont pas synchronisées entre elles, de votre point de vue. Mais si vous regardez une de mes montres à l'aide d'un ensemble de vos montres immobiles vers vous, tout comme j'ai utilisé mon ensemble de montres lorsque j'ai mesuré la vitesse de votre montre, alors tout se mettra en place. Vous verrez que ma montre tourne plus lentement. Je vais voir ta montre ralentir. Puisque nous ne sommes pas d'accord sur les événements qui se produisent simultanément, la contradiction ne se pose pas. Ainsi, la relativité de la simultanéité est critique, sinon nous aurions une contradiction flagrante dans l'ensemble du tableau.

C'est tout ce que je comptais dire lors de la conférence d'aujourd'hui. Nous avons discuté des conséquences cinématiques de la théorie spéciale de la relativité. Comme je l'ai dit, nous n'essaierons pas de les faire ressortir. Si vous êtes intéressé par la façon dont ils sont obtenus, vous pouvez suivre un cours spécialisé en théorie spéciale de la relativité.

Plus tard, nous discuterons des conséquences de la théorie spéciale de la relativité pour l'impulsion et l'énergie, qui seront importantes pour nous. L'énergie et la quantité de mouvement ne nous intéressent que tant qu'elles sont définies de manière à être des quantités conservées. C'est pourquoi l'énergie et l'élan sont importants en physique. Pour un système fermé, l'énergie totale et l'élan ne changent pas. L'énergie et l'élan peuvent être transférés d'une partie du système à une autre. Mais l'énergie et l'élan ne peuvent être ni créés ni détruits.

Si nous prenons les définitions de l'énergie et de l'élan de la mécanique newtonienne et les utilisons dans la cinématique relativiste, il s'avère que, par exemple, lorsqu'une particule entre en collision, l'énergie et l'élan seraient stockés dans un référentiel et non stockés dans un autre référentiel. Les lois de conservation dépendraient du cadre de référence utilisé.

Par conséquent, Einstein a légèrement modifié les définitions de l'énergie et de l'élan de telle manière que si elles sont stockées dans un cadre de référence, elles sont stockées dans tout autre cadre de référence associé aux premières transformations de la théorie spéciale de la relativité. Dès que nous changeons la cinématique de la transition d'un référentiel à un autre, nous devons également modifier les définitions de l'énergie et de la quantité de mouvement afin que les lois de conservation soient valables dans tous les référentiels. À l'avenir, nous introduirons des définitions légèrement modifiées et légèrement non newtoniennes de l'énergie et de la quantité de mouvement des particules.