Après Gauss, nous reconnaissons le statut «royal» des mathématiques, et étant donné que notre entreprise dispose d'un centre de compétences «Algorithmic Support», nous avons souvent des matériaux intéressants sur ce sujet: nos collègues rédigent leurs propres articles, auteurs puis étudient cela intéressant arrive avec des collègues étrangers, préparer de brèves critiques et traductions d'articles de tiers. Cela sera probablement utile à ceux qui partagent nos intérêts, nous avons donc décidé de partager ces matériaux et connaissances.
En mathématiques, il arrive souvent que ce soient les choses les plus simples qui semblent être connues de tous et de tous, comme les nombres rationnels, c'est incroyablement difficile à comprendre. Par exemple, les mathématiciens recherchent depuis plusieurs centaines d'années des solutions rationnelles aux équations diophantiennes. Les idées empruntées à la physique ont aidé à se rapprocher de la résolution de la tâche millénaire. Présentation d'un article publié dans Quanta Magazine, avec notre traduction partielle et aperçu.
Minhyun Kim, mathématicien à l'Université d'Oxford, tente de déterminer quels nombres rationnels peuvent résoudre certains types d'équations diophantiennes. Ce problème mathématique est estimé à environ 3000 ans. Étant donné que les décisions rationnelles n'obéissent pas à des motifs géométriques, il s'agit en effet d'une tâche difficile. Si compliqué qu'en 1986, Gerd Falting a reçu le Fields Prize uniquement pour avoir prouvé que certaines classes d'équations diophantiennes ont un nombre fini de solutions rationnelles. Les mathématiciens eux-mêmes qualifient la percée de Falting de «preuve inefficace» car elle ne nomme pas le nombre exact de solutions rationnelles et ne permet pas de les identifier.
Kim essaie de regarder les nombres rationnels dans un contexte numérique étendu dans lequel des motifs cachés commencent à apparaître. Kim a réussi à découvrir un tel contexte en physique: selon le mathématicien, les solutions rationnelles ont beaucoup en commun avec la trajectoire de la lumière. Kim doutait depuis longtemps qu'il avait raison et que son travail pouvait convaincre d'autres scientifiques et ce n'est que récemment qu'il avait décidé de présenter son idée au grand public. Selon Kim lui-même, au cours des 15 prochaines années, la théorie des nombres deviendra beaucoup plus étroitement liée à la physique.
Kevin Hartnett , auteur d'un article publié dans Quanta, écrit:
«Les mathématiciens disent souvent que plus un objet est symétrique, plus il est facile de l'étudier. Dans cette optique, ils souhaitent placer l'étude des équations diophantiennes dans un contexte plus symétrique que celui dans lequel le problème apparaît habituellement. Si cela peut être fait, on pourrait utiliser la symétrie détectée pour rechercher les points rationnels nécessaires.
Les ensembles de nombres peuvent également être symétriques, et plus l'ensemble de nombres est symétrique, plus il est facile à comprendre: vous pouvez utiliser des relations symétriques pour calculer des valeurs inconnues. Les nombres qui ont un certain type de relations symétriques forment un «groupe», et vous pouvez utiliser les propriétés du groupe pour comprendre tous les nombres qu'il contient. Mais l'ensemble des solutions rationnelles de l'équation n'a pas de symétrie et ne forme pas un groupe, ce qui laisse les mathématiciens seuls avec une tâche impossible, une tentative de trouver toutes les solutions une par une.
À partir des années 40, les mathématiciens ont commencé à explorer les moyens de placer les équations diophantiennes dans des contextes plus symétriques. Claude Chabati a découvert que dans l'espace géométrique plus grand qu'il a construit en utilisant des nombres p-adiques, les nombres rationnels forment leur propre sous-espace symétrique. Il a combiné ce sous-espace avec le graphique des équations diophantiennes: leurs points d'intersection correspondent à des solutions rationnelles de l'équation.
Dans les années 1980, Robert Coleman complète le travail de Chabati. Pendant plusieurs décennies après cela, l'approche Coleman-Chabati a été le meilleur outil pour trouver des solutions rationnelles des équations diophantiennes. Cependant, cela ne fonctionne que lorsque le graphique des équations est dans une certaine proportion par rapport à un espace plus grand. Lorsque cette proportion ne répond pas aux exigences, la recherche de points exacts où la courbe d'équation croise des nombres rationnels est compliquée.
Pour étendre le travail de Chabati, Kim voulait trouver un espace encore plus grand dans lequel les équations diophantiennes pourraient être placées. »
Et ici, Kim suggère d'utiliser un analogue des concepts physiques de «l'espace-temps», «l'espace des espaces»:
«Pour comprendre pourquoi, considérez un rayon de lumière. Les physiciens pensent que la lumière se déplace dans l'espace multidimensionnel des champs. Dans cet espace, la lumière se déplacera le long d'un chemin qui correspond au principe de la "moindre action", c'est-à-dire le long d'un chemin qui minimise le temps nécessaire pour se déplacer du point A au point B. Ce principe explique pourquoi la lumière se réfracte lorsqu'elle se déplace d'un milieu à un autre: chemin incurvé minimise le temps passé. De tels espaces plus grands d'espaces rencontrés en physique ont des symétries supplémentaires qui sont absentes dans tous les espaces qu'ils représentent. Ces symétries attirent l'attention sur certains points, soulignant, par exemple, le trajet minimisant le temps. Construites de manière différente ou dans un contexte différent, ces mêmes symétries peuvent être accentuées par d'autres points, par exemple des points correspondant à des solutions rationnelles d'équations.
Dans la théorie des nombres, il y a quelque chose comme l'espace-temps. Ce quelque chose offre également différentes façons de former des chemins et de construire l'espace de tous les chemins possibles. Kim développe un schéma dans lequel les problèmes de trouver la trajectoire de la lumière et de trouver des solutions rationnelles des équations diophantiennes sont les faces d'un problème.
Les solutions d'équations diophantiennes forment des espaces, des courbes définies par des équations. Ces courbes peuvent être unidimensionnelles, comme un cercle, ou multidimensionnelles. Par exemple, si vous tracez les solutions complexes de l'équation diophantienne x4 + y4 = 1, vous obtenez un tore à trois trous. Les points rationnels de ce tore n'ont pas de structure géométrique, ce qui rend leur recherche difficile, mais ils peuvent correspondre à des points d'un espace plus multidimensionnel d'espaces, qui auront déjà une certaine structure. »
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