Format binaire décimal mixte vs IEEE754

Dans la rubrique précédente, nous avons examiné un nouveau format pour représenter les nombres décimaux à virgule flottante, que nous avons appelé format décimal-binaire mixte (SDDF).

Ce format vous permet d'effectuer des calculs arithmétiques sur un ordinateur sans utiliser BCD avec la même précision que si les calculs étaient effectués manuellement.
Rappelons qu'un format mixte décimal-binaire (SDDF) est un format de représentation de code binaire pour les nombres décimaux à virgule flottante, dans lequel la mantisse entière est l'équivalent binaire de sa valeur décimale, et l'exposant est l'équivalent binaire de la puissance de 10. Le nombre réel dans SDF est représenté comme

$$

$$F = SM_ {2} 10 ^ {e}$$

où $$$M_ {2}$et e sont des entiers binaires. L'équivalent binaire d'un nombre décimal est le code binaire de ce nombre décimal dans le format sélectionné. L'équivalent décimal d'un nombre binaire est le code décimal de ce nombre binaire.

Comparons les propriétés de base des nombres à virgule flottante, qui sont présentées dans la norme IEEE754 et SDDF. Pour plus de simplicité, pensez à un mot machine 16 bits. Il s'agit du format dit demi-précision . Les résultats de la comparaison peuvent facilement être mis à l'échelle dans le cas d'un format d'échange simple et double précision.

Nous divisons le mot binaire 16 bits dans les champs suivants: S, e, m. Où est le chiffre S du signe du nombre, e - 5 bits de l'exposant déplacé, m - 10 bits de l'équivalent binaire de la mantisse décimale du nombre. La valeur binaire maximale de l'exposant de décalage enregistrée dans le registre à 5 bits sera égale à emax = 11111, ou sous forme décimale emax = 31. Le décalage dans ce cas est de 15.

Alors

1 . La mantisse numérique compactée dans IEEE754 contient la partie fractionnaire de la mantisse numérique.

Le nombre de mantisses dans SDDF est un entier binaire.

2 . La mantisse IEEE normalisée sous la forme décompressée ressemble à 1.xxxxxxxxxx. Où x est un chiffre binaire.

La mantisse étant normalisée, toute sa partie sous forme déballée est toujours égale à 1. Cette unité ne peut pas être stockée dans la mémoire de la machine. Ainsi, sous la forme décompressée, en tenant compte de l'unité virtuelle, la mantisse aura 11 bits.

La mantisse normalisée dans le SDDF est un entier binaire égal à l'équivalent du nombre décimal, qui dans notre cas est représenté par trois chiffres: UXX. Où U est un chiffre décimal différent de zéro. X est n'importe quel chiffre décimal.

Un nombre décimal maximum de 1023 peut être représenté sur 10 bits de la mantisse. Tous les entiers inférieurs à 1023 peuvent être garantis représentés par 10 bits. Par conséquent, tous les nombres décimaux avec une mantisse ≤ 999 peuvent être représentés exactement par 10 bits de la mantisse.

3 . Dans IEEE754, la mantisse binaire normalisée maximale est Mmax = 1.1111111111 = 1.9990234375

Le nombre garanti de chiffres valides pouvant être représentés par une mantisse binaire de 11 bits est de 3 .

La mantisse décimale normalisée maximale dans SDDF est Mmax = 999 ou Mmax binaire = 1 111 100 111. L'équivalent décimal de la mantisse se compose de 3 chiffres décimaux. Par conséquent, la mantisse à trois chiffres de notre exemple est représentée avec précision dans SDDF 3 en chiffres décimaux significatifs.

4 . Dans IEEE754, la valeur minimale de mantisse normalisée, avec emin = 0, sera: Mmin = 1,0

La mantisse normalisée minimale dans SDDF, à emin = 0, est égale au nombre décimal Mmin = 100. Ou sous forme binaire Mmin = 0001100100.

5 . Le nombre décimal positif maximum qui peut être écrit au format IEEE754 avec un exposant biaisé sera

Fmax = 2 ^ emax * Mmax = 2 ^ 31 * 1.9990234375 = 4292870144 = 4,292870144 * 10 ^ 9. Cependant, dans la norme, le nombre maximal est le nombre Fmax = 2 ^ emax = 2 ^ 31 = 4294967296 = 4,294967296 * 10 ^ 8. Les nombres> 2 ^ 31 sont considérés comme égaux plus l'infini.

Le nombre décimal positif maximum qui peut être écrit avec précision au format SDDF avec un exposant biaisé sera

Fmax = 10 ^ emax * Mmax = 10 ^ 31 * 999 = 9,99 * 10 ^ 33

6 . La plage des nombres normalisés approximatifs qui peuvent être représentés au format IEEE sera

Fmax / Fmin = 2 ^ 31 = 4294967296 = 4,294967296 * 10 ^ 8

La plage de nombres exacts qui peuvent être représentés au format SDDF sera égale à
Fmax / Fmin = 9,99 * 10 ^ 31

7 . L'étape de modification du nombre binaire dans IEEE avec un exposant de décalage (emin = 0) est:
h = 0,000000000001 = 2 ^ -10 = 0,0009765625

L'étape de modification du nombre décimal dans le SDDF avec un exposant décalé (emin = 0) est:
h = 00001100100 = 100

8 . Dans IEEE754, avec un exposant biaisé, si e = 0, alors tous les nombres <1,0 sont sous-normaux. Plus le nombre sous-normal est petit, moins il représente avec précision son équivalent décimal. Des algorithmes spéciaux sont nécessaires pour coder les nombres sous-normaux dans un format d'échange, décodage à partir d'un format d'échange, ainsi que des pièges spéciaux pour déterminer les nombres sous-normaux pendant les opérations arithmétiques.

Il n'y a pas de nombres sous-normaux dans SDDF. Tous les nombres sont représentés avec une précision, dans notre cas, jusqu'à 3 chiffres significatifs.

9 . Avec un exposant non biaisé, le nombre décimal positif normalisé maximum qui peut être écrit au format IEEE754 sera
Fmax = 2 ^ emax * Mmax = 2 ^ 15 * 1,9990234375 = 65504. Cependant, dans la norme, le nombre maximum est le nombre Fmax = 2 ^ emax = 2 ^ 15 = 32768. Les nombres> 32768 sont considérés comme égaux plus l'infini.

Avec un exposant non biaisé, le nombre décimal positif maximum qui peut être écrit dans le SDDF sera égal à

Fmax = 10 ^ emax * Mmax = 999 * 10 ^ 15 = 9,99 * 10 ^ 17

10 . Avec un exposant non biaisé, le nombre décimal positif normalisé minimum au format IEEE754 sera Fmin = 1,0 * 2 ^ -15 =
3.0517578125 * 10 ^ -5.

Avec un exposant non biaisé, le nombre décimal positif normalisé minimum qui peut être écrit au format SDDF sera Fmin = 100 * 10 ^ -15 = 10 ^ -13

11 . Avec un exposant non biaisé, le pas décimal équivalent binaire minimum dans IEEE est:

h = 0,000000000001 * 2 ^ -15 = 2 ^ -25 = 3,0517578125 * 10 ^ -5

Avec un exposant non biaisé, le pas minimum dans le SDDF coïncide avec le nombre minimum et est égal à:

h = 001100100 * 10 ^ -15 = 10 ^ -13

12 . Dans IEEE754, la fonction de la dépendance de la valeur de l'équivalent décimal du nombre Fd sur sa valeur binaire n'est pas uniforme, car pour changer de 1 le chiffre le moins significatif de la mantisse décimale du nombre, en règle générale, la somme de plusieurs h égale à la machine Ɛ est nécessaire.
Ainsi, par exemple, si e = 0, pour Fd1 = 1.0 = 1.0000000000 et Fd2 = 1.1≈1.0001100110, nous aurons
Fd2- Fd1 = 1.0001100110 -1.0000000000 = 0.0001100110 = 0.099609375
0,0001100110 / h = 0,0001100110 / 0,0000000001 = 1100110 = 102 = Ɛ

Dans SDDF, la fonction de la dépendance de la valeur de l'équivalent décimal du nombre Fd sur sa valeur binaire est uniforme. Tout changement de h de l'équivalent binaire de la mantisse du nombre décimal entraîne un changement du 1 bit le moins significatif de l'équivalent décimal du nombre. Ici machine Ɛ = 1. Vraiment.

Si e = 0,
Fd1 = 100 = 0001100100
Fd2 = 200 = 0011001000
Fd2- Fd1 = 0011001000-0001100100 = 0001100100 = 100 = h

En conclusion, nous présentons les principales caractéristiques de la représentation des nombres réels dans la norme IEEE754 et SDDF pour le format d'échange, composé de 32 bits (simple précision dans la norme IEEE754).

Pour IEEE754, les bits de mot machine simple précision sont alloués en tant que S - 1 bit du code de signe, e - 8 bits de l'exposant biaisé, m - 23 bits de mantisse explicites. Déballé, m = 24.

Pour IEEE754:
Le coefficient de déplacement exponentiel est 127 emax = 127. L'ordre sans biais du plus petit nombre normalisé avec M = 1,0 est p = e-127 + 1 = -126. Les nombres <2 ^ -126 sont considérés comme inférieurs à la normale.

Le nombre normalisé minimum est Fmin = 1,0 * 2 ^ -126 = 1,1754943508222875079687365372222e-38

Le nombre normalisé maximum
Fmax = 2 ^ 127 = 1,7014118346046923173168730371588e + 38

Les nombres qui dépassent 2 ^ 127 sont considérés comme l'infini positif.

Pour SDDF, les chiffres du mot machine sont répartis comme suit: S - 1 chiffre, e - 7 bits, m - 24 bits. Le coefficient de déplacement exponentiel est de 63. Alors

emax = 64
Mmax = 9999999
Fmax = 9999999 * 10 ^ 64 = 9,999999 * 10 ^ 70
Fmin = 1 000 000 * 10 ^ -63 = 10 ^ -57

La précision de la représentation des nombres décimaux réels est de 7 chiffres décimaux significatifs.